PAGEPAGE1課下實力提升(十七)[學業水平達標練]題組1對基底向量概念的理解1．已知e1，e2是表示平面內全部向量的一組基底，那么下面四組向量中，不能作為一組基底的是()A．e1，e1＋e2B．e1－2e2，e2－2e1C．e1－2e2,4e2－2e1D．e1＋e2，e1－e2解析：選C因為4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，從而e1－2e2與4e2－2e1共線．2．在△ABC中，＝c，＝b，若點D滿意＝2，以b與c作為基底，則＝()A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)cB.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)cD.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c解析：選A∵＝2，∴－＝2(－)，∴－c＝2(b－)，∴＝eq\f(1,3)c＋eq\f(2,3)b.3.如圖所示，平面內的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括邊界)．若＝a＋b，且點P落在第Ⅲ部分，則實數a，b滿意()A．a>0，b>0B．a>0，b<0C．a<0，b>0D．a<0，b<0解析：選B取第Ⅲ部分內一點畫圖易得a>0，b<0.題組2向量的夾角問題4．若向量a與b的夾角為60°，則向量－a與－b的夾角是()A．60°B．120°C．30°D．150°解析：選A平移向量a，b使它們有公共起點O，如圖所示，則由對頂角相等可得向量－a與－b的夾角也是60°.5．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝eq\f(1,2)AB，則與的夾角是()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：選C如圖，作向量＝，則∠BAD是與的夾角，在△ABC中，因為∠C＝90°，BC＝eq\f(1,2)AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°.6．如圖，平面內有三個向量，，，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且||＝||＝1，||＝2eq\r(3)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解：如圖，以OA，OB所在射線為鄰邊，OC為對角線作平行四邊形ODCE，則＝＋.在Rt△OCD中，∵||＝2eq\r(3)，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，∴||＝4，||＝2，故＝4，＝2，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.題組3平面對量基本定理的應用7．設向量e1與e2不共線，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，則實數x，y的值分別為()A．0,0B．1,1C．3,0D．3,4解析：選D∵向量e1與e2不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＝4y－7，,10－y＝2x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4.))8．已知在△ABC中，＝eq\f(1,3)，P是BN上的一點．若＝m＋eq\f(2,11)，則實數m的值為()A.eq\f(9,11)B.eq\f(5,11)C.eq\f(3,11)D.eq\f(2,11)解析：選C設＝λ，則＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)AC→－AB→))＝(1－λ)＋eq\f(λ,4)＝m＋eq\f(2,11)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(λ,4)＝\f(2,11)，,m＝1－λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(8,11)，,m＝\f(3,11).))9．設e1，e2是平面內一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為以a，b為基向量的線性組合，即e1＋e2＝________.解析：設e1＋e2＝ma＋nb(m，n∈R)，∵a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，∴e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.∵e1與e2不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－n＝1，,2m＋n＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(2,3)，,n＝－\f(1,3).))∴e1＋e2＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b.答案：eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b10．設e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)證明：a，b可以作為一組基底；(2)以a，b為基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．解：(1)證明：若a，b共線，則存在λ∈R，使a＝λb，則e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共線，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,3λ＝－2，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,λ＝－\f(2,3).))∴λ不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底．(2)設c＝ma＋nb(m、n∈R)，則3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,－2m＋3n＝－1，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝1.))∴c＝2a＋b.(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝4，,－2λ＋3μ＝－3，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,μ＝1.))故所求λ，μ的值分別為3和1.[實力提升綜合練]1.如圖所示，設O是平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點，給出下列向量組：①與；②與；③與；④與.其中可作為該平面內全部向量的基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④解析：選B與不共線，∥，與不共線，∥，所以①③可以作為該平面內全部向量的基底．2．向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝()A．2B．4C．5D．7解析：選B以如圖所示的兩相互垂直的單位向量e1，e2為基底，則a＝－e1＋e2，b＝6e1＋2e2，c＝－e1－3e2，因為c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以－e1－3e2＝λ(－e1＋e2)＋μ(6e1＋2e2)＝(－λ＋6μ)e1＋(λ＋2μ)e2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ＋6μ＝－1，,λ＋2μ＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,μ＝－\f(1,2)，))所以eq\f(λ,μ)＝4.故選B.3．如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點O，7＝5，＝4，EF交AC于點K，＝λ，則實數λ的值為()A．－eq\f(10,27)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(10,27)D.eq\f(1,3)解析：選A因為＝λ＝－λ＝－eq\f(λ,2)(＋)，所以＝－eq\f(λ,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)AE→＋4AF→)).又E，F，K三點共線，所以－eq\f(λ,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)＋4))＝1，解得λ＝－eq\f(10,27).故選A.4．如圖，在△ABC中，M為邊BC上不同于B，C的隨意一點，點N滿意＝2.若＝x＋y，則x2＋9y2的最小值為________．解析：依據題意，得＝eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)x＋eq\f(3,2)y.因為M，B，C三點共線，所以有eq\f(3,2)x＋eq\f(3,2)y＝1，即x＋y＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<y<\f(2,3)))，所以x2＋9y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－y))2＋9y2＝10y2－eq\f(4,3)y＋eq\f(4,9)＝10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,15)))2＋eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<y<\f(2,3)))，所以當y＝eq\f(1,15)時，x2＋9y2取得最小值eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)5．若a≠0，b≠0，|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b的夾角為________．解析：如圖，作＝a，＝b，則＝a－b.以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OACB.∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴∠BOA＝60°，四邊形OACB為菱形．又＝a＋b，且在菱形OACB中，對角線OC平分∠BOA，∴a與a＋b的夾角為30°.答案：30°6．如圖所示，平行四邊形ABCD中，M為DC的中點，N是BC的中點，設＝b，＝d，＝m，＝n.(1)試以b，d為基底表示；(2)試以m，n為基底表示.解：(1)＝－＝(＋)－(＋)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)d))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)(b－d)．(2)m＝＋＝d＋eq\f(1,2)，①n＝＋＝＋eq\f(1,2)d，所以2n＝2＋d.②由①②消去d，得＝eq\f(4,3)n－eq\f(2,3)m.7．如圖，已知△ABC的面積為14，D，E分別為邊AB，BC上的點，AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，且AE與CD交于點P，求△APC的面積．解：設＝a，＝b為一組基底，則＝a＋eq\f(2,3)b，＝eq\f(1,3)a＋b.∵點A，P，E共線且D，P，C共線，∴存在λ和μ，使＝λ＝λa＋eq\f(2,3)λb，＝μ＝eq\f(1,3)μa＋μb.又＝＋＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋\f(1,3)μ))a＋μb.∴eq