PAGEPAGE1第1講基礎小題部分一、選擇題1．已知橢圓的中心在原點，離心率e＝eq\f(1,2)，且它的一個焦點與拋物線y2＝－4x的焦點重合，則此橢圓方程為 ()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,2)＋y2＝1 D.eq\f(x2,4)＋y2＝1解析：依題意，可設橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由已知可得拋物線的焦點為(－1,0)，所以c＝1，又離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，故選A.答案：A2．若橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點F是拋物線y2＝4x的焦點，兩曲線的一個交點為P，且|PF|＝4，則該橢圓的離心率為 ()A.eq\f(\r(7)－2,3) B.eq\f(\r(2)＋1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,2)解析：設P(x，y)，由題意，得F(1,0)，因為|PF|＝x＋1＝4，所以x＝3，y2＝12，則eq\f(9,a2)＋eq\f(12,b2)＝1，且a2－1＝b2，解得a2＝11＋4eq\r(7)，即a＝eq\r(7)＋2，則該橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(7)＋2)＝eq\f(\r(7)－2,3).故選A.答案：A3．若直線x－2y＋2＝0經過橢圓的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的標準方程為 ()A.eq\f(x2,5)＋y2＝1B.eq\f(x2,5)＋y2＝1或eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1D．以上答案都不對解析：直線與坐標軸的交點為(0,1)，(－2,0)，由題意知當焦點在x軸上時，c＝2，b＝1，∴a2＝5，所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,5)＋y2＝1.當焦點在y軸上時，b＝2，c＝1，∴a2＝5，所求橢圓標準方程為eq\f(y2,5)＋eq\f(x2,4)＝1.答案：B4．O為坐標原點，F為拋物線C：y2＝4eq\r(2)x的焦點，P為C上一點，若|PF|＝4eq\r(2)，則△POF的面積為 ()A．2 B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．4解析：由題意知，拋物線的焦點F(eq\r(2)，0)，設P(xP，yP)，結合拋物線的定義及|PF|＝4eq\r(2)，可知xP＝3eq\r(2)，代入拋物線方程求得yP＝2eq\r(6)，所以S△POF＝eq\f(1,2)·|OF|·yP＝2eq\r(3).答案：C5．已知F1，F2是雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左，右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，則E的離心率為 ()A.eq\r(2) B.eq\f(3,2)C.eq\r(3) D．2解析：因為MF1與x軸垂直，所以|MF1|＝eq\f(b2,a).又sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，所以eq\f(|MF1|,|MF2|)＝eq\f(1,3)，即|MF2|＝3|MF1|.由雙曲線的定義得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝eq\f(2b2,a)，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).答案：A6．(2024·高考北京卷)在平面直角坐標系中，記d為點P(cosθ，sinθ)到直線x－my－2＝0的距離．當θ，m改變時，d的最大值為 ()A．1 B．2C．3 D．4解析：由題意可得d＝eq\f(|cosθ－msinθ－2|,\r(m2＋1))＝eq\f(|msinθ－cosθ＋2|,\r(m2＋1))＝eq\f(|\r(m2＋1)\f(m,\r(m2＋1))sinθ－\f(1,\r(m2＋1))cosθ＋2|,\r(m2＋1))＝eq\f(|\r(m2＋1)sinθ－φ＋2|,\r(m2＋1))(其中cosφ＝eq\f(m,\r(m2＋1))，sinφ＝eq\f(1,\r(m2＋1)))，∵－1≤sin(θ－φ)≤1，∴eq\f(|2－\r(m2＋1)|,\r(m2＋1))≤d≤eq\f(\r(m2＋1)＋2,\r(m2＋1))，eq\f(\r(m2＋1)＋2,\r(m2＋1))＝1＋eq\f(2,\r(m2＋1))，∴當m＝0時，d取最大值3，故選C.答案：C7．橢圓C：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>0)的左、右焦點分別為F1、F2，P為橢圓上異于端點的隨意一點，PF1，PF2的中點分別為M，N.O為坐標原點，四邊形OMPN的周長為2eq\r(3)，則△PF1F2的周長是 ()A．2(eq\r(2)＋eq\r(3)) B.eq\r(2)＋2eq\r(3)C.eq\r(2)＋eq\r(3) D．4＋2eq\r(3)解析：因為O，M分別為F1F2和PF1的中點，所以OM∥PF2，且|OM|＝eq\f(1,2)|PF2|，同理，ON∥PF1，且|ON|＝eq\f(1,2)|PF1|，所以四邊形OMPN為平行四邊形，由題意知，|OM|＋|ON|＝eq\r(3)，故|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(3)，即2a＝2eq\r(3)，a＝eq\r(3)，由a2＝b2＋c2知c2＝a2－b2＝2，c＝eq\r(2)，所以|F1F2|＝2c＝2eq\r(2)，故△PF1F2的周長為2a＋2c＝2eq\r(3)＋2eq\r(2)，選A.答案：A8．已知O為坐標原點，F是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點．P為C上一點，且PF⊥x軸．過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：如圖所示，由題意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c，0)．設E(0，m)，由PF∥OE，得eq\f(|MF|,|OE|)＝eq\f(|AF|,|AO|)，則|MF|＝eq\f(ma－c,a).①又由OE∥MF，得eq\f(\f(1,2)|OE|,|MF|)＝eq\f(|BO|,|BF|)，則|MF|＝eq\f(ma＋c,2a).②由①②得a－c＝eq\f(1,2)(a＋c)，即a＝3c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,3).故選A.答案：A9．已知點F是拋物線C：y＝ax2(a≠0)的焦點，點A在拋物線C上，則以線段AF為直徑的圓與x軸的位置關系是 ()A．相離 B．相交C．相切 D．無法確定解析：拋物線C的標準方程為x2＝eq\f(1,a)y(a≠0)，焦點為F(0，eq\f(1,4a))．過點A作準線y＝－eq\f(1,4a)的垂線，垂足為A1，AA1交x軸于點A2(圖略)，依據拋物線的定義得|AA1|＝|AF|.由梯形中位線定理得線段AF的中點到x軸的距離為d＝eq\f(1,2)(|OF|＋|AA2|)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,4|a|)＋|AA1|－eq\f(1,4|a|))＝eq\f(1,2)|AF|，故以線段AF為直徑的圓與x軸的位置關系是相切，故選C.答案：C10．(2024·高考天津卷)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點．設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1解析：由d1＋d2＝6，得雙曲線的右焦點到漸近線的距離為3，所以b＝3.因為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，所以eq\f(c,a)＝2，所以eq\f(a2＋b2,a2)＝4，所以eq\f(a2＋9,a2)＝4，解得a2＝3，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1，故選C.答案：C11．已知橢圓E的中心在坐標原點，離心率為eq\f(1,2)，E的右焦點與拋物線C：y2＝8x的焦點重合，A，B是C的準線與E的兩個交點，則|AB|＝()A．3 B．6C．9 D．12解析：因為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，y2＝8x的焦點為(2,0)，所以c＝2，a＝4，故橢圓方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，將x＝－2代入橢圓方程，解得y＝±3，所以|AB|＝6.答案：B二、填空題12．若拋物線y2＝4x上的點M到焦點的距離為10，則M到y軸的距離是________．解析：由于拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準線為x＝－1，設點M的坐標為(x，y)，則x＋1＝10，所以x＝9.故M到y軸的距離是9.答案：913．已知拋物線Γ：y2＝4x的焦點為F，P是Γ的準線上一點，Q是直線PF與Γ的一個交點．若eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2eq\o(QF,\s\up6(→))，則直線PF的方程為________________．解析：由拋物線y2＝4x可得焦點坐標為F(1,0)，準線方程為x＝－1，設P(－1，yP)，Q(xQ，yQ)，由eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2eq\o(QF,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(yQ－yP＝20－yQ，,xQ＋1＝21－xQ，))又因為yeq\o\al(2,Q)＝4xQ，則易知yP＝±2eq\r(3)，即P(－1,2eq\r(3))或P(－1，－2eq\r(3))．當P(－1,2eq\r(3))時，直線PF的方程為eq\r(3)x＋y－eq\r(3)＝0，當P(－1，－2eq\r(3))時，直線PF的方程為eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0，所以直線PF的方程為eq\r(3)x＋y－eq\r(3)＝0或eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0.答案：eq\r(3)x＋y－eq\r(3)＝0或eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝014．(2024·高考浙江卷)已知點P(0,1)，橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝m(m>1)上兩點A，B滿意eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，則當m＝________時，點B橫坐標的肯定值最大．解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x1＝2x2，,1－y1＝2y2－1，))即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.因為點A，B在橢圓上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4x\o\al(2,2),4)＋3－2y22＝m，,\f(x\o\al(2,2),4)＋y\o\al(2,2)＝m，))得y2＝eq\f(1,4)m＋eq\f(3,4)，所以xeq\o\al(2,2)＝m－(3－2y2)2＝－eq\f(1,4)m2＋eq\f(5,2)m－eq\f(9,4)＝－eq\f(1,4)(m－5)2＋4≤4，所以當m＝5時，點B橫坐標的肯定值最大，最大值為2.答案：515．(2024·高考全國卷Ⅲ)已知點M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點．若∠AMB＝90°，則k＝________.解析：設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2