統計過程控制（SPC）與休哈特控制圖（二）

第五章休哈特控制圖

一、特控制圖的種類及其用途

國標GB4091常規控制圖是針對休哈特控制圖的。根據該國標，常規休哈特控制圖如表常規的休

哈特控制圖。表中計件值控制圖與計點值控制圖又統稱計數值控制圖。這些控制圖各有各的用途，

應根據所控制質量指標的情況和數據性質分別加以選擇。常規的休哈特控制圖表中的二項分布和泊

松分布是離散數據場合的兩種班型分布，它們超出3。界限的第I類錯誤的概率。當然未必恰巧等

于正態分布3。界限的第1類錯誤的概率a=0.0027,但無論如何總是個相當小的概率。因此，可以應

用與正態分布情況類似的論證，從而建立p、pn、c、u等控制圖。

常規的休哈特控制圖

數據分布控制圖簡記

計址值正態分布均值-極差控制圖

“一R控制圖

均值-標準差擰制圖

X-R控制圖

中位數-極差控制圖Xmed-R控制圖

單值-移動極差控制圖x-Rs控制圖

計件值二項分布不合格品率控制圖P控制圖

不合格品數控制圖Pn控制圖

計點值泊松分布單位缺陷數控制圖U控制圖

缺陷數控制圖C控制圖

現在簡單說明各個控制圖的用途:

1.X-R控制圖。對于計量值數據而言，這是最常用最基本的控制圖。它用于控制對象為長度、

重量、強度、純度、時間和生產量等計量值的場合。

X控制圖主要用于觀察分布的均值的變化,R控制圖用于觀察分布的分散情況或變異度的變化,

而不一R圖則將二者聯合運用，用于觀察分布的變化。

2.文一s控制圖與x—R圖相似，只是用標掂差圖（s圖）代替極差圖（R圖）而己。極差計算簡便,

故R圖得到廣泛應用，但當樣本大小n>10或口，這時應用極差估計總體標準差。的效率減低，需要應

用s圖來代替R圖。

3.X.MED-R控制圖與工一R圖也很相似,只是用中位數圖（XMED圖）代替均值圖（工圖）。所謂中

位數即指在一組按大小順序排列的數列中居中的數。例如,在以下數列中2、3、7、13、18,中位數

為17。又如，在以下數列中2、3、7、9、13、18,共有偶數個數據。這時中位數規定為中間兩個數的

7+9

均值。在本例即2=8。由于中位數的計算比均值簡單,所以多用于現場需要把測定數據直接記入

控制圖進行控制的場合,這時為了簡便，當然規定為奇數個數據。

4.x—Rs控制圖。多用于下列場合:對每一個產品都進行檢驗,采用自動化檢查和測量的場合;

取樣費時、昂貴的場合；以及如化工等過程，樣品均勻，多抽樣也無太大意義的場合。由于它不像前

三種控制圖那樣能取得較多的信息，所以它判斷過程變化的靈敏度?要差一些。

5.P控制圖。用于控制對象為不合格品率或合格品率等計數值質量指標的場合。這里需要注意

的是，在根據多種檢杳項目總合起來確定不合格品率的情況，當控制圖顯示異常后難以找出異常的

原因。因此，使用p圖時應選擇重要的檢查項目作為判斷不合格品的依據。常見的不良率有不合格

品率、廢品率、交貨延遲率、缺勤率，郵電、鐵道部門的各種差錯率等等。

6.Pn控制圖。用于控制對象為不合格品數的場合。設n為樣本大小-戶為不合格品率,則t為不

合格品個數。所以取pn作為不合格品數控制圖的簡記記號。由于計算不合格品率需進行除法，比較

麻煩,所以在樣本大小相同的情況下，用此圖比校方便。

7.c控制圖。用于控制一部機器,一個部件,一定的長度，一定的面枳或任何一定的單位中所出現

的缺陷數目。如布匹上的疵點數,鑄件上的砂眼數,機器設備的缺陷數或故障次數，傳票的誤記數,每

頁印刷錯誤數，辦公室的差錯次數等等。

8.u控制圖。當上述一定的單位,也即樣品的大小保持不變時可以應用c控制圖，而當樣品的大

小變化時則應換算為平均每單位的缺陷數后再使用U控制圖。例如,在制造厚度為21M的鋼板的生

產過程中，一批樣品是2平方米的，下一批樣品是3平方米的。這時就都應換算為平均每平方米的缺

陷數，然后再對它進行控制。

二、應用控制圖需要考慮的一些問題

應用控制圖需要考慮以下一些問題：

1.控制圖用于何處?原則上講,對于任何過程，凡需要對質量進行控制管理的場合都可以應用控

制圖。但這里還要求:對于所確定的控制對象一質量指標應能夠定量，這樣才能應用計量值控制圖。

如果只有定性的描述而不能夠定量,那就只能應用計數值控制圖.所控制的過程必須具有重復性,即

具有統計規律。對于只有一次性或少數幾次的過程顯然難于應用控制圖進行控制。

2.如何選擇控制對象?在使用控制圖時應選擇能代表過程的主要質量指標作為控制對象。一個

過程往往具有各種各樣的特性,需要選擇能夠真正代表過程情況的指標。例如,假定某產品在強度方

面有問題，就應該選擇強度作為控制對象。在電動機裝配車間，如果對于電動機軸的尺寸要求很高，

這就需要把機軸直徑作為我們的控制對象。在電路板沉銅缸就要選擇甲醛、NaOH、的濃度以及

沉銅速率作為多指標統一-進行控制。

3.怎樣選擇控制圖？選擇控制圖主要考慮下列幾點：首先根據所控制質量指標的數據性質來進

行品，如數據為連續值的應選擇X—R、工一s、XME1)一Rs或x—Rs圖；數據為計件值的應選擇p

或pn圖，數據為計點值的應選擇c或u圖。其次,要確定過程中的異常因素是全部加以控制（全控）

還是部分加以控制（選控），若為全控應采用休哈特圖等;若為選控,應采用選控圖，參見第七章（一）；

若為單指標可選擇一元控制圖，若為多指標則須選擇多指標控制圖，參見第七章（二）。最后,還需要

考慮其他要求，如檢出力大小，抽取樣品、取得數據的難易和是否經濟等等。例如要求檢出力大可采

用成組數據的控制圖，如大一R圖。

4.如何分析控制圖？如果在控制圖中點子未出界，同時點子的排列也是隨機的，則認為生產過程

處于穩定狀態或控制狀態。，如果控制圖點子出界或界內點排列非隨機，就認為生產過程失控。

對于應用控制圖的方法還不夠熟悉的工作人員來說,即使在控制圖點子出界的場合,也首先應該

從下列幾方面進行檢查:樣品的取法是否隨機,數字的讀取是否正確，計算有無錯誤，描點有無差錯，

然后再來調查生產過程方面的原因,經驗證明這點十分重要。

5.對于點子出界或違反其他準則的處理。若點子出界或界內點排列非隨機,應執行第二章（五）

的20個字，立即追查原因并采取措施防止它再次出現。應該強調指出，正是執行了第二章（五）的

20個字，才能取得貫徹預防原則的作用。因此,若不執行這20個字,就不如不搞控制圖，

6.對于過程而言，控制圖起著告警鈴的作用，控制圖點子出界就好比告警鈴響，告訴現在是應該

進行查找原因、采取措施、防止再犯的時刻了。雖然有些控制圖，如X—R控制圖等,積累長期經驗

后，根據工圖與R圖的點子出界情況，有時可以大致判斷出是屬于哪方面的異常因素造成的，但一般

來說,控制圖只起告警鈴的作用，而不能告訴這種告警究竟是由什么異常因素造成的。要找出造成異

常的原因，除去根據生產和管理方面的技術與經驗來解決外,應該強調指出，應用兩種質量診斷理論

和兩種質量多元診斷理論來診斷的方法是十分重要的。有關內容參見第七章。

7.控制圖的重新制定?？刂茍D是根據穩定狀態卜的條件（人員、設備、原材料、工藝方法、壞

境，即4M1E）來制定的。如果上述條件變化,如操作人員更換或通過學習操作水平顯著提高，設備更新,

采用新型原材料或其他原材料，改變工藝參數或采用新工藝，環境改變等,這時,控制圖也必須重新

加以制定。由于控制圖是科學管理生產過程的重要依據，所以經過相當時間的使用后應重新抽取數

據，進行計算,加以檢驗。

8.控制圖的保管問題，控制圖的計算以及日常的記錄都應作為技術資料加以妥善保管。對于點

子出界或界內點排列非隨機以及當時處理的情況都應予以記錄，因為這些都是以后出現異常時查找

原因的重要參考資料。有了長期保存的記錄，便能對該過程的質量水平有清楚的了解,這對于今后在

產品設計和制定規格方面是十分有用的。

三、工-R（均值-極差）控制圖

對于計量值數據，工一R（均值一極差）控制圖是最常用、最重要的控制圖，因為它具有下列優點：

1.適用范圍廣。對于工圖而言，計量值數據x服從正態分布是經常出現的。若x非正態分布，則

當樣本大小n<4或5時，根據中心極限定理知道x近似正態分布。對于R圖而言，通過在電子計算

機上的統計模擬實驗證實:只要總體分布不是太不對稱的,R的分布沒有大的變化。這就從理論上說

明了x-R圖適用的范圍廣泛。

2.靈敏度高。％圖的統計量為均值L反映在x上的偶然波動是隨機的，通過均值的平均作用，

這種偶然波動得到一定程度的抵消；而反映在x上的異常波動往往是在同一個方向的,它不會通過均

值的平均作用抵消。因此、正圖檢出異常的能力高。至于R圖的靈敏度則不如x圖高。

現在說明一下彳一R圖的統計基礎，假定質量特性服從正態分布N(u,O"),且u,1均已知。若

xl,x2,...,xn是大小為n的樣本,則樣本均值為

xl+x2+…+初

x=n

由于X服從正態分布N(p,O'/n),并且樣本均值落入下列兩個界限

o

u-ZQ/2-Za/2Jn(5.3-la)

o

U+ZaZ2=四+Za/24^⑸3-lb)

間的概率為1-a。因此若N與o已知，則式⑸3Ta)與式⑸37b)可分別作為樣本均值的控制圖的上

下控制界限。如前述,通常取Za/2=3,即采用3?？刂平缦蕖．斎?，即使x的分布是非正態的,但由于

中心極限定理,上述結果也近似成立。

在實際工作中，U與。通常未知，這時就必須應用從穩態過程所取的預備樣本的數據對它們進

行估計。預備樣本通常至少取25個(根據判穩準則(2),最好至少取35個預備樣本)。設取m個樣本,

每個樣本包含n個觀測值。樣本大小n主要取決于合理分組的結構,抽樣與檢查的費用,參數估計的

效率等因素,n通常取為4,5或6。令所取的m個樣本的均值分別為儲，???,?、,則過程的U的最

佳估計量”為總均值工，即

————.

U=R=(X,+X2+>e+xr)/m(5.3-2)

于是x可作為x圖的中心線。

為了建立控制界限，需要估計過程的標準差?？梢愿鶕個樣本的極差或標準差來進行估計。

應用極差進行估計的優點是極差計算簡單,所以至今R圖的應用較s圖為廣。

現在討論極差法。設Xl,X2,...,Xn為一大小為n的樣本,則此樣本的極差R為最大觀測值Xmax與最

小觀測值Xmin之差，即

R=Xmax-Xmin(5.3-3)

若樣本取自正態總體，可以證明樣本極差R與總體標準差O有下列關系：令歸R/。,可以證明

E(W);d2,為一與樣本大小n有關的常數,于是,o的估計量為。=E(R)/d2。

令m個樣本的極差為RI,R2,...,Rm,則樣本平均極差為

R\4-R2+...+Rm

R=團(5.3-4)

故。的估計量為

0=E(R)/d2(5.3-5)

若樣本大小n較小,則用極差法估計總體方差與用樣本方差去估計總體方差的效果是一樣的。

但當n較大,如n>10或12,則由于極差沒有考慮樣本在Xnax與Xmin之間的觀測值的信息,故極差法的

效率迅速降低。但在實際工作中，X-R圖一般取n=4,5或6,所以極差法是令人滿意的。

若取H的估計量為％,0的估計量為E(R)/d2,則入圖的控制線為

o0

UCL”+3?=x+3R、

R=X+AI

CL=ux(5.3-6)I

oo

LCL印-3五R=x-A2R>

式中

o

Ai=3dl4n(5.3—7)

為一與樣本大小n有關的常數,參見附錄V計量值控制圖系數表。

由上述，已知樣本極差R與過程標準差o有關,因此可以通過R來控制過程的變異度,這就是R

圖1。R圖的中心線即UR=為了確定R圖的控制界限，需要對。R進行估計。若質量特性服從正態

分布，令w:R/o,可以證明(JW=d3(d3為-"與樣本大小n有關的常數)，于是從R二No知知CR=。wo=d3o。

由于。未知，故從式°=E(R)/d2得8的估計量為

0=d3A/d2(5.3-8)

根據上述,得到R圖的控制線如下

—8

UCL=%+3°R弋%+35=R+3d3R/d2、

CL=&U"=R(5.3-9)”

LCL=%-30R光戰-35=R-3d3R/d2

4*D3=l-3d3/d2,D4=l+3d3/d2,則代入上式后，得R圖的控制線為

UCL=D?耳、

CL二R(5.3-10)I

LC［尸DR

式中，系數D3、D4參見計量值控制圖系數表。

現在我們通過例子說明建立刀一R圖的步驟,其他控制圖的建立步驟也與此類似。

例5.3-1廠方要求對汽車引擎活塞環的制造過程建立x—R控制圖進行控制?，F取得25個樣

本，每個樣本包含5個活塞環的直徑的觀測值，如活塞環直徑的數據表所示。

解我們按下列步驟進行。

步驟1:取預備數據。已取得預備數據如活塞環直徑的數據表所示。

步驟2:計算樣本均值X。例如,對于第一個樣本,我們有

74.030+74.002十74019十73.992十74.008

工1=5=74.010

其余類推。

步驟3:計算樣本極差Ro例如,對于第一個樣本,xinax=74.030,xmin=73.992,于是有

Rl=74.030-73.992=0.058

其余類推。

活塞環直徑的數據

樣本序號觀測值門Ri

174.03074.00274.01973.99274.00874.0100.038

273.99573.99274.00174.00174.01174.0010.019

373.98874.02474.02174.00574.00274.0080.036

474.00273.99673.99374.01574.00974.0030.022

573.99274.00774.01573.98974.01574.0030.026

674.00973.99473.99773.98574.01473.9960.024

773.99574.00673.99473.00073.00574.0000.012

873.98574.00373.99374.01573.98873.9970.030

974.00873.99574.00974.00574.00474.0040.014

1073.90S74.0007S.99()74.00773.99573.90S0.017

1173.99473.99873.99473.99573.99073.9940.008

1274.00474.00074.00774.00073.99674.0010.011

1373.98374.00273.99873.99974.00774.0060.029

1474.00673.96773.99474.00073.98473.9900.039

1574.01274.01474.99873.99974.00774.0060.016

1674.00073.98474.00573.99873.99673.9970.021

1773.99474.01273.98674.00574.00774.0010.026

1874.()0674.01074.01874.00374.00074.007().018

1973.98474.00274.00374.00573.99773.9980.021

2074.00074.01074.01374.02074.00374.0070.018

2173.99874.01074.01374.02074.00374.0090.020

2274.00473.99973.99074.00674.00974.0020.019

2374.01073.98973.99074.00974.01474.0020.025

2474.01574.00873.99374.00074.01074.0050.022

2573.98273.98473.99574.01774.01373.9980.035

小計1850.0240.581

平均74.0010.023

2525

汴

步驟4:計算樣本總均值％與平均樣本極差乂

.由于M=1850.024,?='=0.581,

故

1Vw1850.024

x=25/=i=25=74.001

10.581

-=25i=i=25=o.023

步驟5:計算R圖與x圖的控制線。計算x—R圖應該從R圖開始，因為x圖的控制界限中包含元,

所以若過程的變異度失控:則計算出來的這些控制界限就沒有多大意義。

對于樣本大小n=5,從附錄V查得D3=0,D4=2.115,又從步驟4知R=0.023,于是代入式(5.3T0)后,

得到R圖的控制線為

UCL=DR

4=2.115(0.023)=0.049

CL=R=O.023

LQ產03R=0(0.023)=0

如x—R控制圖所示。

事實上,LCL=D3R=(l-3d2/d3)R,當n=5,l-3d2/d3=1-3(0.864)/2.326=-0.114為負值，但R

不可能為負，故此時LCL不存在。這里,LCL=0不過作為R的自然下界而已。當把25個預備樣本的極

差描點在R圖中后，根據判斷穩態的準則(1)知過程的變異度處于控制狀態。

于是可以建立X圖。

圖3,5.3-1例3.5.3—1的w-R控制圖

對于樣本大小n=5,從附錄V查得A2=0.577,又從步驟4知％=74.001,R=0.023,于是

0o

代入式UCL=p+3冊%x+3d2&R=x+A2R、

CL=u*工>

oo

LCL=|i-3x-3dl4nR=X-AIR>

后，得到x圖的控制線為

UCL=X+AR=74.001+0.577(0.023)=74.014

CL=^=74.001

LCI產x-AR=74.o()1—0.577(0.023)=73.988

如圖(工-R控制圖)所示,當把預備樣本的均值描點在工圖中后，根據判斷穩態的準則⑴知過程的

均值處于穩態。由于工圖和R圖都處于統計穩態,且從該廠知過程也處于技術穩態，于是上述x-R圖

表例中F-R圖的日常管理數據

樣K序號觀身與K

?74.01274.0157403C7398674.000。4.儂0')44

273.99574.0107399C7401574.00174.0020025

373.98773.99973.98574CCO73990-3.9920DL5

4X.008749074.CC673.991400674.30.019

574.003UOOO74.CC172.986”3.99773K970.017

S75.99-”.00374.01574.02074.00474.C070026

7

74.00874.00274.C1S73.99574,00574.C060023

37400174.00473.99073.95673.99873.S980.0114??

974.01574,00074.01574.02574.00074.C110025

1074.03074.03574.0CO74.0167401274.C13003C

11Z.0(il73.9903.99574.0107402474.CC40034

1274.01574,02374.02474.0057401974.0170019

1374.0357401074.01274.0157402574.0200025

1474.on7401374.03674.02574.02674.0230023

1574.01C740D574.92974.CC074.02074.0150029

可加以延長,作為控制用控制圖供日常管理之用。

步驟6:延長上述X-R圖的控制界限作控制用控制圖。為了進行日常管理，該廠又取了15個樣

本，參見工一R圖的日常管理數據表。在計算出各個樣本的工與R后在工一R圖描點，如工一R圖用

于日常管理圖所示。從圖中可見，x圖在第11個樣本后的幾個點子均出界，說明存在異常因素。事

實上,從x圖上第9、第10個點子后的點子逐漸上升的趨勢已可看出這是由于過程均值逐漸增大的

結果。

例中3一R圖用于日常管理

現在對X-R圖進行一些討論:

1.如何聯合應用x—R圖查找異常。如表(X-R圖的判斷)所示,表中情況一、二、四的判斷

2-

是成立的，至于情況三，現在說明如下：對于正態分布總體N(p,0),只有H變化而。不變，則在X圖

將由于描點出界的概率增大而告警;但若只有。變化,而H不變,這時不僅R圖將由于描點出界的概

率增大而告警，且x圖中描點出界的概率也增大,從而也會告警。所以在情況三,R圖告警可以判斷o

變化,而工圖同時告警則不能判斷p一定發生變化，因為有可能是由于。變化引起的，卜i是否發生變化

應視具體情況而定。

X—R圖的判斷

情況R圖判斷

X圖

—告警未告警u變化

二未告警告警。變化

三告警告警。變化,至于R變化是否發生應視具體情況而定

四未告警未告警正常

圖3.5.3-3容差圖

2.容差圖。在X圖上的描點是樣木的平均值X而非樣木的各個測量值x,有時將樣本中的逐個x

反映在規格界限的容差圖中是有用的，如圖（容插圖）所示。圖中的豎線表示該樣本中各個x值的

范圍，規格界限為74.000+0.03。從圖（容插圖）可見，圖（X—R圖用于日常管理圖）連續4個點

子出界并非是由于樣本的個別異常觀測值造成的，而是由于過程均值的偏移而造成的。我們求得從

第9組到第15組樣本的總均值為74.015,若過程均值從原來的穩定值74.001偏移到此值,則將產生

6.43%的不合格品。

-LSL

3.控制界限、規格界限與自然容差界限間的關系。x—R圖的控制界限與規格界限亳無關系完

全是兩碼事。規格界限是由技術經濟要求所決定的,而控制界限則是由過程的以標準差a度量的自

然變異度，亦即過程的自然容差界限所決定的.兩者不可混為一談，如圖（控制界限、規格界限于自

然容差界限）所示。

4.應用x-R的一些注意事項：

（1）合理分組原則。在收集數據進行分組時要遵循休哈特的合理分組原則：1）組內差異僅由偶然

波動（偶然因素）造成;2）組間差異主要由異常波動（異常因素）造成下面作些說明。

首先,若過程穩定，則在過程中只存在偶然波動（偶然因素），它由3。方式中的。所反映。如果確

定。值不僅有偶然波動而且還有異常波動，則。值增大,也即上下控制界限的間隔加大。在極端情況

卜，若異常波動全部進入。值的計算，則上卜控制界限的間隔將大到使任何點都不會出界。從而控制

圖就失去了控制的作用。因此,一個樣本組內各個樣品特性值的差異要求盡可能由偶然波動造成。

這就要求同一個樣本組的各個樣品的取樣應在短時間內完成。

其次，各個樣本組的統計量平均值也是有差異的。由于偶然波動始終存在,它必然會對此差異有

影響，但這種影響是微小的。若過程異常,要求統計量平均值之間的差異主要由異常波動（異常因素）

造成,這樣便于由控制圖檢出異常。這就要求在容易產生異常的場合增加抽樣頻率,反之,亦然。

（2）經濟性。抽樣的費用不得高于所獲得的效益。

（3）樣本大小n和抽樣頻率。若用工控制圖去檢出過程的較大偏移，例如2。或更大的偏移,則可

用較小的樣本（如n=4,5或6）即可將其檢出，若檢出較小的過程偏移，則需用較大的樣本，甚至需要

n=15至25。當然,較小的樣本在抽樣時正好碰到過程偏移的可能性也小。因此，可以采用添加警戒

限和其他判定界內點非隨機排列的原則，來提高控制圖檢出過程小偏移的能力，而不采用大樣本的

作法。對于R圖，若采用小樣本則對于檢出過程標準差的偏移是不很靈敏的，但大樣本用極

差法估計標準差的效率將迅速降低。因此,對于n>10的樣本,應該采用s圖而不用R圖。

在確定正圖和R圖的樣本大小時，X圖和R圖的操作特性曲線是有用的。至于抽樣頻率,實踐表

明多傾向于采用小樣本、短間隔而不是大樣本、長間隔。

(4)X圖和R圖檢出過程質量偏移的能力可由其操作特性曲線(簡稱0C曲線)來描述。

1)文圖的檢定能力和0C曲線。假定過程標準差o為常數,若過程均值由穩定狀態值no偏移到

另一值u1,其中口尸卬+人。，則在偏移后第一個抽取的樣本未檢出此偏移的概率(即第II類錯誤的

概率)或B風險為

B=P{LCLWXUCL|口二口1=uO+K。}⑸3-11)

-2-

由于X?N(內0/n),而入圖的上下控制界限分別為

o

UCL"0+3&,

o

UCL=pO-3孤,

于是,可將式(5.3—11)寫成

UCLTi+K)UCLTi+K)

|3=(D[]-(D[]

j+3。/冊-(1+K)乩-3。/6-(乩+K，)

二6[0/4n]-(D[。/冊]

=<D(3-K^)-<i)(-3-K^)(5.3-12)

式中,<p為標準正態累積分布函數,參見附錄I表A—1。根據式芹①(3-KC)-(D(-3-KM)可作出

X圖的0C曲線如H變化而o一定時X圖的0C曲線圖所示。從圖中可見，當n一定時,6值隨K的增

加而減少;而當K一定時,B值隨n的增加也減少。當樣本大小n<4,5或6時，式圖由偏移后第一個樣

本就檢出過程的小偏移并不有效。例如,若偏移為1.06n=5,則由此圖可查得p近似等于0.75,于是

此偏移由第一個樣本檢出的.概率僅僅為1一戶1一0.75=0.25;此偏移由第一個樣本檢出的概率為

p(l—0)=0.75(1—0.75)=0.19;...;此偏移由第K個樣本檢出的概率為目"(1一位。一般,為檢出

此偏移的期望樣本個數為，

2"6"(1—8)=西(5.3-13)

1.0

Itl3.5.3-S〃變化而。一定時三圖的OC曲戲

由此,在本例有1/(1一B)=1/().25=4,即若n=5,在X圖檢出1.0。的偏移的期望樣本個數為4

個。

以上討論是當總體標準差。一定而均值u變化時X圖的0C曲線。若u值一定而。變化,不妨設

標準差由。偏移至Uo=Klo,則與式(5.3-12)類似地可得出B風險為

乩+3。/6一乩.)-30/冊_A

K。/冊]-<1)[KR&]

二6(3/KI)-①(-3/KI)(5.3-14)

表5.3—4是根據式(5.3一14)計算得到的P值。由此表可知，X圖不僅對g的變化具有檢定

能力，而且對o的變化也具有檢定能力,也就是說,即使當p保持不變而a變化時也會在X圖上反映

出來，這與X—R圖的判斷表一致。此外，當M不變而。變化時,。值與樣本大小n無關(見式

(5.3-14))o

表5.3—4u一定。變化時X圖的B值

K、11.522.5345

表A及。同時變化時x甚為，管(11=4)

23456

0C.866406528O.M80.451i?3830

0.50.8285065630.53280.44350.3780

!.?0.685305S260.4931。?②3?.3638

1.50.4987047720.43320.3810.3413

2，0.3083035980.36120.33，0.3121

2.50.158702486O.2S5?0.2SM0.2783

3.00.0658015740.21440.23B40.2417

3.50.0228009090.1525。.⑶10.2046

4.00.0052、00477O.1C260.1443C.1691

4.50.0023002280.06550.106)0.1539

5.00.00：2000980.03960.07610.1065

5.50.00：0000380.02260.05220.3815

6.00.00：0OOH30.01220.(3460.3606

B0.99730.95450.86640.79680.68280.54680.4514

另外，還可以討論均值U及標準差。同時變化時X圖的第II類錯誤概率0值，這里只給出的計

算公式及當"4時的。值(見表H及。同時變化時X圖的P值(n=4))

3-KM-3—KM

P=<D[Ki]-(1)[Ki](5.3-15)

根據上表中數據可畫出如U及。同時變化時X圖的0C曲線所示的一系列0C曲線。由圖中可見,

當。增大,即K1值變大吐曲線的傾斜率變得平緩;而K1值較小時X圖的。值隨K值增大而激減,亦

即X圖檢出過程均值偏移的概率激增，即X圖的靈敏度增加八

圖3.5.3-70變化時代圖的OC曲線

K

圖3.5.3-6月及。同時變化時3圖的CK曲線

上述討論說明X圖采用小樣本是合理的。雖然小樣本的p風險較大，但由于我們周期地抽取樣

本并檢驗和在x圖上描點,所以非常可能在抽取合理的樣本個數后就可檢出過程的偏移。此外，還可

采取增添警戒限和界內點非隨機排列的判定準則來提高尤圖檢出過程偏移的能力。

2）R圖的檢定能力和。C曲線。為了構造R圖的僅0C曲線需要用到性R/。的分布。設

過程標準差從處于穩定狀態的。偏移到°』KS（K）,則R圖的°C曲線（見圖3.5.3-7）給出了

此偏移未被第一個樣本檢出的概率，即P值。

從圖3.5.37圖中曲線可見，當樣本大小n增加時,p值減小，R圖的檢定能力提高，這點同工圖

的情況相同。但有?點是不同的，即入圖對。的變化有?定的檢定能力，但R圖對N的變化卻沒有檢

定能力，也即若。不變而N變化,不能在R圖上反映出來。另外，當采用小樣本時，例如n=4,5或6時,R

圖對檢出過程的偏移不是很有效。這時可采用前述增加控制圖靈敏度的措施。若樣本大小n>10或

12時，一般應采用s圖來代替R圖。

3）X—R圖的檢定能力。分析了X圖和R圖的檢定能力，現在來分析X圖和R圖同時使用時的總

檢定能力。在樣本大小n較小時，7—R圖未能檢出過程偏移的概率等于它們個別未能檢出過程偏

移的概率的乘積。設B7為工圖未能檢出偏移的概率,pR為R圖未能檢出偏移的概率pR為x—R圖

未能檢出偏移的概率,則有

BT邛；?BR

例如，當n=4時,可以算得工一R圖的命值如表所示。對于不同的n可能算出不同的0T值。

表x-R圖的。值（〃=4）

X23456

00.56810.21500.0877104050.02(19

0.50.543,。.及670.0854)(13980.020€

1.00.449i0.18350.07900.03770.019$

1.50.327i0.1S030.0?0003450.0186

2.00.20220.11330.05790O3C*50.017C

2.5O.HM10.07830.僅58002600.0152

3.00.043t0.54960.0344002140.0132

3.50.01510.32860.0第4D.01700.0112

4.C0.00410.01500.0164D.01303.(X62

4.50.00150.CO720.01050.0096O.OC'i4

5.C0.0001OJ/3310.0(63Q.CO68J.0C68

5.5O.COOf0.00120.00360.CCM710GM

6.CO.COO((MOO4o.oceo0.00319.OC33

由表X一R圖的B值（n=4）中數據口］?見，同時應用工圖和R圖的檢定能力比單獨使用工圖或R圖

的檢定能力大。

四、x-s（均值-標準差）控制圖

若樣本大小n較大，例如n>10或12,這時用極差法估計過程標準差的效率較低。最好在工一R

中用s圖代替R圖。

若°為一概率分布的未知方差，則樣本方差

1”-2

為"的無偏估計量，但樣本標準差S并非是O的無偏估計量。

若樣本取自正態總體，可以證明

。$=/\&,這里a為一與樣本大小n有關的常數。

現在,我們考慮。己知的情況，由于E(S)=C4O,故s圖中的中心線為C。。，于是s圖的控制線為

UCL=C4OO

+3J>C4、

CL二C4°(5.4-D

idO-3GV-C4

定義

J55=C4-3/一。4(5.4.2)

氏二C4+3

(5.4-3)

則代如上式后，得到已知的圖的控制線為

UCL=R0、

CL=C4o(5.4-4)

LCL=Ao,

式中，系數B5、B6可自附錄V表A—5查得。

若。未知，則必須根據以往的數據進行估計。從E(s)=C。,有。二S/C4,這里

S二機I(5.4-5)

于是得到。未知情況的s圖的控制線為

51-

UCL=+3^4VC4

CL=s(5.4-6)

UCL=s-3C

定義

1____