§2.7指數與指數函數第二章匯報人：1.理解有理數指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握指數冪的運算性質.2.通過實例，了解指數函數的實際意義，會畫指數函數的圖象.3.理解指數函數的單調性、特殊點等性質，并能簡單應用.課標要求內容索引01第一部分

落實主干知識02第二部分

探究核心題型03課時精練落實主干知識章節副標題011.根式(1)一般地，如果xn＝a，那么

叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.x根式aa2.分數指數冪正數的正分數指數冪：

＝

(a>0，m，n∈N*，n>1).正數的負分數指數冪：

＝

＝

(a>0，m，n∈N*，n>1).0的正分數指數冪等于

，0的負分數指數冪沒有意義.03.指數冪的運算性質aras＝

；(ar)s＝

；(ab)r＝

(a>0，b>0，r，s∈R).4.指數函數及其性質(1)概念：一般地，函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域是

.ar＋sarsarbrR

a>10<a<1圖象

定義域____值域__________R(0，＋∞)(2)指數函數的圖象與性質

a>10<a<1性質過定點

，即x＝0時，y＝1當x>0時，

；當x<0時，______當x<0時，

；當x>0時，______

函數

函數(0,1)y>10<y<1y>10<y<1增減2.如圖所示是指數函數(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，則c>d>1>a>b>0，即在第一象限內，指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數越大.1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)＝－4.(

)(2)2a·2b＝2ab.(

)(3)指數函數y＝ax與y＝a－x(a>0，且a≠1)的圖象關于y軸對稱.(

)(4)若am<an(a>0，且a≠1)，則m<n.(

)×××√2.已知函數y＝a·2x和y＝2x＋b都是指數函數，則a＋b等于A.不確定

B.0C.1 D.2√由函數y＝a·2x是指數函數，得a＝1，由y＝2x＋b是指數函數，得b＝0，所以a＋b＝1.3.已知關于x的不等式 ≥3－2x，則該不等式的解集為A.[－4，＋∞) B.(－4，＋∞)C.(－∞，－4) D.(－4,1]√由于y＝3x是增函數，所以4－x≥－2x，解得x≥－4，所以原不等式的解集為[－4，＋∞).＝－4＋1＋0.5×16＝5.5返回探究核心題型章節副標題02例1

計算：題型一指數冪的運算原式＝＝6×3＝18.(1)指數冪的運算首先將根式、分數的分數指數冪統一為整數的分數指數冪，以便利用法則計算，還應注意：①必須同底數冪相乘，指數才能相加.②運算的先后順序.(2)運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數.√√跟蹤訓練1(多選)下列計算正確的是對于B，

＝－9a(a>0，b>0)，所以B正確；對于D，因為(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，所以x＋x－1＝±2，所以D錯誤.例2

(1)(多選)已知實數a，b滿足等式3a＝6b，則下列可能成立的關系式為A.a＝b

B.0<b<aC.a<b<0 D.0<a<b√√√題型二指數函數的圖象及應用由題意，在同一平面直角坐標系內分別畫出函數y＝3x和y＝6x的圖象，如圖所示，由圖象知，當a＝b＝0時，3a＝6b＝1，故選項A正確；作出直線y＝k，當k>1時，若3a＝6b＝k，則0<b<a，故選項B正確；作出直線y＝m，當0<m<1時，若3a＝6b＝m，則a<b<0，故選項C正確；當0<a<b時，易得2b>1，則3a<3b<2b·3b＝6b，故選項D錯誤.在同一平面直角坐標系中畫出y＝|2x－2|與y＝b的圖象，如圖所示.∴當0<b<2時，兩函數圖象有兩個交點，從而函數f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點.∴實數b的取值范圍是(0,2).(0,2)(2)若函數f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，則實數b的取值范圍是________.對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到.特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論.跟蹤訓練2

(多選)已知函數f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的圖象不經過第三象限，則a，b的取值范圍可能為A.0<a<1，b<0 B.0<a<1,0<b≤1C.a>1，b<0 D.a>1,0<b≤1√√√若0<a<1，則函數y＝ax的圖象如圖所示，要想f(x)＝ax－b的圖象不經過第三象限，則需要向上平移，或向下平移不超過1個單位長度，故－b>0或－1≤－b<0，解得b<0或0<b≤1，故A，B正確；若a>1，則函數y＝ax的圖象如圖所示，要想f(x)＝ax－b的圖象不經過第三象限，則需要向上平移，故－b>0，解得b<0，即C正確，D錯誤.命題點1比較指數式的大小√題型三指數函數的性質及應用所以b<c<1，所以b<c<a.命題點2解簡單的指數方程或不等式例4已知p：ax<1(a>1)，q：2x＋1－x<2，則p是q的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√∵ax<1，當a>1時，y＝ax是增函數，∴p：{x|x<0}.對于不等式2x＋1<x＋2，作出函數y＝2x＋1與y＝x＋2的圖象，如圖所示.由圖象可知，不等式2x＋1<x＋2的解集為{x|－1<x<0}，∴q：{x|－1<x<0}.又∵{x|－1<x<0}?{x|x<0}，∴p是q的必要不充分條件.命題點3指數函數性質的綜合應用例5已知函數f(x)＝

(a為常數，且a≠0，a∈R)是奇函數.(1)求a的值；因為f(x)是奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，(2)若?x∈[1,2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求實數m的取值范圍.由(1)知a＝－1，令t＝2x，t∈[2,4]，(1)利用指數函數的性質比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量.(2)求解與指數函數有關的復合函數問題，要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區間、最值等問題時，要借助“同增異減”這一性質分析判斷.跟蹤訓練3

(1)(多選)(2023·重慶模擬)已知函數f(x)＝

，則下列結論正確的是A.函數f(x)的定義域為RB.函數f(x)的值域為(－1,1)C.函數f(x)是奇函數D.函數f(x)為減函數√√√因為ex>0，所以ex＋1>0，所以函數f(x)的定義域為R，故A正確；所以函數f(x)的值域為(－1,1)，故B正確；所以函數f(x)是奇函數，故C正確；因為函數y＝ex＋1是增函數，所以y＝ex＋1>1，(2)(2023·銀川模擬)函數f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在區間[1,2]上的最大值比最小值大

，則a的值為________.返回當a>1時，函數f(x)在區間[1,2]上單調遞增，當0<a<1時，函數f(x)在區間[1,2]上單調遞減，課時精練章節副標題0312345678910111213141516一、單項選擇題1.下列結論中，正確的是√12345678910111213141516對于A，根據分數指數冪的運算法則，可得

，當a＝1時，

＝a；當a≠1時，≠a，故A錯誤；對于C，a＋a－1＝3，則

＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，因為a>0，所以

＝

，故C錯誤；123456789101112131415162.已知函數f(x)＝ax－a(a>1)，則函數f(x)的圖象不經過A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限√y＝ax(a>1)是增函數，經過點(0,1)，因為a>1，所以函數f(x)的圖象需由函數y＝ax(a>1)的圖象向下平移超過1個單位長度得到，所以函數f(x)＝ax－a的圖象如圖所示.故函數f(x)的圖象不經過第二象限.123456789101112131415163.已知a＝31.2，b＝1.20，c＝

，則a，b，c的大小關系是A.a<c<b

B.c<b<aC.c<a<b

D.b<c<a√且y＝3x為增函數，1.2>0.9>0，所以31.2>30.9>30＝1，即a>c>b.123456789101112131415164.(2023·新高考全國Ⅰ)設函數f(x)＝2x(x－a)在區間(0,1)上單調遞減，則a的取值范圍是A.(－∞，－2] B.[－2,0)C.(0,2] D.[2，＋∞)√函數y＝2x在R上是增函數，而函數f(x)＝2x(x－a)在區間(0,1)上單調遞減，所以a的取值范圍是[2，＋∞).123456789101112131415165.(2023·濰坊模擬)“關于x的方程a(2|x|＋1)＝2|x|沒有實數解”的一個必要不充分條件是√12345678910111213141516a(2|x|＋1)＝2|x|，因為2|x|≥20＝1，要使a(2|x|＋1)＝2|x|沒有實數解，12345678910111213141516D為充要條件，不符合要求.123456789101112131415166.(2024·遼源模擬)已知函數f(x)＝2x－2－x＋1，若f(a2)＋f(a－2)>2，則實數a的取值范圍是A.(－∞，1)B.(－2,1)C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－1,2)√12345678910111213141516令g(x)＝2x－2－x，定義域為R，且g(－x)＝－g(x)，所以函數g(x)是奇函數，且是增函數，因為f(x)＝g(x)＋1，f(a2)＋f(a－2)>2，則g(a2)＋g(a－2)>0，即g(a2)>－g(a－2)，又因為g(x)是奇函數，所以g(a2)>g(2－a)，又因為g(x)是增函數，所以a2>2－a，解得a<－2或a>1，故實數a的取值范圍是(－∞，－2)∪(1，＋∞).12345678910111213141516二、多項選擇題7.已知函數f(x)＝|2x－1|，實數a，b滿足f(a)＝f(b)(a<b)，則A.2a＋2b>2B.?a，b∈R，使得0<a＋b<1C.2a＋2b＝2D.a＋b<0√√12345678910111213141516畫出函數f(x)＝|2x－1|的圖象，如圖所示.由圖知1－2a＝2b－1，則2a＋2b＝2，故A錯誤，C正確；所以2a＋b<1，則a＋b<0，故B錯誤，D正確.12345678910111213141516√√1234567891011121314151612345678910111213141516因為y＝ex是增函數，y＝ex>0，12345678910111213141516因為f(x)是減函數，所以y＝f(x)與y＝n最多有1個交點，故f(x)－n＝0最多有一個實數根，即不存在實數n，使得關于x的方程f(x)－n＝0有兩個不相等的實數根，故D錯誤.12345678910111213141516原式＝9.

＝________.81＝2－1＋8＋(23×32)＝81.三、填空題1234567891011121314151610.(2023·福州模擬)寫出一個同時具備下列性質的函數f(x)＝______________.①f(x＋1)＝f(x)f(1)；②f′(x)<0.∵f(x＋1)＝f(x)f(1)是加變乘，∴考慮指數函數類型，又f′(x)<0，∴f(x)是減函數，∴f(x)＝e－x滿足要求.e－x(答案不唯一)1234567891011121314151611.已知函數f(x)＝

有最大值3，則a的值為________.1令g(x)＝ax2－4x＋3，∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1，1234567891011121314151612.(2024·寧波模擬)對于函數f(x)，若在定義域內存在實數x0滿足f(－x0)＝－f(x0)，則稱函數f(x)為“倒戈函數”.設f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定義在[－1,1]上的“倒戈函數”，則實數m的取值范圍是_________.12345678910111213141516∵f(x)＝3x＋m－1是定義在[－1,1]上的“倒戈函數”，∴存在x0∈[－1,1]滿足f(－x0)＝－f(x0)，∴＋m－1＝

－m＋1，∴2m＝

＋2，構造函數y＝

＋2，x0∈[－1,1]，12345678910111213141516∴當t＝1時，函數取得最大值0，12345678910111213141516四、解答題13.如果函數y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在區間[－1,1]上的最大值是14，求a的值.12345678910111213141516令ax＝t，則y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.當a>1時，因為x∈[－1,1]，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)；當0<a<1時，因為x∈[－1,1]，1234567891011121314151612345678910111213141516(1)求a，b的值；12345678910111213141516因為函數f(x)是定義在R上的奇函數，又因為f(－x)＝－f(x)，12345678910111213141516當x≠0時，有b·2x＋1＝b＋2x，即(b－1)(2x－1)＝0，又因為當x≠0時，有2x－1≠0，所以b－1＝0，所以b＝1.經檢驗符合題意，所以a＝1，b＝1.12345678910111213141516(2)判斷f(x)的單調性；因為y＝1＋2x為增函數，且1＋2x>0，則函數f(x)是減函數.12345678910111213141516因為存在t∈