北師大2019初三年級數(shù)學上冊期中試卷（含答

案解析）

北師大2019初三年級數(shù)學上冊期中試卷（含答案解析）

一、精挑細選，火眼金睛（每小題3分，共24分）

1.如圖，在AABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，則下

列結(jié)論不正確的是（）

A.BC=2DEB.AADE^AABCC.=D.SAABC=3SAADE

2.兩個相像三角形的對應邊分別是15cm和23cm,它們的周

長相差40cm,則這兩個三角形的周長分別是（）

A.75cm,115cmB.60cm,100cmC.85cm,125cmD.45cm,

85cm

3.按如下方法，將AABC的三邊縮小的原來的，如圖，任

取一點0,連AO、B0、

C0,并取它們的中點D、E、F,得△DEF,則下列說法正確

的個數(shù)是（）

①4ABC與4DEF是位似圖形②4ABC與aDEF是相像圖

形

③aABC與4DEF的周長比為1：2@AABC與4DEF的面積

比為4：1.

A.1B.2C.3D.4

4.如圖，。。是AABC的外接圓，CD是直徑，ZB=40°,則

NACD的度數(shù)是（）

A.40°B.50°C.60°D.75°

5.在AABC中，若cosA二,tanB=,則這個三角形肯定是

0

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等

腰三角形

6.如圖，PA、PB切。。于點A、B,PA=8,CD切。。于點E,

交PA、PB于C、D兩點，則4PCD的周長是()

A.8B.18C.16D.14

7.半徑相等的圓的內(nèi)接正三角形、正方彬、正六邊形的邊

長之比為()

A.1::B.::1C.3:2:1D.1:2:3

8.如圖，OA,OB,OC,OD,OE相互外離，它們的半徑

都是1,順次連接五個圓心得到五邊形ABCDE,則圖中五個

扇形(陰影部分)的面積是()

A.nB.1.5nC.2nD.2.5n

二、仔細填寫，試一試自己的身手(每小題3分，共18分)

9.在相像三角形中，已知其中一個三角形三邊的長是4,6,

8.另一個三角形的最小邊長是2,則另一個三角形的周長是.

10.已知傳送帶與水平面所成斜坡的坡度i=1:2.4,假如它

把物體送到離地面5米高的地方，那么物體所經(jīng)過的路程為.

11.Z^ABC三個頂點A(3,6)、B(6,2)、C(2,-1),以

原點為位似中心，得到的位似圖形4A'C'三個頂點分

別為A'(1,2),B'(2,),C(,-),則B'Cz

與4ABC的位似比是.

12.如圖，在aABC中，NA=30°,ZB=45°,AC二,則AB

的長為.

13.一條弦把圓分為2：3兩部分，那么這條弦所對的圓周

角的度數(shù)為.

14.如圖，三角板ABC中，ZACB=90°,ZB=30°,BC=6.三

角板繞直角頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)，當點A的對應點A，落在AB

邊的起始位置上時即停止轉(zhuǎn)動，則點B轉(zhuǎn)過的路徑長為(結(jié)

果保留n).

三、仔細解答，肯定要細心.(滿分38分，要寫出必要的計

算推理、解答過程)

15.計算：

(1)sin45°?cos45°+tan60°?sin60?

(2)sin30°-cos45°+tan230°+sin260°-cos260°.

16.如圖，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C,

NDME=NA二NB,且DM交AC于F,ME交BC于G,寫出圖中

兩對相像三角形，并證明其中的一對.

17.用反證法證明：在AABC中，假如M、N分別是邊AB、

AC上的點，那么BN、CM不能相互平分.

18.如圖，A、B、C、D是。。上的四點，AB=DC,Z\ABC與ADCB

全等嗎？為什么？

四、綜合解答題(太題4小題，滿分40分，要寫出必要的

計算、推理、解答過程)

19.如圖所示，圖中的小方格都是邊長為1的正方形，4ABC

巧/XA,B，C，是以點0為位似中心的位似圖形，它們的頂

點都在小正方形的頂點上.

(1)畫出位似中心點0;

(2)干脆寫出aABC與4A'BzC，的位似比；

(3)以位似中心0為坐標原點，以格線所在直線為坐標軸

建立平面直角坐標系，畫出AA，B’C，關(guān)于點0中心對稱

的/\NB〃C〃，并干脆寫出4A〃B〃C〃各頂點的坐標.

20.已知：如圖，AB是。0的弦，Z0AB=45°,C是優(yōu)弧AB

上的一點，BD〃0A,交CA延長線于點D,連接BC.

(1)求證：BD是。0的切線；

(2)若AC二,ZCAB=75°,求。。的半徑.

21.如圖，在Z^ABC中，ZC=90°,BC=16cm,AC=12cm,點

P從B動身沿BC以2cm/s的速度向C移動，點Q從C動身，

以1cm/s的速度向A移動，若P、Q分別從B、C同時動身，

設(shè)運動時間為ts,當為何值時，△CPQ與4CBA相像？

22.如圖是某品牌太陽能熱水器的實物圖和橫斷面示意圖，

巳知真空集熱管與支架CD所在直線相交于水箱橫斷面。0

的圓心0,支架CD與水平面AE垂直，AB=150厘米，

NBAC=30°,另一根協(xié)助支架DE=76厘米，NCED二60。.

（1）求垂直支架CD的長度；（結(jié)果保留根號）

（2）求水箱半徑0D的長度.（結(jié)果保留三個有效數(shù)字，參

考數(shù)據(jù)：七1.414,^1.73）

北師大2019初三年級數(shù)學上冊期中試卷（含答案解析）參考

答案與試題解析

一、精挑細選，火眼金睛（每小題3分，共24分）

1.如圖，在aABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，則下

列結(jié)論不正確的是O

A.BC=2DEB.AADE^AABCC.=D.SAABC=3SAADE

考點：三角形中位線定理；相像三角形的判定與性質(zhì).

專題：壓軸題.

分析：依據(jù)三角形的中位線定理得出DE是AABC的中位線，

再由中位線的性質(zhì)得出△ADEs/\ABC,進而可得出結(jié)論.

解答：解：???在AABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點,

.\DE〃BC,DE=BC,

???BC=2DE,

故A正確；

?.?DE〃BC,

AAADE^AABC,故B正確；

???二,故C正確；

VDE是aABC的中位線,

AD：BC=1:2,

ASAABC=4SAADE

故D錯誤.

故選D.

點評：本題考查的是相像三角形的判定與性質(zhì)及三角形的

中位線定理，熟記以上學問是解答此題的關(guān)鍵.

2.兩個相像三角形的對應邊分別是15cm和23cm,它們的周

長相差40cm,則這兩個三角形的周長分別是()

A.75cm,115cmB.60cm,100cmC.85cm,125cmD.45cm,

85cm

考點：相像三角形的性質(zhì).

分析：依據(jù)題意兩個三角形的相像比是15:23,可得周長

比為15:23,計算出周長相差8份及每份的長，可得兩三角

形周長.

解答：解：依據(jù)題意兩個三角形的相像比是15:23,周長

比就是15：23,

大小周長相差8份，所以每份的周長是40:8=5cm,

所以兩個三角形的周長分別為5義15=75cm,5X23=115cm.故

選A.

點評：本題考查對相像三角形性質(zhì)的理解：

(1)相像三角形周長的比等于相像比；

(2)相像三角形面積的比等于相像比的平方；

(3)相像三角形對應高的比、對應中線的比、對應衡平分

線的比都等于相像比.

3.按如下方法，將AABC的三邊縮小的原來的，如圖，任

取一點0,連AO、B0、

C0,并取它們的中點D、E、F,得aDEF,則下列說法正確的

個數(shù)是()

①4ABC與4DEF是位似圖形②4ABC與aDEF是相像圖

形

③4ABC與4DEF的周長比為1:2④Z\ABC與4DEF的面積

比為4：1.

A.1B.2C.3D.4

考點：位似變換.

專題：計算題.

分析：依據(jù)位似圖形的性質(zhì)，得出①aABC與4DEF是位似

圖形進而依據(jù)位似圖形肯定是相像圖形得出②^ABC與

△DEF是相像圖形，再依據(jù)周長比等于位似比，以及依據(jù)面

積比等于相像比的平方，即可得出答案.

解答：解：依據(jù)位似性質(zhì)得出①4ABC與4DEF是位似圖形，

②4ABC與4DEF是相像圖形，

???將4ABC的三邊縮小的原來的,

?二△ABC與ADEF的周長比為2:1,

故③選項錯誤，

依據(jù)面積比等于相像比的平方，

???④Z\ABC與4DEF的面積比為4：1.

故選C.

點評：此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，正確的記憶位似

圖形性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

4.如圖，。。是AABC的外接圓，CD是直徑，NB=40°,則

NACD的度數(shù)是()

A.40°B.50°C.60°D.75°

考點：圓周角定理.

分析：首先連接AD,由直徑所對的圓周角是直角，

ZCAD=90°,又由圓周角定理，即可求得ND的度數(shù)，繼而

求得答案.

解答：解：連接AD,如圖所示，

[CD是直徑,

AZCAD=90°,

VZD=ZB=40°,

???NACD=900-ZD=50°.

故選B.

點評：此題考查了圓周角定理.此題難度不大，留意駕馭

協(xié)助線的作法，留意數(shù)形結(jié)合思想的應用.

5.在AABC中，若cosA二,tanB=,則這個三角形肯定是

()

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等

腰三角形

考點：特別角的三角函數(shù)值.

分析：依據(jù)特別角的三角函數(shù)值和三角形的內(nèi)角和定理求

出角的度數(shù)，再進行推斷.

解答：解：VcosA=,tanB=,

???NA=45°,NB=60°.

AZC=180°-45°-60°=75°.

「?△ABC為銳角三角形.

故選A.

點評：本題考查特別角三角函數(shù)值的計算，特別角三角函

數(shù)值計算在中考中常常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主.

6.如圖，PA、PB切。。于點A、B,PA=8,CD切。。于點E,

交PA、PB于C、D兩點，則4PCD的周長是（）

A.8B.18C.16D.14

考點：切線長定理.

分析：由PA,PB切。。于A、B兩點，CD切。0于點E,依

據(jù)切線長定理可得：PB二PA=8,CA=CE,DB=DE,繼而可得aPCD

的周長二PA+PB.

解答：解：TPA,PB切。。于A、B兩點，CD切。0于點E,

??.PB=PA=8,CA=CE,DB=DE,

??.△PCD的周長

=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=16.

故選：c.

點評：此題考查了切線長定理.此題難度不大，留意從圓

外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點

的連線，平分兩條切線的夾角.

7.半徑相等的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊

長之比為（）

A.1：:B.：:1C.3:2：1D.1:2:3

考點：正多邊形和圓.

專題：壓軸題.

分析：從中心向邊作垂線，構(gòu)建直角三角形，通過解直角

三角形可得.

解答：解：設(shè)圓的半徑是r,

則多邊形的半徑是r,

則內(nèi)接正三角形的邊長是2rsin60°二r,

內(nèi)接正方形的邊長是2rsin45°=r,

正六邊形的邊長是r,

因而半徑相等的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊

長之比為：：1?

故選B

點評：正多邊形的計算一般是通過中心作邊的垂線，連接

半徑，把正多邊形白的半徑，邊長，邊心距，中心角之間的

計算轉(zhuǎn)化為解直角三角形.

8.如圖，OA,OB,OC,OD,OE相互外離，它們的半徑

都是1,順次連接五個圓心得到五邊形ABCDE,則圖中五個

扇形（陰影部分）的面積是（）

A.nB.1.5nC.2nD.2.5n

考點：扇形面積的計算；多邊形內(nèi)角與外角.

專題：壓軸題.

分析：圓心角之和等于五邊形的內(nèi)角和，由于半徑相同，

那么依據(jù)扇形的面積2公式計算即可.

解答：解：圖中五個扇形（陰影部分）的面積是二1.5n

故選B.

點評：解決本題的關(guān)鍵是把陰影部分當成一個扇形的面積

來求，圓心角為五邊形的內(nèi)角和.

二、仔細填寫，試一試自己的身手（每小題3分，共18分）

9.在相像三角形中，已知其中一個三角形三邊的長是4,6,

8.另一個三角形的最小邊長是2,則另一個三角形的周長是

9.

考點：相像三角形的性質(zhì).

分析：由在相像三角形中，已知其中一個三角形三邊的長

是4,6,8.另一個三角形的最小邊長是2,即可求得其中

一個三角形的周長，由相像三角形的周長的比等于相像比，

即可求得答案.

解答：解：???一個三角形三邊的長是4,6,8,

???這個三角形的周長為：4+6+8=18,

???在相像三角形中，另一個三角形的最小邊長是2,

,它們周長的比為:4：2=2：1,

???另一個三角形的周長是9.

故答案為：9.

點評：此題考查了相像三角形的性質(zhì).此題比較簡潔，留

意熟記定理是解此題的關(guān)鍵.

10.已知傳送帶與水平面所成斜坡的坡度；1:2.4,不交如它

把物體送到離地面5米高的地方，那么物體所經(jīng)過的路程為

13m.

考點：解直角三角形的應用-坡度坡角問題.

分析：首先依據(jù)題意畫出圖形，依據(jù)坡度的定義，由勾股

定理即可求得答案.

解答：解：如圖，由題意得：斜坡AB的坡度：i=1:2.4,

AE=5米，AE±BD,

i二二,

?,.BE=12米，

：.^kRtAABE中,AB==13(米).

故答案為：13m.

點評：此題考查了坡度坡角問題.此題比較簡潔，留意駕

馭數(shù)形結(jié)合思想的應用，留意理解坡度的定義.

11.ZkABC三個頂點A(3,6)、B(6,2)、C(2,-1),以

原點為位似中心，得到的位似圖形4A'BzC，三個頂點分

別為Az(1,2),B，(2,),C(,-),則4A，B'C'

與aABC的位似比是1:3.

考點：位似變換；坐標與圖形性質(zhì).

分析：由aABC三個頂點A(3,6)、B(6,2)、C(2,-1),

以原點為位似中心，得到的位似圖形4A，BzC，三個頂點

分別為A7(1,2),Bz(2,),C(,-),依據(jù)位似圖

形的性質(zhì)，即可求得aA'B，C，與aABC的位似比.

解答：解：:△ABC三個頂點A(3,6)、B(6,2)、C(2,

-1),以原點為位似中心，得到的位似圖形aA7B，C，三

個頂點分別為A，(1,2),B'(2,),C(,-),

B'C'與△ABC的位似比是:1:3.

故答案為：1:3.

點評：此題考查了位似圖形的性質(zhì).此題比較簡潔，留意

以原點為位似中心的位似圖形的位似比是對應點的對應坐

標的比.

12.如圖，在aABC中，NA=30°,ZB=45°,AC二,貝|AB

的長為3+.

考點：解直角三角形.

專題：幾何圖形問題.

分析：過C作CD_LAB于D,求出NBCD二NB,推出BD二CD,

依據(jù)含30度角的直角三角形求出CD,依據(jù)勾股定理求出AD,

相加即可求出答案.

解答：解：過C作CDLAB于D,

AZADC=ZBDC=90°,

VZB=45°,

AZBCD=ZB=45°,

ACD=BD,

VZA=30°,AC=2,

二?CD二,

.e.BD=CD=,

由勾股定理得：AD==3,

???AB二AD+BD=3+.

故答案為：3+.

點評：本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，

含30度角的直角三角形性質(zhì)等學問點的應用，關(guān)鍵是構(gòu)造

直旃三角形，題目具有肯定的代表性，是一道比較好的題目.

13.一條弦把圓分為2：3兩部分，那么這條弦所對的圓周

角的度數(shù)為72°或108°.

考點：圓心角、弧、弦的關(guān)系.

分析：先求出這條弦所對圓心角的度數(shù)，然后分狀況探討

這條弦所對圓周角的度數(shù).

解答：解：如圖，連接0A、0B.

弦AB將。。分為2：3兩部分，

則NAOB=X360°=144°;

.\NACB二NAOB=72°,

NADB=180。-ZACB=108°;

故這條弦所對的圓周角的度數(shù)為72°或108。.

點評：此題考查了圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；

需留意的是在圓中，一條弦（非直徑）所對的圓周角應當

有兩種狀況，不要漏解.

14.如圖，三角板ABC中，ZACB=90°,ZB=30°,BC=6.三

角板繞直角頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)，當點A的對應點A，落在AB

邊的起始位置上時即停止轉(zhuǎn)動，則點B轉(zhuǎn)過的路徑長為2n

（結(jié)果保留n）.

考點：弧長的計算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

分析：點B轉(zhuǎn)過的路徑長是以點C為圓心，BC為半徑，旋

轉(zhuǎn)角度是60度，依據(jù)弧長公式可得.

解答：解：VAC=A,C,且NA=60°

.-.△ACA,是等邊三角形.

?,.NACA，=60°即旋轉(zhuǎn)角為60°,

???NBCB，=60°,

???點B轉(zhuǎn)過的路徑長是：二2rl.

故答案為：2rl.

點評：本題的關(guān)鍵是弄清所求的是那一段弧長，圓心用半

徑，圓心角分別是多少，然后利用弧長公式求解.

三、仔細解答，肯定要細心.(滿分38分，要寫出必要的計

算推理、解答過程)

15.計算：

(1)sin45°?cos45°+tan60°?sin60?

(2)sin30°-cos45°+tan230°+sin260°-cos260°.

考點：特別角的三角函數(shù)值.

分析：(1)干脆利用特別角的三角函數(shù)值代入求出即可；

(2)干脆利用特別角的三角函數(shù)值代入求出即可.

解答：解：(1)原式二X+義二2；

(2)原式二-++-

二1-.

點評：此題主要考查了特別角的三角函數(shù)值，正確記憶特

別角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

16.如圖，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C,

NDME二NA二NB,且DM交AC于F,ME交BC于G,寫出圖中

兩對相像三角形，并證明其中的一對.

考點：相像三角形的判定.

分析：依據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出NAFM二NBMG,再依據(jù)相

像三角形的判定推出即可.

解答：答：Z\AMFsZ\BGM,ADMG^ADBM,AEMF^AEAM,

證明：?.?NDME=NA二NB,

???NAFM=NDME+NE=NA+NE=NBMG,ZA=ZB,

點評：本題考查了相像三角形的判定和三角形外角性質(zhì)的

應用，主要考查學生運用定理進行推理的實力，用到的學問

點是有兩角相等的兩個三角形相像，難度適中.

17.用反證法證明：在AABC中，假如M、N分別是邊AB、

AC上的點，那么BN、CM不能相互平分.

考點：反證法.

專題：證明題.

分析：首先假設(shè)BN、CM能相互平分，利用平行四邊形的性

質(zhì)進而求出即可.

解答：已知在aABC中，M、N分別是邊AB、AC上的點，

求證：BN、CM不能相互平分.

證明：假設(shè)BN、CM能相互平分，則四邊形BCNM為平行四邊

形，

則BM〃CN,即：AB/7AC,這與在△ABC中，AB、AC交于A點

相沖突，

所以BN、CM能相互平分結(jié)論不成立，

故BN、CM不能相互平分，

點評：此題主要考查了反證法，正確駕馭反證法的步驟是

解題關(guān)鍵.

18.如圖，A、B、C、D是。。上的四點，AB=DC,Z\ABC與ADCB

全等嗎？為什么？

考點：圓心角、弧、弦的關(guān)系；全等三角形的判定；圓周

角定理.

專題：探究型.

分析：要證明aABC與4DCB全等，已知的條件是AB=DC,

那么他們所對的弧就相等，那么優(yōu)弧ADC二優(yōu)弧BAD,

NABC二NBCD,又因為NA,ND所對的是同一條弦，那么可

得出NA二ND,這樣就構(gòu)成了ASA,可以確定其全等.

解答：解：Z^ABC與4DCB全等.

證明：???圓周角NA,ND所對的是同一條弦，那么NA=ND

VAB=CD,???劣弧AB二劣弧CD

J優(yōu)弧ADC二優(yōu)弧BAD

??.NABC二NBCD

又TAB二CD,

「?△ABC與4DCB中，

AAABC^ADCB(ASA).

點評：本題考查了全等三角形的判定.要留意本題中圓周

角定理的應用.

四、綜合解答題(為題4小題，滿分40分，要寫出必要的

計算、推理、解答過程)

19.如圖所示，圖中的小方格都是邊長為1的正方形，AABC

與B‘C，是以點0為位似中心的位似圖形，它們的頂

點都在小正方形的頂點上.

(1)畫出位似中心點0;

(2)干脆寫出aABC與4A，B，C，的位似比；

(3)以位似中心0為坐標原點，以格線所在直線為坐標軸

建立平面直角坐標系，畫出aA7B，C'關(guān)于點0中心對稱

的B〃C〃，并干脆寫出4A〃B〃C〃各頂點的坐標.

考點：作圖-位似變換.

專題：作圖題；壓軸題.

分析：(1)連接CC，并延長，連接BB'并延長，兩延長

線交于點0;

(2)由0B=20B',即可得出Z\ABC與aA，B，C'的位似

比為2:1;

(3),連接B，0并延長，使0B"=0B，,延長A7。并延長，

使0A〃=0Az,C，0并延長，使0C〃二0C',連接A〃B〃，

A〃c〃，B〃C〃，則4A"B〃C〃為所求，從網(wǎng)格中即可得

出4A〃B〃C〃各頂點的坐標.

解答：解：(1)圖中點0為所求；

(2)ZkABC與B，C'的位似比等于2：1；

(3)△A"B〃C〃為所求；

A〃(6,0);B〃(3,-2)；C〃(4,-4).

點評：此題考查了作圖-位似變換，畫位似圖形的一般步

驟為：①確定位似中心，②分別連接并延長位似中心和能代

表原圖的關(guān)鍵點；③依據(jù)相像比，確定能代表所作的位似圖

形的關(guān)鍵點；順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形.

20.已知：如圖，AB是。0的弦，Z0AB=45°,C是優(yōu)弧AB

上的一點，BD〃0A,交CA延長線于點D,連接BC.

(1)求證：BD是。0的切線；

(2)若AC二,NCAB=75°,求。。的半徑.

考點：切線的判定與性質(zhì)；解直角三角形.

專題：計算題；證明題.

分析：(1)連接0B,如圖,依據(jù)題意得，Z1=Z0AB=45°.由

A0〃DB,得N2=N0AB=45°.則N1+N2=90°.即BDL0B

于B.從而得出CD是。。的切線.

(2)作0EJ_AC于點E.由OELAC,AC二,求得AE,由

NBAC=75°,Z0AB=45°,得出N3.在RtZ\0AE中，求得

0A即可.

解答：(1)證明：連接0B,如圖.

VOA=OB,Z0AB=45°,

AZ1=Z0AB=45°.

VAO^DB,

AZ2=Z0AB=45°.

AZ1+Z2=90°.

/.BD±OB于B.

???又點B在。0上.

ABD是。0的切線.

(2)解：作OELAC于點E.

VOE±AC,AC二,

???AE=二.

VZBAC=75°,Z0AB