北京市北師大附中中考數學模擬精編試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.一個兩位數，它的十位數字是3,個位數字是拋擲一枚質地均勻的骰子（八個面分別標有數字1-6）朝上一面的數

字，任意拋擲這枚骰子一次，得到的兩位數是3的倍數的概率等于（）

2.正三角形繞其中心旋轉一定角度后，與自身重合，旋轉角至少為（)

A.30°B.60°C.120°D.180°

在4ABC中，若cos八1

3.?(1lan陰2=o,則NC的度數是（）

2

A.45°B.60°C.75°D.

4.如圖，在△ABC中,CD_LAB于點D,E,F分別為AC,BC的中點,AB=10,BC=S,DE=4.5,則△DEF的周長

是()

B.13.5C.14.5D.17

5.AfB兩地相距48千米，一艘輪船從4地順流航行至8地，又立即從8地逆流返回A地，共用去9小時，已知水

流速度為4千米/時，若設該輪船在靜水中的速度為x千米/時，則可列方程（）

48484848

A.------+-------=9B.------+-=---9---

x+4x-44+x4-x

489696

—+4=9D.------+-------=9

Xx+4x-4

6.用五個完全相同的小正方體組成如圖所示的立體圖形，從正面看到的圖形是（）

7.如圖，已知四邊形ABCD,R,P分別是DC,BC上的點，E,F分別是AP,RP的中點，當點P在BC上從點B

向點C移動而點R不動時，那么下列結論成立的是（）.

A.線段EF的長逐漸增大B.線段EF的長逐漸減少

C.線段EF的長不變D.線段EF的長不能確定

8.小明家1至6月份的用水量統計如圖所示，關于這組數據，下列說法錯誤的是（）.

A.眾數是6噸B.平均數是5噸C.中位數是5噸D.方差是二

3

9.如圖，PA切?O于點A,PO交OO于點B,點C是€）0優弧弧AB上一點，連接AC、B-C,如果NP=NC,G?O

的半徑為1,則劣弧弧AB的長為（)

1111

A.—7TB.—n—7TD.---7T

34612

10.如圖，在矩形4BC。中，40=1,AB>ltAG平分分別過點。，。作BB_LAG于點E,CF_LAG于點F,

則AE-G尸的值為（）

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.若3,a,4,5的眾數是4,則這組數據的平均數是.

12.如圖，圓柱形容器高為18cm,底面周長為24cm,在杯內壁離杯底4cm的點B處有乙滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好

在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外幣A處到達內壁B處的最短距離為.

13.若a、b為實數，且b=^Z1+2^EZ+4,貝lja+b=

a+7

14.如圖，在平面直角坐標系中,正方形ABOC和正方形DOFE的頂點B,F在x軸上，頂點CD在y軸上，且SAADC=4,

k

反比例函數y二一（x>0）的圖像經過點E,貝ijk=o

15.2011年，我國汽車銷量超過了18500000輛，這個數據用科學記數法表示為

▲輛.

16.如圖，在KfAABC中，ZACB=90°,點。、E、尸分別是48、AC.的中點，若8=5,則E尸的長為

a厲

B

21.(8分)如圖，在平面直角坐標系式。),中，以直線無二|為對稱粕的拋物線)，=。小+以+。與直線

/:y=h+〃?(Z>0)交于A(l/)，B兩點,與y軸交于C(O,5),直線/與y軸交于點Q.

(1)求拋物線的函數表達式;

AF3

(2)設直線/與拋物線的對稱軸的交點為尸，G是拋物線上位于對稱軸右側的一點，若二，且ABCG與ABC。

FB4

的面積相等，求點G的坐標;

(3)若在x軸上有且只有一點P,使乙4PB=90。，求攵的值.

點E在。O上,若NAOD=52°,

求NDEB的度數；若OC=3,OA=5,求AB的長.

23.(12分)如圖，在AQO中，OA=OBfC為A3中點，以。為圓心，0C長為半徑作圓，A0與。0交于點E,

0"與。。交于點尸和O,連接笈/，CF,CF與，4交于點G

(1)求證：直線4月是。。的切線;

(2)求證：△GOCSAGEF；

(3)若AB=4BD,求sin4的值.

24.如圖所示，在正方形ABCD中，E,F分別是邊AD,CD上的點，AE=ED,DF=-DC,連結EF并延長交BC

4

的延長線于點G,連結BE.求證：△ABE^ADEF.若正方形的邊長為4,求BG的長.

參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1、B

【解析】

直接得出兩位數是3的倍數的個數，再利用概率公式求出答案.

【詳解】

???一枚質地均勻的骰子，其六個面上分別標有數字1,2,3,4,5,6,投擲一次，

十位數為3,則兩位數是3的倍數的個數為2.

21

???得到的兩位數是3的倍數的概率為：|=-.

故答案選：B.

【點睛】

本題考查了概率的知識點，解題的關鍵是根據題意找出兩位數是3的倍數的個數再運用概率公式解答即可.

2、C

【解析】

求出正三角形的中心角即可得解

【詳解】

正三角形繞其中心旋轉一定角度后，與自身重合，旋轉角至少為120。，

故選C.

【點睛】

本題考查旋轉對稱圖形的概念：把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種羽形叫做旋轉對稱

圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角，掌握正多邊形的中心角的求解是解題的關鍵

3、C

【解析】

根據非負數的性質可得出cosA及tanB的值,繼而可得出A和B的度數,根據三角形的內角和定理可得出NC的度數.

【詳解】

由題意，得cosA=1,tanB=L

2

/.ZA=60°,ZB=45°,

AZC=180°?ZA-ZB=180。?60145。=75°.

故選C.

4、B

【解析】

由三角形中位線定理和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答.

【詳解】

??,在AABC中，CD_LAB于點D,E,F分別為AC,BC的中點，

111

r.DE=-AC=4.1,DF=-BC=4,EF=-AB=1,

222

???△DEF的周長二L(AB+BC+AC)=-x(10+8+9)=13.1.

22

故選B.

【點睛】

考查了三角形中位線定理和直角三角形斜邊上的中線，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.

5、A

【解析】

根據輪船在靜水中的速度為無千米/時可進一步得出順流與逆流速度，從而得出各自航行時間，然后根據兩次航行時間

共用去9小時進一步列出方程組即可.

【詳解】

??,輪船在靜水中的速度為x千米/時，

4848

???順流航行時間為：-逆流航行時間為：-

x+4x-4

4848

，可得出方程：——+——=9,

x+4x-4

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了分式方程的應用，熟練掌握順流與逆流速度的性質是解題關鍵.

6、A

【解析】

從正面看第一層是三個小正方形，第二層左邊一個小正方形，

故選：A.

7、C

【解析】

因為R不動，所以AR不變.根據三角形中位線定理可得EF=!AR,因此線段EF的K不變.

2

【詳解】

如圖，連接AR,

D

R

C

VE>F分別是AP、RP的中點，

，EF為AAPR的中位線，

AEF=-AR,為定值.

o

???線段EF的長不改變.

故選：C.

【點睛】

本題考查了三角形的中位線定理，只要三角形的邊AR不變，則對應的中位線的長度就不變.

8、C

【解析】

試題分析：根據眾數、平均數、中位數、方差：一組數據中出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數.將一組數據按

照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數；如果

這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數.平均數是指在一組數據中所有數據之和再

除以數據的個數.一般地設n個數據，Xl,xz,…xn的平均數為，則方差S2=[(XL)2+(X2-)2+…+(X1|_)鞏數

據：3,4,5,6,6,6,中位數是5.5,

故選C

考點：1、方差；2、平均數；3、中位數；4、眾數

9、A

【解析】

利用切線的性質得NOAP=90。，再利用圓周角定理得到NC=，NO,加上NP=NC可計算寫出NO=60。，然后根據弧

2

長公式計算劣弧A8的長.

【詳解】

解：:PA切。O于點A,

AOA1PA,

/.ZOAP=90°,

VZC=r-ZO,ZP=ZC,

，NO=2NP,

而NO+NP=90。，

:.Z()=60°,

m~4/60?4?11

??劣弧AB的長二--------=一冗.

1803

故選：A.

【點睛】

本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑.也考查了圓周角定理和弧長公式.

10、D

【解析】

設4￡=工廁43=、了,由矩形的性質得出NAW=ND=909Q=A凡證明△ADG是等腰直角三角形，得出AG=^AD=^

同理得出CD=AB=^x,CG=CD-DG=-x-l,CG=F尸，得出G尸，即可得出結果.

【詳解】

設AE=x,

二?四邊形ABCD是矩形，

:.ZBAD=ZD=90°,CD=AB,

,?FG平分N6AO,

???Z￡)AG=45°,

:.XADG是等腰直角三角形，

：.DG=AD=1,

，AG=、yo=\],

同理:3￡=AE=x,CD=AB=,-x

\▲9

工CG=CD-DG=、：x1

同理：CG=前產，

:?FG=-],

yDD=n-y

?.AE-GF=x-(x--)=一

VJ<J

TT

故選D.

【點睛】

本題考杳了矩形的性質、等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理;熟練掌握矩形的性質和等腰直角三角形的性質，并能

進行推理計算是解決問題的關鍵.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

11、4

【解析】

試題分析：先根據眾數的定義求出a的值，再根據平均數的定義列出算式，再進行計算即可.

試題解析：:3,a,4,5的眾數是4,

.\a=4,

，這組數據的平均數是(3+4+4+S)-4=4.

考點：1.算術平均數；2.眾數.

12>20cm.

【解析】

將杯子側面展開，建立A關于EF的對稱點A，，根據兩點之間線段最短可知AB的長度即為所求.

【詳解】

解:如答圖，將杯子側面展開，作A關于EF的對稱點A，，連接A，B,則A，B即為最短距離.

根據勾股定理，得A，B=JAC+BD?=J/+162=20(cm).

故答案為：20cm.

【點睛】

本題考查了平面展開…最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解題的關鍵.同時也考

查了同學們的創造性思維能力.

13、5或1

【解析】

根據二次根式的性質和分式的意義，被開方數大于或等于0,分母不等于0,可以求出〃的值，力的值，根據有理數的

加法，可得答案.

【詳解】

由被開方數是非負數，得

a2-\>0

\-a2>0f

解得。=1,或。=?1,6=4,

當。=1時，0+力=1+4=5,

當a=T時,a+b=-1+4=1,

故答案為5或1.

【點睛】

本題考查了函數表達式有意義的條件，當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數；當函數表達式是分式時，考慮

分式的分母不能為0;當函數表達式是二次根式時，被開方數非負.

14、8

【解析】

設正方形ABOC和正方形DOFE的邊長分別是m、n,則AB=OB=m,DE=EF=OF=n,BF=OB+OF=m+n,然后根據

SAADF=SABOD+SADOF-SAABF=4,得到關于n的方程，解方程求得n的值，最后根據系數k的幾何意義求得即可.

【詳解】

設正方形A5OC和正方形。。正￡的邊長分別是血、〃，貝ljA3=05=m,DE=EF=OF=nt

S.ADF=S梯形AB。/，+S.即—S.的二=gm(m+n)+gn2.gm(m+n)=4,

An2=8,

*：點在反比例函數產〃x(x>0)的圖象上，

工k=n?=8,

故答案為8.

【點睛】

本題考查了正方形的性質和反比例函數圖象上點的坐標特征.圖象上的點(x,y)的橫縱坐標的積是定值k,即xy=k.

15、2.85x2.

【解析】

根據科學記數法的定義，科學記數法的表示形式為ax2(T,其中20a|V2O,n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值

以及n的值.在確定n的值時，看該數是大于或等于2還是小于2.當該數大于或等于2時，n為它的整數位數減2；

當該數小于2時，一!1為它第一個有效數字前0的個數(含小數點前的2個0).

【詳解】

解：28500000一共8位，從而28500000=2.85x2.

16、5

【解析】

已知CD是RSABC斜邊AB的中線，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位線，則EF應等于AB的一半.

【詳解】

是直角三角形，CD是斜邊的中線，

：.CD=-AB

2t

又???E/是AA3C的中位線，

."5=23=2x5=10,

.*.EF=-xlO=5.

2

故答案為5.

【點睛】

本題主要考查三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線，熟悉掌握是關鍵.

三、解答題(共8題，共72分)

17、(1)詳見解析；(2)(冬巨，1).

3

【解析】

(1)根據勾股定理可得AB的長，即。M的直徑，根據同弧所對的圓周角可得BD平分NABO；

(2)作輔助構建切線AE,根據特殊的三角函數值可得NOAB=30。，分別計算EF和AF的長，可得點E的坐標.

【詳解】

(1);點A(0)與點B(0,-1),

AOA=^3，OB=1,

/.AB=^(^3)2+I2=2,

TAB是?M的直徑，

???G)M的直徑為2,

VZCOD=ZCBO,ZCOD=ZCBA,

AZCBO=ZCBA,

即BD平分NABO；

(2)如圖，過點A作AE_LAB于E,交RD的延長線于點E,過E作EF_LOA于F,即AE是切線,

1Fl

丁在RtZiACB中，tanNOAB=——=-==—,

OA&3

/.ZOAB=30°,

VZABO=90°,

AZOBA=60,

:.ZABC=ZOBC=-ZABO=30°,

2

:.OC=OB?tan300=lx且=正，

33

2IT.

.*.AC=OA-OC=—

3

/.ZACE=ZABC+ZOAB=60°,

AZEAC=60°,

???△ACE是等邊三角形，

AAE=AC=zr

AAF=-AE=gEF=>AE=b

232

AOF=OA-AF=區"

3

二點E的坐標為(漢1,1).

3

【點睛】

此題屬于圓的綜合題，考查了勾股定理、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質以及三角函數等知識.注意準確作出

輔助線是解此題的關鍵.

18、(1)J-)或(-1,-1)；(1)①2VaV17②)的最小值是,

223

【解析】

(1)把x=y=m,a=Lb=l代入函數解析式，列出方程，通過解方程求得m的值即可；

(1)拋物線上恒有兩個不同的“和諧點”A、B.則關于m的方程m=an?+(3b+l)m+b-3的根的判別式△=9b,-4ab+lla.

①令y=9bL4ab+lla,對于任意實數b,均有y>2,所以根據二次函數產9b1-4ab+ll的圖象性質解答；

②利用二次函數圖象的對稱性質解答即可.

【詳解】

(1)當。=1,力=1時，，〃=1切1+4/〃+1?4,

解得血=［或6=-1.

2

所以點尸的坐標是4

彳)或(?1,-1)；

(1)m=aml+(3b+1)m+b-3,

△=9bl-4ab+l\a.

①令y=9"-4"+lla,對于任意實數b,均有y>2,也就是說拋物線y=9加?4M+11的圖象都在。軸(橫軸)上方.

/.△=(-4a)1-4x9xllfl<2.

/.2<n<17.

②由“和諧點”定義可設A(xi,yi)tB(xi,ji),

貝Uxi,。是。山+（3。+1）X+。?3=2的兩不等實根，土上匕二一」^.

22a

???線段4〃的中點坐標是：（■學L■當也）?代入對稱軸y=x-（4+1），得

2a2aa~

3/?+13"1,1、

-----------=-----------（―+1）,

2a2aa~

:?3b+1——+a.

a

Vfl>2?—>2,a*—=1為定值，

aa

=

??3^+1—+?>1Ja?1=1f

，力的最小值是;.

【點睛】

此題考查了二次函數綜合題，其中涉及到了二次函數圖象上點的坐標特征，拋物線與x軸的交點，一元二次方程與二

次函數解析式間的關系，二次函數圖象的性質等知識點，難度較大，解題時，掌握“和諧點”的定義是解題的難點.

19、建筑物AB的高度為80/H.建筑物CD的高度為35m.

【解析】

分析：過點。作于于昂貝？10E=8C=60m.在R348C中，求出A氏在RtA4&E中求出AE即可解決問

題.

詳解：過點。作。及LA3于于E,則Z)￡=3C=60,〃，

**ABAB4,、

在RSAAC中，tan530=——，.=一=-,.9\4?=80(m).

BC603

AE3AE

在RtAHO笈中，tan370=——=——，：.AE=45(w),

DE46()

工BE=CD=AR?AE=35(m).

答：兩座建筑物的高度分別為80m和35m.

點睛：本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關

鍵.

20、（1）EF是。O的切線，理由詳見解析；（1）詳見解析；（3）。。的半徑的長為L

【解析】

（1）連接OE,根據等腰三角形的性質得到NA=NAEO,ZB=ZBEF,于是得到N

OEG=90,即可得到結論；

（1）根據含30。的直角三角形的性質證明即可；

（3）由AD是。O的直徑，得到NAED=90。，根據三角形的內角和得到NEOD=60。，求得

NEGO=30。，根據三角形和扇形的面積公式即可得到結論.

【詳解】

解：（1）連接OE,

VOA=OE,

AZA=ZAEO,

AZB=ZBEF,

VZACB=90°,

AZA+ZB=90°,

AZAEO+ZBEF=90°,

:.ZOEG=90,

???EF是€)0的切線；

(1)VZAED=90",NA=30。,

1

/.ED=-AD,

2

VZA+ZB=90°,

/.ZB=ZBEF=60°,

VZBEF+ZDEG=90°,

/.ZDEG=30°,

VZADE+ZA=90°,

，NADE=60°,

VZADE=ZEGD+ZDEG,

/.ZDGE=30°,

.\ZDEG=ZDGE,

ADG=DE,

/.DG=-DA；

2

(3)〈AD是。。的直徑，

AZAED=90°,

VZA=30°,

r.ZEOD=60°,

/.ZEGO=30°,

???陰影部分的面積=—絲包二二26—2兀

23603

解得：r*=4,即r=l,

即。O的半徑的長為1.

【點睛】

本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質，圓周角定理，扇形的面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

21、(1)y=x2-5x+5.；(2)點G坐標為G(3,-1)；

I￥4，宅4J".23

【解析】

分析：（1）根據已知列出方程組求解即可；

（2）作AM_Lx軸，BN_Lx軸，垂足分別為M,N,求出直線I的解析式，再分兩種情況分別求出G點坐標即可；

（3）根據題意分析得出以AB為直徑的圓與x軸只有一個交點，且P為切點，P為MN的中點，運用三角形相似建立

等量關系列出方程求解即可.

h5

~2a=2'

詳解：(D由題可得：\c=5,解得〃=1,〃=一5,c=5.

a+Z?+c=1.

2

???二次函數解析式為：y=x-5x+5.

AFMQ3

⑵作AM一軸’眈口軸，垂足分別為憶N,則百二加二“

]_

k+in=1,

2111、

'9,1，解得/.v,=—x+—D0,

“222;

124

Le1u

同理，yBC———x+5.

S人BCD=SABCG，

:①DG//BC(G在8C下方)，丁3二一;R+；，

3

1+-=X2-5X+5

X即2d-94+9=0，1.內=2，&=3?

22

\'x>—,%=3,G(3,—1).

②G在BC上方時，直線G2G，與QQ關于8c對稱.

119119,uU2

??=~~x+~+-=x-5x+5,2x-9^-9=0.

v>5X="3而.c'9+3而67-3而1

綜上所述，點G坐標為G(3,-l)；G29+y,67-

(3)由題意可得：k+m=\.

m=1—4，?'.y二區+1一左，/.6+1—k=jf2—5x+5,即廠一(k+5)/+Z+4=0.

/.x}=\,x2=k+41/.B(Z+4,%2+3Z+)

設AZ?的中點為O',

???P點有且只有一個，..?以AB為直徑的圓與x軸只有一個交點，且尸為切點.

(k+5、

...0。，不軸，廠.P為的的中點，廠.戶［—^-,0)

?:MMP^APNB,,：.AM?BN=PN?PM,

PMBN

1X(^2+3^+1)=〃44一^^］—艮［J3^2+64—5=0,A-96>0.

I，八，7

.八.-6+4>/62>/6

?1k>0,:.k=-----=-l+——?