PAGE1第1頁共2頁華僑大學2015年高等數學競賽試題(A卷)華僑大學2015年高等數學競賽試題(A卷)考試時間：2015年6月6日(星期六)上午8：30—11：00境內（外）生院別班級準考證號姓名成績大題一二三四五六七八九滿分28881010121266得分一、填空題(本題共7小題，每小題4分，滿分28分，把答案直接填在題中的橫線上)１、設向量，，，且，則數.２、設函數，則.３、設則.４、設，則.５、微分方程的通解為.６、對數螺線在對應于的點處的切線的直角坐標方程為.７、設曲線積分在面內與路徑無關，其中具有一階連續導數，且，則.(本題滿分8分)已知具有一階連續偏導數，，求．三、(本題滿分8分)設．試補充定義，使得函數在閉區間上連續．(本題滿分10分)在曲面上求一切平面，使得該切平面平行于平面，且點到該切平面的距離等于點到原點的距離．(本題滿分10分)計算，其中為有向曲面，其法向量與軸正向的夾角為銳角．六、(本題滿分12分)證明不等式：當時，；并由此求數列極限：．七、(本題滿分12分)設為一條平面曲線，其上任意一點到軸的距離，恒等于該點處的切線在軸上的截距，且經過點．(1)試求曲線的方程；(2)在(的部分)上求一點,使得在該點處的切線與兩坐標軸所圍成的平面圖形面積最小．八、(本題滿分6分)設函數在閉區間上滿足，且在開區間內取得最小值．證明：．九、(本題滿分6分)設函數在閉區間上連續，且在上滿足：求．考試時間：2015年6月6日(星期六)上午8：30—11：00華僑大學2015年高等數學競賽試題(A卷)參考答案與評分標準填空題（本題共7小題，每小題4分，滿分28分）1、3；2、；3、；4、；5、；6、；7、．二、(本題滿分8分)解：【4】．【8】三、(本題滿分8分)解：設，則【3】．【6】由于在上連續，因此補充定義,就可使在上連續．【8】四、(本題滿分10分)解：設切點為，則法向量．【2】要使得切平面平行于已知平面，應有，又因為點在曲面上，所以有，解得．從而切平面方程為，即．【7】又點P到原點的距離為，點P到切平面的距離為．故所求切平面為．【10】五、(本題滿分10分)解：取為的下側,記為與所圍成的閉區域,【2】則由公式，有【5】．【8】于是．【10】六、(本題滿分12分)證：(1)顯然，當時,有．【1】令,則（），故在上單調增加．【4】于是當時,有,即．從而．【6】(2)由(1)知，當時，．【7】從而．【10】而，由夾逼準則可知．【12】七、(本題滿分12分)解：(1)在點處的切線方程為，其在軸上的截距為:．由題意建立方程:,即:．【3】解得．【5】由過點，得：．故曲線的方程為．【6】(2)由得在點處的切線方程為．其在軸、軸上的截距分別為:、．從而所圍成圖形的面積為．【8】設,由,得唯一駐點,又在內，在內，故在處取得唯一極小值即最小值．【11】從而點即為(部分)上所求點.【12】八、(本題滿分6分)證:設在內的最小值為,又由條件知在處可導，故．【1】由題設知在與上可導從而連續,故由中值定理有；．【5】從而．【6】