試題PAGE1試題2024北京北師大二附中初二（下）期中數學一、選擇題（共16分，每題2分）1.下列二次根式中，最簡二次根式是（）A. B. C. D.2.在下列長度的各組線段中，能構成直角三角形的是（）A.，， B.，， C.，， D.，，3.如圖，將平行四邊形的一邊延長至點E，若，則（）A. B. C. D.4.下列運算中正確的是（）A. B.C. D.5.下列說法正確的是（）A.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形B.一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是菱形C.對角線相等的平行四邊形是矩形D.有一個角是直角的矩形是正方形6.如圖，正方形的邊長為，對角線，交于點，為邊上一點，且，則的長為（）A. B. C. D.7.把一張矩形紙片（矩形）按如圖方式折疊，使頂點B和點D重合，折痕為．若，則重疊部分的面積是（）A.32 B.20 C.16 D.108.正方形的邊長為，點，在對角線上（可與點，重合），，點，在正方形的邊上．下面四個結論中，①存在無數個四邊形是平行四邊形；②存在無數個四邊形是菱形；③存在無數個四邊形是矩形；④至少存在一個四邊形是正方形．正確的結論的個數是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題（共16分，每題2分）9.函數中，自變量x的取值范圍是_____．10.一輛車的電池有度電，該車行駛時每小時耗電度，則電池的剩余電量（度）與該車行駛時間（小時）之間的函數關系式為_____，自變量的取值范圍_____．11.如圖，平地上、兩點被池塘隔開，測量員在岸邊選一點，并分別找到和的中點、，測量得米，則、兩點間的距離為_____．12.如圖，菱形的對角線相交于點，若，，則菱形的面積為______．13.古代著作《九章算術》中記載：今有池方一丈，臀生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊，水深幾何？如圖，其大意是：有一個邊長為8尺的正方形池塘，一棵蘆葦生長在它的正中央，高出水面1尺．如果把該蘆葦拉向岸邊，那么蘆葦的頂部恰好碰到岸邊，則水深________尺．14.已知如圖，在四邊形中，，分別是的中點，則______15.甲、乙兩車從地開往地，全程；所行的路程與時間的函數圖象如圖所示，下列問題：①乙車比甲車早出發；②甲車用追上乙車，此時乙車行駛；③乙車的速度小于甲車速度；④甲車跑完全程比乙車跑完全程少用；以上正確的序號是_____．16.如圖，在正方形ABCD中，，E為邊AB上一點，F為邊BC上一點．連接DE和AF交于點G，連接BG．若，則BG的最小值為__________________．三、解答題（共68分）17.計算（1）；（2）；（3）．18.已知：如圖，在平行四邊形中，E，F是對角線上的兩點，且，求證：（1）；（2）四邊形是平行四邊形．19.畫出函數的圖象．（1）列表：（2）描點并連線；（3）已知點在函數圖象上，求出a的值；（4）觀察上述圖象：當x=時，y有最值，這個值是；（5）當時，y隨x的增大而．20.已知：．求作：菱形．作法：如上圖，①以點A為圓心，適當長為半徑作弧，交于點B，交于點C；②連接，分別以點B，C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內部相交于點E，作射線與交于點O；③以點O為圓心，以長為半徑作弧，與射線交于點D，連接；四邊形就是所求作的菱形．（1）使用直尺和圓規，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵平分，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形（）（填推理的依據）．∵，∴四邊形是菱形（）（填推理的依據）．21.如圖，菱形的對角線相交于點O，過點D作，且，連接．（1）求證：四邊形為矩形；（2）若菱形的邊長為4，，求的面積．22.為加深學生對憲法的認識和理解，提高法律素養和綜合素質，西城區中學和二附西實初二年級于年春季學期，組織學生參加了憲法知識競賽．王老師現從西城區中學和二附西實各隨機抽取名初二學生的競賽成績，并進行整理、描述和分析（競賽成績用表示，共分成四個等級：），下面給出了部分信息：中學名學生的競賽成績：．西城實驗學校名學生中等級所有學生的競賽成績：．年級平均數中位數眾數方差中學二附西實根據以上信息．解答下列問題：（1）填空：，，；（2）根據以上數據，你認為在此次競賽中，哪個學校的成績更好？請說明理由（至少從兩個方面分析）；（3）若競賽成績不低于分的學生獲“優秀少年”稱號，中學共有名學生，二附西實共有名學生，請估計中學和二附西實學生中，獲“優秀少年”稱號的總人數．23.閱讀材料，無刻度直尺作圖不同于傳統的尺規作圖，它只能用來畫直線、射線或線段．在作圖時，關鍵在于根據幾何圖形的特征確定與題意相符的兩個點或一個點（另一點已知），再利用“兩點確定一條直線”這一基本事實即可．（1）圖1、圖2均為正方形網格，請僅用無刻度直尺完成下列畫圖，保留作圖痕跡．①如圖1，點A、B為格點，畫出線段的中點②如圖2，點A、B、C為格點，作出；（2）借助（1）中畫圖的經驗解決下面的問題：如圖，已知平行四邊形中，請僅用一把無刻度直尺完成下列畫圖，保留作圖痕跡．①如圖3，點E、F分別在上，，連接，請在上畫點O，使點O為的中點；②如圖4，若，點E為上一點，請在上畫點G，使；③如圖5，在②的條件下，若，連接，點P為上一點，請以為邊畫一個菱形，你所畫的菱形為．24.如圖1，在正方形中，、分別在上，連接，過點作于點，交于點、且點為線段的中點．（1）①若，求．②求證：；（2）如圖2，若點在正方形內，點在正方形外，且，其余條件不變，則還成立嗎？說明理由．四、附加題（共10分，第25題4分，第26題6分）25.如圖，將邊長為的正方形壓扁為邊長為的菱形．在菱形中，的大小為，面積記為．（1）請補全上表；（2）填空：由（）可以發現邊長是的正方形在壓扁的過程中，菱形的面積隨著大小的變化．不妨把邊長為，的菱形面積記為．由此可以歸納出；（3）兩塊相同的等腰直角三角形按圖二的方式放置，，探究圖中兩個帶陰影的三角形面積是否相等？并說明理由．26.在平面直角坐標系中，直線為過點且與軸垂直的直線．對某圖形上的點作如下變換：當時，作出點關于直線的對稱點，稱為Ⅰ變換；當時，作出點關于軸的對稱點，稱為Ⅱ變換．若某個圖形上既有點作了Ⅰ變換，又有點作了Ⅱ變換，我們就稱該圖形為雙變換圖形．例如，已知，，如圖1所示，當時，點應作Ⅰ（2）變換，變換后的坐標是；點作Ⅱ（2）變換，變換后的坐標是．請解決下面的問題：（1）當時，①已知點的坐標是，則點作相應變換后的點的坐標是；②若點作相應變換后的點的坐標為，求點的坐標；（2）已知點，，①若線段是雙變換圖形，則的取值范圍是；②已知點在第一象限，若及其內部（點除外）組成的圖形是雙變換圖形，且變換后所得圖形記為，直接寫出所有圖形所覆蓋的區域的面積．

參考答案一、選擇題（共16分，每題2分）1.【答案】C【分析】本題主要考查了最簡二次根式，關鍵是掌握最簡二次根式的概念：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式．根據最簡二次根式的定義判斷即可．【詳解】解：A、，故本選項不符合題意；B、，故本選項不符合題意；C、不能再化簡了，故本選項符合題意；D、，故本選項不符合題意．故選：C．2.【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系，進而作出判斷．【詳解】解：A、，故不是直角三角形，此選項不符合題意；B、，故不是直角三角形，此選項不符合題意；C、，故是直角三角形，此選項符合題意；D、，故不是直角三角形，此選項不符合題意．故選：C．3.【答案】C【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質，解題的關鍵是根據平行四邊形的性質得出，然后根據鄰補角求出結果即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴．故選：C．4.【答案】D【分析】本題考查二次根式的運算，根據二次根式的運算法則，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、，選項錯誤；B、不能合并，選項錯誤；C、，選項錯誤；D、，選項正確；故選D．5.【答案】C【分析】利用平行四邊形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理對各選項逐一判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：A、一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形可能是平行四邊形，也可能是等腰梯形，原說法錯誤，本選項不符合題意；B、一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形不一定是菱形，原說法錯誤，本選項不符合題意；C、對角線相等的平行四邊形是矩形，正確，本選項符合題意；D、有一個角是直角的菱形是正方形，原說法錯誤，本選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了命題與定理，解題的關鍵是了解平行四邊形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理，難度一般．6.【答案】A【分析】本題考查了正方形的性質，求出長是解題的關鍵．由正方形的性質可求的長，可得，由線段關系可求解．【詳解】解：正方形的邊長為，，，，，故選：．7.【答案】D【分析】此題主要考查了翻折變換的性質以及勾股定理全等三角形的判定與性質等知識，根據題意得出的長是解題關鍵，根據折疊的性質知：，可設為，用表示出和的長，進而在中求出的值，即可得到的長，進而可求出和梯形的面積，兩者的面積差即為所求的的面積．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，∴，，由折疊可知，，，，設，則，在中，，，，由勾股定理得：解得：，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，故選：D．8.【答案】C【分析】本題考查了平行四邊形的判定和性質，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，根據平行四邊形的判定和性質，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定定理即可得到結論．【詳解】解：①設正方形的對角線相交于點，若的中點恰好是點，則經過點任意一直線，分別與正方形的邊，交于點，，通過正方形的性質對稱性易得，則四邊形是平行四邊形，由于的任意性，則存在無數個四邊形是平行四邊形，故①正確；②過中點作垂線，分別與正方形的相鄰兩邊交于，，根據正方形的對稱性可得，，則四邊形是菱形，由于的任意性，則存在無數個四邊形是菱形；③如圖，正方形中，作線段的垂直平分線交于點，交于點，∵，且當點M與A或者C重合時，四邊形是正方形，也是矩形，存在個矩形∴不存在無數多個矩形，故③說法錯誤．④由②知存在菱形，故只需滿足時，則四邊形時正方形，此時與點重合即可，故存在至少存在一個四邊形是正方形；故正確的結論序號是①②④，共3個．故選：C．二、填空題（共16分，每題2分）9.【答案】【詳解】解：∵在實數范圍內有意義，∴，∴，故答案為．10.【答案】①.②.##【分析】本題考查了列函數關系式，根據電池的剩余電量等于電池總電量減去消耗電量，即可列出函數關系式．【詳解】解：由題可知：該車行駛時每1小時耗電20度，電池的剩余電量y（度）與該車行駛時間x（小時）之間的函數關系式為：，∵∴解得：∴故答案為：，．11.【答案】【分析】本題考查三角形中位線定理．由三角形中位線定理得到，即可求解．【詳解】解：∵和的中點、，米∴∴，故答案為：．12.【答案】【分析】本題主要考查了菱形的性質，根據菱形的面積等于其對角線乘積的一半進行求解即可．【詳解】解；∵菱形的對角線相交于點，，，∴，故答案為：4．13.【答案】【分析】本題考查勾股定理的實際應用．設水深尺，則蘆葦的高度為尺，由勾股定理列出方程進行求解即可．【詳解】解：設水深尺，則蘆葦的高度為尺，由題意，得：，解得：，答：水深尺；故答案為：．14.【答案】【分析】根據中位線的知識，可證四邊形是菱形，，，，在中，根據勾股定理得，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，諒解，與交于點，∵分別是的中點，∴在中，，，同理，在中，，，在中，，，在中，，，∴，∴四邊形是菱形，∴，，，在中，，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查中位線，菱形的綜合，掌握中位線的性質，菱形的性質，勾股定理等知識是解題的關鍵．15.【答案】①③##③①【分析】本題主要考查了一次函數的應用，利用圖象可得出，甲，乙的速度，以及所行路程等，注意利用所給數據結合圖形逐個分析．【詳解】解：①乙車比甲車早出發；由圖可知，當時，乙車橫坐標為，甲車橫坐標為，故①正確；②甲車追上乙車時行駛了，由圖可知，甲車用小時相遇，甲車追上乙車行駛的路程，故②不正確；③由圖中可知乙車行駛全程所用時間比甲車多，則乙車速度小于甲車；故③正確；④甲車跑完全程比乙車跑完全程少用；甲車跑完所用時間小時；乙車跑完所用時間小時；甲車跑完全程比乙車跑完全程少用，故④錯誤；故答案為①③．16.【答案】．【分析】根據SAS證明△DEA≌△AFB，得∠ADE=∠BAF，再證明∠DGA=90°，進一步可得點G在以AD為直徑的半圓上，且O，G，B三點共線時BG取得最小值．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC-∠DAE，AD=AB，∵AE=BF∴△DEA≌△AFB，∴∠DAF+∠BAF=∠DAB=90°，∠ADE+∠DAF=90°∴∠DGA=90°∴點G在以AD為直徑的圓上移動，連接OB，OG，如圖：∴在Rt△AOB中，∠OAB=90°∴OB=∵∴當且公當O，G，B三點共線時BG取得最小值．∴BG的最小值為：．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，三角形三邊關系，圓周角定理等相關知識，正確引出輔助線解決問題是解題的關鍵．三、解答題（共68分）17.【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（）根據二次根式的乘除運算法則計算即可求解；（）利用二次根式的性質先化簡，再合并即可求解；（）利用平方差公式、完全平方公式展開，再合并即可求解；本題考查了二次根式的運算，掌握二次根式的性質和運算法則是解題的關鍵．【小問1詳解】解：原式；【小問2詳解】解：原式；【小問3詳解】解：原式，．18.【答案】（1）見解析（2）見解析【分析】（1）先根據平行四邊形的性質推出，，利用線段的和差得到，證明，再利用全等三角形的性質可得出：；（2）根據全等三角形的性質得到，可得，根據平行線的判定得到，再利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明．【小問1詳解】解：證明：四邊形是平行四邊形，，，．，，，在和中，，．．【小問2詳解】，，，，，四邊形是平行四邊形．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質，截圖的關鍵是掌握證明兩個三角形全等以及平行四邊形的判定定理．19.【答案】（1）見解析（2）見解析（3）（4），小，（5）增大【分析】本題考查了畫一次函數圖象，一次函數圖象的性質；（1）分別將代入解析式，列表即可求解；（2）根據表格秒點畫線；（3）將代入函數解析式，即可求解；（4）根據函數圖象，即可求解．（5）根據函數圖象，即可求解．【小問1詳解】列表：【小問2詳解】描點并連線如圖所示，【小問3詳解】∵在上∴解得：【小問4詳解】根據函數圖象可得：當時，有最小值，這個值是；【小問5詳解】根據函數圖象可得：當時，y隨x的增大而增大20.【答案】（1）見解析；（2），對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，鄰邊相等的平行四邊形是菱形．【分析】本題考查了作圖-復雜作圖，平行四邊形的判定，菱形的判定，掌握相關知識是解題的關鍵．（1）根據幾何語言畫出對應的幾何圖形；（2）先根據等腰三角形的性質得到，利用對角線互相平分的四邊形為平行四邊形可判斷四邊形是平行四邊形，然后加上可判斷四邊形是菱形．【小問1詳解】解：如圖：∴四邊形就是所求作的菱形．【小問2詳解】證明：∵平分，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），∵，∴四邊形是菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形），故答案為：，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，鄰邊相等的平行四邊形是菱形．21.【答案】（1）見解析（2）【分析】本題考查了菱形的性質和矩形的判定與性質、勾股定理、等邊三角形的判定與性質等；（1）利用菱形的性質得到，先判斷四邊形為平行四邊形，再判斷矩形；（2）分別求出和，再利用勾股定理求解即可．【小問1詳解】證明：∵四邊形是菱形，∴，∴，∵，，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴平行四邊形是矩形；【小問2詳解】解：∵四邊形菱形，∴，，，，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，由（1）得：四邊形為矩形，∴，，平行∴．22.【答案】（1），，；（2）二附西實學生競賽成績更好，理由見解析；（3）名．【分析】()先根據眾數的定義求出的值，再求出二附西實成績在“組”所占的百分比，然后求出的值，最后根據中位數的定義求出的值即可；()通過平均數、中位數、眾數、方差進行分析得出答案即可；()用樣本估計總體即可；本題考查了扇形統計圖、中位數、眾數、平均數、方差以及樣本估計總體，掌握平均數、中位數、眾數、方差的意義和計算方法是解題的關鍵．【小問1詳解】解：由題意可知，中學名學生成績出現次數最多的是，共出現次，因此眾數是，即，二附西實成績在“組”的有人，占，∴，二附西實名同學成績從小到大排列后，處在中間位置兩個數都是在“組”，分別為，∴中位數是，即，故答案為：，，；【小問2詳解】解：二附西實學生競賽成績更好．理由如下：二附西實和中學學生競賽成績平均數相同，但二附西實學生競賽成績的中位數、眾數均高于中學的，且二附西實學生競賽成績的方差低于中學的，故二附西實學生競賽成績更好；【小問3詳解】解：，答：估計中學和二附西實學生中，獲“優秀少年”稱號的總人數為名．23.【答案】（1）①圖見解析②圖見解析（2）①圖見解析②圖見解析③圖見解析，【分析】（1）①取格點，連接，與的交點即為點；②連接，取的中點，連接，即為所求；（2）①連接，與的交點即為點；②連接，，和交于點，連接并延長，交于點，即為所求；③連接交于點，連接并延長交于點，連接并延長交與點，連接交于點，連接，則：菱形即為所求．【小問1詳解】①如圖所示，取格點，連接，與的交點即為點；由圖可知：四邊形為矩形，∴，∴點即為所求；②連接，取的中點，連接，如圖所示，即為所求；由圖可知：，∵點為的中點，∴平分；∴【小問2詳解】①連接，與的交點即為點；∵平行四邊形，∴，∵，∴，又，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴為的中點；②連接，，和交于點，連接并延長，交于點，即為所求；∵平行四邊形，，∴平行四邊形為菱形，∴，，又，∴，∴，∵，∴，∴；③連接交于點，連接并延長交于點，連接并延長交與點，連接交于點，連接，則：菱形即為所求；∵，∴菱形為正方形，∴，，∴，又，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，同法可得：四邊形為平行四邊形，∵，∴平行四邊形為菱形．【點睛】本題考查矩形的性質，菱形的判定和性質，正方形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質．熟練掌握相關知識點，并靈活運用，是解題的關鍵．24.【答案】（1）①；②見解析（2）成立，證明見解析【分析】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的性質與判定，中位線的性質；（1）①根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得進而根據等邊對等角可得根據三角形的外角的性質可得，進而根據，即可得出；②根據①的結論可得，根據正方形的性質可得，即可證明，根據全等三角形的性質，即可得證；（2）延長至，使得，連結，，設，根據得出，進而根據中位線的性質可得，得出，即可得出，證明，即可得