學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2017-2018學年河北省邯鄲市曲周一中高三(上)10月月考數學試卷一、選擇題（每小題5分，共14小題，共60分）1．（5分）設集合M=｛x｜﹣2＜x＜3}，N=｛x｜2x+1≤1｝,則M∩（?RN）=（）A．（3，+∞） B．（﹣2，﹣1］ C．（﹣1，3） D．[﹣1，3）2．（5分）已知集合A=x｜x2﹣x﹣2＜0｝，B={x|log4x＜0。5}，則（）A．A∩B=? B．B?A C．A∩?RB=R D．A?B3．(5分)設a，b∈R，則“（a﹣b）a2＜0"是“a＜b”的（)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．(5分）命題“對任意x∈R，都有x2≥ln2”的否定為（）A．對任意x∈R，都有x2＜ln2 B．不存在x∈R，都有x2＜ln2C．存在x∈R,使得x2≥ln2 D．存在x∈R，使得x2＜ln25．（5分）函數y=x3的圖象在原點處的切線方程為（）A．y=x B．x=0 C．y=0 D．不存在6．（5分）函數f（x）=lnx+x3﹣9的零點所在的區間為（)A．(0,1） B．（1，2) C．（2，3） D．(3，4）7．（5分）已知函數f（x）為奇函數，且當x＜0時，f(x）=2x2﹣1，則f（1）的值為（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣28．(5分)下列圖象中，有一個是函數f（x）=x3+ax2+（a2﹣1）x+1(a∈R,a≠0)的導函數f’（x)的圖象，則f（﹣1）=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣29．（5分）函數f（x)=的單調增區間是（）A． B．C． D．10．對于函數f（x）=x3cos3（x+），下列說法正確的是（）A．f(x）是奇函數且在（﹣，）上遞增B．f(x)是奇函數且在（﹣，)上遞減C．f（x）是偶函數且在（0，）上遞增D．f（x)是偶函數且在（0,）上遞減11．(5分）已知f（x）是定義在R上的奇函數，f(x+1）是偶函數，當x∈(2，4）時，f(x）=｜x﹣3|，則f（1)+f（2）+f（3）+f(4）=(）A．1 B．0 C．2 D．﹣212．（5分）函數f(x）=（x﹣a)ex在區間（2，3）內沒有極值點,則實數a的取值范圍是（)A．（﹣∞，3]∪[4，+∞） B．[3，4］ C．(﹣∞，3] D．[4，+∞）13．（5分)若函數f（x）=ex+4x﹣kx在區間（，+∞）上是增函數，則實數k的最大值是(）A．2+e B．2+ C．4+e D．4ln2+14．已知函數f（x）=lnx+tanα（α∈（0,）)的導函數為f′(x)，若使得f′（x0）=f（x0）成立的x0＜1，則實數α的取值范圍為（）A．（，) B．（0，） C．（,） D．（0,)二、填空題（每小題5分，共4小題，共20分)15．(5分）已知tanα,tanβ分別是lg（6x2﹣5x+2)=0的兩個實根,則tan（α+β）=．16．(5分）已知cosα=k，k∈R，α∈，則sin(π+α）是．17．（5分）函數f（x）=，若方程f（x)=mx﹣恰有四個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是．18．（5分）對于三次函數f(x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0)，定義：設f″(x）是函數y=f(x）的導數y=f′（x)的導數,若方程f″（x）=0有實數解x0,則稱點（x0，f(x0）)為函數y=f（x)的“拐點”．有同學發現“任何一個三次函數都有“拐點"；任何一個三次函數都有對稱中心；且“拐點"就是對稱中心．”請你根據這一發現，函數f(x）=x3﹣3x2+3x+1對稱中心為．三、解答題（要求寫出必要的解題步驟，共70分)19．（10分）在△ABC中，角A，B，C的對邊長分別為a,b，c，且a=3，b=2，A=2B，求cosB和c的值．20．（12分）已知函數f（x)=2sin（+）cos(+)﹣sin（x+π）．(1）求f（x）的最小正周期；（2）若將f（x)的圖象向右平移個單位，得到函數g（x）的圖象,求函數g(x）在區間［0,π］上的最大值和最小值．21．（12分）已知函數f（x）=x3+ax2+bx,且f’（﹣1）=0．（1）試用含a的代數式表示b;（2）求f（x）的單調區間．22．（12分）如圖，在△ABC中，B=，AC=4，D為BC邊上一點．（Ⅰ）AD=2，S△DAC=2，求DC的長；（Ⅱ)若AB=AD，求△ADC的周長的最大值．23．（12分）設函數f（x）=ax﹣2﹣lnx（a?R）(1）求f（x）的單調區間；（2）若g(x)=ax﹣ex，求證：當x＞0時,f（x）＞g(x）．24．（12分)已知函數f(x）=ax+x2﹣xlna(a＞1)．（1)求函數f（x）在點（0，f(0））處的切線方程；（2)求函數f（x）的單調區間；（3）若存在x1,x2∈[﹣1,1］,使得｜f（x1）﹣f（x2）｜≥e﹣1(e是自然對數的底）,求實數a的取值范圍．

2017—2018學年河北省邯鄲市曲周一中高三(上）10月月考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題5分，共14小題，共60分）1．(5分）設集合M=｛x|﹣2＜x＜3｝，N={x|2x+1≤1}，則M∩（?RN）=(）A．（3，+∞） B．（﹣2，﹣1］ C．(﹣1，3） D．［﹣1，3）【分析】求出N中不等式的解集確定出N，進而求出N的補集，找出M與N補集的交集即可．【解答】解：由N中不等式變形得：2x+1≤1=20,即x+1≤0，解得：x≤﹣1,即N=(﹣∞，﹣1]，∴?RN=（﹣1，+∞），∵M=（﹣2,3），∴M∩（?RN）=（﹣1,3)，故選:C．【點評】此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵．2．（5分）已知集合A=x｜x2﹣x﹣2＜0}，B=｛x｜log4x＜0.5｝，則（）A．A∩B=? B．B?A C．A∩?RB=R D．A?B【分析】先根據不等式的解法求出集合A，再根據對數的單調性求出集合B，根據子集的關系即可判斷．【解答】解：∵x2﹣x﹣2＜0，∴（x﹣2)（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜2∴A=（﹣1,2），∵log4x＜0。5=log42，∴0＜x＜2，∴B=（0，2)，∴B?A，故選：B【點評】本題考查了不等式的解法和函數的性質，以及集合的包含關系，屬于基礎題．3．（5分）設a，b∈R，則“（a﹣b)a2＜0”是“a＜b”的（)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據充分必要條件定義判斷，結合不等式求解．【解答】解:∵a，b∈R，則(a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，則a﹣b＜0,“(a﹣b）a2≤0,所以根據充分必要條件的定義可的判斷：a，b∈R，則“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要條件，故選：A【點評】本題考查了不等式，充分必要條件的定義，屬于容易題．4．（5分)命題“對任意x∈R，都有x2≥ln2"的否定為()A．對任意x∈R，都有x2＜ln2 B．不存在x∈R，都有x2＜ln2C．存在x∈R，使得x2≥ln2 D．存在x∈R，使得x2＜ln2【分析】由全稱命題的否定是特稱命題，以及量詞和不等號的變化，即可得到所求命題的否定．【解答】解：全稱命題的否定是特稱命題，依題意，命題“對任意x∈R，都有x2≥ln2”的否定是“存在x∈R，使得x2＜ln2”．故選：D．【點評】本題考查命題的否定，注意運用全稱命題的否定是特稱命題，以及量詞和不等號的變化，考查轉化能力，屬于基礎題．5．（5分）函數y=x3的圖象在原點處的切線方程為（）A．y=x B．x=0 C．y=0 D．不存在【分析】求出函數的導數,求得切線斜率,由點斜式方程即可得到切線方程．【解答】解：函數y=x3的導數為y′=3x2，在原點處的切線斜率為0，則在原點處的切線方程為y﹣0=0(x﹣0），即為y=0．故選:C．【點評】本題考查導數的運用:求切線方程，考查運算能力，運用點斜式方程是解題的關鍵．6．（5分)函數f（x）=lnx+x3﹣9的零點所在的區間為(）A．(0,1） B．（1,2） C．(2，3） D．(3，4)【分析】根據函數f(x）在（0，+∞）上是增函數，f（2）＜0，f（3）＞0，可得函數f（x）在區間(2，3)上有唯一的零點．【解答】解：由于函數f(x）=lnx+x3﹣9在（0，+∞）上是增函數，f（2）=ln2﹣1＜0,f（3）=ln3+18＞0，故函數f（x）=lnx+x3﹣9在區間(2,3）上有唯一的零點，故選：C．【點評】本題主要考查函數的單調性，函數零點的判定定理,屬于基礎題．7．（5分）已知函數f（x）為奇函數，且當x＜0時，f（x）=2x2﹣1，則f（1）的值為（)A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】直接利用函數的奇偶性以及函數的解析式求解即可．【解答】解:函數f（x）為奇函數，且當x＜0時，f(x）=2x2﹣1，則f（1）=﹣f(﹣1）=﹣(2×12﹣1）=﹣1．故選：B．【點評】本題考查函數的奇偶性的應用，函數值的求法，考查計算能力．8．（5分）下列圖象中,有一個是函數f(x）=x3+ax2+（a2﹣1)x+1(a∈R,a≠0)的導函數f’（x）的圖象，則f(﹣1）=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】求出導函數，判斷開口方向，然后判斷圖象，求解f（﹣1）即可．【解答】解：依題意得f’（x）=x2+2ax+(a2﹣1），y=f'(x）的圖象的開口方向向上，因此其圖象只可能是第一或第三個；又a≠0，因此y=f’(x）的圖象的對稱軸為x=﹣a≠0不是y軸，因此y=f’(x）的圖象只可能是第三個，由圖可知解得a=﹣1，f（﹣1)=1﹣2=0=﹣1,故選:B．【點評】本題考查導函數的應用，函數的圖象的判斷，考查計算能力．9．（5分）函數f(x）=的單調增區間是（）A． B．C． D．【分析】由二倍角的余弦函數公式化簡函數解析式可得：f（x）=+cos（2x﹣）,由2kπ﹣π＜2x﹣＜2kπ，k∈Z可解得單調增區間．【解答】解：∵f（x）===+cos(2x﹣)，∴2kπ﹣π＜2x﹣＜2kπ,k∈Z可解得單調增區間是:．故選：A．【點評】本題主要考查了正弦函數的單調性,二倍角的余弦函數公式的應用，屬于基本知識的考查．10．對于函數f（x)=x3cos3（x+)，下列說法正確的是（)A．f(x）是奇函數且在(﹣，）上遞增B．f（x）是奇函數且在（﹣，）上遞減C．f（x）是偶函數且在（0，)上遞增D．f(x）是偶函數且在（0，）上遞減【分析】利用誘導公式化簡函數的解析式,通過函數的單調性與奇偶性判斷結果即可．【解答】解：函數f（x）=x3cos3（x+）=x3cos（3x+）=﹣x3sin3x，由于f（﹣x）=﹣x3sin3x=f(x)，可知此函數是偶函數，又y=x3與y=sin3x在(）上遞增，可得f（x）=﹣x3sin3x在（)上遞減,對照四個選項，D正確，故選：D．【點評】本題考查函數的奇偶性以及函數的單調性，誘導公式的應用，考查計算能力．11．（5分)已知f（x)是定義在R上的奇函數,f（x+1)是偶函數，當x∈(2，4）時，f（x）=|x﹣3｜,則f（1)+f（2）+f（3)+f(4)=(）A．1 B．0 C．2 D．﹣2【分析】根據已知可得f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣x+1）=f（x+1），結合x∈（2，4）時，f（x）=｜x﹣3|，分別求出f（1)，f（2），f(3)，f（4）可得答案．【解答】解：∵f(x）是定義在R上的奇函數，f(x+1）是偶函數，∴f（0）=0，f（﹣x）=﹣f(x)，f（﹣x+1）=f（x+1），∴f（x+4）=f[(x+3）+1］=f[﹣（x+3)+1]=f(﹣x﹣2）=﹣f（x+2）=﹣f［（x+1）+1]=﹣f［﹣（x+1）+1]=﹣f（﹣x）=f（x）,∴函數f（x）是周期為4的周期函數，f（4）=f(0）=0，∵當x∈（2，4）時，f（x）=｜x﹣3｜，∴f（3）=0，f(4）=0，f（1）=﹣f（﹣1)=﹣f(3）=0,f（2）=﹣f（﹣2）=﹣f（2）=0，故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0,故選：B【點評】本題考查的知識點是函數的奇偶性,函數求值，難度不大,屬于基礎題目．12．(5分）函數f（x）=（x﹣a）ex在區間（2，3）內沒有極值點，則實數a的取值范圍是(）A．（﹣∞,3]∪［4，+∞) B．[3，4] C．（﹣∞,3］ D．［4，+∞）【分析】由函數f(x）=（x﹣a)ex在區間（2，3）內沒有極值點，可得f′（x)≥0或f′（x）≤0在區間（2，3)內恒成立，進而可得實數a的取值范圍．【解答】解:∵f（x）=（x﹣a)ex，∴f′(x）=（x+1﹣a）ex，∵函數f（x)=（x﹣a）ex在區間(2,3）內沒有極值點，∴x+1﹣a≥0或x+1﹣a≤0在區間（2，3）內恒成立,即a≤x+1或a≥x+1在區間(2，3）內恒成立，∴a≤3或a≥4．故實數a的取值范圍是（﹣∞，3］∪［4，+∞），故選A．【點評】本題考查的知識點是函數在某點取得極值的條件，其中將函數在定區間上無極值，轉化為f′（x）≥0或f′（x）≤0在定區間上恒成立,是解答的關鍵．13．（5分）若函數f（x)=ex+4x﹣kx在區間(,+∞）上是增函數，則實數k的最大值是（)A．2+e B．2+ C．4+e D．4ln2+【分析】求出f(x）的導數,由題意可得f′(x）≥0在區間（，+∞)上恒成立,即有k≤ex+4xln4在區間（,+∞）上恒成立．令g（x）=ex+4xln4，運用單調性，即可得到k的范圍，進而得到k的最大值．【解答】解：函數f（x)=ex+4x﹣kx的導數為f′(x）=ex+4xln4﹣k,由題意可得f′（x）≥0在區間（，+∞）上恒成立,即有k≤ex+4xln4在區間(，+∞）上恒成立．令g（x）=ex+4xln4，則g（x)為（，+∞）的增函數，即有g（x）＞+2ln4=4ln2+．則k≤4ln2+．故k的最大值為4ln2+．故選D．【點評】本題考查導數的運用：判斷單調性和求最值，考查不等式的恒成立問題，注意運用參數分離和指數函數的單調性,屬于中檔題．14．已知函數f(x）=lnx+tanα（α∈（0，)）的導函數為f′(x），若使得f′（x0)=f（x0）成立的x0＜1，則實數α的取值范圍為（)A．（，) B．(0，） C．(，） D．（0，）【分析】由于f′（x)=，f′(x0）=,f′（x0）=f（x0），可得=lnx0+tanα，即tanα=﹣lnx0，由0＜x0＜1，可得﹣lnx0＞1，即tanα＞1,即可得出．【解答】解：∵f′（x）=，f′（x0）=,f′（x0）=f(x0）,∴=lnx0+tanα，∴tanα=﹣lnx0，又∵0＜x0＜1，∴可得﹣lnx0＞1，即tanα＞1，∴α∈（，）．故選：A．【點評】本題考查了導數的運算法則、對數函數和正切函數的單調性，屬于中檔題．二、填空題（每小題5分，共4小題，共20分）15．（5分)已知tanα,tanβ分別是lg（6x2﹣5x+2）=0的兩個實根，則tan(α+β)=1．【分析】由條件利用一元二次方程根與系數的關系可得tanα+tanβ和tanα?tanβ的值,從而求得tan（α+β）的值．【解答】解：由題意lg（6x2﹣5x+2)=0，可得6x2﹣5x+1=0，tanα，tanβ分別是lg（6x2﹣5x+2）=0的兩個實根，∴tanα+tanβ=，tanα?tanβ=，∴tan(α+β）===1．故答案為：1．【點評】本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，兩角和的正切公式的應用，屬于中檔題．16．（5分）已知cosα=k，k∈R，α∈，則sin（π+α)是﹣．【分析】由題意利用同角三角函數的基本關系、誘導公式，以及三角函數在各個象限中的符號，求得sin（π+α）．【解答】解：∵cosα=k,k∈R，α∈,∴k＜0，則sin(π+α)=﹣sinα=﹣=﹣，故答案為：﹣．【點評】本題主要考查同角三角函數的基本關系、誘導公式的應用，以及三角函數在各個象限中的符號,屬于基礎題．17．（5分)函數f(x)=，若方程f（x)=mx﹣恰有四個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是(，）．【分析】方程f（x）=mx﹣恰有四個不相等的實數根可化為函數f（x）=與函數y=mx﹣有四個不同的交點，作函數f（x）=與函數y=mx﹣的圖象，由數形結合求解．【解答】解：方程f(x）=mx﹣恰有四個不相等的實數根可化為函數f（x）=與函數y=mx﹣有四個不同的交點，作函數f（x）=與函數y=mx﹣的圖象如下，由題意,C（0，﹣），B(1，0);故kBC=，當x＞1時,f（x）=lnx，f′（x）=；設切點A的坐標為（x1，lnx1），則=;解得，x1=；故kAC=；結合圖象可得,實數m的取值范圍是（，）．故答案為：（，）．【點評】本題考查了方程的根與函數的零點的關系應用及函數的圖象的作法與應用，屬于基礎題．18．（5分)對于三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，定義：設f″（x）是函數y=f（x）的導數y=f′（x）的導數，若方程f″(x）=0有實數解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數y=f（x）的“拐點"．有同學發現“任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心；且“拐點"就是對稱中心．”請你根據這一發現,函數f（x）=x3﹣3x2+3x+1對稱中心為(1,2）．【分析】根據函數f（x)的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值,由此求得函數f（x）=x3﹣3x2+3x+1對稱中心．【解答】解：（1)∵函數f(x）=x3﹣3x2+3x+1，∴f′（x）=3x2﹣6x+3，∴f″(x）=6x﹣6．令f″（x）=6x﹣6=0,解得x=1，且f（1)=2，故函數f（x）=x3﹣3x2+3x對稱中心為（1，2)，故答案為（1，2）．【點評】本題主要考查函數與導數等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法,考查化簡計算能力，函數的對稱性的應用，屬于基礎題．三、解答題(要求寫出必要的解題步驟，共70分）19．（10分）在△ABC中，角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，且a=3，b=2，A=2B，求cosB和c的值．【分析】利用正余弦定理和二倍角公式化簡可得cosB和c的值．【解答】解：∵A=2B，a=3，b=2∴sinA=sin2B正弦定理，asinB=2bsinBcosB，∵0＜B＜π，sinB≠0．∴cosB=，又由余弦定理得cosB=∴2c2﹣9c+10=0,解得:c=2或c=又∵c=2不合題意，舍去,∴c=．【點評】本題考查了正余弦定理的化簡計算能力．屬于基礎題．20．（12分）已知函數f（x）=2sin（+）cos（+）﹣sin（x+π）．(1）求f（x）的最小正周期；(2）若將f（x)的圖象向右平移個單位，得到函數g(x）的圖象，求函數g（x）在區間［0，π]上的最大值和最小值．【分析】（1）利用二倍角公式、誘導公式、兩角和的正弦函數化為一個角的一個三角函數的形式，即可求f（x)的最小正周期；(2）將f（x）的圖象向右平移個單位，求出函數g（x）的解析式，然后在區間[0，π］上的最大值和最小值．【解答】解：（1）=（2分）==．（4分）所以f（x）的最小正周期為2π．(6分）（2）∵將f（x）的圖象向右平移個單位，得到函數g(x）的圖象，∴=．（8分)∵x∈[0,π］時，，(10分）∴當,即時，，g（x）取得最大值2．(11分）當，即x=π時,，g（x)取得最小值﹣1．(13分）【點評】本小題主要考查了三角函數中誘導公式、兩角和與差的正余弦公式、二倍角公式、三角函數的性質和圖象,以及圖象變換等基礎知識,考查了化歸思想和數形結合思想，考查了運算能力．21．（12分）已知函數f（x）=x3+ax2+bx，且f'(﹣1）=0．(1）試用含a的代數式表示b;（2）求f（x）的單調區間．【分析】（1）求出導函數，通過f'（﹣1）=0,即可求解用含a的代數式表示b．（2)求出導函數,通過a與1的大小比較，判斷導函數的符號,推出函數的單調區間即可．【解答】解:(1)依題意,得f'（x）=x2+2ax+b．由f’（﹣1）=1﹣2a+b=0得b=2a﹣1．（2)由（1）得f(x）=x3+ax2+(2a﹣1）x，故f’（x）=x2+2ax+2a﹣1=（x+1）（x+2a﹣1）．令f’(x）=0，則x=﹣1或x=1﹣2a．①當a＞1時，1﹣2a＜﹣1．當x變化時，f'（x）與f(x）的變化情況如下表：x(﹣∞，1﹣2a）(1﹣2a，﹣1)（﹣1,+∞)f’（x）+﹣+f（x）單調遞增單調遞減單調遞增由此得，函數f(x）的單調增區間為（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞），單調減區間為（1﹣2a,﹣1）．②當a=1時，1﹣2a=﹣1．此時，f’（x）≥0恒成立，且僅在x=﹣1處f'（x）=0,故函數f（x）的單調增區間為R．③當a＜1時，1﹣2a＞﹣1，同理可得函數f（x）的單調增區間為（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a,+∞），單調減區間為（﹣1，1﹣2a）．綜上所述：當a＞1時,函數f（x)的單調增區間為(﹣∞，1﹣2a)和（﹣1,+∞），單調減區間為(1﹣2a，﹣1);當a=1時,函數f（x）的單調增區間為R；當a＜1時，函數f（x）的單調增區間為（﹣∞,﹣1）和（1﹣2a，+∞),單調減區間為（﹣1，1﹣2a）．【點評】本題考查函數的導數的綜合應用,函數的單調性的判斷與求解，考查分類討論思想以及轉化思想的應用．22．（12分)如圖,在△ABC中,B=，AC=4，D為BC邊上一點．(Ⅰ)AD=2，S△DAC=2，求DC的長；(Ⅱ）若AB=AD,求△ADC的周長的最大值．【分析】（Ⅰ）由三角形的面積公式即可求得，求得∠DAC=,利用余弦定理即可求得DC的長度；（Ⅱ)方法一：由AB=AD，B=，則△ABD是正三角形，利用正弦定理表示出AD+DC+AC，根據三角恒等變形及三角函數的性質，即可求得△ADC的周長的最大值；方法二：由AB=AD，B=,則△ABD是正三角形，利用余弦定理及基本不等式的性質求得AD+DC的最大值，即可求得△ADC的周長的最大值．【解答】解:（Ⅰ)因為，則S=，所以:，為0＜∠DAC＜∠BAC＜π﹣=,則∠DAC=．…（3分)在△ADC中，由余弦定理得DC2=AD2+AC2﹣2AD?AC?cos∠DAC，則DC2=4+48﹣2×2×4×=28,所以DC=2；…(6分）（Ⅱ）法一：因為AB=AD，B=，所以△ABD是正三角形．…(7分)在△ADC中，根據正弦定理得==,所以AD=8sinC，DC=8sin(﹣C）,…（8分）所以△ADC的周長為AD+DC+AC=8sinC+8sin（﹣C）+4，=8（sinC+cosC﹣sinC）+4，=8(sinC+cosC）+4=8sin(C+）+4，…（10分）因為∠ADC=，所以＜∠C+＜,所以當C+=，即C=時,△AD的周長最大，最大為8+4．…（12分）法二：因為AB=AD，B=,所以△ABD是正三角形．…（7分）所以在△AD中，設AD=m，DC=n，m＞0，n＞0,由余弦定理得AC2=AD2+AC2﹣2AD?DC?cos∠AD,…（9分）即48=m2+n2﹣2mncos，即48=（m+n）2﹣mn，又因為mn≤，所以48=(m+n）2﹣mn≥（m+n）2﹣=（m+n）2,所以（m+n)2≤64，即m+n≤8，當且僅當m=n=4時等號成立，…（11分）所以△ADC的周長為m+n+4≤8+4，即當AD=DC=4時,△ADC的周長最大，最大為8+4．…（12分）【點評】本題考查正弦定理及余弦定理的應用,三角恒等變換及正弦函數的性質，考查基本不等式的應用，考查轉化思想，屬于中檔題．23．（12分）設函數f(x）=ax﹣2﹣lnx（a?R）（1）求f（x）的單調區間；（2）若g（x）=ax﹣ex，求證：當x＞0時，f（x）＞g（x)．【分析】（1）求出函數的導數(x＞0),結合導數分①a≤0、②a＞0兩種情況討論即可；(2)通過變形，只需證明g（x）=ex﹣lnx﹣2＞0即可，求出函數的導數，根據指數函數及冪函數的性質、函數的單調性及零點判定定理即得結論【解答】解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），f′(x）=（x＞0）,下面對a的正負情況進行討論：①當a≤0時，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以f(x）在（0,+∞）上單調遞減；②當a＞0時，令f′（x）=0,解得x=,當x變化時，f′（x）、f(x）隨x的變化情況如下表：0(0，)(a,+∞）f′（x）﹣0+f(x）↓↑由此表可知:f（x）在（0，）上單調遞減，f（x)在（，+∞）上單調遞增；綜上所述，當a≤0時，f(x）的單調遞減區間為(0，+∞）；當a＞0時，f（x）的單調遞減區間為（0，）,f（x)的單調遞增區間為（，+∞）;證明：（2）∵f（x）=ax﹣2﹣lnx，g（x）=ax﹣ex,∴要證:當x＞0時,f（x）＞g（x），即證：ex﹣lnx﹣2＞0，令g（x）=ex﹣lnx﹣2（x＞0），則只需證：g(x）＞0，由于g′(x)=ex﹣，根據指數函數及冪函數的性質可知，g′（x）=ex﹣在(0，+∞）上是增函數，∵g′（1)=e﹣1＞0,g′(）=﹣3＜0，∴g′（1)?g′（）＜0，∴g′(x）在(,1）內存在唯一的零點，也即g′(x）在（0,+∞)上有唯一零點，設g′(x）的零點為t，則g′(t）=et﹣=0，即et=(＜t＜1），由g′(x）的單調性知：當x∈（0,t）時，g′（x）＜g′（t)=0，g（x）為減函數；當x∈（t，+∞）時，g′(x)＞g′(t）=0，g（x)為增函數，所以當x＞0時，g（x）≥g（t）=et﹣lnt﹣2=﹣ln﹣2=+t﹣2≥2﹣2=0，又＜t＜1，故等號不成立,∴g（x）＞0,即當x＞0時，f（x）＞g（x