PAGEPAGE1課時作業(yè)25平面對量基本定理及坐標(biāo)表示[基礎(chǔ)達標(biāo)]一、選擇題1．已知點A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若eq\o(AB,\s\up10(→))＝3a，則點B的坐標(biāo)為()A．(7,4)B．(7,14)C．(5,4)D．(5,14)解析：設(shè)點B的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(AB,\s\up10(→))＝(x＋1，y－5)．由eq\o(AB,\s\up10(→))＝3a，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝6,y－5＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5,y＝14.))答案：D2．[2024·衡水中學(xué)調(diào)研卷]設(shè)向量a，b滿意|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，則“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的是()A．充要條件B．必要不充分條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件解析：若a＝(4,2)，則|a|＝2eq\r(5)，且a∥b都成立；因a∥b，設(shè)a＝λb＝(2λ，λ)，由|a|＝2eq\r(5)，得4λ2＋λ2＝20.∴λ2＝4，∴λ＝±2.∴a＝(4,2)或a＝(－4，－2)．因此“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的充分不必要條件．答案：C3．已知A(1,4)，B(－3,2)，向量eq\o(BC,\s\up10(→))＝(2,4)，D為AC的中點，則eq\o(BD,\s\up10(→))＝()A．(1,3)B．(3,3)C．(－3，－3)D．(－1，－3)解析：設(shè)C(x，y)，則eq\o(BC,\s\up10(→))＝(x＋3，y－2)＝(2,4)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝2,y－2＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝6，))即C(－1,6)．由D為AC的中點可得點D的坐標(biāo)為(0,5)，所以eq\o(BD,\s\up10(→))＝(0＋3,5－2)＝(3,3)．答案：B4．[2024·洛陽市高三統(tǒng)一考試]已知向量a＝(m,2)，b＝(3，－6)，若|a＋b|＝|a－b|，則實數(shù)m的值是()A．－4B．－1C．1D．4解析：由|a＋b|＝|a－b|，兩邊平方整理得a·b＝0，即3m－12＝0，故m答案：D5．[2024·湖北孝感模擬]設(shè)D、E、F分別為△ABC三邊BC、CA、AB的中點，則eq\o(DA,\s\up10(→))＋2eq\o(EB,\s\up10(→))＋3eq\o(FC,\s\up10(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up10(→))B.eq\f(3,2)eq\o(AD,\s\up10(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up10(→))D.eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up10(→))解析：因為D、E、F分別為△ABC三邊BC、CA、AB的中點，所以eq\o(DA,\s\up10(→))＋2eq\o(EB,\s\up10(→))＋3eq\o(FC,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→)))＋2×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→)))＋3×eq\f(1,2)×(eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))＋eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up10(→))，故選D.答案：D6．[2024·成都市高三診斷性檢測]已知向量a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(k,2)，若(3a－b)∥c，則實數(shù)kA．－8B．－6C．－1D．6解析：由題意，得3a－b＝(3，－1)．因為(3a－b)∥c，所以6＋k＝0，解得答案：B7．[2024·河北衡水中學(xué)調(diào)研]始終線l與平行四邊形ABCD中的兩邊AB，AD分別交于點E，F(xiàn)，且交其對角線AC于點M，若eq\o(AB,\s\up10(→))＝2eq\o(AE,\s\up10(→))，eq\o(AD,\s\up10(→))＝3eq\o(AF,\s\up10(→))，eq\o(AM,\s\up10(→))＝λeq\o(AB,\s\up10(→))－μeq\o(AC,\s\up10(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(5,2)μ－λ＝()A．－eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．－3解析：eq\o(AM,\s\up10(→))＝λeq\o(AB,\s\up10(→))－μeq\o(AC,\s\up10(→))＝λeq\o(AB,\s\up10(→))－μ(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→)))＝(λ－μ)eq\o(AB,\s\up10(→))－μeq\o(AD,\s\up10(→))＝2(λ－μ)eq\o(AE,\s\up10(→))－3μeq\o(AF,\s\up10(→))，因為E、M、F三點共線，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，∴eq\f(5,2)μ－λ＝－eq\f(1,2)，故選A.答案：A8．[2024·河北五個一名校聯(lián)考]在△ABC中，M是BC的中點，AM＝1，點P在AM上且滿意eq\o(AP,\s\up10(→))＝2eq\o(PM,\s\up10(→))，則eq\o(PA,\s\up10(→))·(eq\o(PB,\s\up10(→))＋eq\o(PC,\s\up10(→)))等于()A．－eq\f(4,9)B．－eq\f(4,3)C.eq\f(4,3)D.eq\f(4,9)解析：如圖，∵M是BC的中點，且eq\o(AP,\s\up10(→))＝2eq\o(PM,\s\up10(→))，∴eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\o(PB,\s\up10(→))＋eq\o(PC,\s\up10(→))，∴eq\o(PA,\s\up10(→))·(eq\o(PB,\s\up10(→))＋eq\o(PC,\s\up10(→)))＝－eq\o(PA,\s\up10(→))2，∵AM＝1且eq\o(AP,\s\up10(→))＝2eq\o(PM,\s\up10(→))，∴|eq\o(PA,\s\up10(→))|＝eq\f(2,3)，∴eq\o(PA,\s\up10(→))·(eq\o(PB,\s\up10(→))＋eq\o(PC,\s\up10(→)))＝－eq\f(4,9)，故選A.答案：A9．[2024·鄭州市中學(xué)質(zhì)量檢測]如圖，在△ABC中，N為線段AC上靠近點A的三等分點，點P在線段BN上且eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,11)))eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(2,11)eq\o(BC,\s\up10(→))，則實數(shù)m的值為()A．1B.eq\f(1,3)C.eq\f(9,11)D.eq\f(5,11)解析：eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,11)))eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(2,11)eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,11)))eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(2,11)(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→)))＝meq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up10(→))，設(shè)eq\o(BP,\s\up10(→))＝λeq\o(BN,\s\up10(→))(0≤λ≤1)，則eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋λeq\o(BN,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋λ(eq\o(AN,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up10(→))＋λeq\o(AN,\s\up10(→))，因為eq\o(AN,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up10(→))，所以eq\o(AP,\s\up10(→))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)λeq\o(AC,\s\up10(→))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1－λ,\f(2,11)＝\f(1,3)λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,11),m＝\f(5,11)，))故選D.答案：D10．[2024·河北、河南、山西三省聯(lián)考]如圖，在等邊△ABC中，O為△ABC的重心，點D為BC邊上靠近B點的四等分點，若eq\o(OD,\s\up10(→))＝xeq\o(AB,\s\up10(→))＋yeq\o(AC,\s\up10(→))，則x＋y＝()A.eq\f(1,12)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)解析：設(shè)點E為BC的中點，連接AE，可知O在AE上，由eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\o(OE,\s\up10(→))＋eq\o(ED,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up10(→))＋eq\f(1,4)eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→)))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→)))＝eq\f(5,12)eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\f(1,12)eq\o(AC,\s\up10(→))，故x＝eq\f(5,12)，y＝－eq\f(1,12)，x＋y＝eq\f(1,3).故選B.答案：B二、填空題11．[2024·廣州市中學(xué)綜合測試]已知向量a＝(m,2)，b＝(1,1)，若|a＋b|＝|a|＋|b|，則實數(shù)m＝________.解析：解法一a＋b＝(m＋1,3)，|a＋b|＝eq\r(m＋12＋9)，|a|＝eq\r(m2＋4)，|b|＝eq\r(2)，由|a＋b|＝|a|＋|b|，得eq\r(m＋12＋9)＝eq\r(m2＋4)＋eq\r(2)，兩邊分別平方得m2＋2m＋10＝m2＋6＋2eq\r(2)×eq\r(m2＋4)，即m＋2＝eq\r(2)×eq\r(m2＋4)，兩邊分別平方得m2＋4m＋4＝2m2＋8，解得m＝2.解法二a·b＝(m,2)·(1,1)＝m＋2，|a|＝eq\r(m2＋4)，|b|＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，由|a＋b|＝|a|＋|b|，得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＋2|a||b|，即a·b＝|a||b|，故m＋2＝eq\r(2)×eq\r(m2＋4)，兩邊分別平方得m2＋4m＋4＝2m2＋8，解得m＝2.答案：212．[2024·石家莊市重點中學(xué)摸底考試]平行四邊形ABCD中，M為BC的中點，若eq\o(AB,\s\up10(→))＝λeq\o(AM,\s\up10(→))＋μeq\o(DB,\s\up10(→))，則λμ＝________.解析：∵eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－2eq\o(BM,\s\up10(→))＝3eq\o(AB,\s\up10(→))－2eq\o(AM,\s\up10(→))，∴eq\o(AB,\s\up10(→))＝λeq\o(AM,\s\up10(→))＋3μeq\o(AB,\s\up10(→))－2μeq\o(AM,\s\up10(→))，∴(1－3μ)eq\o(AB,\s\up10(→))＝(λ－2μ)eq\o(AM,\s\up10(→))，∵eq\o(AB,\s\up10(→))和eq\o(AM,\s\up10(→))是不共線向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3μ＝0,λ－2μ＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(μ＝\f(1,3),λ＝\f(2,3)，))∴λμ＝eq\f(2,9).答案：eq\f(2,9)13．[2024·濟南市高考模擬試題]已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b與3a－b平行，則實數(shù)x解析：因為a＋b＝(1,1)＋(2，x)＝(3,1＋x)，3a－b＝3(1，1)－(2，x)＝(1,3－x)，a＋b與3a－b平行，所以3(3－x)＝1＋x，解得答案：214．[2024·湖南湘東五校聯(lián)考]在正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，若eq\o(AC,\s\up10(→))＝λeq\o(AM,\s\up10(→))＋μeq\o(AN,\s\up10(→))，則實數(shù)λ＋μ＝________.解析：如圖，∵eq\o(AM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up10(→))，①eq\o(AN,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DN,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up10(→))，②由①②得eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AN,\s\up10(→))－eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up10(→))，eq\o(DC,\s\up10(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AM,\s\up10(→))－eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up10(→))，∴eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AM,\s\up10(→))－eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up10(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AN,\s\up10(→))－eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up10(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up10(→))，∵eq\o(AC,\s\up10(→))＝λeq\o(AM,\s\up10(→))＋μeq\o(AN,\s\up10(→))，∴λ＝eq\f(2,3)，μ＝eq\f(2,3)，λ＋μ＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)[實力挑戰(zhàn)]15．[2024·福建高三質(zhì)檢]莊重漂亮的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一個特別美麗的幾何圖形，且與黃金分割有著親密的聯(lián)系：在如圖所示的正五角星中，以A，B，C，D，E為頂點的多邊形為正五邊形，且eq\f(PT,AT)＝eq\f(\r(5)－1,2).下列關(guān)系中正確的是()A.eq\o(BP,\s\up10(→))－eq\o(TS,\s\up10(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(RS,\s\up10(→))B.eq\o(CQ,\s\up10(→))＋eq\o(TP,\s\up10(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(TS,\s\up10(→))C.eq\o(ES,\s\up10(→))－eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(BQ,\s\up10(→))D.eq\o(AT,\s\up10(→))＋eq\o(BQ,\s\up10(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up10(→))解析：由題意得，eq\o(BP,\s\up10(→))－eq\o(TS,\s\up10(→))＝eq\o(TE,\s\up10(→))－eq\o(TS,\s\up10(→))＝eq\o(SE,\s\up10(→))＝eq\f(\o(RS,\s\up10(→)),\f(\r(5)－1,2))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(RS,\s\up10(→))，所以A正確；eq\o(CQ,\s\up10(→))＋eq\o(TP,\s\up10(→))＝eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(TP,\s\up10(→))＝eq\o(TA,\s\up10(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(ST,\s\up10(→))，所以B錯誤；eq\o(ES,\s\up10(→))－eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\o(RC,\s\up10(→))－eq\o(QC,\s\up10(→))＝eq\o(RQ,\s\up10(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(QB,\s\up10(→))，所以C錯誤；eq\o(AT,\s\up10(→))＋eq\o(BQ,\s\up10(→))＝eq\o(SD,\s\up10(→))＋eq\o(