專題訓練軸對稱30道壓軸題訓練

【題型歸納】

軸對稱30道壓軸題訓練

【重難點訓練】

一、單選題

1.如圖，在△48。中，乙B、ZC的評分線文干點尸，過點尸作踝〃8c交千點。交47f?點￡,下列結

論：①）XBDF、△/!，￡都是等腰三角形；②）DE=BD+CE：③△/!，￡的周長等于四+47;?BF=CF\⑤若NA

=80°,則N8&?=130°,其中正確的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

2.如圖，E是8c延長線上的一點，AD//BC,BD,CD,AP,。。分別平分N48C,4ACE,2BAC,/BDC,則

NP的度數為（）

3.如圖，直線〃，〃相交于點。，Nl=50。，點A在直線。上，直線〃上存在點以使以點。，A,9為頂

點的三角形是等腰三角形，則點△的個數是（）

b

A.2B.3C.4D.5

4.如圖，△49C中，Z4=30°,BC=31△>48C的面積9,點。、F、尸分別是三邊49、BC、以上的動點，則

△施尸周長的最小值為（)

6C.8D.10

x+2y=m+3

5.若二元一次方程組?的解x,y的值恰好是一個等腰三角形兩邊的長，且這個等腰三角形的

x+y=2m

周長為7,則m的值為（）

A.4B.1.5或2C.2D.4或2

6.如圖，AD是叢ABC的前平分線，DFLAB,垂足為F,且DE=0G,則/〃Z?+N4;。和是（)

A.180°B.200°C.210°D.240°

7.如圖，長方形A8KL,延CD第一次翻折，第二次延。翻折，第三次延3翻折，這樣繼續下去，當第五

次翻折時，點力和點8都落在內部（不包含邊界），則夕的取值值范圍是（）

A.36°<6Z<45B.3(f<?<360.36°<?<45D.3()°va<36

8.如圖，△四。中，，CAB=，CBA=48°，點、。為△人8c內一點、，N043=12°,4OBC=18°，則N47/N加8

=()

AB

A.190°B.195°C.200°D.210°

9.如圖，在一A8C中，ZBAC=ZABC=42°,過點C作CZ）_L48于點。，點E是。。上一點，將.ACE沿

著AE翻折得到△山話，連接C/，若E,F,6三點恰好在同一條直線上，則NCQ4的度數是

()

10.如圖，在△ACO中，ZC4r>=60°,以47為底邊向外作等腰4ABC,ZBAC+ZAPC=60°,在CD上截

^DE=AB,連接8￡若/BEC=30。，則/劭。的度數為（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

二、填空題

11.如圖，在RtZ\48C中，ZC=90°,NA8C的平分線交AC于點。，N8O。的平分線交8C于點石，點產

在邊月8上，BE=BF,連接￡/"則:乙4所+/8。￡：=.

12.如圖，AA8C中，ZABC、NE4C的角平分線8尸、AP交于點P,延長84、BC,PMA.BE,PNJ.HF,

則下列結論中正確的是—.（填序號）①CP平分乙ACT7;②ZA3c+2ZAPC=180。；@ZACB=2ZAPB;

④S^AC=+S&vcp.

E

M

B

13.如圖，在等腰..ABC中，120。＜/84。＜18()。，于點。，以AC為邊作等邊三角形ACE,一ACE

與_A3C在直線AC的異側，直線屬交直線AO于點尸，連接”?交A笈于點M.若的=10,AF=2,則

FC=

14.如圖，在"8C中,AB^AC,/外3100°,BD斗分■2ABC,且阱/反連接4?、DC.則N80C的皮數為

15.如圖，等邊一A8C中，BC=12,"是高C”所在直線上的一個動點，連接處，將線段8W點8逆時針

旋轉60°得到BV,連接HN.在點"運動過程中，線段"N長度的最小值是.

16.如圖，M,〃是N｛必的邊。1上的兩個點（0/V0M,N408=30°,OM=a,MN=A.若邊0B上有且只有

1個點P,滿足△刖是等腰三角杉，則a的取值范圍是.

17.如圖，已知N版冰30點4,4,4,…在射線0V上，點即縱…在射線掰上，△4E4,△AR—

△484…均為等邊三角形，若力尸1,則△彳M晟/初2的邊長為.

18.如圖，△48。與都是等邊三角形，XAB^AC,下列結論：①夠3：②N80/60°?，③/BDU乙CEO；

④若N8/IU90°,DA//BC,則仇;J_￡ZZ其中正確的是（填序號）.

19.如圖，△48C中，N8=30°,ZACB=9QQ,Aff=2,。在EC上,將線段4?繞點4逆時針旋轉60°得

AP,則CP的最小值為.

20.如圖，在四邊形彳8緲中，ZC+ZD=210°,E、尸分別是加、仇;上的點，將四邊形GOEF沿直線）翻

折，得到四邊形。D'EF.C廠交4。于點G,若..EFG是等腰三角形，則NEFG=.

三、解答題

21.如圖，在Rt叢ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,廠為直線加上一點，連接fC.作BOJ.FC于點。，連

按初，過點力作A￡_LA。交劭亍點￡

E

⑴如圖1,求證：AD^AE

⑵如圖2,若點//是劭中點、，連接4/、G￡求證：CE=2AH

⑶如圖3,當點打運動到線段上且不與48重合時，連接C￡過點、A作AHLZE交8D千點、H,猜想

GE與47之間的數量關系并證明.

22.知RtZ^BC和AB=AC,AD=AE.連接劭、CE,這點、A作加上CE干點、H,反向延長線段4/交

劭于點F.

圖1圖2

⑴如圖1,當4公力。時

①請直接寫出BFg。尸的數量關系：BFDF(4">”、"V"、“=”)

②求證：CE=2AF

⑵如圖2,當48手4?時，上述①②結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

23.探究與應用

(1)【操作發現】如圖1,A44c為等邊三角形，點。為A4邊上的一點，N/X石=30。，將線段CO繞點C

順時針旋轉60。得到線段C/，連接■、EF,請直接寫出下列結果：

AEDBEDBEDB

圖2圖3

①ZEAF的度數為___________;

②DE與石尸之間的數量關系為;

(2)【類比探究】如圖2,AA8C為等腰直角三角形，NAC8=90°,點。為AB邊上的一點，Z￡)CE=45°,

將線段CO繞點。順時針旋轉90。得到線段C廣，連接AF、EF.

則線段A￡,ED,08之間有什么數量關系？請說明理由；

(3)【拓展應用】如圖3,AA3c是一個三角形的余料，小張同學量得NACB=120。，AC=BCt他在邊A3

上取了。、E兩點、,并量得NBCD=15。、Z7)CE=60o,這樣CD、CE將AABC分成三個小三角形，則

24.等邊2M8C的邊仍上有一點￡,點。在直線四上，以跳為邊作等邊/婀■:

⑴如圖①當。與彳重合時，在座的左側作等邊/。防連接8元求證：BF//AC-

⑵如圖②當。在射線8/上時，在莊的左側作等邊■詆；請直接寫出：DA、BF、&?這三條線段之間的數

量關系；

⑶如圖③當。是48中點時，在巫的右側作等邊/。葉；連接Q,請直接寫出點E在線段8c上運動時，

4CFD與4CDE之間的關系.

25.已知△48。是等邊三角形，點。在射線8c上（與點8,C不重合），點。關于直線的對稱點為點￡

連接4?,AE,CE,DE.

圖1圖”

⑴如圖1,當點。為線段8c的中點時，求證：△?!，￡是等邊三南形；

⑵當點。在線段仇?的延長線上時，連接86月為線段8￡的中點，連接CE根據題意在圖2中補全圖形,

用等式表示線段4?與67r的數量關系，并證明.

26.(1)【探究發現】如圖①，等腰△”18,ZACB=90°,。為彳8的中點，NMD490°,將/例W繞點。

旋患，旋轉過程中，/的W的兩邊分別與線段AC.線段BC爻于點E、尸(點尸與點B、C不重合)，寫出

線段CF、CE、%之間的數量關系，并證明你的結論：

(2)【類比應用】如圖②，等腰△4G8,N7I駐120°,D為48的中點，一的游60",將一位”繞點。旋

轉，旋轉過程中，/例W的兩邊分別與線段AC.線段BC交于點E、F(A廠與點B、C不重合)，直接

寫出線段CF、CE、8c之間的數量關系為;

陽②

(3)【拓展延伸】如圖③，在四邊場ABCD中，AC平分N8C。，N8sl20°,DAB=6Q°,過點A作AEA.AC,

交G8的延長線于點E,若CB=6,DC=2,則維的長為.

27.(1)如圖1,在-ABC中，4B=6,AC=8,40是4c邊上的中線，延長AO到點E使OE=AD,連

接CE,把A4,AC,240集中在中，利用三篇形三邊關系可得AO的取值范圍是:

(2)如圖2,在..A4C中，A。是邊上的中線，點E,尸分別在AB,4c上，且OE1OF,求證：

BE+CF>EF：

(3)如圖3,在四邊形ABCO中，NA為鈍角，NC為銳角，NB+N4QC=180。，DA=DC,點E,產分別

在BC,A4上，KZEDF=^ZADC,連接￡尸,試探索線段EF,CE之間的數量關系，并加以證明.

28.如圖1,已知等邊邊長為4cm,點巴。分別是邊48、8c上的動點，點P、。分別從點48同時

出發，且它們的速度都為1cm/s.連接40、C0交于點四

AA

(1)求證：ABgCAP-

⑵在整個運動過種中，N6W會發生變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，求出它的度數.

⑶連接。。，何時一/8。是直角三角形？

⑷如圖2,若點P、。在運動到終點后繼續在射線48、8c上運動，直線力。、少交于點M求/6W的度數.

29.【閱讀】

通過構造恰當的圖形，可以對線段長度大小進行比較，直觀地得到線段之間的數量關系，這是“數形結合”

思想的典型應用.

【理解】

(1)如圖1,ZAMN=120°,4C平分NM4N,CO_LAM,C8_L4N,求證：AB+AD=AC,

【拓展】

(2)如圖2,其他條件不變，將囹1中的NDC3繞點C逆時針旋轉，勿交初I的延長線于點。，G8交射戰

于點8,寫出線段彳。AB,47之間的數量關系，并就圖2的情形說明理由.

【應用】

(3)如圖3,..A8C為等邊三角形，A4=4,。為8c邊的中點，5PN=12伊，將NMPN統點、P轉動使射

線以交直線47于點M射線〃支直線48于點M當AM=8時，請直接寫出的長.

30.如果一個三角形能用一條直線將其分割出兩個等腰三角形，那么我們稱這個三角形為“活三角形”，

這條直線稱為該“活三角形”的“生命線”.

(1)小明在研究“活三角形”問題時(如圖)，他發現，在宛中，若N班C=3NC時，這個△力燈?一定是

“活三角形”.點。在8c邊上一點，連接力優他猜測：當N，4?=NC時，力。就是這個三角形的“生命線”，

請你幫他說明4?是△力郎的“生命線”的理由：

(2)如小明研究結果可以總結為:

,該三角形是一個“活三角形”.請通過自己操作研究，并根據上述結論，總結“活三角腦”的其

他特征；(注意從三角形邊、角特征及相互間關系總結)

(3)如果一個等腰三角形是一個“活三角形”那么它的頂角大小為度.(直接寫出結果即可)

專題訓練軸對稱30道壓軸題訓練

【題型歸納】

軸對稱30道壓軸題訓練

【重難點訓練】

一、單選題

1.如圖，在^力比中，/B、NC的平分線交于點尸，過點尸作如〃8c交四于點僅交47

于點￡下列結論：QABDF,都是等腰三角形；②DE=BZCE?,③國的周長等于

AB+AC-,④BF=CF:⑤若N/l=80°,則N8&H130。,其中正確的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【解析】

【分析】

由平行線得到第相等，由角平分線得角相等，根據平行線的性質及等腰三角形的判定和性質.

【詳解】

,：4B、NC的角平分線交于點尸，

/DBF=/CBF,2ECF=4BCF,

諛/DBF=，CBF=Q,KECF=￡BCF=B,

*：DE//BC,

:./DFB=2CBF=a、EFC=BCF=/3,

:.乙DBF-乙DFB、QEFC—乙ECF,

：.DB=DF,EF=EC,

???△8。尸與△廢尸為等腰三角形，

:.DE=DF+EF=BD+CE,

△4班的周長為加+AE+DE=AD^AE+BD+CE=48+AC,

???只有當△力8c是等腰三角形時，”是等腰三角形，豆BF=CF,

???②③正確，①④不正確，

VZ>1=80°,

18()。一80。

4FBC+4FCB=—=50。，

???N88=180°-50°=130°,故⑤正確.

故選：B.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的性質及角平分線的性質及平行我的性質；題目利用了兩直線平行,

內錯角相等，及等角對等邊來判定等腰三角形的；等量火換的利用是解答本題的關鍵.

2.如圖，￡是8c延長線上的一點，AD//BC,BD,CD,AP,。戶分別平分N/IHC,4ACE,NBAC,

乙BDC、則/。的度數為（）

A.30°B.42°C.45°D.50°

【答案】C

【解析】

【分析】

根據角平分線的定義及平行線的性質、等角對等邊得出/h9=/1C.利用等腰三角形的性質得

出NPAD=90°.設/ADB=/CBD=/ADB=x,利用各角之間的數量關系求解即可

得出結果.

【詳解】

解：?.?8。是N48C的平分線,

-ABD=4CBD,

?:AD"BC,

工Z.ADB=Z.CBD,

:./ABD=4ADB.

：.AB=AD.

同理：AC=AD.

：.AB=AC.

、：AP斗分乙BAG、

J.APLBC.

'：AD//BC,

：.APLAD.

：.ZPAD=90°.

設ZADB=ZCBD=ZADB=x,

：.Z.ABC=2x.

?：AB=AC,

:?/ACB=NABC=2x.

/.ZPAC=90°-2x.

?：DP并分4BDC,

：,次/BDP=/CDP=y,

:.4BDC=2y.

Z.ZADC=NADaZBDC=x+2y.

"：AC=DA、

/ACD=4ADC=K2y.

：.Z￡M6,=1800-ZACD-Z/4P6*=180°-2(>H-2y).

VZPAD=9Q°,

：,ZPAOZDAC=9Qa.

.\90°-2/180°-2(A+2/)=90°.

整理得：A+y=45°,

ZADP=ZAD卅zBDP=x+y,

:?/ADP=45°.

AZP=90°-/ADP=45’.

故選：C.

【點睛】

題目主要考查等腰三角形的判定和性質，平行線的性質，角平分線的定義，一元一次方程的

應用等，理解題意，找準各角之間的數量關系是解題關鍵.

3.如圖，直線“，/"目交于點。，N1=5O。，點A在直線。上，直線〃上存在點8,便以點。，

A,A為頂點的三角形是等腰三角形，則點8的個數是()

/b

1

A

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

分力廬/18,BWBA,除"三種情況討論.

【詳解】

???直線。，〃相交于點。，Nl=50。，點A在直線〃上，直線〃上存在點B,

???當0伊"時，有兩個8點是以、B2,08尸"時，40B護乙OABFyZ1=25°,%04時,

￡0B尺40AB尸；(180°-Z1)=65°;

當力348時，有一個8點是當,即43彳&,N4自廬N1=50°：

當83班時，有一個8點是2,即反廬8J,N"&=N1=5O".

???使以點O,A,"為頂點的三角形是等腰三角形，點B的個數是4個.

故選C

【點睛】

本題考查了因動點產生的等腰三角形問題，解決問題的關鍵是三角形的三邊兩兩相等都有可

能，有三種可能情況，分類討論.

4.如圖，△48C中，N本30°,8U3,AA8c的面枳9,點、0、E、尸分別是三邊48、BC、CA

上的動點，則△際周長的最小值為()

A

【答案】B

【解析】

【分析】

作E點關于A3的對稱點G,作E點關于AC的對稱點〃，連接G〃，交A8于E＞點，交AC

于F點,連接AG,AH,AE,當AE_L8C時，G”最短，此時△?）所的周長最小，最小值

為AE的長.

【詳解】

解：作七點關于AB的對稱點G,作E點關于4c的對稱點”，連接GH,交AA于。點，

交AC于尸點，連接AG,AH,AE,如圖所示：

?.由對稱性可知GO=OE,EF=FH,AG=AE=AH,

:2EF的周長=DE+DF+EF=GD+DF+FH=GH,

VZGAD=ZDAE,ZEAC=ZHAC,

NGAH=2NBAC,

ZBAC=30°,

.?.NGA4=60。，

：.GH=AE,

.,.當AE_L8C時，G/7最短，此時"底產的周長最小，

?；BC=3,AA8C的面積9,

/.AE=6,

.?.AZ)所的周長最小值為6,

故選：B.

【點睛】

本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，等邊三角形的性質，三角

形面積公式是解題的關鍵.

x-2y=m+3

5.若二元一次方程組《'.的解x,v的值恰好是一個等腰三角形兩邊的長，且這

x-y=2m

個等腰三角形的周長為7,則m的值為()

A.4B.1.5或2C.2D.4或2

【答案】C

【解析】

【分析】

解二元一次方程組，分三種情況考慮，根據周長為7得關于m的方程求得見并結合構成三

角形的條件判斷即可.

【詳解】

x+2y=m+3?

<

x+y=2,@>

①-②得：y=3-///

把產3-印代入②，得X=3nr3

x=3m-3

故方程組的解為1

y=3-m

①若x為腰，v為底，則2;d?*7,

Kp2(3/77-3)+3-//F7,解得：m2,

此時43,*1,滿足構成三角形的條件

②若V為腰，x為底，則2八產7,

即2(3-/77)+3/TT3=7,解得：*4,

此時戶9,*7,不合題意：

③若4y,即3/7r3-3_/77,

333

解得：加=彳，此時腰為彳，底為7-2x二=4,

222

33

但5+5<4,不符合構成三角形的條件,

3

故=3不合題意，

所以滿足條件的m為2.

故選C.

【點睛】

本題考查了二元一次方程組的解法，一元一次方程的解法，三條線段構成三角形的條件，涉

及分類討論思想，方程思想，要注意的是，求出m的值后，要臉證是否符合構成三角形的條

件.

6.如圖，4。是△力8c的角平分線，DFA.AB,垂足為￡且DE=DG,則N/4&?+N/IGZ?和是

【答案】A

【解析】

【分析】

過。點作O”_LAC于"，如圖，根據角平分線的性質得到。尸二。“，則可根據““力”判

斷RiDFENR.DHG,所以ADEF=ZDGH,然后利用ZAED+ZDEF=180°得到

Z4￡D+ZAGD=180°.

【詳解】

解：過。點作O"_LAC于〃，如圖,

A。是,ABC的角平分線，DFA.AB,DH上AC,

,\DF=DH,

在RtADFE和Rt.DHG中，

DE=DG

DF=DH'

:.RtDFE^RiDHG（HL）,

：.8EF=NDGH,

ZAED4-ZDEF=180°,

ZAED+ZAGD=180°.

故選：A.

【點睛】

本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.也考查了直角三角

形全等的判定與性質.利用角平分線性質構造全等三角形是解題關鍵.

7.如圖，長方形ABKL,延緲第一次翻折，第二次延功翻折，第三次延⑺翻折，這樣繼

續下去，當第五次翻折時，點4和點8都落在內部（不包含邊界），則。的取值值

范圍是（）

A.36<a<45B.30vaW36C.36<?<45D.30<a<36

【答案】D

【解析】

【分析】

利用翻折前后角度總和不變，由折合的性質列代數式求解即可：

【詳解】

解：第一次翻折后2m■N8Z?￡=180°,

第二次翻折后3>N8Z?R180°,

第三次翻折后4m處180°,

第四次翻折后5m■/8。伍180°,

若能進行第五次翻折，則N80C2O,即180°-5a20,aW36°,

若不能進行第六次翻折，則NBDCWa,即180°-5aWa,^30°,

當平36°時，點、B落在CD上,當戶30°時，點8落在燈?上，

.*.30°<a<36°,

故選：D：

【點睛】

本題考查了圖形的規律，圻登的性質，一元一次不等式的應用；掌握折登前后角度的變化規

律是解題關鍵.

8.如圖，△四。中，NCAB=，CBA=A8°，點。為△/員7內一點，N0A3=12°,N0以？=18°,

則N4G卅N4但()

【答案】D

【解析】

【分析】

作COJ.AB于點。，延長80交緲于點P,連接42由題意可求出

ZABP=ZABC-ZOBC=30°.由所作輔助線可判斷緲為48的垂直平分線，即得出

PA=PB,從而得出N84P=NA8P=30。，進而可求出NCA尸=NC48-N84P=18。.由圖

易求出ZACD=90°-ZC4D=42°,由三角形外角性質可求出ZAOP=ZOAB+AOBA=42°,

即N4OP=NACQ=42°.再根據NO4Q=N842-N84O=18。，即得出NC4P=NQ4P=18。，

從而可證明▲CAP玄。4aAsA),即得出彳合力0.由等腰三角形的性質和三角形內角和定理

可求出NACO的值，再根據三角形內角和定理可求出NAO8的值，相加即可.

【詳解】

如圖，作COJ.A8于點〃延長80交辦于點只連接正

由題意可求出ZABP=ZABC-NOBC=30。,

ZC4B=ZCBA,

CA=CB.

\*CD1AB,

:.CD為48的垂直平分線，

/.PA-PB,

ZBAP=ZABP=30°,

??.ZCAP=ZC4B-/BAP=18°,

ZAC。=90。-ACAD=42°,ZAOP=ZOAB+ZOBA=42°,

JZAOP=ZACP=42°.

ZOAP=/BAP-ZBAO=18°,

???ZC4P=ZOAP=18°.

又＜AP=AP,

：.^CAP^OAP(ASA)f

J.AOAO.

ZCAO=ZCAB-ZBAO=36°,

ZACO=ZAOC=g(180-ZCAO)=72°.

ZAOB=1800-ZOAB-ZOBA=138°,

JZACO+ZAOB=72°+138°=210°

故選D.

【點睛】

本題考查等腰三角形的性質，三角形內角和定理，三角形外角的性質，線段垂直平分線的性

質以及三角形全等的判定和性質，綜合性強，較難.正確做出輔助線是解題關鍵.

9.如圖，在-A8C中，ZBAC=ZABC=42°t過點。作8_148于點。，點E是CD上一

點,將AACE沿著AE翻折得到△AFE,連接C/，若￡F,8三點恰好在同一條直線上,

則NCF4的度數是()

A.75°B.78°C.80°D.84。

【答案】B

【解析】

【分析】

根據余角和等腰三角形的性質得N4CO=48°、AC=BC,根據等要三角形的性質，得

ZBCD=48°；根據全等三角形的性質，通過證明.ACEgBCE,得NCAE=NCBE；根據

軸對稱的性質，得NA莊=NACO=48。，ZC4E=ZE4￡,AC=AF：設

NCAE=NFAE=NCBE=x,根據三角形外角的性質，通過列一元一次方程并求解，得工的

值，再根據等腰三角形的性質和三角形內能和計算，即司得到答案.

【詳解】

?：CD1AB

???ZAZX7=9O°

,/ZBAC=ZABC=42°

，ZACD=90°-ZBAC=48°,AC=BC

?：CDYAB

???48=48=48。

在一ACE和..8CE中

AC=BC

</ACD=/BCD

CE=CE

，_ACE旺BCE

NCAE=NCBE

???將^ACE沿著4E翻折得到zMFE,

AZAFE=ZACD=48°,ZCAE=ZFAEtAC=AF

：.ZCAE=ZFAE=ZCBE

設Z.CAE=Z.FAE=NCBE=x

???ZLBAF=ZBAC-Z.CAE-AFAE=42°-2x,ZABF=ZABC-zLCBE=42°-x

,/ZAFE=NBA尸+/ABF=42°-2r+(42°-x)=84°-3x

???48°=84°-3x

/.x=12°

ZCAF=NCAE+ZE4￡=24°

AC=AF

???ZCFA=ZFCA=I80°-/CA"=78o

2

故選：B.

【點睛】

本題考查了軸對稱、全等三角再、等腰三角膨、余角、三角膨內甭和、三角膨外角、一元-

次方程的知識；解題的關健是熟練掌握全等三角開久等腰三角形、三角形外角的性質，從而

完成求解.

10.如圖，在△4C。中，NCAT>=60。，以4;為底邊向外作等腰..ABC,ZBAC+ZADC=60°,

在CD上截取O￡=/W,連接8￡若NBEC=30°,則如。的度數為()

B

CED

A.10°B.15°C.20°D.30°

【答案】C

【解析】

【分析】

延長交于點尸，在尸。上截取切=m，以PH為邊作等邊三角形FHG,連接到

DG,證明“lEGgZkOHG可得△AGD是等邊三角形，進而證明▲尸BCg△/GC,可得

/FGA=/FBC,設N8AC=a,則N〃QG=a,根據三角形的內角和以及外角的性質可得

ZFGA=60°-a,NFBC=2a,速立方程求解即可.

【詳解】

如圖，延長AROC,交于點尸，在尸。上械取切=所，以FH為邊作等邊三角形;77G,

連接到。G,

?,ZC4D=60°,N84C+ZA/9C=60°,

..ZBAD+ZADC=ZBAC+ZCAD+ZADC=120°,

.\ZAro=60°,

???NBEC=30。,

；.NFBE=90。,

-DE=AB,BF=FH,

RtABFE中，N8次30°,則%=28尸

:.DE+HE=AB+BF,

即DH=AF,

"/G是等邊三角形，

/.ZF/7G=60°,GF=GH,

NG"力=120。，

???ZAFZ)=60°,

/.ZAFG=ZAFC+/HFG=120°,

在^AFG與△O”G中，

AF=HD

NAFG=NDHG

FG=HG

二AFGg4DHG,

:./HDG=NFAG,

???N84C+NA￡>C=60。，

ZADG=ZADC+ZHDG=60°,

QZC4D=60°,

AGO是等邊三角形，

/.Z4GD=60°,

設N8AC=a,則/〃DG=a,

?.?ZAFD=ZDFG=60°,

/.ZFG/l=l80°-120o-a=60°-a,

-AB=BCf

N8AC=NBC4=a,

:.4FBC=NBAC+NBCA=la,

在￡FBC與/\FGC中

FB=FG

<Z.BFC=GFC

FC=FC

?.LFBCgAFGC,

NFGA=NFBC,

即60。一。=2。，

."=20。，

即ZBAC=20°.

故選：c.

【點睛】

本題主要考了全等三角形的性質，三角形的外角性質，三角形內角和定理，等邊三角形的性

質，證明△AG。是等邊三角形解答本題的關鍵.

二、填空題

11.如圖，在Riz\A8C中，ZC=90°,乙48C的平分線交AC于點。，/8OC的平分線交BC

于點E,點F在邊A4上，BE=BF,連接E/，則!/A尸E+NBOE=

EC

【答案】90°##90度

【解析】

【分析】

設BD、交于點G,先證明8aL￡F,則有/彳￡90°+；/ABC,再證明

2N8/斤N8Z?R90°-三乙ABC、即可求解.

【詳解】

設做、交于點G,如圖，

EC

???△8標是等腰三角形,

?:BD平分，ABC,

:?々ABA4DBC,BDA.EF,

:./BGF/BGEN,

4AFF/BGR/ABG,

:?ZAFWZABC,

,:DE斗分NBDC,

：.24BDB4BDC、

:/090°,

，N8a>N，8U90°,

AZ.BDC^\ZABO9Q°,

：.2乙BDFiBDC^O"-gNMC,

；ZAFE+NBDE=g(ZAP石+2NBDE),

???-/AFE+ZBDE=-(ZAFE+2ZBDE)=-(90°+-ZABC+90°--ZABC),

22222

?,.-AAFE+ZBDE=-(90°+-ZABC+900--/ABC)=90°,

2222

故答案為：90°.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的判定與性質、角平分線的性質、三角形外角的性質等知識，證明

BDJ-EF,是解答本題的關逑.

12.如圖，A44C中，ZABC.N￡AC的角平分線8尸、4P交于點P,延長BA、BC,PMA.BE,

PN上BF,則下列結論中正確的是—.(填序號)①CP平分N4CA②ZABC+2ZAPC=I8O0;

【解析】

【分析】

過點P作叨_LAC于。，根據角平分線的判定定理和性質定理判斷①；證明

RMAM=RMAD,根據全等三角形的性質得出幺0朋=/4"/人判斷②；根據三角形的外

角性質判斷③；根據全等三角形的性質判斷④.

【詳解】

①過點P作PO_LAC于Q.

?；PB平分ZABC,E4平分NE4C,PM工BE,PNLBF,PD1AC,

:.PM=PN,PM=PD,

:.PM=PN=PD,

.,?點。在NAC/的南平分線上，故①正確；

@VPM1AB,PN上BC,

ZABC+900+Z/W/W+90°=360°,

:.ZABC+ZMPN=\S(T.

(PM=PD

在Ri"AM和RlAPAD中,?，

PA=PA

RMAM=RMAD(HI),

:.ZAPM=ZAPD,

同理：Rt\PCDRt^PCN(HL),

:2CPD=4CPN,

:.ZMPN=2ZAPC,

:.ZABC+2ZAPC=\Wt②正確；

③???小平分NC4E,BP平分ZABC,

：.Z.CAE=Z4BC+ZACS=2/PAM,NPA/W=；ZABC+ZAPB,

ZAC￡?=2ZAPB,③正確；

④由②可知RtbPAM二Ri\PAD(HL),Rt\PCDRt\PCN(HL)

,*S&APD-SL,SNPD=SM州,

?11SAW+S&CPN=Sgrc,故④正確.

故答案為：①②③④.

【點睛】

本題主要考查了角平分線的性質定理和判定定理，全等三角形的性質和判定，掌握定理是解

題的關鍵.

13.如圖，在等腰二A8C中，12()o<NB4C<180。，ADLBC于點、D,以AC為邊作等邊.三

角形ACE,一ACE與..A8C在直線4C的異側，直線8E交直線4。于點尸，連接尸C交人石于

點M.若8E=10,AF=2,則尸C=.

BC

D

【答案】6

【解析】

【分析】

根據等腰三角形的性質得出N1=N2,由直線4?垂直平分8C,求出房=&7,根據等腰三角

形的性質得出/3=/4,然后求出根據等腰三角形的性質得出N3=N5,等量代

換求出N4=N5即可得到NEEC=NC4E=60。；在尸C上截取QV,使.FN=FE,連接四根

據等邊三角形的判定得出A￡7W是等邊三角形，求出，FEN=60",EN=EF,再求出N5=N6,

根據SAS推出△即I0△￡%,根據全等得出幺=肌?，從而得到FE+FA=FN+NC=FC,

據此求解即可.

【詳解】

解：如圖1,VAB=AC,

ZI=Z2,

,ZADA.BC,

???直線A￡＞垂直平分9C,

???FB=FC,

：.ZFBC=ZFCB,

：.Z.FBC-Z1=Z.FCB-Z2,即N3=N4,

，在等邊三角形ACE中，AC=AE,

/.AB=AE,

???N3=N5,

:.Z4=Z5,

,//FME=/CMA,

：.ZEFC=ZCAEt

,在等邊三角形ACE中，ZC4E=60°,

???ZEFC=60°：

在尸。上截取尸N,梗,FN=FE,連接EN,

???NErC=60。，FN=FE,

B

圖2

???一麗是等邊三角形，

AZraV=60°,EN=EFt

???工ACE為等邊三角形，

AZAEC=60°,￡4=EC,

：,/FEN=ZAEC,

：.FEN-AMEN=ZAEC-ZMEN,即N5=N6,

在△EFA和AENC中,

EF=EN

<Z5=Z6,

EA=EC

:./\EFA0△ENC(SAS),

??.FA=NC,

/.FE+FA=FN+NC=FC,

VBE=10,AF=2t

EF+AF=BF=CF=BE-EF,

???￡F+2=10-EF,

EF=4,

:?CF=6,

故答案為：6.

【點睛】

本題考查了等腰三角舟的判定和性質，線段垂直乎分線的性質，等邊三角形的列定和性質，

全等三角形的判定和性質等，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關鍵.

14.如圖，在△48。中，AFAC,/外合100°,BDT分■乙ABC,且8kA8,連接4?、DC.則

N8Z7C的度數為°.

【答案】130

【解析】

【分析】

延長47到點￡使得A片8C,證得DB3ACAE,謾4CDF/CEAa,表示出

NBD入AC&W+Q,然后根據三角形的內角和定理求得已知角即可.

【詳解】

解：'：AB^AC,/縱R100°,

ABC=/ACB=40°,

":BD斗分/ABC,

:.Z.ABA4DBO閃,

'：BHAB、

:?NAD由NDA斤BQ°,

AZCAD=20°,

:.乙CAA4DBC,

延長4）到點￡使得彳良如,

,：BAA斤AC,ZCAD=ZDBC=2Q°,

:.XDB?XCAE,

：.CD^CE,4BD伉乙ACE,

：.ZCDF^ZCFHa,

VZADB=8Qa,

???N8處100°,

???N8Z?RN4層100°+a,

，200+100°+a+q=180',

:.a=30。，

???/803130°.

故答案為：130.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的判定和性質、全等三角形的判定等知識，解題的關鍵是根據題意結

合等腰三角形的性質得到各個角之間的關系.

15.如圖，等邊一48c中，BC=12,〃是高C"所在直線上的一個動點，連接M3,將線段BM

點8逆時針旋轉60°得到8N,連接"N.在點M運動過程中，線段"N長度的最小值是

【答案】3

【解新】

【分析】

取8c的中點G,連接第6,從而得出8合妗6,根據旋轉的性質可得8滬8帆/他仁60°,然

后根據等邊三角形的性質可得4代8C,B讓AB,N48c60°,N8屐30°,然后利用S4S

2

證出△的陷△3G,從而得出觸GM故枷的最小值即為翻的最小值，根據垂線段最短,

即可當G機LC/Z時，G群最小，求出此時的翻即可.

【詳解】

解：如圖，取8c的中點G,連接他

：.3G=CG=-BC=6

2

由旋轉的性質可得嘛8MN的忙60°

???等邊A/WC中，為府邊上的高

???力代/12,BdAB,/力吐60°,N8*，/ACB=30。

22

:,B+BG,/MBM乙ABC

??