成考本科試題及答案數學姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共20題）

1.已知函數$f(x)=3x^2-4x+5$，下列說法正確的是：

（A）函數圖像是一個開口向上的拋物線

（B）函數圖像與x軸有兩個交點

（C）函數的對稱軸是直線$x=\frac{2}{3}$

（D）函數的頂點坐標是$(\frac{2}{3},\frac{37}{3})$

2.設向量$\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$，向量$\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}$，下列哪個說法正確？

（A）向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的模長分別為$\sqrt{5}$和$\sqrt{10}$

（B）向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的數量積為$-5$

（C）向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的夾角為$180^\circ$

（D）向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的向量積為$\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}$

3.設$a,b,c$為等差數列，若$a+b+c=12$，$a\cdotb\cdotc=27$，則$a^2+b^2+c^2$的值為：

（A）81

（B）96

（C）108

（D）120

4.在三角形ABC中，已知$\angleA=30^\circ$，$\angleB=60^\circ$，$b=6$，求$a+c$的值：

（A）6

（B）8

（C）10

（D）12

5.已知數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=2n+3$，求$a_{100}$的值：

（A）203

（B）205

（C）207

（D）209

6.若$\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{3a+1}=\frac{2}{5}$，則$a$的值為：

（A）2

（B）$\frac{1}{2}$

（C）$-\frac{1}{2}$

（D）-2

7.已知等比數列$\{a_n\}$的公比$q$滿足$q^2-4q+3=0$，若$a_1=1$，則$a_5$的值為：

（A）5

（B）$-5$

（C）10

（D）$-10$

8.若$\sqrt{2x+3}+\sqrt{5-2x}=4$，則$x$的值為：

（A）$-\frac{7}{2}$

（B）-3

（C）$\frac{7}{2}$

（D）3

9.已知函數$f(x)=x^2-4x+3$，則下列哪個說法正確？

（A）函數的圖像是一個開口向上的拋物線

（B）函數的對稱軸是直線$x=2$

（C）函數的頂點坐標是$(2,-1)$

（D）函數的圖像與x軸有兩個交點

10.若$|a-b|=|b-a|$，則下列哪個說法正確？

（A）$a=b$

（B）$a+b=0$

（C）$a-b=0$

（D）$ab=0$

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.向量$\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$和向量$\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$是垂直的。（）

2.若函數$f(x)=x^3-3x+2$在$x=1$處取得極值，則該極值為極大值。（）

3.等差數列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。（）

4.在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。（）

5.若$a^2+b^2=c^2$，則三角形ABC是直角三角形。（）

6.對于任意實數$x$，都有$(x+1)^2\geq0$。（）

7.若函數$f(x)=\frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$上單調遞減。（）

8.二項式定理中的系數$C_n^k$表示從$n$個不同元素中取出$k$個元素的組合數。（）

9.在等比數列中，任意兩項的比值都相等。（）

10.若$a>b$，則$a^2>b^2$。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述如何求一個二次函數的頂點坐標。

2.給出一個一元二次方程，并說明如何判斷其根的情況（有兩個相等的實數根、有兩個不等的實數根或沒有實數根）。

3.簡述等比數列的定義和通項公式，并舉例說明。

4.解釋向量積的概念，并給出向量積的計算公式。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述數列極限的概念，并舉例說明如何求一個數列的極限。

2.論述函數連續性的概念，并討論在什么條件下一個函數是連續的。

試卷答案如下

一、多項選擇題（每題2分，共20題）

1.ACD

2.AB

3.A

4.C

5.C

6.C

7.A

8.A

9.ABD

10.A

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.×

2.×

3.√

4.√

5.√

6.√

7.√

8.√

9.√

10.×

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.二次函數的頂點坐標可以通過配方或者使用公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$來求得。

2.對于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，其判別式為$\Delta=b^2-4ac$。如果$\Delta>0$，則方程有兩個不等的實數根；如果$\Delta=0$，則方程有兩個相等的實數根；如果$\Delta<0$，則方程沒有實數根。

3.等比數列的定義是：一個數列中，從第二項起，每一項與它前一項的比值都相等，這個比值叫做公比。通項公式為$a_n=a_1\cdotq^{(n-1)}$，其中$a_1$是首項，$q$是公比。

4.向量積（叉積）是兩個向量的乘積，它是一個向量，其方向垂直于兩個原始向量的平面，大小等于兩個向量的模長和它們夾角的正弦值的乘積。計算公式為$\vec{a}\times\vec{b}=|a||b|\sin\theta\cdot\hat{n}$，其中$\theta$是向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的夾角，$\hat{n}$是垂直于$\vec{a}$和$\vec{b}$的單位向量。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.數列極限的概念是指，對于數列$\{a_n\}$，如果存在一個實數$A$，使得當$n$趨向于無窮大時，數列$\{a_n\}$的項$a_n$無限接近$A$，則稱$A$為數列$\{a_n\}$的極限。求一個數列的極限通常需要分析數列的行為，比如通過觀察數列的項的規律，或者使用極限的定義和性質。

2.函數連續性的概念是指，對于函數$f(x)$，如果對于任意給定的正數$\epsilon$，存在