人教版（2024）七年級數學下冊第十章二元一次方程組10.4三元一次方程組的解法第1課時三元一次方程組的解法新知探究問題在一次足球聯賽中，一支球隊共參加了22場比賽.積47分，且勝的場數比負的場數的4倍多2.按照足球聯賽的積分規則，勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，那么這支球隊勝、平、負各多少場?思考（1）題目中有幾個未知量?（2）題目中有哪些等量關系?（3）如何用方程表示這些等量關系?設這支球隊勝、平、負的場數分別為x，y，z.x+y+z=223x+y=47x=4z+2①勝的場數+平的場數+負的場數=22；②勝場積分+平場積分+負場積分=47；③勝的場數=負的場數×4+2.等量關系:例題講解例1

解三元一次方程組3x+4z=7，2x+3y+z=9，5x-9y+7z=8.①②③解:②×3+③，得11x+10z=35.④①與④組成方程組3x+4y=7，11x+10z=35.解這個方程組，得x=5，z=-2.把x=5，z=-2代入②，得2×5+3y-2=9，

因此，這個三元一次方程組的解為

z=-2.x=5，還有其他解法嗎?+3y-9y3x+4z=7，2x+3y+z=9，5x-9y+7z=8.①②③解：由①，得④

把④分別代入②③，得到關于y，z的二元一次方程組

整理，得9y-5z=13z-27y=-11解這個方程組，得

z=-2把z=-2代入④，得x=5因此，這個三元一次方程組的解為

z=-2.x=5，加減法比代入法更簡單.概念歸納三元一次方程組必須滿足的三個條件：方程組中一共含有三個未知數.含有未知數的項的次數都是1.含有三個整式方程.(不一定每個方程都含有三個未知數)一個方程組含有三個未知數，且含有未知數的式子都是整式，含有未知數的項的次數都是1，一共有三個方程，像這樣的方程組叫作三元一次方程組.課堂練習解下列三元一次方程組:【選自教材P109練習】x-2y=-9，y-z=3，2z+x=47；（1）x=22，

解得（2）4x-9z=17，3x+y+15z=18，x+2y+3z=2；x=5，y=-2，

解得解下列三元一次方程組:【選自教材P109練習】x+y=3，y+z=4，z+x=5；（3）（4）x=2，y=1，z=3.解得3x-y+z=4，2x+3y-z=12，x+y+z=6.x=2，y=3，z=1.解得分層練習基礎題1.

下列方程組中是三元一次方程組的是(

)B

B

D

BA.1個

B.2個

C.3個

D.4個

D

B

C

綜合應用題

C

AA.3

B.4

C.5

D.6

CA.125

B.119

C.113

D.71

BA.5個

B.6個

C.7個

D.8個

18.用3.50元買了面值分別為10分、20分、50分的三種郵票共18枚，其中10分郵票的總價與20分郵票的總價相同，則50分郵票共買了___枚.3

情景導入解三元一次方程組的基本思路是什么？三元一次方程組二元一次方程組一元一次方程消元消元①代入消元法②加減消元法x+y+z=6，2x+y=5，6y=2z.x=2，y=1，z=3.解得新知探究例2

在等式y=ax2+bx+c中，當x=-1時，y=0；當x=2時，y=3；當x=5時，y=60.求a，b，c的值.把

a，b，c看作未知數把已知

x、y值代入原式a-b+c=04a+2b+c=325a+5b+c=60分析：怎樣消元解方程組最簡單?a-b+c=04a+2b+c=325a+5b+c=60①②③解：根據題意，列得三元一次方程組②-①，得③-①，得④與⑤組成二元一次方程組a+b=1，4a+b=10.④⑤解這個方程組，得a=3，b=-2.把a=2，b=-2代入①，得因此a，b，c的值分別為3，-2，-5.a+b=1.④4a+b=10.⑤c=-5.例題講解

三位數個位上的數與百位上的數交換位置，那么所得的新數比原數小99.求這個三位數.解:設這個三位數百位上的數為x，十位上的數為y，個位上的數為z.x+y+z=14

100z+10y+x+99=100x+10y+z解:設這個三位數百位上的數為x，十位上的數為y，個位上的數為z.①②③解這個方程組，得y=7，z=3.x=4，因此這個三位數是473.x+y+z=14

100z+10y+x+99=100x+10y+z概念歸納①審②設③列④解⑤驗⑥答審題，找題目中的等量關系列三元一次方程組解應用題的一般步驟：設未知數根據等量關系，列出相應的方程組用“代入消元法”或“加減消元法”解方程組檢驗所求未知數的值是否符合題意及實際意義寫出答案(包括單位名稱)課堂練習

解:設甲、乙、丙三個數分別為x，y，z.x+y+z=352x=y+5

根據題意，列得三元一次方程組解得y=15，z=10.x=10，因此，甲、乙、丙三個數分別為10，15，10.【選自教材P111

練習第1題】2.在等式z=ax+by+c中，當x=1，y=2時，z=8；當x=2，y=1時，z=5；當x=-1，y=-1時，z=4；求a，b，c的值.a+2b+c=8，2a+b+c=5，-a-b+c=4.①②③解：根據題意，列得三元一次方程組解這個方程組，得b=2，c=5.a=-1，【選自教材P111

練習第2題】因此，a、b、c的值分別為-1，2，5.分層練習基礎題1.一個三位數，如果把它的個位數字與百位數字交換位置，那么所得的新數比原數小99，且各位數字之和為14，十位數字是個位數字與百位數字之和，求這個三位數.

綜合應用題2.某服裝廠專門安排210名工人進行手工襯衣的縫制，每件襯衣由2個衣袖、1個衣身和1個衣領組成.如果每人每天能夠縫制衣袖10個，或衣身15個，或衣領12個，那么安排多少名工人縫制衣袖，多少名工人縫制衣身，多少名工人縫制衣領，才能使每天縫制出的衣袖、衣身、衣領正好配套？

創新拓展題

（3）學校現準備采購若干英語簿、數學簿以及作文本，已知采購2本英語簿、2本數學簿、1本作文本需要2.8元；采購4本英語簿、8本數學簿、2本作文本需要7.2元，那么采購200本英語簿、300本數學簿、100本作文本需要多少錢？

習題1.解下列三元一次方程組:y=2x-7，5x+3y+2z=2，3x-4z=4；(1)(2)4x+9y=12，3y-2z=1，

解得解得2.解下列三元一次方程組:2x+4y+3z=9，3x-2y+5z=11，5x-6y+7z=13.(2)(1)

2x-y+2z=27；解得解得

解：根據題意，得三元一次方程組

解得

因此a的值為6，b的值為-11，c的值為3.

解:設這個三位數百位上的數為x，十位上的數為y，個位上的數為z.根據題意，列得三元一次方程組解得因此這個三位數是245.5.甲地到乙地全程是3.3km，由一段上坡路、一段平路、一段下坡路組成.如果保持上坡每小時走3km，平路每小時走4km，下坡每小時走5km，那從甲地到乙地需51min