陜西省咸陽市數學小學奧數系列8-6-1構造與論證

姓名:班級:成績:

親愛的小朋友們，這一段時間的學習，你們收獲怎么樣呢？今天就讓我們來檢驗一下吧!

一、最佳安排和選擇方案（共20題；共103分）

1.（1分）（2019二下?麻城期末）在下面的方格中，每行每列都有2、4、6、8這四個數，并且每行、每列

2.（5分）三個連續偶數的和是54,這三個偶數分別是多少？

3.（5分）（2019二下?通榆期末）有甲、乙、丙三人，一個是語文老師，一個是數學老師，一個是體育老

師。甲和乙經常和體育老師學打羽毛球，乙帶學生去找數學老師輔導數學。甲、乙、丙分別是什么老師？

4.（5分）在神話王國內，居民不是騎士就是騙子，騎士不說謊，騙子永遠說謊，有一天國王遇到該國的居

民小白、小黑、小藍，小白說：“小藍是騎士，小黑是騙子.”，小藍說：“小白和我不同，一個是騎士，一個是

騙子."國王很快判斷出誰是騎士，誰是騙子.你能判斷出嗎？

5.（10分）五號樓住著四個女孩和兩個男孩，他們的年齡各不相同，最大的10歲，最小的4歲，最大的

女孩比最小的男孩大4歲，最大的男孩比最小的女孩也大4歲，求最大的男孩的歲數.

6.（5分）在一個矩形內任意放五點，其中任意三點不在一條直線上。證明：在以這五點為頂點的三角形中，

至少有一個的面積小于矩形面積的四分之一。

7.（5分）3個人3天用3桶水，9個人9天用幾桶水？

8.（10分）一個掛鐘敲六下要30秒，敲12下要幾秒？

9.（5分）一次象棋比賽共有10名選手參加，他們分別來自甲、乙、丙三個隊，每個選手都與其余9名選手

第1頁共11頁

各賽1盤，每盤棋的勝者得1分，負者得。分，平局雙方各得0.5分.結果，甲隊選手平均得4.5分，乙隊選手平

均得3.6分，丙隊選手平均得9分.那么，甲、乙、丙三隊參加比賽的選手人數各多少？

10.（2分）證明：任給12個不同的兩位數，其中一定存在著這樣的兩個數，它們的差是個位與十位數字相

同的兩位數.

11.（5分）塑料袋里有六個橘子，如何均分給三個小孩，而塑料袋里仍有二個橘子？（不可以分開橘子）

12.（5分）班上四名同學進行跳棋比賽，每兩名同學都要賽一局.每局勝者得2分，平者各得1分，負者

得0分.已知甲、乙、丙三名同學得分分別為3分、4分、4分，且丙同學無平局，甲同學有勝局，乙同學有

平局，那么丁同學得分是多少？

13.（5分）張紅因病在家休息了幾天，這期間的氣候是：⑴下了8次雨，時間是上午或下午；⑵當下午下雨

時，當天上午是晴天；⑶有9個下午是晴天；⑷有13個上午是晴天。問她一共在家休息了幾天？

14.（5分）一斤白菜5角錢，一斤蘿卜6角錢，那一斤排骨多少錢？

15.（5分）猴子每分鐘能掰一個玉米，在果園里，一只猴子5分鐘能掰幾個玉米？

16.（5分）三個小朋友去買文具，他們分別要買鉛筆、轉筆刀和尺子。

我要買〕供要買的,,我要買詞^

艮子區是恬蕪JI是什么？（

17.（5分）傳說有個說謊國，這個國家的男人在星期四、五、六、日說真話，在星期一、二、三說假話；女

人在星期一、二、三、日說真話，在星期四、五、六說假話.有一天，一個人到說謊國去旅游，他在那里認識了一

男一女.男人說：“昨天我說的是假話”，女人說：“昨天也是我說假話的日子”.這下，那個外來的游人可發愁

了，到底今天星期幾呢？請同學們根據他們說的話，判斷一下今天是星期幾呢？

18.（5分）有三個盒子，甲盒裝了兩個1克的祛碼，乙盒裝了兩個2克的祛碼，丙盒裝了一個1克、一

個2克的祛碼.每只盒子外面所貼的標明祛碼重量的標簽都是錯的.聰明的小明只從一個盒子里取出一個祛碼，

放到天平上稱了一下，就把所有標簽都改正過來了.你知道這是為什么嗎？

19.（5分）分配角色

第2頁共11頁

二年級二班同學們開班會，張強、王剛、李紅、劉麗分別擔任主持人、歌唱演員、相聲演員。李紅的歌唱得很

好，張強不是相聲演員又不會跳舞，劉麗只會跳舞。你知道他們可能擔任什么角色嗎？畫一個表來幫助你分析，把

你知道的信息記錄下來。

主持人歌唱演員舞跳演員相聲演員

________________________

張強

王剛

_______________

李紅

劉西

張強擔任（），王剛擔任（），

李紅擔任（）,劉麗擔任（）。

20.（5分）10個隊進行循環賽，勝隊得2分，負隊得1分，無平局.其中有兩隊并列第一，兩隊并列第三,

有兩個隊并列第五，以后無并列情況.請計算出各隊的得分.

二、染色與賦值問題（共11題；共60分）

21.（5分）在世界杯小組賽上，每四個隊進行單循環比賽，每場比賽勝隊得3分，負隊得0分，平局則兩

隊各得1分.小組賽結束后，總積分高的兩隊出線，進入下一輪比賽，如果總積分相同，還要按進一步的規則排

序.那么一個隊至少要積幾分才能保證本隊必然出線？若有一個隊總積分是5分，則這個隊可能出線嗎？

22.（5分）小剛、小丁、小佳在小制作組、繪畫組、書法組活動，根據下面的條件，你能判斷出他們分別在

什么組活動嗎？

小剛不在繪畫組，也不在書法組；小丁不在小制作組；小佳不在繪畫組。

23.（5分）三名學生進行了若干科目的考試，以考得的名次進行記分.考得第一名得分最多，其次是第二名，

第三名得分最少。各科都是如此記分.已知甲最后得22分，乙最后得9分，丙也是得9分.并且已知乙英語考試

得了第一名，問數學第二是誰？

24.（5分）老師讓小新把小胖、小貝、小丸子、小淘氣、小馬虎的作業本帶回去，小新見到這五人后就一人

第3頁共11頁

給了一本，結果全發錯了.現在知道：

⑴小胖拿的不是小貝的，也不是小淘氣的；

⑵小貝拿的不是小丸子的，也不是小淘氣的；

⑶小丸子拿的不是小貝的，也不是小馬虎的；

⑷小淘氣拿的不是小丸子的，也不是小馬虎的；

⑸小馬虎拿的不是小淘氣的，也不是小胖的.另外，沒有兩人相互拿錯（例如小胖拿小貝的，小貝拿小胖的）.

問：小丸子拿的是誰的本？小丸子的本被誰拿走了？

25.（5分）小明、小華、小強星期天去公園劃船，他們都戴了一頂漂亮的太陽帽。太陽帽有三種顏色：紅、

黃、藍。他們戴的分別是什么顏色的帽子?涂一涂。

我叔的不

他們栽的分我戢的不是

別是什么族是紅色的

紅色的，也不

色的帽子？

涂一涂°是黃色的J

小明小華小強

26.（5分）排課程表。

周四上午笑笑所在班級的四節課有語文、數學、英語、體育，語文老師9：00要參加會議，數學老師第三節要

聽課，體育老師前三節沒有課。請排出周四上午笑笑所在班級的課程表。（畫“J”）

語文數學英語體育

8：10-8：50弟一下

9：00-9：40弟一下

10：00-10：40弟二下

10：50-11：30第四節

27.（5分）四個同學參加網上棋類比賽，每兩個人都要賽一場.規定如下：勝者得2分，負者不得分，平

局得1分.比賽結果如下：兩名同學并列第一名，兩名同學并列第三名.已知比賽中有平局，那么第一名同學得

多少分？

第4頁共11頁

28.（10分）4男2女6個人站成一排合影留念，要求2個女的緊挨著有多少種不同的排法？

29.（5分）甲、乙、丙三人，一個總說謊，一個從不說謊，一個有時說謊.有一次談到他們的職業.甲說：

“我是油漆匠，乙是鋼琴師，丙是建筑師.”乙說：“我是醫生，丙是警察，你如果問甲，甲會說他是油漆匠.”

丙說：“乙是鋼琴師，甲是建筑師，我是警察."你知道誰總說謊嗎？

30.（5分）一次數學考試，共六道判斷題.考生認為正確的就畫“，認為錯誤的就畫“?”.記分的

方法是：答對一題給2分；不答的給1分；答錯的不給分.已知」、B、C、D、E、F、G七人的

答案及前六個人的得分記錄在表中，請在表中填出G的得分.并簡單說明你的思路.

ABCDEFG

1JJXX

24XX4XX

34XXXX

444xX

54xJX

64VxXXX

得分155597

31.（5分）小王、小張和小李一位是工人，一位是農民，一位是教師，現在只知道：小李比教師年齡大；小

王與農民不同歲；農民比小張年齡小。問：誰是工人？誰是農民？誰是教師？

第5頁共11頁

參考答案

一、最佳安排和選擇方案（共20題；共103分）

【笫1空】2

1-K【第2空】8

解:54+3=1818-2=16

18+2=20

2-1、答：這三個偈數分別是16,18和20.

31、解：甲是數學郴B,乙是語文老頗，丙是體育老師.

4-1、

解：假設小白是騎士（說實話），則小藍是騎士，小黑是輯子；又因為小藍是騎士,那么小白、小藍不同，一個是騎士,一個

是騙子，與小白、小盤均為埼土矛盾.假設小白是翁子（說假話），月弦小藍是驕子，“柴是猗士，又因為小藍是騙子，所以

小白、小藍不同是假話.因此，小白、小藍是梨子，〃要是殊t.

5-1、

解：假設最4曲男孩4歲.那么最大的女孩有4+4=8（歲）.四個女孩年豁都不同，最小的女孩應是5歲，那么最大的男

藻為5+4=9（歲），與題目說最大的孩子10歲矛盾.所以假設不成立.再假設最小的女孩J歲，那么最大的男讀為

4+4=8歲，最大的女屋10歲,爵小的另核10-4=6^＞苻合題息.所以最大男孩是$歲■

6-1、

解：如圖，將長方形按中級分為兩部分，則由抽屜原孰必然有3個點在同一個區域，那么由這3個點所構成的三角形的面積必

然小于該區域的T,即長方形面的四分之一.

解：1個人3天用水：3+3=1（11）

1個人沃用水：1*3=3（115）

2人9天用水:3*9=27（桶）

7-K察：2人9/27HMC.

8、答案：略

第6頁共11頁

9-1

解：由篁意可知,這次比賽共需比9+8+7+-+2+1=45（盤）?

因為每盤比賽雙方得分的和都是1分（1+0=1或0?5*2=1），所以1咯選手的總得分為1x45=45（分）.每個隊的得分

不是初5,就是~&5"這樣的，」MK.由于乙隊選手平均得3.6分，3.6的50K倍不可能是“&5'這樣的，JMS.所以，乙隊的怠

得分是18或36.

但36-3力=10.而三個隊一共才1昭選手（矛盾）?所以乙隊的總分是18分，有選手18-3.6=5（名）?甲、丙兩隊

共有5名選手.

由于丙隊的平均分是粉.這個隊忘分片可能是9分,18分（不可能是27分）.因為27+18=45.中隊選手忠得分為0

分）,丙隊選手人數相應為1名.2名，甲隊選手人數相應為4名,3S,經過試臉,甲隊4名選手，丙隊1名選手.

答:甲隊4g選手,乙隊活選手,丙隊1名選手.

10-1、

解：兩位數除以11的余數有11種:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,按余數情況把所有兩位數分成H種.12個不同的兩

位數放入11個抽卮,必定育至少2個數在同一個抽屜里，這2個數除以11的余數相同，兩者的差f能整除11.兩個不同的兩位

數，差能?11%除，這個差也一定是兩位數（如11,22......）,并且個位與十位相同.所以，田812個不同的兩位數，其中一

定存在著這樣的兩個數，它們的差是個位與十位數字相同的兩位數.

1『1、解：當然是f人兩個楮子,只是

12、答案：略

13-1、

解：因為（2）當下午下雨時，當天上午恰好是暗天,如果上午下雨,下午也必定是晴天因此每天只可能上午或者下午下雨.設

他M了夜.（X-9）為下午襁的雙,（X-13）為上午襁的次數（X-9）+（X-13）=8,2X=30,X=15,fK?了15天

解：10x10=100（錢）

14-1、答：一斤排號1001專.

15、答案：略

16-1,答：小而要買的是鉛筆.

17-1、

解：假設男人今天說的是真話,那么今天是星期四、五、六，日其中的氣,而且今天的前一^男人說的是假話，所以，根踞

另人的話，確定今天是星期四，所以女人說的話是假話，昨天也就5星期三女人說的是真話，苻合嬖意，所以，今天是星期四.

18-1、

第7頁共11頁

解：其實不用那么麻煩,我們發現“每只盒子外面所貼的標明總碼重量的標簽都是錯的"這句話說明標簽的可能只有兩種:

兩個1克兩個2克f1克一兩克

可能1:兩個2克/］克一兩克兩個1克

可能2：T-l克一個兩克兩個1克兩個2克

所以我們可以從標注“fl克一個兩克“里面拿f,如果是-155-的就是上面月的情況，否則就是下面另的情況.

19、答案：略

20-1、

解：為簡單起見,假定姓隊得1分，負隊不省分,其它條件不變,此種情況得到的花盍,各隊都加上物?就是原題8爰.

因為共賽45場,每隊賽9場，所以共產生45分.由兩隊并列第一,準知并列第T9隊至少各輸一場.

（1濾設并列第一的隊各輸1場,各得8分,如果并列第三的兩個隊各1ft兩場，各得7分,另陷前四名的隊共1觥場，而它們之間恰

好賽了6場,省以前四名的隊勝了后面的所有隊.由此推知，并列第五的隊至少各輸5場,最多各得4分，另眩后四名的隊共將

45—（8+7+4）、2=7分，而后四名的得分只能是3.2、1、0,其和不等于7.所以并列第三的兩個隊不能各輸兩場,而是各輸

三場,各得6分.此時,后6名的得分只能是5、5.4.2.1.0,

10個隊的得分依次為：8.8.6,6,5、5.4.2.1,0.

（2湄設并列第一的隊各輸2場，各得7分,那么并列第三的隊只能各輸3場，各得6分（如果各輸4場，后八名的隊的得分只能是

5.5.4,4.3、2、1、0,危分不到45分），后六名的得分只能是5.5、4、3.2、0.此時1S隊的得分依次為:7.7,6、

6、5、5、4、3、2、0.

（3渥設并列第一的隊至少各輸3場，則總分之多為6+6+5+5+4+4+3+2+1+0=36分，不合置意.

,各隊得加：17.17.15.15.14.14.13.11.10.9;

或:16.16,15,15.14,14.13.12.11.9.

二、染色與賦值問題（共11題；共60分）

21-1、

解:$個隊單單循環賽要賽6場，抵場比賽最多產生3分，則6場比賽最多產生18分.如果某隊積6分，則剩下12分.可

能另兩個隊也各得6分，這樣就要按進rm則排序，因此謨隊稗可能不出線.如果基隊枳7分，則剩下11分，這樣另外三

個隊中不可能再有兩個隊積分等于或超過7分,這樣該隊必然出線.因此T隊為了晉級下一輪，至少卿7分才能保證必然

出線.若有f隊總積分是5分，則其它三個隊共積18-5=13（分），這個隊可能排名前兩名，所以稗可能出線.

22-1、解：〃甲在，」峋作組，4件在書法組.小丁在繪畫組.

23-1、

第8頁共11頁

解：由乙英語第一，至少乙得3分，且忌分為9分.所以科目不會多于7科，且每科第一名至多得8分.又由甲息分為22分，所以

考試科目不少于3科.因為三人共得40分，而每科分配得分情況相同,故考試科目數應是40的約數，而3,6,7都不是40的約

數,所以只可能是4科或5科.若4科,每科共為1師.按名次分配應有4種：(7.2,1).(6.3.1),(5,4,1),

(5,3,2),由甲共得22分，且至多有3科第一(英語不是第一),則后三種情況不成立,因為即使是3科笫一,1科第二,總

分也這到不了22分.又由乙得9分，目英語第一.如果按(7,2,1)分配，即使其他三科都是最后一名,得1分,忌分也超過9

分.所以,以上幾種情況不能成立.若是5科,壑供為8分,按名次分配只有兩種：(5,2,1);(4,3,1),而后ftij

不能成立,原因仍然是不能與甲22分助&所以只有(5,2,1)符合題意.按照這種分配方褰:乙的得分情況是5,1,1,

1.1.甲的得分情況是5,5,5,5,2,且得2分的科目只能是英語,所以數字第二H能是丙.

解：根據“全發錯了”及條件⑴~(5),可以得到下表：

小庫的本小貝的本小丸子的本小海氣的本小馬虎

小胖XXX

小貝XXX

小丸子XXX

小淘氣XXX

小馬虎XXX

由表1看出，小海氣的本被小丸子拿了.此時，再繼續推理分析不大好下手，我們可用假設法.

由上君5］，小胖拿的本不是小丸子的就是〃0虎的.先假設小胖拿了小丸子的本.于是得到下表.

表中小貝勒0虎的本，虎拿小貝的本.兩人相互拿錯,不自題e.

小胖的本小貝的本小丸子的本小沏氣的本小馬虎

小林XXJXX

小貝XXXX4

小丸子XXXJX

XXXX

1小馬虎XXXX

再假設小胖拿”0虎的本.于是又可得表，經檢驗，下表符合邈意.

小胖的本小貝的本小丸子的本小洵氣的本小馬虎

小胖XXXXJ

小貝4XXXX

小丸子XXXX

小海氣XJXXX

小馬虎XXJXX

24-1,所以小丸子拿了小冷氣的本，小丸子的本被小馬虎拿去了.

根壁分忻可得：小明藏的是黃色的，小華戴的是紅色的，小強戴的是藍色的，涂色如下：

他們戟.的分我戴的不金栽的不

是紅色的

別是什么顏分紅色的也不

色的帽子？&黃色的.)

涂一涂。

小明小強

25T、

第9頁共11頁

語文教學英語體育

8：10-8：50第一節V

9：00-9：40第二節

10：00-10：40第三節V

10：50-11：30第四節V

26-1、

27-1、

解：四個同學共賽4x3-2=6（場），忌分是6x2=12（分）.每名選手的忌分一定是0~6七個數之一，因為有兩名同

字并列第一名，所以第一名的同學不可能都是全勝得6分，而且第一名的分數要大于3分?下面進行枚舉.

如果第一名的同學得5分，那么第三名的同學聞（12-5x2）-2=1（分），也就是第一名勝兩場，平一場，第三名平一場，

負兩場，各得1分；

如果第一名的同學得4分，月眩第三名的同學得（12-4x2）-2=2（分），也就是第一名勝一場，平兩場，第三各負一場，

平兩場，各得2分；

所以第一名同學得分為4分或5分.

解：分為三步：

第一步：4個男得先排,一共有4x3x2x1=24種不同的排法；

第二步：2個女的排次序一共有漁方法；

第三步：將排完次序的兩名女生插到排完次序的男生中間,一共有5個位者可插.

28-1、瑁據季'去原理，一耳自21-25-240蚌雄二■

29-1、

解：甲.如果甲從不說謊,那么乙的最后一句、丙的第一句都對,沒有總說謊的人，矛盾；同理，如果丙從不說謊，也將推出

矛盾.

30-1、

第10頁共11頁

解