太陽§7.3.萬有引力理論的成就溫故知新1萬有引力定律：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小F與物體的質量m1和m2的乘積成正比，與它們的距離r的二次方成反比.2.公式：r為兩個質點間距離；或等效質心之間距離一、萬有引力和重力的關系情景分析：如圖3所示，人站在地球(地球被視為規則的球體)的不同位置，比如赤道、兩極或者其他位置，人隨地球的自轉而做半徑不同的勻速圓周運動，請思考：(1)人在地球的不同位置，受到的萬有引力大小一樣嗎？答案根據萬有引力定律F＝

可知，人在地球不同的位置，受到的萬有引力大小一樣.(2)人在地球的不同位置，什么力提供向心力？大小相同嗎？受到的重力大小一樣嗎？(3)有人說：重力就是地球對物體的吸引力，對嗎？萬有引力的一個分力提供隨地球轉動需要的向心力，在地球的不同位置，向心力不同，重力是萬有引力的另一個分力，所以人在地球的不同位置，受到的重力大小不一樣.F萬FnG不對.重力是物體由于地球吸引產生的，但重力不是地球對物體的吸引力.1、地球表面的重力與萬有引力的關系除兩極以外，地面上其他點的物體，都圍繞地軸做圓周運動，這就需要一個垂直于地軸的向心力.地球對物體引力的一個分力F′提供向心力，另一個分力為重力mg，如圖4所示.(1)當物體在兩極時：理論分析此處向心力F`為0，則mg=F萬此時重力最大(2)當物體在赤道上時，受力如圖F萬FnG此時重力最小(3)從赤道到兩極：隨著緯度增加，向心力F′＝mω2R′減小，F′與F萬夾角增大，所以重力mg在增大，重力加速度增大，符合重力加速度g隨緯度的增加而減小的結論。(4)由于地球自轉角速度非常小，在忽略地球自轉的情況下，我們可以認為mg=Fn.，小結.（1）隨地球自轉時：向心力、重力是萬有引力的分力?重力隨緯度增大而_____，向心力隨緯度增大而____

?兩極地區：F引=____;赤道地區：F引=_____+_____.

?任何地區：mg≈F引＞＞Fn，不作嚴格要求時，mg=F引,向心力忽略不計（2）離地高h處繞地球公轉時：萬有引力直接提供向心力，重力等于引力。?F引=GMm/(R+h)2=Fn'=mg'

?重力、向心力都隨高度增大而_____，有g'/g=_________推論：在勻質球殼的空腔內任意位置處，質點受到球殼的萬有引力為零。增大mgmg減小Fn減小R2/(R+h)21、根據地球表面重力加速度求天體質量——“重力加速度法或黃金代換法”物體在天體表面附近（無論自轉或公轉）受到的重力等于萬有引力基本思路G重=F引R-----地球的半徑g-----地球表面的重力加速度二、稱量地球的質量（自力更生法）推廣：（1）其它天體的質量，尤其無衛星的天體，或雖有衛星但不知道有關參量。（2）沒有直接告訴天體表面的重力加速度，結合拋體運動但可以間接求出。以上兩種情況都可用此方法求中心天體質量。2、物體在天體表面附近（無論靜止還是轉動）受到的重力等于萬有引力【例題1】一宇航員為了估測一星球的質量，他在該星球的表面做自由落體實驗：讓小球在離地面h高處自由下落，他測出經時間t小球落地，又已知該星球的半徑為R，試估算該星球的質量。分析：質量為m的小球在星球表面g=?小球自由下落三、根據環繞天體的向心力求中心天體質量R中心天體rv環繞天體——“環繞法”（借助外援法）地球繞太陽——根據地球的向心力求太陽質量

月球繞地球——根據月球的向心力求地球質量衛星繞地球——根據衛星的向心力求地球質量基本思路F引=F向環繞天體做勻速圓周運動，萬有引力提供所需的向心力即：anωT以地球繞太陽做勻速圓周運動為例（已知引力常量G），若：已知條件：地球線速度

v

地球軌道半徑r

已知條件：地球角速度

ω

地球軌道半徑r

已知條件：地球公轉周期T

（不是自轉周期）

地球軌道半徑r

其它環繞天體圍繞中心天體做勻速圓周運動時，求解中心天體質量的方法類似。開普勒第三定律的比例系數K特別說明：（2）地球公轉周期（365天）、自轉周期（1天）（即是同步衛星的公轉周期）、月球公轉周期（27.3天）等，在估算天體質量時，常作為已知條件。（3）引力常量G代換：

?已知中心天體1質量M,表面重力加速度g和天體半徑R.（1）已知環繞天體軌道半徑r、公轉周期T、萬有引力常數G(或間接求出）。?已知中心天體質量,環繞天體公轉周期T和環繞天體軌道半徑r.【例題2】登月密封艙在離月球表面h處的空中沿圓形軌道運行，周期是T，已知月球的半徑是R，萬有引力常數是G，據此試計算月球的質量。解：登月密封艙相當于月球的衛星，則有：r=R+h解得：【變式訓練】登月密封艙在離月球表面h處的空中沿圓形軌道運行，周期是T，已知月球的半徑是R，地球質量為M,地球自轉周期為T',地球同步衛星軌道半徑為r,據此試計算月球的質量。三、計算中心天體的密度1、根據天體表面重力加速度求天體密度★還需要記住的公式：球的體積計算公式：物體的密度計算公式：2、利用環繞天體向心力（公轉周期T、環繞半徑r）求天體密度r≈R當衛星環繞中心天體表面運動時結論：當衛星環繞中心天體表面運動時（一般簡稱作近地衛星），軌道半徑r≈R，則此中心天體的密度為：科學史上的一段佳話

當時有兩個青年——英國的亞當斯和法國的勒維耶在互不知曉的情況下分別進行了整整兩年的工作。1845年亞當斯先算出結果，但格林尼治天文臺卻把他的論文束之高閣。1846年9月18日，勒維耶把結果寄到了柏林，卻受到了重視。柏林天文臺的伽勒于1846年9月23日晚就進行了搜索，并且在離勒維耶預報位置不遠的地方發現了這顆新行星。海王星的發現使哥白尼學說和牛頓力學得到了最好的證明。四、發現未知天體

海王星的發現和1705年英國天文學家哈雷根據萬有引力定律正確預言了哈雷彗星的回歸最終確立了萬有引力定律的地位，也成為科學史上的美談。

諾貝爾物理學獎獲得者，物理學家馮·勞厄說：“沒有任何東西向牛頓引力理論對行星軌道的計算那樣，如此有力地樹起人們對年輕的物理學的尊敬。從此以后，這門自然科學成了巨大的精神王國……”亞當斯勒維耶哈雷

哈雷通過運用牛頓萬有引力定律反復推算，得出結論認為，1531年、1607年和1682年這三次出現的彗星，并不是三顆不同的彗星，而是同一顆彗星三次出現。宣布1682年曾引起世人極大恐慌的大彗星將于1758年再次出現。1758年初，法國天文臺的法國天文學家梅西葉就動手觀測了，指望自己能成為第一個證實彗星回歸的人。1759年1月21日，他終于找到了這顆彗星。遺憾的是首次觀測到彗星回歸的光榮并不屬于他。1758年12月25日德國的一位農民天文愛好者已捷足先登，發現了回歸的彗星。哈雷預言彗星回歸

海王星發現之后，人們發現它的軌道也與理論計算的不一致。于是幾位學者用亞當斯和勒維耶列的方法預言另一顆行星的存在。

在預言提出之后，1930年3月14日，湯博發現了這顆行星——冥王星。實際軌道理論軌道

盡管冥王星外面太陽光已經非常的微弱，但是，黑暗寒冷的太陽系邊緣依然牽動著人們的心，搜索工作從來沒有停止過。

美國2001年發射，并于2006至2008年訪問冥王星的宇宙飛船1.判斷下列說法的正誤.(1)地球表面的物體的重力必然等于地球對它的萬有引力.(

)(2)若只知道某行星繞太陽做圓周運動的半徑，則可以求出太陽的質量.(

)(3)已知地球繞太陽轉動的周期和軌道半徑，可以求出地球的質量.(

)(4)天王星是依據萬有引力定律計算的軌道而發現的.(

)(5)牛頓根據萬有引力定律計算出了海王星的軌道.(

)(6)海王星、冥王星的發現表明了萬有引力理論在太陽系內的正確性.(

)即學即用×√××××【例題1】我國航天技術飛速發展，設想數年后宇航員登上了某星球表面.宇航員從距該星球表面高度為h處，沿水平方向以初速度v拋出一小球，測得小球做平拋運動的水平距離為L，已知該星球的半徑為R，引力常量為G.求：(1)該星球表面的重力加速度；(2)該星球的平均密度【例題2】假設在半徑為R的某天體上發射一顆該天體的衛星.若它貼近該天體的表面做勻速圓周運動的周期為T1，已知萬有引力常量為G.(1)則該天體的密度是多少？(2)若這顆衛星距該天體表面的高度為h，測得衛星在該處做圓周運動的周期為T2，則該天體的密度又是多少？【例題3】載人登月計劃是我國的“探月工程”計劃中實質性的目標。假設宇航員登上月球后，以初速度v0豎直向上拋出一小球，測出小球從拋出到落回原處所需的時間為t。已知引力常量為G，月球的半徑為R，不考慮月球自轉的影響，求：（1）月球表面的重力加速度大小

；（2）月球的質量M；（3）飛船貼近月球表面繞月球做勻速圓周運動的周期T。天體質量和密度的計算方法總結：(1)“黃金代換法或重力加速度法”：已知天體半徑R和表面的重力加速度g①思路：重力近似等于萬有引力②天體質量：③天體密度：(2)“環繞法”：已知繞行天體繞中心天體做勻速圓周運動的T、v、ω和半徑R①思路：繞行天體受到的萬有引力充當向心力：②天體質量：③天體密度：1、雙星問題(1)定義：兩個離得比較近的天體，在彼此間的引力作用下繞兩者連線上的一點做圓周運動，這樣的兩顆星組成的系統稱為雙星，五、雙星問題(2)特點：?軌道和圓心：運動軌道為同心圓，圓心在它們連線上。?軌道半徑和距離關系：r1＋r2＝L（距離不再是半徑）?向心力來源：彼此間的萬有引力充當向心力。?同軸傳動模型：周期相等，角速度相同T1＝T2，ω1＝ω2推論2：M總一定，系統的L3/T2的比值一定。M、L、T知二可求三由⑴⑵兩式得：2、雙星問題推論推論1：軌道半徑r和M成反比,M越大，r越小注意：已知r1、r2和L、T,才可求M1、M2已知L和T，不能求各自質量，但可求總質量M總由⑴⑵兩式得：由⑶⑷兩式得：推論3：軌道半徑為質量比和距離的乘積。【例題1】(多選)如圖所示,甲、乙、丙是位于同一直線上的離其他恒星較遠的三顆恒星,甲、丙圍繞乙在半徑為R的圓軌道上運行.若三顆星質量均為M,萬有引力常量為G,則(

)B.