3.4基本不等式重要內(nèi)容基本不等式的應(yīng)用基本不等式的推導(dǎo)及其證明基本不等式的推導(dǎo)及其證明第1學(xué)時如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一種風(fēng)車，代表中國人民熱情好客.你能在這個圖案中找出某些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？探究這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a、b,那么正方形的邊長為.將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形.由于4個直角三角形的面積不大于正方形的面積，我們就得到了一種不等式：當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼=b時，正方形EFGH縮為一種點，這時有結(jié)論1：證明：作差比較a2+b2-2ab=(a-b)2當(dāng)ab時，(a-b)2>0得a2+b2>2ab當(dāng)a=b時，(a-b)2=0得a2+b2=2ab特別地，如果a>0,b>0,我們用、分別代替上面結(jié)論中的a、b，可得證明同前面結(jié)論1結(jié)論2基本不等式的幾何意義在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD.你能運用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？探究易證Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.由于CD不不不大于圓的半徑

因此其中當(dāng)且僅當(dāng)點C與圓心重疊，即a＝b時，等號成立.的幾何意義是“半徑不不大于半弦”因此，基本不等式如果把看作是正數(shù)a、b的等差中項，把看作是正數(shù)a、b的等比中項，那么該定理可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不不大于它們的等比中項.基本不等式代數(shù)意義

為a、b的算術(shù)平均數(shù)，為幾何平均數(shù)，那么兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不不大于它們的幾何平均數(shù).基本不等式的推廣：若則叫做n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，叫做n個正數(shù)的幾何平均數(shù).n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不不大于它們的幾何平均數(shù).例1.求證證明：當(dāng)且僅當(dāng)a=即a=1時，等號成立.當(dāng)且僅當(dāng)=即a=b時，等號成立.證明：由于x、y都是正數(shù)，根據(jù)基本不等式得例2.已知x、y

都是正數(shù)，求證：（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.三式相乘得當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立.例4.若x>0，y>0，且x+y=2，求x2+y2的最小值解：∵x2+y2

2xy，∴2(x2+y2)(x+y)2∵x+y=2，∴x2+y2

2即x2+y2的最小值為2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時獲得最小值.3.已知a、b、c都是正數(shù)，求證（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc證明：由于a、b、c都是正數(shù)，根據(jù)基本不等式得（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc三式相乘得當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立.補充作業(yè)基本不等式的應(yīng)用第2學(xué)時復(fù)習(xí)：基本不等式例4.若x>0，y>0，且x+y=2，求x2+y2的最小值解：∵x2+y2

2xy，∴2(x2+y2)(x+y)2∵x+y=2，∴x2+y2

2即x2+y2的最小值為2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時獲得最小值.3.已知a、b、c都是正數(shù)，求證（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc證明：由于a、b、c都是正數(shù)，根據(jù)基本不等式得（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc三式相乘得當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立.例1（1）用籬笆圍成一種面積為100m2的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短.最短的籬笆是多少？（2）一段長為36m的籬笆圍成一種矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少?解：（1）設(shè)矩形菜園的長為xm，寬為ym，則xy=100，籬笆的長為2（x+y）m.由可得分析：對于(1)矩形菜園的面積是擬定的,長和寬沒有擬定.籬笆最短即矩形的周長最短.當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立，此時x=y=10.因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m.解：（2）設(shè)矩形菜園的長為xm，寬為ym，則2（x+y）=36，x+y=18，矩形菜園的面積為xym2.由可得分析：對于(2)矩形菜園的周長是擬定的,長和寬沒有擬定.菜園的面積最大即矩形的面積最大.當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，等號成立，此時x=y=9.因此，這個矩形的長、寬都為9m時，菜園的面積最大，最大面積是81m2.1.已知兩個正數(shù)x，y，求x+y與xy的最值.(1)xy為定值p，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，x+y有最小值；(2)x+y為定值s，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值.運用基本不等式求最值的要點2.在使用“和為常數(shù)，積有最大值”和“積為常數(shù)，和有最小值”這兩個結(jié)論時，應(yīng)把握三點：“一正、二定、三相等”例2某工廠要建造一種長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問如何設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了基本不等式定理.解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為z元，根據(jù)題意，得當(dāng)因此，當(dāng)水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元.例3.已知x＞1，求x＋的最小值以及獲得最小值時x的值.解：由于x＞1因此x－1＞0當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝（x>1)即x=2時，取“＝”號.答：最小值是3，獲得最小值時x的值為2.1．下列函數(shù)中，最小值為4的是()(A)(B)(C)(D)C練習(xí)2.某公司租地建倉庫，每月土地占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨品的運費y2與到車站的距離成正比，如果在距離車站10公里處建倉庫，這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站()(A)5公里(B)4公里(C)3公里(D)2公里A4.若正數(shù)x、y滿足x+2y＝1.求的最小值.3.已知lgx+lgy＝1，的最小值是______.5.已知正數(shù)a、b滿足a+b＝1.(1)求ab的取值范圍；(2)求的最小值.當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號即當(dāng)時,函數(shù)的最小值為解:6.求函數(shù)的最小值.)1(113)(2->++-=xxxxxf7.如圖，為解決含有某種雜質(zhì)的礦水，要制造一底寬為2米的無蓋長方形沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a，b的乘積ab成反比.現(xiàn)有制箱材料60平方米，問當(dāng)a，b各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小(A，B孔的面積無視不計).ABab小結(jié)

1.已知兩個正數(shù)x，y，求x+y與xy的最值.(1)xy為定值p