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文檔簡介

對角矩陣

對角矩陣是矩陣中最簡單的一種

→哪些A(∈L(V))在適當的基下,其矩陣是對角矩陣？→若A在某基下的矩陣是對角矩陣，則稱A可對角化→本節問題：什么樣的線性變換可以對角化？

(定理1)A(∈L(V),dimV=n)可對角化的充要條件是：A有n個線性無關的特征向量

.2(定理8)屬于不同特征值的特征向量線性無關.證明：對特征值的個數n進行歸納.

僅一個特征值λ1時，據定義存在非零向量ξ∈V，有

Aξ=λ1ξ成立→ξ顯然線性無關.

設屬于k個不同特征值的特征向量線性無關，現證屬于k+1個不同特征值λ1,···,λk,λk+1的特征向量ξ1,···,ξk,ξk+1線性無關.

設a1ξ1+···+akξk+ak+1ξk+1=0(1)給等式（1）兩邊同乘以λk+1，得

a1λk+1ξ1+···+ak

λk+1ξk+ak+1λk+1ξk+1=0（2）給等式（1）兩邊同施以線性變換A，得A（a1ξ1+···+akξk+ak+1ξk+1)=

a1Aξ1+···+akA

ξk+ak+1Aξk+1=

a1λ1ξ1+···+akλkξk+ak+1λk+1ξk+1=0

(3)

由(3)－(2)得a1(λ1－λk+1)ξ1+···+ak(λk－λk+1)ξk+ak+1(λk+1－λk+1)ξk+1=0

→

a1(λ1－λk+1)ξ1+···+ak(λk－λk+1)ξk=0→因ξ1,···,ξk

線性無關(歸納假定)可知ai(λi－λi)=0,i=1,···,n→因特征值互異，即λi－λi

≠0,i=1,···,n，故得a1=···=ak=0→等式(1)為ak+1ξk+1=0→由ξk+1≠0推出ak+1=0→ξ1,···,ξk,ξk+1線性無關.□3（推論1）

A∈L(V),dimV=n,fA(λ)在數域P中有n個不同的根，則可對角化.

············ξ1ξ2ξn

λ1λ2···············λnA(推論2)

A∈L(V),dimV=n,fA(λ)在復數域C中無重根，則可對角化.

證明思路與定理8相仿，對特征值的個數k進行歸納即可，此處從略.關鍵是正確理解意義.

······

λ1λ2···············λkA

(∈L(V))作業：P325習題20.1)；3)；5)；7).習題

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