第11講一元二次方程根分布1/34考綱要求考點(diǎn)分布考情風(fēng)向標(biāo)結(jié)合二次函數(shù)圖象，了解函數(shù)零點(diǎn)與方程根聯(lián)絡(luò)，判斷一元二次方程根存在性及根個數(shù)新課標(biāo)第10題考查函數(shù)零點(diǎn)存在性定理；新課標(biāo)Ⅰ第2題考查函數(shù)零點(diǎn)存在定理；新課標(biāo)Ⅰ第12題以函數(shù)零點(diǎn)為背景，考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用；天津第8題依據(jù)根分布求參數(shù)范圍高考試題對該部分內(nèi)容考查主要角度有兩種：一個是找函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)；一個是判斷零點(diǎn)范圍．另外備考中應(yīng)該尤其注意利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)零點(diǎn)2/343/344/34圖2-11-15/34圖2-11-26/34⑥方程有兩根(如圖2-11-3)：x2>k，x1<k

?af(k)<0；圖2-11-37/34⑦方程有且只有一根在區(qū)間(k1，k2)內(nèi)?f(k1)f(k2)<0(如圖2-11-4)；圖2-11-48/349/34

圖2-11-5⑨方程兩根滿足k1<x1<k2≤p1<x2<p210/34D11/342.若關(guān)于x方程x2＋ax＋a－1＝0有異號兩個實(shí)根，則a取值范圍是__________.a<1m>7

3.若方程8x2＋(m＋1)x＋m－7＝0有兩個負(fù)根，則實(shí)數(shù)m取值范圍是__________. 4.若關(guān)于x方程x2－ax＋a2－4＝0有兩個正根，則實(shí)數(shù)a取值范圍是_____________.12/34考點(diǎn)1一元二次方程根分布考向1零分布例1：當(dāng)m取何實(shí)數(shù)時，方程2(m＋1)x2＋4mx＋3m－2＝0.(1)有一正實(shí)數(shù)根和一負(fù)實(shí)數(shù)根；(2)有兩個負(fù)實(shí)數(shù)根；(3)正根絕對值大于負(fù)根絕對值；(4)有實(shí)數(shù)根.13/3414/34(3)方程正根絕對值大于負(fù)根絕對值??－2≤m≤1，且m≠－1.總而言之，－2≤m≤1時，方程有實(shí)根.15/34考向2K分布

例2：(1)若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0兩根中，一根在0和1之間，另一根在1和2之間，則k取值范圍為_______.16/34

(2)已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)一個零點(diǎn)比1大，一個零點(diǎn)比1小，求實(shí)數(shù)a取值范圍.圖D13解：方法一，設(shè)方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0兩根分別為x1，x2(x1<x2)，則(x1－1)(x2－1)<0.∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0.由根與系數(shù)關(guān)系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，即a2＋a－2<0，∴－2<a<1.方法二，函數(shù)圖象大致如圖D13，則有f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，得a2＋a－2＜0.∴－2<a<1.故實(shí)數(shù)a取值范圍是(－2,1).17/34【互動探究】1.已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.(1)若不等式f(x)≤0解集為[1,2]，求不等式f(x)≥1－x2解集；(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)＋x2＋1在區(qū)間(1,2)上有兩個不一樣零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a取值范圍.18/3419/3420/34考點(diǎn)2一元二次方程根分布應(yīng)用

例3：已知拋物線

y＝－x2＋mx－1與以A(3,0)，B(0,3)為端點(diǎn)線段AB恰有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m取值范圍.21/3422/3423/34

【互動探究】

2.若二次函數(shù)y＝－x2＋mx－1圖象與兩端點(diǎn)為A(0,3)，B(3,0)線段AB有兩個不一樣交點(diǎn)，求m取值范圍.

解：線段AB方程為x＋y＝3(0≤x≤3).24/3425/34思想與方法⊙利用分類討論思想判斷方程根分布例題：已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x－1＋3a(a∈R)在區(qū)間[－1,1]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a取值范圍.解：方法一，當(dāng)a＝0時，f(x)＝x－1.令f(x)＝0，得x＝1，是區(qū)間[－1,1]上零點(diǎn).當(dāng)a≠0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上有零點(diǎn)分為三種情況：①方程f(x)＝0在區(qū)間[－1,1]上有重根.26/3427/34③若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－1,1]上有兩個零點(diǎn)，則28/3429/3430/34【規(guī)律方法】(1)函數(shù)f(x)＝ax2＋x－1＋3a(a∈R)在區(qū)間[－1,1]上有零點(diǎn)，應(yīng)該分類討論：討論a＝0與a≠0；討論有一個零點(diǎn)或有兩個零點(diǎn)；假如只有一個零點(diǎn)還要討論是否是重根；(2)函數(shù)f(x)零點(diǎn)不是“點(diǎn)”，它是一個數(shù)，是方程f(x)＝0實(shí)數(shù)根；(3)準(zhǔn)確了解根存在性定理：①f(x)在[a，b]上連續(xù)；②f(a)·f(b)<0；這是零點(diǎn)存在一個充分條件，不是必要條件，而且滿足f(a)·f(b)<0時，f(x)在[a，b]上最少有一個零點(diǎn)；不滿足f(a)·f(b)<0時，f(x)在[a，b]上未必?zé)o零點(diǎn)，也可能有多個零點(diǎn).31/34

【互動探究】

3.已知二次函數(shù)f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a. (1)判斷命題：“對于任意a∈R(R為實(shí)數(shù)集)，方程f(x)＝1必有實(shí)數(shù)根”真假，并寫出判斷過程；a取值范圍.32/34解：(1)“對于任意a∈R(R為實(shí)數(shù)集)，方程f(x)＝1必有實(shí)數(shù)根”是真命題.依題意，得f(x)＝1有實(shí)數(shù)根，即x2＋(2a－1)x－