2024-2025學年八年級下冊期中數學試卷（考試范圍：第16~18章）一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．估計73+3×A．18到19之間 B．19到20之間C．20到21之間 D．21到22之間2．如圖,在平面直角坐標系中,A、B、C三點的坐標分別是?1,2,4,2,2,?1,若以A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形,則點A．7,?1 B．?3,?1 C．1,5 D．2,53．如圖，在矩形ABCD中，AB=10,BC=16，點E和F是邊BC上的兩點，連接AE、DF，將△ABE和△CDF沿AE、DF折疊后，點B和點C重合于點M，則EF的長是（

）A．3 B．5 C．6 D．84．如圖，在△ABC中，AD是BC邊的中線，∠ADC=30°，將△ADC沿AD折疊，使C點落在C′的位置，若BC=4，則B

A．23 B．2 C．4 5．如圖，在菱形ABCD中，AC=6，BD=62，E是BC邊的中點，P，M分別是AC，AB上的動點，連接PE，PM，則PE+PM的最小值是(

A．6 B．26 C．33 6．如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點M、N．若正方形ABCD的邊長為a，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（

）A．14a2 B．12a27．如圖，兩個大小相同的正方形ABCD，EFGH如圖放置，點E，B分別在邊AD，FG上，若要求出陰影部分的周長，只要知道下列哪條線段的長度即可（

）．A．AB B．AE C．DE D．DE?AE8．如圖，在?ABCD中，E是BC邊的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F，若AD=2AB，則下列結論：①四邊形ABFC是平行四邊形；②DE⊥AF；③S△ECF=S△ECD；④若BC=25，DE=24，則A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．如圖在?ABCD中，∠ABC=60°，BC=2AB=8，點C關于AD的對稱點為E，連接BE交AD于點F，點G為CD的中點，BG．則△BEG的面積為（）A．163 B．143 C．8310．如圖，在三角形ABC，AB2+AC2=BC2，且AB=AC，H是BC上中點，F是射線AH上一點．E是AB上一點，連接EF，EC，BF=FE，點G在AC上，連接BG，∠ECG=2∠GBCA．92 B．82 C．72二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．如圖，在?ABCD中，過AC上的點O作MN∥AB，PQ∥AD，M、N、P、Q均在平行四邊形的邊上，且CN=3BN，S△CON12．如圖，點E、F分別是菱形ABCD的邊BC、CD上的點，且∠B=∠EAF=60°，∠FAD=42°，則∠CEF=°．

13．如圖所示的長方體透明玻璃魚缸，假設其長AD=80cm，高AB=60cm，水深AE=40cm．在水面EF上緊貼內壁的G處有一塊面包屑，且EG=60cm．一只螞蟻想從魚缸外的A點沿魚缸壁爬進魚缸內的G14．如圖，菱形ABCD中，∠D=110°，點P在對角線AC上，將△BCP沿BP翻折，得到△BC1P，當∠PBC=時，P、C15．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=43，M是AC的中點，N是AB上任意一點，以MN為對稱軸折疊△AMN，得到△DMN，點A的對應點為點D（點B，N，D在（1）當MD⊥AB時，∠ANM=；（2）當DN⊥AB時，BN的長為．16．如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形OA1B1C1的兩邊在坐標軸上，以它的對角線OB1為邊作正方形OB1B2C三．解答題（共9小題，滿分72分）17．（6分）閱讀下列解題過程：15(1)觀察上面解題過程，計算3(2)請直接寫出1n+(3)利用上面的解法，請化簡：118．（6分）如圖1，在?ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，以A為旋轉中心，將線段AD順時針旋轉，旋轉角為α0°<α<90°，得到線段AM，連接BM，DM(1)求∠BMD的度數；(2)如圖2，過點D作DN⊥BM于點N，連接CN，猜想線段BM與線段CN之間的數量關系，并證明．19．（6分）如圖，某公園有一塊四邊形草坪ABCD，計劃修一條A到C的小路，經測量，∠D=90°，AD=14?m，DC=48?m，AB=40?m(1)求小路AC的長；(2)萌萌帶著小狗在草坪上玩耍，萌萌站在點B處，小狗從點B開始以2?m/s的速度在小路上沿B→C→A的方向奔跑，跑到點A20．（8分）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E是BC邊上一點，且CE=1，對角線AC，BD交于點O，點F是AO中點，連接BF；(1)如圖1，過點F作FH∥AD交CD于點H，判斷四邊形(2)如圖2，若點P是對角線BD上的動點，當BD平分∠EPF時，判斷EP，FP，EF之間的數量關系，并計算EP?FP的值．21．（8分）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求找格點M．(1)在圖①中，連結AM、BM、CM，使AM=BM=CM；(2)在圖②中，連結BM、CM，使∠BMC+∠BAC=180°；(3)在圖③中，連結BM，使∠CBM+∠BAC=90°．22．（10分）已知，E、F分別為?ABCD的邊BC、AD上的動點，將?ABCD沿直線EF折疊，使點C落在邊AB上的點C′處，點D的對應點為D(1)如圖，當點D′落在BA的延長線上時，求證：四邊形E(2)若AB=BC，∠B=60°，EC′⊥AB(3)若AB=5，BC=6，?ABCD的面積為24，求CE的取值范圍．23．（10分）現有四個全等的矩形如圖鑲嵌（在公共頂點O周圍不重疊無空隙），將不相鄰的四個外頂點順次連接（如圖1、2所示）；(1)如圖1，求證：四邊形ABCD是正方形：(2)判斷圖2中的四邊形EFGH_______正方形（填“一定是”或“不一定是”）；若已知四邊形ABCD的面積為18，在下列三個條件中：①OC=3；②OA+DH=4；③OD=3AE，再選擇一個作為已知條件，求出四邊形EFGH的面積，你的選擇是______（填序號），寫出求四邊形EFGH的面積解答過程；(3)在（2）的條件下，在圖2中連接AB，與EF交于Y，求S△BFY(4)如圖3，四個全等的平行四邊形，在O點處鑲嵌，將不相鄰的外頂點順次連接，若S陰影S四邊形24．（12分）如圖，點D為△ABC所在平面內的一點，連接AD、CD，∠ABC=30°．(1)如圖1，點D為△ABC外一點，點E在邊AC的延長線上，連接BE．若BE=AD，AB=AC，∠DAC=4∠CBE=40°，求∠D的度數：(2)如圖2，點D為△ABC內一點，若∠ABD=∠ACD，∠DCB=∠ABC，求證：BD=AC+AD；(3)如圖3，在（2）的條件下，延長AD交BC于點F，當△ABF為等腰三角形時，請直接寫出ADBC25．（12分）定義：如果一個凸四邊形沿著它的一條對角線對折后能完全重合，我們就把這個四邊形稱為“憂樂四邊形”．如圖1，凸四邊形ABCD沿對角線AC對折后完全重合，四邊形ABCD是以直線AC為對稱軸的“憂樂四邊形”.(1)下列四邊形一定是“憂樂四邊形”的有_______(填序號)；①平行四邊形②菱形③矩形④正方形(2)如圖2，在矩形ABCD中，點E是BC邊上的中點，四邊形ABEM是以直線AE為對稱軸的“優樂四邊形”（點M在四邊形ABCD內部），連接AM并延長交DC于點N．求證：四邊形MECN是“憂樂四邊形”(3)如圖3，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AB=3，AD=5，點E是BC邊上的中點，四邊形ABEM是以直線AE為對稱軸的“憂樂四邊形”（點M在四邊形ABCD內部），連接AM并延長交DC于點N．當ΔADN是直角三角形時，請直接寫出線段CN參考答案一．選擇題1．C【分析】本題考查了無理數的估算，無理數的估算常用夾逼法，用有理數夾逼無理數是解題的關鍵．根據二次根式的混合運算化簡，估算無理數的大小即可得出答案．【詳解】解：7==7+3∵4.52∴4.5<∴13.5<3∴20.5<7+3∵321∴321∴7+321∴20.5<7+3即73故選：C．2．D【分析】根據平行四邊形的性質可知：平行四邊形的對邊平行且相等，連接各個頂點，數形結合，可以做出D點可能的坐標，利用排除法即可求得答案．【詳解】解：數形結合可得點D的坐標可能是（﹣3，﹣1），（7，﹣1），（1,5）；但不可能是（2,5）故選：D．3．C【分析】本題主要考查矩形與折疊問題，等腰三角形的性質以及勾股定理等知識，過點M作PQ⊥AD于點P，則PQ⊥BC于點Q，由勾股定理可求MP=6，MQ=4，設FC=FM=x，則QF=8?x，由勾股定理求出x=5，從而進一步可得出結論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=BA=10，BC=AD=16，∠BAD=∠CDA=∠B=∠C=90°，由折疊得，AM=DM=AB=10，∠BAE=∠MAE，∠CDF=∠MDF，∠AME=∠DMF=90°，∴∠MAD=∠MDA，∴∠MAE=∠MDF，∴△AME≌△DMF，∴ME=MF，過點M作PQ⊥AD于點P，則PQ⊥BC于點Q，如圖，則PQ=CD=10，∴DP=12由勾股定理得，MP=M∴MQ=PQ?MP=10?6=4，設FC=FM=x，則QF=8?x，在直角△MQF中，MQ∴42解得，x=5，∴ME=MF=5，即BE=CF=5，∴EF=BC?BE?CF=6，故選：C．4．A【分析】本題考查了折疊的性質、等腰三角形的性質、勾股定理解三角形等知識，準確添加輔助線，掌握折疊前后圖形的對應關系是解題的關鍵．根據已知條件和圖形折疊的性質可得：∠BDC′=120°,BD=C′D=2，過點【詳解】解：解：∵AD是BC邊的中線，∴BD=DC=1∴∠ADC∴∠BDC∴∠DBC過點D作DE⊥BC′于∴DE=1∴BE=BD∴BC故選：A．5．B【分析】本題考查了軸對稱—最短路徑問題，涉及到菱形的性質、勾股定理等，作點M關于AC的對稱點M′，連接PM'，M'E，則PM'=PM，PE+PM=PM【詳解】解：如圖，作點M關于AC的對稱點M′，連接M∴PM∴PE+PM=PM當M'E⊥BC時，點P在M'∵四邊形ABCD是菱形，∴點M′在AD∵AC=6，BD=62∴AB=AD=3由S菱形得12解得：EM即PE+PM的最小值是26故選：B．6．C【分析】過E作EP⊥BC于點P，EQ⊥CD于點Q，可證四邊形PCQE是正方形，再△EPM≌△EQN可得S△EQN【詳解】解：如圖，過E作EP⊥BC于點P，EQ⊥CD于點Q，∴∠EPM=∠EQN=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∴∠PEQ=90°，四邊形PCQE是矩形，∴∠PEM+∠MEQ=90°，∵△FEG是直角三角形，∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，∴∠PEM=∠NEQ，∵AC是∠BCD的角平分線，∠EPC=∠EQC=90°，∴EP=EQ，∴四邊形PCQE是正方形，在△EPM和△EQN中，∠PEM=∠NEQEP=EQ∴△EPM≌△EQN（∴S∴S四邊形∵正方形ABCD的邊長為a，∴AC=2∵EC=2AE，∴EC=2∴EP=PC=2∴S∴重疊部分四邊形EMCN的面積為49故選：C．7．C【分析】過B作BN⊥EH，垂足為N，連接BE，BK，KP，分別證明△ABE≌△FEB，△BAE≌△BNE，△BNK≌△BCK，△KHP≌△PCK，再將△KHQ的周長進行轉化，得到ED=KC+KH=C△KQH，可得結果．【詳解】解：過B作BN⊥EH，垂足為N，連接BE，BK，KP，∵兩個大小相同的正方形，∴AB=EF，又∵∠A=∠F，BE=EB，∴Rt△ABE≌Rt△FEB（HL），∴∠AEB=∠FBE=∠NEB，AE=BF，同理可得：Rt△BAE≌Rt△BNE，Rt△BNK≌Rt△BCK，∴∠EBK=45°，∴AE+KC=EK，∵AE=BF，∴DE=BG，∵∠H=∠C=90°，∠PQC=∠KQH，∴∠BPG=∠CPQ=∠QKH=∠EKD，∴△BGP≌△EDK，∴PG=KD，∴PH=KC，同理可證：△KHP≌△PCK，∴△KQH的周長為KC+KH，又∵AE+ED=EK+KH，AE+KC=EK，∴AE+ED=AE+KC+KH，∴ED=KC+KH=△KQH的周長，∴要求出陰影部分的周長，只要知道線段ED的長度，故選C．8．C【分析】此題主要考查了平行四邊形的平判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理等，熟練掌握平行四邊形的平判定和性質，全等三角形的判定和性質，靈活利用勾股定理進行計算是解決問題的關鍵．①根據平行四邊形的性質得AB∥CF，進而可證△ABE和△FCE全等，從而得AB=CF，據此可對命題①進行判斷；②證∠BAD=2∠DAE，∠ADC=2∠ADE，再根據AB∥CD得2∠DAE+2∠ADE=180°，進而得∠DAE+∠ADE=90°，從而得∠AED=90°，據此可對命題②進行判斷；③根據E是BC邊的中點，AD∥BC得S△ABE=S△ECD，再根據△ABE≌△FCE得S△ABE=S△ECF，據此可對命題③進行判斷；④根據△AED為直角三角形，【詳解】解：①∵四邊形ABCD為平行四邊形，如圖所示：∴AB∥CD，∴AB∥CF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵E是BC邊的中點，∴BE=CE，在△ABE和△FCE中，∠1=∠3∠2=∠4∴△ABE≌△FCE(AAS∴AB=CF，∴四邊形ACFB是平行四邊形，故①正確；②∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠DAE=∠AEB，∠CED=∠ADE，∠BAD+∠ADC=180°，∵E是BC邊的中點，∴BE=CE，∵AD=2AB，∴AB=BE=CE=CD，∴∠1=∠AEB，∠CDE=∠CED，∴∠1=∠DAE，∠CDE=∠ADE，∴∠BAD=2∠DAE，∠ADC=2∠ADE，∴2∠DAE+2∠ADE=180°，即∠DAE+∠ADE=90°，∴∠AED=180°?(∠DAE+∠ADE)=90°，即DE⊥AF，故②正確；③∵E是BC邊的中點，AD∥BC，∴S∵△ABE≌△FCE，∴S∴S故③正確；④∵∠AED=90°，∴△AED為直角三角形，∵BC=25，DE=24，∴AD=BC=25，在Rt△AED中，AD=25，DE=24由勾股定理得：AE=A∵△ABE≌△FCE，∴EF=AE=7，∴AF=AE+EF=14，故④不正確．綜上所述：正確的命題是①②③，故選：C9．B【分析】如圖，取BC中點H，連接AH，連接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延長線于M．構建S△BEG【詳解】解：如圖，取BC中點H，連接EC交AD于N，∵BC=2AB，BH=CH，∴BA=BH=CH，∴△ABH是等邊三角形，∴HA=HB=HC，∴∠BAC=90°，∴∠ACB=30°，∵EC⊥BC，∠BCD=180°?∠ABC=120°，∴∠ACE=60°，∠ECM=30°，∵BC=2AB=8，∴CD=4，CN=EN=23∴EC＝43∴S△BEG=1=163=143故選：B．10．D【分析】延長EA到K，是的AK=AG，連接CK，先由勾股定理的逆定理可以得到△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠ACB=∠ABC=45°，由BF=FE，得到∠FBE=∠FEB，設∠BFE=x，則∠EBF=12180°?∠BFE=90°?12x，然后證明CB=FC=FE，得到∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC則∠FCA=90°?12x，EBF=12180°?∠BFE=90°?12x即可證明∠EFC=∠AFE+∠AFC=【詳解】解：延長EA到K，是的AK=AG，連接CK，∵在三角形ABC，AB2+A∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∵BF=FE，∴∠FBE=∠FEB，設∠BFE=x，則∠EBF=∵H是BC上中點，F是射線AH上一點，∴AH⊥BC，∴AH是線段BC的垂直平分線，∠FAC=45°，∴CB=FC=FE，∴∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC∴∠FCA=90°?12∴∠AFB=∠AFC=180°?∠FAC?∠FCA=45°+1∴∠AFE=∴∠EFC=∴EF∴CF=2設∠ECG=2∠GBC=2y，∵AG=AK，AB=AC，∠KAC=∠GAB=90°，∴△ABG≌△ACK（SAS），∠K=∠AGB=∠ACB+∠GBC=∴∠ECK=∴∠ECK=∠K，∴EK=EC，∵EK=AE+AK=AE+AG=92∴EF=EK=92∴CF=9，故選D．二．填空題11．6【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質，先證明四邊形APOM,BPON,CNOQ,DMOQ都是平行四邊形，然后證明S?BPON=S?DMOQ，根據CN=3BN，【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD,AD∥BC．∵MN∥AB，∴四邊形APOM,BPON,CNOQ,DMOQ都是平行四邊形，∴S△ABC∴S△APO∴S?BPON∵S△CON∴S?CNOQ∵CN=3BN，∴S?BPON∴S?BPON故答案為：6．12．18°【分析】首先證明△ABE≌△ACF，然后推出AE=AF，證明△AEF是等邊三角形，可求出∠AFD，∠CFE的度數，從而可求∠CEF的度數．【詳解】解：連接AC，

∵菱形ABCD，∴AB=BC，∠B=∠D=60°，∴△ABC為等邊三角形，∠BCD=120°∴AB=AC，∠ACF=1∴∠B=∠ACF，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，即∠BAE+∠EAC=60°，又∠EAF=60°，即∠CAF+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE與△ACF中，∠B=∠ACFAB=AC∴△ABE≌△ACF(ASA∴AE=AF，又∠EAF=∠D=60°，則△AEF是等邊三角形，∴∠AFE=60°，又∠AFD=180°?∠FAD?∠D=180°?42°?60°=78°，則∠CFE=180°?78°?60°=42°．∴∠CEF=180°?∠ECF?∠CFE=180°?120°?42°=18°．故答案為：18°．13．100【分析】本題考查平面展開?最短路徑問題，關鍵知道兩點之間線段最短，從而可找到路徑求出解．作出A關于BC的對稱點A′，連接A′G，與BC交于點Q，此時AQ+QG最短；A【詳解】解：如圖所示作出A關于BC的對稱點A′，連接A′G，與BC交于點Q則A'根據題意：BE=AB?AE=20cm，EG=60∴A'∴AQ+QG=A∴最短路線長為100cm故答案為：100．14．25°或85°【分析】當P、C1、D三點共線時，分兩種情況：①當D在線段PC1上時，連接BD，②當D在C1P延長線上時，連接PD，BD；由軸對稱的性質易證得△BPC≌△BPC1SAS，則【詳解】解：當P、C1、D①當D在線段PC1上時，如圖，連接∵C1為C關于BP∴BC=BC1，∠PBC=∠PBC∴△BPC≌∴∠BCP=∠BC設∠PBC=∠PBC∵四邊形ABCD為菱形，且∠D=∠ADC=110°，∴∠BCD=180°?∠ADC=180°?110°=70°，CD=CB，∴∠CDB=∠CBD=180°?∠BCD∴∠DCP=∠BCP=∠BC∵∠CBC∴∠DBC∴∠BDP=∠DBC∵P在菱形ABCD的對角線AC上，∴PD=PB，∴∠PBD=∠BDP=2x?20°，又∵∠CBD=∠PBD+∠PBC=2x?20°+x=3x?20°，而∠CBD=55°，∴3x?20°=55°，∴x=25°；②當D在C1P延長線上時，如圖，連接PD，同上，設∠PBC=∠PBC∵∠CBD=55°，∴∠PBD=∠PBC?∠CBD=x?55°，又∵P在菱形ABCD的對角線AC上，∴PD=PB，∴∠PBD=∠BDP=x?55°，∴∠BPD=180°?∠PBD?∠BDP=180°?x?55°又∵∠BPD=∠BC∴290°?2x=35°+x，∴x=85°；∴當∠PBC=25°或85°時，P、C1、D故答案為：25°或85°．15．120°5+3/【分析】本題考查了折疊的性質，勾股定理，直角三角形的性質：（1）當MD⊥AB時，由直角三角三角形的性質，求出∠AMN=60°，再根據折疊的性質可得∠AMN=∠NMD=30°，最后利用三角形內角和定理即可求解；（2）過點M作ME⊥AB于點E，根據折疊的性質可知∠ANM=∠MND=12×180°+90°=135°，證明ME=NE，利用直角三角形的性質求出AM=23，NE=ME=3，利用勾股定理求出AE=3【詳解】解：（1）∵MD⊥AB，∴∠ADM=90°，∵∠A=30°，∴∠AMN=90°?∠A=60°，由折疊的性質可得∠AMN=∠NMD=1∴∠ANM=180°?∠A?∠AMN=120°，故答案為：120°；（2）過點M作ME⊥AB于點E，∵DN⊥AB，∴∠AND=∠END=90°，根據折疊的性質可知∠ANM=∠MND=1∴∠MNE=45°，∴∠MNE=∠NME=45°，.∴ME=NE，∵M是AC的中點，AC=43∴AM=1∵∠A=30°，∴NE=ME=1∴AE=A∴AN=AE?NE=3?3∵∠C=90°,∠A=30°,AC=43∴AB=2BC，∴AB∴BC=4，∴AB=8，∴BN=AB?AN=8?3?故答案為：5+316．2【分析】本題考查了規律型：點的坐標．根據題意，可以從各個B點到原點的距離變化規律和所在象限的規律入手．【詳解】解：由圖形可知，OBOBOB?,每一個B點到原點的距離依次是前一個B點到原點的距離的2倍，同時，各個B點每次旋轉45°，每八次旋轉一周．∴頂點B2024到原點的距離2×∵2024=253×8，∴頂點B2024的恰好在x∴頂點B2025∴頂點B2025的坐標是2故答案為：21013三．解答題17．（1）解：原式=3（2）1n（3）原式=218．（1）解：∵AB=AD，AD=AM，∴∠AMD=∠ADM=180°?α2=90°?∴∠AMB=∠ABM=180°?90°?α∴∠BMD=∠AMD?∠AMB=90°?1（2）解：BM=2證明：過點C作CE⊥CN交MB的延長線于點E∵ABCD為平行四邊形∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC

∵AB=AD，∠BAD=90°∴BC=CD，∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°

∴∠DCN+∠NCB=90°，又∵∠ECB+∠NCB=90°∴∠ECB=∠NCD∵∠DNC+∠CNE=90°，∠E+∠CNE=90°∴∠E=∠DNC在△CDN和△CBE中，∠CND=∠CEB∴△CDN≌△CBEAAS∴DN=BE，CN=CE∵∠BMD=45°，∠MND=90°∴MN=ND∴MN=BE∴BM=NE=219．（1）解：∵∠D=90°，AD=14m，DC=48∴在Rt△ADC中，AC=∴小路AC的長為50m；（2）解：如圖所示：過B作BH⊥AC，

依題意，當小狗在小路CA上奔跑，且跑到點H的位置時，小狗與萌萌的距離最近．∵AB=40m，CB=30m．∴AC即AC∴∠ABC=90°，則S△ABC即BH=AB×BC∴HC=∵小狗從點B開始以2m/s的速度在小路上沿B→C→A∴HC+BC=18+30=48m則48÷2=24∴當小狗在小路CA上奔跑時，小狗需要跑24秒與萌萌的距離最近．20．（1）解：四邊形BEHF是平行四邊形證明：如圖，過點F作FG⊥AD于點G，∴∠AGF=90°，∵四邊形ABCD是正方形，且邊長為4，∴∠ADC=90°，BC=AD=DC=4，AO=OC，AC⊥BD，∠ODC=∠BAC=∠CAD=45°，AD∥AC⊥BD，∠BAC＝∠CAD＝45°∴GF∥∵FH∥∴四邊形FHDG是矩形，∴GD=FH，GF=DH，∵∠ADC=90°，AD=DC=4，∴AC=A∴AO=1∵點F是AO中點，∴AF=1在△GAF中，∠AGF=90°，∠FAG=45°，∴∠AFG=90°?∠FAG=90°?45°=45°=∠FAG，∴AG=FG，∴AF=A即2=∴AG=1，∴FH=DG=AD?AG=4?1=3，∵CE=1，∴BE=BC?EC=4?1=3，∴FH=BE=3，∵FH∥AD，∴FH∥∵四邊形BEHF為平行四邊形；（2）EP，FP，EF之間的數量關系為：EP如圖，設平行四邊形BEHF的邊FH與BD交于點P，∵FH∥AD，∠ADC=90°，∴∠PHD=180°?∠ADC=180°?90°=90°，∴∠DPH=90°?∠PDH=90°?45°=45°=∠DPH，∠PHC=90°，∴PH=DH=FG=AG=1，∴EC=PH=1，∵FH∥∴四邊形PHCE是平行四邊形，∠FPB=∠PBC=45°，∵∠PHC=90°，∴四邊形PHCE是矩形，∴PE=HC，∠EPF=∠EPH=90°，∴∠EPB=∠EPF?∠FPB=90°?45°=45°，∴∠EPB=∠FPB，即BD平分∠EPF，即FH與BD的交點為符合條件的點P，在△PEF中，∠EPF=90°，FP=FH?PH=3?1=2，EP=HC=DC?DH=4?1=3，∴EP2+P21．（1）解：如圖①，點M即為所求；∵點M在AC，BC的垂直平分線上，∴AM=BM=CM；（2）如圖②，點M或點M'由網格可知：BM∥∴∠BMC+∠ACM=180°由網格可知：∠BAM+∠AMC=90°，∠BMA=∠MAC+∠BCA=45°，∴∠BMC+∠BAC=∠BMA+∠AMC+∠MAC+∠BAM=45°+45°+90°=180°；∴∠BMC+∠BAC=180°；（3）如圖③，點M即為所求；由網格可知：BC∥∴∠CBM=∠NMB，由網格可知：AB=AM，∠BAM=90°，∠DAC=45°，∴∠BMA=45°，∴∠CBM=∠NMB=∠BMA?∠AMN=45°?∠AMN=45°?∠BAD，∴∠CBM+∠BAC=45°?∠BAD+∠BAD+45°=90°．22．（1）證明：由折疊性質得：∠D=∠D′，CD=C∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠D′AF，AB?AC′=∴BC∵∠BC∴∠BC∴△BC′E≌△A∴D′∴四邊形EC（2）解：延長BA交D′F于∵四邊形ABCD為平行四邊形，∵AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形，∵∠B=60°，∴∠BEC設BC′=1∴C′由折疊性質可知：CE=C′E=∴BC=BE+CE=2+3∵∠D∴∠D∴D′由勾股定理得C′∵AB=BC=2+3，BC=1∴AC∴AG=C∵∠AFG=30°，∴AF=1，∴DF=3∴DFAF＝3（3）解：求CE取值范圍即是求C′E取值范圍，當C′作AH⊥BC，∵BC=6，?ABCD的面積為24，∴AH=4，∴BH=3，設CE=C∴BE=6?x，∴S△ABE∴12解得：x=8∴CE的最小值為83當C′與A重合時，C在Rt△AEH中，A∴16+x?3∴x=25∴CE最大值為256∴8323．（1）證明：由題，∠AOB=∠AOD=∠BOC=∠COD=90°，所以A，O，C三點共線，B，O，D三點共線，所以AC⊥BD，又OA=OB=OC=OD，所以AC=BD，所以四邊形ABCD為正方形．（2）解：一定是，理由如下，連接OE,OF,OG,OH，如圖，∵AE=OQ,∠A=∠OQF,AO=FQ∴△AEO≌△OQF∴∠AOE=∠QFO∵∠FOQ+∠QFO=90°∴∠FOQ+∠AOE=90°，同理可得，∠FOH=∠HOG=∠GOF=90°，由題意可得OE=OF=OG=OH，則四邊形EFHG是平行四邊形∴FH=GE則四邊形EFHG是矩形，又∠FOH=∠HOG=∠GOF=90°，則四邊形EFHG是正方形；如圖，延長EP交HN于點Q，可得EQ⊥HN選擇②因為正方形ABCD的面積為18，所以BD=6，即OA=3，則選擇①無效，由添加的條件可知，DH=1，所以EQ=4,QH=2，Rt△EQH中，所以正方形EHGF的面積為=20．選擇③同理可得所以BD=6，即OA=3，由添加的條件可知，DH=1，所以EQ=4,QH=2，所以正方形EHGF的面積為=20．（3）如圖，作YR⊥BD,YS⊥AO，由∠ABO=45°，可得∠AYS=45°，所以YS=AS，所以S=（4）解：設平行四邊形AB邊上的高為h，如圖，設AF,BH交于點Y，過點Y作AO的垂線，交AO于S，FH的延長線于點P，過點Y作AB的垂線交BA的延長線于點Q，∵AB//OF∴∠QAY=∠YFO，∵OF=OA，∴∠YFO=∠YAS，∴∠YAS=∠YAQ，∵∠Q=∠ASY=90°,AY=AY，∴△AYQ≌△AYS，∴QY=YS，∴PS=h，設平行四邊形的面積為S，∴S△ABY+根據中心對稱可得S△ABY∴S陰影部分根據題意可知AO=OD=OE=OF，則四邊形ADEF是平行四邊形，又FD=AE，∴四邊形ADEF是矩形，∴S矩形ADEF∵S陰影∴AOCO=24．（1）解：∵∠DAC=4∠CBE=40°，∴∠CBE=10°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=30°+10°=40°，∴∠ABE=∠CAD=40°，∵∠ABC=30°，AB=AC，∴∠ACB=30°，∴∠E=∠ACB?∠CBE=30°?10°=20°，在△ABE和△CAD中，AB=AC∠ABE=∠CAD∴△ABE≌△CADSAS∴∠D=∠E=20°；（2）證明：如圖，延長CD交AB于點F，過F作FH⊥BC于點H，HF交CA延長線于點E，∴∠FHB=∠FHC=90°，∵∠DCB=∠ABC=30°，∴∠BFH=∠3=6