老校數學競賽試題及答案姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共20題）

1.若函數\(f(x)=x^2-4x+3\)的圖像與x軸相交于兩點，則這兩個點的橫坐標是：

A.1和3

B.2和3

C.1和2

D.3和4

2.已知等差數列\(\{a_n\}\)的首項為3，公差為2，則第10項的值為：

A.21

B.23

C.25

D.27

3.若\(\frac{a}{b}=\frac{c}d6fokba\)，且\(a,b,c,d\)均不為0，則以下哪個結論一定成立？

A.\(ad=bc\)

B.\(a^2=bc\)

C.\(b^2=ac\)

D.\(a+b=c+d\)

4.若\(a^2+b^2=25\)，且\(a-b=3\)，則\(ab\)的值為：

A.4

B.6

C.8

D.10

5.在直角坐標系中，點\(A(2,3)\)關于原點的對稱點是：

A.\(A'(-2,-3)\)

B.\(A'(2,-3)\)

C.\(A'(-2,3)\)

D.\(A'(3,-2)\)

6.若等比數列\(\{a_n\}\)的首項為2，公比為\(\frac{1}{2}\)，則第5項的值為：

A.\(\frac{1}{16}\)

B.\(\frac{1}{8}\)

C.\(\frac{1}{4}\)

D.\(\frac{1}{2}\)

7.若\(x^2-5x+6=0\)，則\(x^3-5x^2+6x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

8.若\(x^2-4x+3=0\)，則\(x^3-4x^2+3x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

9.若\(x^2-6x+9=0\)，則\(x^3-6x^2+9x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

10.若\(x^2-8x+16=0\)，則\(x^3-8x^2+16x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

11.若\(x^2-10x+25=0\)，則\(x^3-10x^2+25x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

12.若\(x^2-12x+36=0\)，則\(x^3-12x^2+36x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

13.若\(x^2-14x+49=0\)，則\(x^3-14x^2+49x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

14.若\(x^2-16x+64=0\)，則\(x^3-16x^2+64x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

15.若\(x^2-18x+81=0\)，則\(x^3-18x^2+81x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

16.若\(x^2-20x+100=0\)，則\(x^3-20x^2+100x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

17.若\(x^2-22x+121=0\)，則\(x^3-22x^2+121x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

18.若\(x^2-24x+144=0\)，則\(x^3-24x^2+144x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

19.若\(x^2-26x+169=0\)，則\(x^3-26x^2+169x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

20.若\(x^2-28x+196=0\)，則\(x^3-28x^2+196x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.若\(a\)和\(b\)是方程\(x^2-5x+6=0\)的兩個根，則\(a+b=5\)。（）

2.在直角坐標系中，任意一條線段的中點坐標是該線段兩端點坐標的平均值。（）

3.若\(a\)和\(b\)是等差數列\(\{a_n\}\)的任意兩項，且\(a<b\)，則\(a_n\)的值隨著\(n\)的增大而增大。（）

4.若\(a\)和\(b\)是等比數列\(\{a_n\}\)的任意兩項，且\(a>b\)，則\(a_n\)的值隨著\(n\)的增大而減小。（）

5.若\(a\)和\(b\)是方程\(x^2-5x+6=0\)的兩個根，則\(ab=6\)。（）

6.若\(a\)和\(b\)是方程\(x^2-5x+6=0\)的兩個根，則\(a^2+b^2=5\)。（）

7.在直角坐標系中，任意一條線段的長度等于該線段兩端點坐標差的平方的平方根。（）

8.若\(a\)和\(b\)是等差數列\(\{a_n\}\)的首項和末項，且\(a+b=10\)，則\(a_n\)的值總是等于5。（）

9.若\(a\)和\(b\)是等比數列\(\{a_n\}\)的首項和末項，且\(a\cdotb=16\)，則\(a_n\)的值總是等于4。（）

10.在直角坐標系中，任意一條線段的斜率等于該線段兩端點坐標差的比值。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述一元二次方程的解法，并舉例說明。

2.解釋等差數列和等比數列的定義，并給出一個例子。

3.說明如何求一個直角三角形的斜邊長度，如果已知兩個直角邊的長度。

4.解釋函數圖像的對稱性，并舉例說明。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述勾股定理在解決實際問題中的應用，并舉例說明如何利用勾股定理解決實際問題。

2.探討函數的性質對函數圖像的影響，并舉例說明不同性質函數的圖像特征。

試卷答案如下

一、多項選擇題答案

1.A

解析思路：根據一元二次方程的根的判別式，\(D=b^2-4ac\)，當\(D>0\)時，方程有兩個不同的實根。對于\(f(x)=x^2-4x+3\)，有\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4>0\)，所以方程有兩個不同的實根，且\(1+3=4\)。

2.C

解析思路：等差數列的第\(n\)項公式為\(a_n=a_1+(n-1)d\)，其中\(a_1\)是首項，\(d\)是公差。對于數列\(\{a_n\}\)，有\(a_1=3\)，\(d=2\)，所以\(a_{10}=3+(10-1)\cdot2=3+18=21\)。

3.A

解析思路：根據比例的基本性質，若\(\frac{a}{b}=\frac{c}fkzz1ry\)，則\(ad=bc\)。

4.A

解析思路：使用配方法將\(x^2-4x+3\)分解為\((x-1)(x-3)\)，因此\(a=1\)，\(b=3\)，所以\(ab=1\cdot3=3\)。

5.A

解析思路：點\(A(2,3)\)關于原點對稱，其對稱點坐標為\((-x,-y)\)，所以對稱點為\((-2,-3)\)。

6.A

解析思路：等比數列的第\(n\)項公式為\(a_n=a_1\cdotr^{(n-1)}\)，其中\(a_1\)是首項，\(r\)是公比。對于數列\(\{a_n\}\)，有\(a_1=2\)，\(r=\frac{1}{2}\)，所以\(a_5=2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}\)。

7.A

解析思路：\(x^3-5x^2+6x=x(x^2-5x+6)\)，因為\(x^2-5x+6=0\)，所以整個表達式等于0。

8.A

解析思路：同理，\(x^3-4x^2+3x=x(x^2-4x+3)\)，因為\(x^2-4x+3=0\)，所以整個表達式等于0。

9.A

解析思路：同理，\(x^3-6x^2+9x=x(x^2-6x+9)\)，因為\(x^2-6x+9=0\)，所以整個表達式等于0。

10.A

解析思路：同理，\(x^3-8x^2+16x=x(x^2-8x+16)\)，因為\(x^2-8x+16=0\)，所以整個表達式等于0。

11.A

解析思路：同理，\(x^3-10x^2+25x=x(x^2-10x+25)\)，因為\(x^2-10x+25=0\)，所以整個表達式等于0。

12.A

解析思路：同理，\(x^3-12x^2+36x=x(x^2-12x+36)\)，因為\(x^2-12x+36=0\)，所以整個表達式等于0。

13.A

解析思路：同理，\(x^3-14x^2+49x=x(x^2-14x+49)\)，因為\(x^2-14x+49=0\)，所以整個表達式等于0。

14.A

解析思路：同理，\(x^3-16x^2+64x=x(x^2-16x+64)\)，因為\(x^2-16x+64=0\)，所以整個表達式等于0。

15.A

解析思路：同理，\(x^3-18x^2+81x=x(x^2-18x+81)\)，因為\(x^2-18x+81=0\)，所以整個表達式等于0。

16.A

解析思路：同理，\(x^3-20x^2+100x=x(x^2-20x+100)\)，因為\(x^2-20x+100=0\)，所以整個表達式等于0。

17.A

解析思路：同理，\(x^3-22x^2+121x=x(x^2-22x+121)\)，因為\(x^2-22x+121=0\)，所以整個表達式等于0。

18.A

解析思路：同理，\(x^3-24x^2+144x=x(x^2-24x+144)\)，因為\(x^2-24x+144=0\)，所以整個表達式等于0。

19.A

解析思路：同理，\(x^3-26x^2+169x=x(x^2-26x+169)\)，因為\(x^2-26x+169=0\)，所以整個表達式等于0。

20.A

解析思路：同理，\(x^3-28x^2+196x=x(x^2-28x+196)\)，因為\(x^2-28x+196=0\)，所以整個表達式等于0。

二、判斷題答案

1.×

解析思路：\(a+b=5\)，因為\(a^2-5a+6=0\)可以分解為\((a-2)(a-3)=0\)，所以\(a\)和\(b\)的可能值為2和3，或3和2。

2.√

解析思路：這是線段中點公式的基本定義。

3.×

解析思路：等差數列的項隨\(n\)的增大而單調變化，但不一定是增大。

4.×

解析思路：等比數列的項隨\(n\)的增大而單調變化，但不一定是減小。

5.×

解析思路：\(ab=6\)，因為\(a\)和\(b\)的可能值為2和3，或3和2。

6.×

解析思路：\(a^2+b^2=5^2=25\)，而不是5。

7.√

解析思路：這是線段長度公式的定義。

8.√

解析思路：等差數列中項的平均值總是等于首項和末項的平均值。

9.×

解析思路：\(a\cdotb=16\)，因為\(a\)和\(b\)的可能值為2和8，或8和2。

10.√

解析思路：這是斜率的定義。

三、簡答題答案

1.一元二次方程的解法包括公式法和配方法。公式法利用求根公式\(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)直接求解，配方法是將方程轉換為完全平方形式\((x-h)^2=k\)，然后求解。

2.等差數列是指一個數列中，任意兩項之間的差是一個常數，這個常數稱為公差。例如，數列\(\{1,3,5,7,9,\ldots\}\)是一個等差數列，公差為2。等比數列是指一個數列中，任意兩項之間的比是一個常數，這個常數稱為公比。例如，數列\(\{2,6,18,54,162,\ldots\}\)是一個等比數列，公比為3。

3.使用勾股定理\(a^2+b^2=c^