PAGEPAGE1第五節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；cos(α?β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin_αcos_α；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3．公式的常用變形(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)；(2)cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).[小題體驗(yàn)]1．cos45°cos15°－sin45°sin15°的值為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\r(3) D．eq\f(\r(3),3)答案：A2．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(3,7)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋β))＝eq\f(2,5)，則tan(α＋β)的值為()A．eq\f(29,41) B．eq\f(1,29)C．eq\f(1,41) D．1答案：D3．若sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝eq\f(1,3)，則eq\f(tanα,tanβ)＝________.答案：54．(教材習(xí)題改編)已知sin(α－π)＝eq\f(3,5)，則cos2α＝________.答案：eq\f(7,25)1．運(yùn)用公式時(shí)要留意審查公式成立的條件，要留意和、差、倍角的相對性，要留意升次、降次的敏捷運(yùn)用，要留意“1”的各種變通．2．在三角函數(shù)求值時(shí)，肯定不要忽視題中給出的或隱含的角的范圍．[小題糾偏]1．若sineq\f(α,2)＝eq\f(\r(3),3)，則cosα＝()A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)解析：選C因?yàn)閟ineq\f(α,2)＝eq\f(\r(3),3)，所以cosα＝1－2sin2eq\f(α,2)＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2＝eq\f(1,3).2．(2024·溫州模擬)已知sinx＋eq\r(3)cosx＝eq\f(6,5)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))＝________.解析：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))＝coseq\f(π,6)cosx＋sineq\f(π,6)sinx＝eq\f(\r(3),2)cosx＋eq\f(1,2)sinx＝eq\f(1,2)(sinx＋eq\r(3)cosx)＝eq\f(1,2)×eq\f(6,5)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一三角函數(shù)公式的基本應(yīng)用)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1．已知sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq\f(1,2)，則tan(α－β)的值為()A．－eq\f(2,11) B．eq\f(2,11)C．eq\f(11,2) D．－eq\f(11,2)解析：選A因?yàn)閟inα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4).因?yàn)閠an(π－β)＝eq\f(1,2)＝－tanβ，所以tanβ＝－eq\f(1,2)，則tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝－eq\f(2,11).2．已知函數(shù)f(x)＝sinx－cosx，且f′(x)＝eq\f(1,2)f(x)，則tan2x的值是()A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(4,3)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,4)解析：選D∵f′(x)＝cosx＋sinx＝eq\f(1,2)sinx－eq\f(1,2)cosx，∴tanx＝－3，∴tan2x＝eq\f(2tanx,1－tan2x)＝eq\f(－6,1－9)＝eq\f(3,4)，故選D.3．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2α))的值為______．解析：因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5)，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(5),5).sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq\f(4,5)，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2＝eq\f(3,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2α))＝coseq\f(5π,6)cos2α＋sineq\f(5π,6)sin2α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\f(3,5)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－eq\f(4＋3\r(3),10).答案：－eq\f(4＋3\r(3),10)4．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),10)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))).(1)求sinx的值；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的值．解：(1)因?yàn)閤∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，所以x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))))＝eq\f(7\r(2),10).所以sinx＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))coseq\f(π,4)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))sineq\f(π,4)＝eq\f(7\r(2),10)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),10)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(4,5).(2)因?yàn)閤∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，故cosx＝－eq\r(1－sin2x)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＝－eq\f(3,5)，sin2x＝2sinxcosx＝－eq\f(24,25)，cos2x＝2cos2x－1＝－eq\f(7,25).所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝cos2xcoseq\f(π,3)－sin2xsineq\f(π,3)＝－eq\f(7,25)×eq\f(1,2)＋eq\f(24,25)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(24\r(3)－7,50).[謹(jǐn)記通法]三角函數(shù)公式的應(yīng)用策略(1)運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征．(2)運(yùn)用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二三角函數(shù)公式的逆用與變形應(yīng)用)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)]1．(2024·臺州模擬)已知θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，且sinθ－cosθ＝－eq\f(\r(14),4)，則eq\f(2cos2θ－1,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ)))＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(3,2)解析：選D由sinθ－cosθ＝－eq\f(\r(14),4)得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝eq\f(\r(7),4)，∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，∴0＜eq\f(π,4)－θ＜eq\f(π,4)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝eq\f(3,4).eq\f(2cos2θ－1,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ)))＝eq\f(cos2θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ)))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2θ)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ)))＝eq\f(sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ)))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝eq\f(3,2).2．計(jì)算：eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)的值為()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)解析：選Beq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)＝eq\f(sin70°sin20°,cos310°)＝eq\f(cos20°sin20°,cos50°)＝eq\f(\f(1,2)sin40°,sin40°)＝eq\f(1,2).3．計(jì)算：tan20°＋tan40°＋eq\r(3)tan20°tan40°＝________.解析：∵tan(20°＋40°)＝eq\f(tan20°＋tan40°,1－tan20°tan40°)，∴eq\r(3)－eq\r(3)tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°，即tan20°＋tan40°＋eq\r(3)tan20°tan40°＝eq\r(3).答案：eq\r(3)[由題悟法]1．三角函數(shù)公式活用技巧(1)逆用公式應(yīng)精確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)建條件逆用公式．(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，留意公式的正用、逆用和變形運(yùn)用．2．三角函數(shù)公式逆用和變形用應(yīng)留意的問題(1)公式逆用時(shí)肯定要留意公式成立的條件和角之間的關(guān)系．(2)留意特別角的應(yīng)用，當(dāng)式子中出現(xiàn)eq\f(1,2)，1，eq\f(\r(3),2)，eq\r(3)等這些數(shù)值時(shí)，肯定要考慮引入特別角，把“值變角”構(gòu)造適合公式的形式．[即時(shí)應(yīng)用]1．(2024·金華十校聯(lián)考)sin5°cos55°－cos175°sin55°的值是()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)解析：選Dsin5°cos55°－cos175°sin55°＝sin5°cos55°＋cos5°sin55°＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).2．若tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(10,3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＋2coseq\f(π,4)cos2α的值為____________．解析：由tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(10,3)，得(tanα－3)(3tanα－1)＝0，所以tanα＝3或tanα＝eq\f(1,3).因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以tanα＝3，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＋2coseq\f(π,4)cos2α＝eq\f(\r(2),2)sin2α＋eq\f(\r(2),2)cos2α＋eq\f(\r(2)1＋cos2α,2)＝eq\f(\r(2),2)sin2α＋eq\r(2)cos2α＋eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)·eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋eq\r(2)·eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＋eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)·eq\f(2tanα,tan2α＋1)＋eq\r(2)·eq\f(1－tan2α,tan2α＋1)＋eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(2×3,32＋1)＋eq\r(2)×eq\f(1－32,32＋1)＋eq\f(\r(2),2)＝0.答案：0eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三角的變換)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)]已知0＜β＜eq\f(π,2)＜α＜π，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(1,9)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(2,3)，求cos(α＋β)．解：∵0＜β＜eq\f(π,2)＜α＜π，∴－eq\f(π,4)＜eq\f(α,2)－β＜eq\f(π,2)，eq\f(π,4)＜α－eq\f(β,2)＜π，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)))＝eq\f(\r(5),3)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2))))＝eq\f(4\r(5),9)，∴coseq\f(α＋β,2)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,9)))×eq\f(\r(5),3)＋eq\f(4\r(5),9)×eq\f(2,3)＝eq\f(7\r(5),27)，∴cos(α＋β)＝2cos2eq\f(α＋β,2)－1＝2×eq\f(49×5,729)－1＝－eq\f(239,729).[由題悟法]利用角的變換求三角函數(shù)值的策略(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)：一般把“所求角”表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)：此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．[即時(shí)應(yīng)用]1．已知tan(α＋β)＝1，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(1,3)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,3)))的值為()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4) D．eq\f(4,5)解析：選Btaneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,3)))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))))＝eq\f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))＝eq\f(1－\f(1,3),1＋1×\f(1,3))＝eq\f(1,2).2．(2024·福建師大附中檢測)若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,4)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2α))＝()A．－eq\f(7,8) B．－eq\f(1,4)C．eq\f(1,4) D．eq\f(7,8)解析：選Acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2α))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝－eq\f(7,8).一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．(2024·寧波模擬)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(3,5)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝()A．eq\f(1,7) B．7C．－eq\f(1,7) D．－7解析：選A因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(3,5)，所以tanα＝－eq\f(3,4)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(－\f(3,4)＋1,1＋\f(3,4))＝eq\f(1,7).2．已知sin2α＝eq\f(1,3)，則cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝()A．－eq\f(1,3) B．eq\f(1,3)C．－eq\f(2,3) D．eq\f(2,3)解析：選D依題意得cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,2)(cosα＋sinα)2＝eq\f(1,2)(1＋sin2α)＝eq\f(2,3).3．已知sinα＝eq\f(1,3)＋cosα，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則eq\f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))的值為()A．－eq\f(\r(2),3) B．eq\f(\r(2),3)C．－eq\f(1,3) D．eq\f(1,3)解析：選A因?yàn)閟inα＝eq\f(1,3)＋cosα，所以sinα－cosα＝eq\f(1,3)，所以eq\f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝eq\f(cos2α－sin2α,sinαcos\f(π,4)＋cosαsin\f(π,4))＝eq\f(cosα－sinαcosα＋sinα,\f(\r(2),2)sinα＋cosα)＝eq\f(－\f(1,3),\f(\r(2),2))＝－eq\f(\r(2),3).4．(2024·衢州模擬)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝2，則eq\f(tanx,tan2x)的值為________．解析：由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝eq\f(tanx＋1,1－tanx)＝2，解得tanx＝eq\f(1,3)，所以eq\f(tanx,tan2x)＝eq\f(1－tan2x,2)＝eq\f(4,9).答案：eq\f(4,9)5．設(shè)sinα＝2cosα，則tan2α的值為________．解析：由題可知，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝2，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(4,3).答案：－eq\f(4,3)二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．已知2sin2α＝1＋cos2α，則tan2α＝()A．－eq\f(4,3) B．eq\f(4,3)C．－eq\f(4,3)或0 D．eq\f(4,3)或0解析：選D∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2sin2α＝1＋cos2α，,sin22α＋cos22α＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2α＝0，,cos2α＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2α＝\f(4,5)，,cos2α＝\f(3,5)，))∴tan2α＝0或tan2α＝eq\f(4,3).2．若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且3cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，則sin2α的值為()A．－eq\f(1,18) B．eq\f(1,18)C．－eq\f(17,18) D．eq\f(17,18)解析：選C由3cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，可得3(cos2α－sin2α)＝eq\f(\r(2),2)(cosα－sinα)，又由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，可知cosα－sinα≠0，于是3(cosα＋sinα)＝eq\f(\r(2),2)，所以1＋2sinαcosα＝eq\f(1,18)，故sin2α＝－eq\f(17,18).3．若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,3)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(\r(3),3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝()A.eq\f(\r(3),3) B．－eq\f(\r(3),3)C.eq\f(5\r(3),9) D．－eq\f(\r(6),9)解析：選C∵0＜α＜eq\f(π,2)，∴eq\f(π,4)＜eq\f(π,4)＋α＜eq\f(3π,4)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(2\r(2),3).又－eq\f(π,2)＜β＜0，則eq\f(π,4)＜eq\f(π,4)－eq\f(β,2)＜eq\f(π,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(\r(6),3).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),3)＋eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(5\r(3),9).4．(2024·“七彩陽光”聯(lián)盟適應(yīng)性考試)已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋eq\r(3)cos2x－m在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．[－eq\r(3)，2) B．[－eq\r(3)，eq\r(3))C．[eq\r(3)，2) D．[0,2)解析：選C令f(x)＝sin2x＋eq\r(3)cos2x－m＝0，則有m＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以有2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，所以2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))∈[－eq\r(3)，2]．因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，結(jié)合圖形可知，m∈[eq\r(3)，2)．5．已知cosα＝eq\f(1,3)，cos(α＋β)＝－eq\f(1,3)，且α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則cos(α－β)的值等于()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,3) D．eq\f(23,27)解析：選D∵cosα＝eq\f(1,3)，2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))，∴cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(7,9)，sin2α＝eq\r(1－cos22α)＝eq\f(4\r(2),9)，又∵cos(α＋β)＝－eq\f(1,3)，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2α＋β)＝eq\f(2\r(2),3)，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋eq\f(4\r(2),9)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(23,27).6．(2024·杭州二中模擬)已知α∈R，sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，則tanα＝________；tan2α＝________.解析：由sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)兩邊平方可得sin2α＋4sinα·cosα＋4cos2α＝eq\f(5,2)，故eq\f(sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(5,2)，即eq\f(tan2α＋4tanα＋4,tan2α＋1)＝eq\f(5,2)，解得tanα＝3或tanα＝－eq\f(1,3).當(dāng)tanα＝3時(shí)，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(3,4)；當(dāng)tanα＝－eq\f(1,3)時(shí)，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(3,4).答案：3或－eq\f(1,3)－eq\f(3,4)7．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),3)，則cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝________.解析：cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\f(3,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝－1.答案：－18．(2024·安徽兩校階段性測試)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝2eq\r(2)cos2α，則sin2α＝________.解析：由已知得eq\f(\r(2),2)(cosα＋sinα)＝2eq\r(2)(cosα－sinα)·(cosα＋sinα)，所以cosα＋sinα＝0或cosα－sinα＝eq\f(1,4)，由cosα＋sinα＝0得tanα＝－1，因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosα＋sinα＝0不滿意條件；由cosα－sinα＝eq\f(1,4)，兩邊平方得1－sin2α＝eq\f(1,16)，所以sin2α＝eq\f(15,16).答案：eq\f(15,16)9．(2024·杭州七校聯(lián)考)已知α，β∈(0，π)，且tanα＝2，cosβ＝－eq\f(7\r(2),10).(1)求cos2α的值；(2)求2α－β的值．解：(1)cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α).因?yàn)閠anα＝2，所以cos2α＝eq\f(1－4,1＋4)＝－eq\f(3,5).(2)因?yàn)棣痢?0，π)，tanα＝2，所以α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).因?yàn)閏os2α＝－eq\f(3,5)，所以2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sin2α＝eq\f(4,5).因?yàn)棣隆?0，π)，cosβ＝－eq\f(7\r(2),10)，所以sinβ＝eq\f(\r(2),10)且β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7\r(2),10)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(\r(2),10)＝－eq\f(\r(2),2).因?yàn)?α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以2α－β＝－eq\f(π,4).10．已知向量a＝(sinωx，cosωx)，b＝(cosφ，sinφ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，\f(π,3)＜φ＜π))，函數(shù)f(x)＝a·b的最小正周期為2π，其圖象經(jīng)過點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(\r(3),2))).(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且f(α)＝eq\f(3,5)，f(β)＝eq\f(12,13)，求f(2α－β)的值．解：(1)依題意有f(x)＝a·b＝sinωxcosφ＋cosωxsinφ＝sin(ωx＋φ)．∵函數(shù)f(x)的最小正周期為2π，∴T＝eq\f(2π,ω)＝2π，解得ω＝1.將點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(\r(3),2)))代入函數(shù)f(x)的解析式，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ))＝eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z或eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z.∵eq\f(π,3)＜φ＜π，∴eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(2π,3)，∴φ＝eq\f(π,2).故f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx.(2)依題意有cosα＝eq\f(3,5)，cosβ＝eq\f(12,13)，而α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sinα＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝eq\f(4,5)，sinβ＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝eq\f(5,13)，∴sin2α＝eq\f(24,25)，cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(9,25)－eq\f(16,25)＝－eq\f(7,25)，∴f(2α－β)＝cos(2α－β)＝cos2αcosβ＋sin2αsinβ＝－eq\f(7,25)×eq\f(12,13)＋eq\f(24,25)×eq\f(5,13)＝eq\f(36,325).三上臺階，自主選做志在沖刺名校1．已知平面對量a＝(sin2x，cos2x)，b＝(sin2x，－cos2x)，f(x)＝a·b＋4cos2x＋2eq\r(3)sinxcosx，若存在m∈R，對隨意的x∈R，f(x)≥f(m)，則f(m)＝()A．2＋2eq\r(3) B．3C．0 D．2－2eq\r(3)解析：選C依題意得f(x)＝sin4x－cos4x＋4cos2x＋eq\r(3)sin2x＝sin2x＋3cos2x＋eq\r(3)sin2x＝cos2x＋eq\r(3)sin2x＋2＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋2，因此函數(shù)f(x)的最小值是－2＋2＝0，即有f(m)＝0.2．設(shè)f(x)＝asin2x＋bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f(x)≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))))對一切x∈R恒成立，則①feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)))＝0；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,10)))))＜eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)))))；③f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；④f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)；⑤存在經(jīng)過點(diǎn)(a，b)的直線與函數(shù)f(x)的圖象不相交．以上結(jié)論正確的是________(填序號)．解析：f(x)＝asin2x＋bcos2x＝eq\r(a2＋b2)sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(b,a)))，因?yàn)閷σ磺衳∈R，f(x)≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))))恒成立，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝±1，可得φ＝kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，故f(x)＝±eq\r(a2＋b2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).而feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)))＝±eq\r(a2＋b2)·sineq