第四章：數列章末綜合檢測卷（試卷滿分150分，考試用時120分鐘）姓名___________班級_________考號_______________________一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1．（2023·河北邢臺·高二校聯考階段練習）已知數列的前4項分別為，則該數列的一個通項公式為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】觀察可知，該數列的一個通項公式為.故選：D.2．（2023·寧夏·高二銀川二中校考階段練習）已知等差數列，其前項和為，則（）A．24B．36C．48D．64【答案】B【解析】因為數列為等差數列，且，由等差數列的性質，可得，所以，又由.故選：B.3．（2023·高二課時練習）利用數學歸納法證明不等式（，）的過程中，由n＝k到n＝k＋1時，左邊增加了（）A．1項B．k項C．2k－1項D．2k項【答案】D【解析】當時，左，當時，左，增加項為，共2k項.故選：D.4．（2023·內蒙古·高二校聯考期末）等差數列的前項和為，若，，則（）A．6B．12C．15D．21【答案】C【解析】設，則，，因為為等差數列，所以，，也成等差數列，則，解得．故選：C5．（2023·江蘇蘇州·高二校考階段練習）已知數列滿足，設的前n項和為，則（）A．B．C．1D．2【答案】D【解析】因為，所以，所以且，所以是首項為公比為的等比數列，所以，所以，，所以，所以，故選：D.6．（2023·北京·高三統考期中）數列滿足，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為數列滿足，所以，，，，則是以4為周期的周期函數，所以，故選：C.7．（2023·河南濮陽·高二范縣第一中學校聯考階段練習）有12個砝碼，總質量為，它們的質量從小到大依次構成等差數列，且最重的3個砝碼質量之和是最輕的3個砝碼質量之和的4倍．用這些砝碼稱一個質量為的物體，則需要的砝碼個數至少為（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】將12個砝碼的質量從小到大依次設為，由題可知，，，所以，化簡得，，所以，由得，，，化簡得，，解方程得，所以，，，，，，滿足，，又因為，滿足，所以這些砝碼稱一個質量為的物體，則需要的砝碼個數至少為6個.故選：C.8．（2023·陜西寶雞·校聯考模擬預測）等比數列的各項均為正數，且，.設，則數列的前項和（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設等比數列的公比為，則，則，所以，，所以，，因為，可得，所以，，所以，，所以，，即數列為等差數列，所以，，所以，，因此，.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．（2023·高二課時練習）（多選題）下列說法不正確的是（）A．數列可以表示為B．數列與數列是相同的數列C．數列的第項為1＋D．數列可記為【答案】ABD【解析】A選項，數列和數列，前者是有限項，后者是無限項，所以兩個數列不一樣，A選項錯誤.B選項，數列與數列的項的順序不相同，所以不是相同數列，B選項錯誤.C選項，，所以數列的第項為1＋，C選項正確.D選項，數列可記為，所以D選項錯誤.故選：ABD10．（2023·湖南·高二常德市一中校考階段練習）數列是等差數列，也是等差數列（）A．若，則數列也是等差數列B．若，，為常數，則是等差數列C．若，則是等差數列D．若，則可能是等比數列【答案】ABD【解析】設的首項為，公差為，的首項為，公差為，則，，對于A：，則是以為首項，為公差的等差數列，故A正確；對于B：，（，為常數），則是以為首項，為公差的等差數列，故B正確；對于C：令，，則，顯然不是等差數列，故C錯誤；對于D：令，，則，則為等差數列也為等比數列，故D正確；故選：ABD11．（2023·福建廈門·高二集美中學校考階段練習）已知是等差數列的前項和，且，則下列選項正確的是（）A．數列為遞增數列B．C．的最大值為D．【答案】BC【解析】因為，所以，即，故B正確；所以數列為遞減數列，故A錯誤；所以的最大值為，故C正確；又因為，故D錯誤；故選：BC.12．（2023·黑龍江·高二牡丹江市第二高級中學校考階段練習）已知正項等比數列，公比分別為，前項和分別為，若，且，則（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】對于A:因為，所以當時，，又，所以，故，所以，故A正確；對于B:當時，，即，將代入得，即，解得或，因為是正項等比數列，所以，故，所以，故B錯誤；對于C:由選項B可得，所以，則，又，則，故，故C正確；對于D:由選項B可得，所以，故，故D錯誤.故選:AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．（2023·高二課時練習）在等比數列中，若，則數列的前13項之積等于．【答案】【解析】是等比數列，，.14．（2023·重慶·高二重慶八中校考階段練習）已知數列的通項公式為，且為遞減數列，則實數的取值范圍是.【答案】【解析】因為為遞減數列，，所以對恒成立，即對恒成立，所以.15．（2023·上海·高二復旦附中校考階段練習）已知數列的通項公式為，則數列的最大項為第項.【答案】【解析】依題意，，則，當時，，所以當時，，所以數列的最大項為第項.16．（2023·廣東佛山·高二高明區第一中學校考階段練習）設數列中，且滿足，則.【答案】【解析】由（）得，時，，相減得，，∴（），又，即，而，∴，所以時，，即，∴.四．解答題：本小題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2023·山東·高二校聯考階段練習）（1）已知數列的前項和是，且，求的通項公式.（2）已知正項數列的前項和滿足，求數列的通項公式.【答案】（1）（2）【解析】（1）由可得，當時，，當時，,∴經驗證，當時也成立.所以.（2）∵①∴，得，∴②②－①得：，∴即，∴，，，…，，∴.經驗證，當時也成立，所以.18．（2023·江蘇南通·高二統考階段練習）已知等差數列中，前項和為，已知，.（1）求；（2）設，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）設公差為，由，，得，解得，所以，故；（2）由（1）得，所以.19．（2023·江西南昌·高二鐵路第一中學校考階段練習）已知等差數列前項和為，且.（1）若，求證：數列是等差數列.（2）求數列的前項和.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由題意，，解得，數列的通項公式為，，，數列是以為首項，1為公差的等差數列;（2）當時，，數列的前項和，當時，，數列的前項和，.20．（2023·湖南長沙·高二雅禮中學校考階段練習）已知數列為等比數列，且，.（1）求數列的通項公式；（2）設是數列的前項和，若，求出所有值.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）因為為等比數列，設其公比為，，，，即，解得，所以，，所以.（2）由（1）知，所以化為：，即，，因為為增函數，所以，所以，所以或.21．（2023·江蘇南通·高二統考階段練習）記數列的前項和為，已知.（1）設，證明：數列為等比數列，并求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.【答案】（1）證明見解析，；（2）【解析】（1）因為，當時，，解得得；當時，由，得，兩式相減得，即，則，即，又，故，所以，所以是以為首項，2為公比的等比數列，所以，即，所以．（2）由（1）得，所以,所以，則，兩式相減，得，所以．22．（2023·廣西桂林·校考模擬預測）設數列的前項和為，且與的等差中項為.（1）證明：數列是等比