集合

(集合1)(2008理9)如圖，體積為V的大球內有4個小球，

每個小球的球面過大球球心且與大球球面有且只有一個交點，4個

小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個頂點.匕為小球相

交部分(圖中陰影部分)的體積，匕為大球內、小球外的圖中黑色

部分的體積，則下列關系中正確的是￡(9｝圖

VV

(A)V,=-(B)匕=-

12?2

(C)V,>V2(D)V,<V2

初一看此題，好象需要求出匕，即小球相交部分(圖中陰影部分)的體積，但是這

需要用到球缺的體積公式，而球缺的體積公式，在現行的高中數學教材中是不要求的,

當初有人還為此在考后報上評論說此題應屬超綱題，殊不知，這正是此題精彩之處，創

設思維障礙，激發學生的創新意識，使得考生不得不另辟蹊徑，尋求解題的突破口。設

小球的體積為匕、，根據題意，觀察圖形，有等量關系：v=4%、+K-K，所以有

匕—V=V—4%、=3成3-4x3乃(￡)3=2成3>0,故應選D,其中等量關系：

3323

V=4l/小+匕-匕是解決問題的關鍵點；高考完后了解考生解題情況，有考生說，仔細

觀察這個圖，讓他想起了集合的交并補運算，并由此順利地得出了等量關系：

V=4%、+匕-匕，這正是知識的遷移能力，還有類比、聯想、轉化的思想。這道題目

取材新穎，圖形新穎，設問新穎，解題方法新穎，是當年高考試卷中的一大亮點。

（集合2）如圖，半徑都為1三個圓兩兩相交，且弧長=8C弧

長弧長'。弧長等于名則在圖中任一圓內任取一點,

則此點取自陰影部分的概率為（）

12萬8萬

A.B.

7乃+26+67兀+2c+6

10萬6乃+12

C.D.

7乃+25/5+67乃+2百+6

提示：由/8。。二工得3。弧長等于三，所以8C弧長等于工，分別計算出陰影部分的面積

636

為網+3,白色部分的面積為乃+26一6,故選。

24

(集合3)設集合A={1,2,3,…M,對于A的任一非空攵(l<k<n,keN^)元子集，

將其元素按從小到大排列得集合S={%M2M3,…其中q￡A,i=1,2,3,…次。稱

4-，"1+4-2-4.3+3為集合5的“混和”，則集合A的所有子集的“混和”的和

為.

提示：將集合的子集按是否含元素〃分成兩類，則每類子集的個數均為2”，可以在兩

類子集間建立一個---映射f,方式為/：，特別的：

/：{，7}f。，則每組這種映射中兩個集合的“混和”的和為〃，所以，所有子集的“混

和”之和為〃,2"T

（集合4）.若a={q,〃2,…MJ（其中4>0,i=l,2,…,〃），定義"-。2+為集

n

合A的“平均數"，則”={1,2,3,4,5,678,9}的所有非空子集的“平均數”的算術平均數

為（）

A.5B.6C.7D.8

解：A的子集中，含有卬的“個元素的子集的“平均數”，6貢獻了生，這樣的子集共

K

*個，共,所以A的所有非空子集的“平均數”之和為

K

1A-11

（卬+生+…+%）（f+黃+…+胃+…+^~）,

*二J〃！/

kk(k-k)lnk\(n-k)ln

「0「1「￡-10”-1?_I

所以"k+J+...+5+...+5,c+c：+...+c)="A

12knnn

所求平均數為

(q+CI-,+,—FCln)(—H---+?—I--------+…H--------

12kn<+%+…+%選A

2"-1n

簡易邏輯

一.命題的否定與否命題

在現行高中教材的簡易邏輯部分，我們學習了四種命題：原命題、逆命題、否命題

和逆否命題，這實際上是專U針對復合命題“若p則夕”來講的；由于學生剛剛學習

過命題的否定，很容易將“否命題”和“命題的否定”相互混淆，所以我們有必要向學

生講清這兩者之間的差別。

但是很遺憾，有很多學習輔導資料，包括許多老師在講解這個問題的時候，出現了

一些偏差和錯誤。比較流行的一種說法是這樣的：“若p則4”的否命題是既否定條件

也否定結論，即“若/，則r/"；而對“若p則〃的否定是只否定結論不否定條件,

即：“若〃，則r

“若〃則的否定真的是“若P，則F”嗎？

讓我們來看下面的例子：

命題A”若p,則q"：若x>3,則x>5

命題8"若〃，則r"：若x>3,則x<5

命題B是“嗎？通過簡單的判斷，我們會發現命題AB都是假的。若B是

T,就會出現A和「4同假的情形，這顯然是荒謬的。

出現這一錯誤認識的一個很重要的原因是教材在講解復合命題的時候，只講解了邏

輯聯結詞”析取v（或）”、“合取八（且）”、“否定「（非”'，而對于中學最常見的復合

命題“若〃則鄉”所涉及到的邏輯聯結詞“蘊涵未作任何講解。

復合命題“若〃則g”,也就是傳統邏輯的充分條件假言判斷中的“如果…，那么…”,

因此人們又將其稱作假言命題，用邏輯符號表示為讀作“〃蘊涵9”，含義

是：〃為9的充分條件，在〃成立的時候一定也可導致g成立；一個假言命題的真假并

不孤立地依賴于其條件或結論的真假，而是取決二條件對結論有無蘊涵關系。這種蘊涵

關系表現為：有條件就必有結論，無結論必無條件。因此，假言命題僅僅排

斥〃真q假的情況，在其他的情況下，它皆為真。復合命題“若〃則的真值表如下:

Pqpfq

真真真

真假假

假真真

假假真

從真值表中，我們可以看出，當〃假時，不論"的真假，夕都為真，所以我們

有“恒假命題蘊涵任何命題”的結論。從邏輯意義理解，命題“如果太陽從西邊出來，

則2+3/5”是真命題，盡管條件與結論間沒有任何必然的聯系.

由于假言命題僅僅排斥〃真g假的情況，所以T〃f4)=pAr，即

“若P，則q”的否定應是“〃且F”，也就是說“若〃，則q”與或夕”是等

價的，我們同時寫出它們的真值表，會發現它們是同真同假的。

但是，又有人提出疑問：“若p,則q”的否定是“〃且F”，那“若工>3,則x>5”

的否定就是“x>3且工￡5”，這能判斷真假嗎？

要回答這個問題，我們必須再回到復合命題“若〃則夕”。對于我們常見的大部分

蘊涵式中的〃、9并不是命題，而是開語句，如x>3,等。

我們以p*)表示一個開語句，其中x的取值集合叫論域，通常記為U,如果從整

體上考慮開語句在論域U上的真假情況，就有兩種可能：

(1)U中任一元素替換變元-都使〃(幻成為真命題；

(2)，/中存在一元素，這元素替換變元龍后，使〃(工)成為真命題.

因此，使開語句成為命題的途徑之一是在開語句前面加上對變元有所約束的量詞。

一般地，設p(x)是論域U上開語句，在它前面加上表示論域中全體個體的全稱量

詞Vx(讀作“任意)，得到全稱命題X/xp(x)；在p(x)前面加上表示論域中部分個體

的存在量詞玉(“存在"')，得到存在命題土卬(幻。

目前，我們見到的大部分假言命題4”實際上是夕(工)”，它并不是

開語句，而是全稱命題，只不過用語言表達時省略了全稱量詞，例如：”若3,則x>5”

即“任意大于3的實數都大于5”，而全稱命題的否定是一個存在命題，所以“若x>3,

則工>5”的否定并不是“x>3且XK5”，而是“存在實數x,使得x>3且XK5”，這

顯然是一個真命題。

(邏輯1)已知/(幻是定義在R上的函數，命題〃：“函數/(幻的最小值為3”，則力是

()

A.對任意XER,都有/(X)<3

B.存在xwR,使得/(x)<3

C.對任意xcR,都有/(x)工3

D.“'存在使得/(x)v3'或'對任意都有/“)工3'”

二.關于“反證法”

說到反證法，大家都不陌生，現行教材給出了反證法的證題步驟：

(1)從對命題結論的否定出發；

(2)根據正確的邏明推理，推出矛盾(與己知矛盾；與己知定義、公理、定理等矛

盾；出現與臨時假設矛盾；在證明過程中出現自相矛盾等等)，從而否定假設；

(3)肯定原命題的結論是正確的。

簡記：否定結論一一推出矛盾一一肯定結論，其中推出矛盾是關鍵。

在高一學生學習簡易邏輯之后，會提問：反證法的邏輯依據是什么呢？對于這個問

題，許多同學和老師有一種錯誤的認識，引用一位網友在網絡論壇上的一句原話：“課

本上意思非常明顯，反證法就是證明題目的逆否命題為真”，這種認識是不對的，這種

錯誤產生的原因主要是因為在中學教材簡易邏輯部分只重點講解了邏輯聯結詞”析取v

(或)”、“合取人(且廣、“否定」(非)”，而對于中學最常見的復合命題“若〃則〃

所涉及到的邏輯聯結詞“蘊涵-”未作任何講解。

復合命題“若〃則4”,也就是傳統邏輯的充分條件假言判斷中的“如果…，那么…”,

因此人們又將其稱作假言命題，用邏輯符號表示為“piq”,讀作“p蘊涵q”，其

中〃稱作蘊涵式的前件，9稱作蘊涵式“〃一4”的后件。

蘊涵式4”的基本含義是：前件〃是后件4的充分條件，所以，復合命題

“〃一/'與支命題〃和q具有這樣的真假關系：真，當且僅當〃假或者q真。

根據充分必要條件可知，在〃真夕假時，為假；在其他的情況，即在〃真4真、

p假4假、〃假q真時，皆為真。下面是q”的真值表:

Pqpiq

真真真

真假假

假真真

假假真

對于真值表中的前兩種情況，我們比較容易理解；而對于后兩種情況，我們可以

這樣理解：對蘊涵式“〃一夕”來說，它只是表示p是q的充分條件，而并未表示〃為

4的必要條件。因此，在前件〃不存在的情況下，后件鄉可以存在也可以不存在。“無

之未必不然”指的就是“〃->^7”中〃對夕的這種不確定關系，它說明只要前件是假的,

不論后件夕是真是假，整個假言命題就是真的。從這個意義上說，任意一個

恒假的命題可蘊涵任何一個命題。

由此可見，一個假言命題的真假并不孤立地依賴于其前件或后件的真假，而是取決

于前件對后件有無蘊涵關系。這種蘊涵關系表現為：有前件就必有后件，無后件必無前

件。因此，假言命題僅僅排斥〃真g假的情況，在其他的情況下，它皆為真。

下面我們再看看復合命題或4”的真值表:

pq

或夕

真真真

真假假

假真真

假假真

我們可以看到“〃fq”與“力或4”是同真同假的，也就是說，“〃一4”與“2

或q”是等價的，而Tf或4)=〃且"，故-=〃且-^

復合命題“prq”與它的逆否命題“rf力”是等價的，我們在證明“piq”

有困難時也經常轉而證明其逆否命題我們把這種證法叫做逆否證法，但

它絕不是反證法的邏輯依據。在反證法的證明過程中，我們可以看到，我們只是否定了

蘊涵式q”的后件夕，而在推理過程中我們也用到了前件〃，而旦最后導出的矛

盾也并非局限于力與〃，所以，這并不是在證明JC。

通過前面對蘊涵式”的分析，我們應該可以看出來，反證法的實質是通過

證明“「（〃-/”不成立，即證明“〃且F”不成立，從而達到證明“prq”成

立的目的。

（邏輯2）"x>2或3，>3"是“x+y>5”的（）條件

（A）充分必要（B）充分不必要（C）必要不充分（D）不充分不必要

函數

一.本部分應注意的問題

（一）注意與初中內容的銜接

函數這章內容是與初中數學最近的結合點?如果初中代數中的內容沒有學習好或遺忘的過多，

學習本章就有障礙沐章很多內容都是在初中的基礎上講授的，如函數概念，要在講授之前復習好初

中函數及其圖象的主要內容，包括函數的概念、函數圖象的描繪，一次函數、二次函數的性質等等;

又如指數概念的擴充,如果沒有正整數指數寤、零指數累、負整數指數基的基礎知識，有理數指數

哥就無法給出，運算性質也是如此，因此在本章教學中要注意與初中所學的有關內容的聯系，做好

初、高中數學的銜接和過渡工作.

（二）注意數形結合

本章的內容中圖象占有相當大的比重，函數圖象對于研究函數的性質起到很重要的作用?通過觀

察函數圖象的變化趨勢，可以總結出函數的性質?函數與反函數的函數圖象的關系也是通過圖象變化

特點來歸納的性質，指數函數的性質、對數函數的性質本身就是由函數圖象給出的?所以在本章教學

中要特別注意利用函數圖象，使學生不僅能從圖象觀察得到相應的性質，同時在研究性質時也要有

函數圖象來印證的思維方式?在教學過程中要注意培養學生繪制某些簡單函數圖象的技能，記住某些

常見的函數圖象的草圖，養成利用函數圖象來說明函數的性質和分析問題的習慣.

（三）注意與其他章內容的聯系

本章是在集合之后學習的，映射概念本身就屬于集合的知識?因此，要經常聯系前一章的內容來學習

本章，又如學會二次不等式解集的表示就要用到求函數的定義域或表示值域等知識上來?簡易邏輯中

的充要條件在本章中就要用至少同樣本章學到的知識將在后續內容也要經常用至山因此，要注意與其

他章節的聯系，也要注意聯系物理、化學等學科的知識內容來豐富和鞏固本章的內

二.對概念的學習和理解

映射、函數、周期函數、反函數、分數指數累

(函數1)若/(X)和g(x)都是定義在R上的函數，口方程/(g(x))=x有實數解，財以/⑺)不

可能是()

(A)+X(B)X~+XH(C)X"(D)-\

5555

三.關于復合函數的定義域問題

(函數2)已知函數〃3x+2)的定義域為[2,3],則/(此的定義域為

(函數3)已知函數/[V)的定義域為則f(lnx)的定義域為

四.函數圖象

1.函數圖象的變換

(函數4)怎樣由函數y=/(x)的圖象得到y=2-3|/(2-|3x+2|)+l|的圖象?

2.對稱問題

（函數5）已知），=1+/（-工+1）是定義在/?上的奇函數，當），氣（工）與），=〃1）的圖象關于），=工

對稱，那么g（x—2）+g（—x）=（）

A.2B.0C.1D.-2

（函數6）奇函數/（外存在反函數或x）,若把y=/（幻圖象向上平移3個單位，向右平移2個

單位后，再關于直線y=-x對稱，所得到的曲線對應的函數是（）

A.y=-^（x-3）B.y=-g（x-2）+3

C.)，=g(x+3)—2D.y=g(x+2)_3

（函數7）計論函數y=f（1+X）與y=/（I-x）的對稱性

3.函數圖象應用

（函數8）

設集合人=（（再），）,2?）?42）,集合8=（（x,y“ogN3wlog屏|4國#1,區工1）,則在直角坐

標平面內，AflB所對應區域的面積為（）

A.ITCB.—C.行兀D.71

2

提示：分四種情況

0<,x<<1I⑵]0<A<1x>1x>1__

(1)(3)(4)畫出

0<y<12>1

第一象限的圖象，再由對稱性畫出其它象限圖象，如圖,

2

可知4nB所對應區域為一個半圓，面積為巴二二不，選D

2

(函數9)己知R上的函數/(幻滿足/(—x)=/(x),/(x+l)=/(x-1),當時,

/(x)=1-x2,函數g(x)=/(x)-lgx,則g(x)在(0,+8)上零點的個數為()

A.1()B.9C.8D.7

提示：分別畫出y=/(x)與)，=lgx的圖象，數出它們的交點即可，注意在x=10處，分別考察兩

函數的導數可知，此處為相交，不為相切，故在此交點的左邊附近還有一交點，應是10個交點，選

A

(函數10)已知f(x)=sinx—欄7T

,則/"）在［0,另］上的上零點的個數為

（函數11)設集合A={(x,y)|y二|ln|x||},B={(x,y)\y=白則ACIB中元素個數為

立體幾何

一.對新教材立體幾何教法的建議

二.兒何體的三視圖

（立幾1）用小立方體組成一個幾何體，使得它的正視圖和俯視圖如右

圖所示，若搭出這個幾何體共用了〃個小立方體，則〃的最大最小值分

別為（）

A.16,10

B.21,7

C.16,7

D.21,10

已知一個幾何體的三視圖如下圖所示，

為1的正方形，則此幾何體的體積為

俯視圖

（立幾3）已知一個棱長為2的正四面體在平面a上的投影為一個等腰梯形，則此等腰梯形的面積

的取值范圍是（）

A.（V2,2）B.（>/3,2）C.（百,&）D.（a,4）

提示：分別取對棱/W,CZ）的中點M,N,先讓A5_La,此時的投影為一個等腰三角形，底長為2,

高為血,面積為血，再讓四面體繞腦V旋轉，設旋轉角為《，此時43,CD的投影為兩平行的

線段，長分別為2sin/7,2cos/7,當2sin/?w2cos4時，投影就為等腰梯形，面積為

1（2sin/7+2cos/7）x=2sin（/7+,所以所求范圍為（加,2）,選A

（立幾4）三棱錐A-3C。中，AKL平面BCO,則NC4O與NCB。的關系為（）

A.ZCAD>ZCBDB.ZCAD=ZCBD

C./CAD</CBDD.不確定

三.立體兒何的體積公式

牟合方蓋一劉徽的直觀構形

劉徽的幾何構形“牟合方蓋”載于劉徽《九章算術?少廣章》開立圓術。作為1700

年前我國數學家劉徽構思出來用于求球體積的幾何構形，足以與近代拓撲學中的“Klein

瓶”相媲美。

雖然阿幾米得也通過?定的途徑構思出這樣的圖形，但是阿幾米得沒有給這樣的圖

形一個恰到好處的命名，西方人也沒有對此引起足夠的重視。

劉徽構思“牟合方蓋”時已經清楚地了解到多邊形面積與多面體體積之間的煲質區

別。而西方數學家直到19世紀末才明確地認識到這個問題。面積概念與體積概念的實

質區別問題我們已經在前面的問題12中有詳細論述。

體積的概念必須求助于“祖晅原理”，而事實上劉徽已經發現了這個重要的原理

因此一些數學史公正地把“祖曬原理”稱為“劉徽-祖隨原理”。（參見《吳文俊文集》

第86頁：體積理論和劉徽原理）

吳文俊先生在其數學史著作中稱：“劉徽的發明創造對后世人有所啟發，即使對丁

現今數學也有不少借鑒之處。從對數學貢獻的角度來衡量，劉徽應該與歐幾里得、阿基

米德等相提并論。”

牟合方蓋模型

劉徽構形：牟合方蓋

眾所周知，劉徽割圓術解決了圓面積的求法問題。實際上劉徽以他特有的幾何直觀

視角發現了“牟合方蓋”，并利用它成功地發現了求球體積的可行途徑。劉徽距離正確

地求出球的體積僅差一步之遙，祖隨在劉徽“牟合方蓋”構形基礎上最后成功地求出了

球體積公式。下面我們分四個方面來闡述劉徽方法求球的體積的思路。

一、劉徽的清晰構思

第1步：方中含圓，面積之比4：兀

圖1方：圓二4：71

第2步：把球切成薄片，每片內切于一個正方形薄片。

圖2圓片與外切正方形片

第3步：把球片連同外切正方形薄片重新按照原來的上下順序迭合在一起。內部的

圓片迭合成為一個球，而外切正方形薄片所迭合成的幾何構形稱為“牟合方蓋”。體積

圖3迭合成“牟合方蓋”

第4步（祖晅）：作出外切正方體，求出體積之比。方：牟=3：2o這一步需要一

定的計算技巧，劉徽沒有完成最后這一步。

圖4方:牟二3：2

第5步：牟：球=4：兀，球二巴牟

4

方：牟二3：2；牟二白方

3

球二￡牟二三?2方二工&3，〃/

44363

二、劉徽的貢獻

首先劉徽發現了《九章算術》中球體積公式的錯誤，并進一步提出利用牟合方蓋求

球體積的途徑。劉徽注《九章算術?少廣章》開立圓術，載：“置積尺數，以十六乘之,

九而一，所得開立方除之，即立圓徑。”

劉徽注曰：“立圓印丸也。為術者蓋依周三徑一之率，令圓幕居方累四分之三［這句

話意思是：方中含圓，面積之比為4：九一一本文作者注］。圓困居立方亦四分之三，

丸居圓困又四分之三，故丸居立方十六分之九也。故以十六乘積，九而一，得立方之積。

丸徑與立方等，故開立方而除得徑也。然此意非乜。何以驗之？取立方菜八枚，皆令立

方一寸，積之為立方二寸，規之為圓困，徑二寸高二寸。又復規之，則其形似牟合方蓋

矣。八棋皆似陽馬，圓然也。”

數學家劉徽

三、牟合方蓋的體積計算，祖唯的工作

設球半徑r,切片圓盤半徑a,距球心h,則/=/一〃2。牟合方蓋外截面面積

S=4（戶=可見把外切正方體挖去牟合方蓋之后剩余部分劃分為8小塊，每小

塊相當于一個底面為邊長r的正方形、高為r的倒置棱錐的體積T二三故方：牟=3：

2o

圖5牟合方蓋體積計算（立方-曲陽馬二陽馬）

四、關于現行中學教材中球體積的求法

現行中學教材中球體積的求法尚未形成一個比較穩定、比較合理的處理方法。

些教材中直接給出球的體積公式，而不加證明。一部分教材給出球的體積的證明，但教

材中的證明都采用下面的證法。

下面的左圖是在一個半徑為r與高也為r的圓柱內放置一個半徑相同的半球，右圖

是將同樣的圓柱內挖去一個底半徑相同內積圓錐，圓錐的底與圓柱的上底重合。現在來

計算左圖半球的體積與右圖圓柱內挖去一個底半徑相同內積圓錐所得的兩個立體圖形

的體積相等：

首先用一個平行于底面、距離底面h的平面n截左右兩邊的圖形，平面m截半球的

截面積為乃（戶一〃2）。而右邊圖形中，因為倒置的圓錐被平面m截出的面積為就2,因

此挖去一個內積圓錐的圓柱被平面m截出的面積司樣為亞/一"）。利用cavalirieri原

理，半球體積與挖去一個內積圓錐的圓柱的體積相等，而后者的體積是

九r'一L兀戶=2.兀/,因此球體積為3開尸\

333

圓柱內放置一個半球挖去一個內積圓錐的圓柱

求球體積的這一方法是Cavalirieri于16世紀所提出的，它的確非常簡潔而且巧妙,

但是于劉徽-祖唯方法相比存在兩方面的缺點：第一、Cavalirieri方法更加抽象，思路難

以捉摸，不如劉徽-祖晅方法那么清晰明了；第二、Cavalirieri方法還依賴于首先要證明

三維空間中的立體圖形，同底等高的錐體體積是柱體體積的1/3,.而劉徽-祖晅方法不依

賴于這一中間結論。因此，從這個意義上說劉徽■祖咂方法更加直接、更加富有原創性。

“牟合方蓋”是我國古代幾何學中的標志性圖形，劉徽構思之巧妙實可以與“Klein

瓶”相媲美。采用劉徽“牟合方蓋”的方法求球的體積能夠使我們領略1800年前我國

古代數學家對于復雜幾何問題的高度直覺思維、高度的創造性。劉徽-祖迪方法直觀性

強，也并不象想象的那么困難，因此我們建議，僅僅由于劉徽-祖隨方法的獨特性，高

中數學教材中關于球的體積求法這部分內容不但不需要刪節，更加重要的是應該比較詳

細地介紹劉徽-祖畫方法，讓每一個中學生通過這部分內容的學習而更具體、更實際地

了解我們祖國古代光輝燦爛的數學文化。

（立兒5）（2005理1（））如圖，在體積為1的三棱錐A-BC力的側棱AB、AC.AD

上分別取點E,F,G,使/：/C=AG:GO=2:1,記。為平面BCG、CDE、

DBF的交點,則三棱錐O-BCD的體積等于

)

(A)-(B)-

98

(C)-(D)-

74

有很多人認為，這道題目對學生的空間想象能力要求太高，由于。為三個平面的交

點，學生思考起來難度也太大……，但這只是表面現象，實際上，題目要求的是兩個幾

何體的體積之比，一個是三棱錐A-BCD,一個是分別用三個平面從三棱錐A-58上

分三次“切割”下來的一個三棱錐0-48,注意到三棱錐O-BCE＞的產生過程，可以

找到解決問題的突破口。先看第一次“切割”：不妨設是平面GBC切下的三棱錐

G-BCD,求G-BC7）的體積，對絕大部分的考生來說都是一個特簡單的題目，由于

AG:GO=2:1,所以G—BCZ）的體積=;匕-3=；；由平面幾何知識，我們很容易得

?JJ

到GN:NC=2:3,GN:GC=2:5,于是第二次切下的三棱錐N-BCD的體積

=|vG_ftCD=1x|=l‘同理’第三次切下的三棱錐O—BCD的體積

JJJJ

=-y-BCD=-X~=-^從上面的分析過程我們可以看出，三次的操作中，我們用了兒

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平相同的計算方法，很輕松地得出了iE確答案，但是許多考生面對這個題目淺嘗輒止，

望而卻步，缺乏堅持不懈，深入思考的思維品質，思維缺乏“深度”。命題者通過簡單

“疊加”，精妙布局，創設問題情境，巧妙測出了考生的思維“深度”，真可謂是匠心獨

運。

（立幾6）在體積為1的三棱錐A-/CD的側棱AB、AC.4D上分別取點E,￡G,使

AE:EB=\:2,AF:FC=\:\AG:GO=1:4,則三棱錐A-EFG的體積為

（立兒7）己知4,8,C,。四點不共面，且異面直線A8與。。的距離為4,所成的角為8,

|A3|=a\CD\=b,則三棱錐A—BCD的體積為

四.空間中的位置關系

（立幾8）若有兩兩不共向的三條直線，證明：存在無數多條直線，它們與已知三條直線都相交,

且其中任何兩條直線都不在同一平面內.

（立幾9）設四棱錐P—ABCD的底面不是平行四邊形，現用平面截此四棱錐，得到截面四邊形

48CO,設集合S=｛四邊形A8CD'是平行四邊形｝,則（）

A.S是無窮集合B.S是單元素集合C.S為空集D.S的元素個數無法確定

（立幾10）（2010理1（））到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點，在過其中一條直

線且平行于另一條直線的平面內的軌跡是（）

（A）直線（B）橢圓（C）拋物線（D）雙曲線

這道題目，首先考生要過語言關，題

目只是一句話，文字功夫欠缺的同學可能

不能理解這句話的含義；我們將這句話分

解：己知兩互相垂直的異面直線。和,

平面a過b,alia?。內的點尸到a,b的

距離相等，求尸的軌跡。過了語言關，我們要過“空間”關，要求考生充分發揮自己

的空間想象能力，把題目中的點線面的關系理清；最后我們還要過“解析兒何”關，如

圖，OO'為火。的公垂線，以。為原點，〃為y軸，在平面。內建立直角坐標系，設

P（x9y）,的距離為,/,則由題意知即/一,2=/,所以近D,這道

題目要求考生充分調動自己的文字理解能力、空間想象能力，解兒求解能力，命題者巧

找知識的交匯點，考察了學生靈活運用、綜合運用知識的能力。這道題目，還留有余味,

試問：若。過OO'的中點，結果又如何呢？若尸就是空間中的動點，結果又如何呢？

實際上，空間中到出。建離相等的點構成一個馬鞍面，如圖，題中所求的軌跡實際上是

平面。與這個馬鞍面的交線，若。過OO,的中點，軌跡是兩條相交直線。這為今后學生

學習空間解幾埋下伏筆。

（立幾11）如圖，面43€;，a，D為AB

的中點，|A8|=2,ZCDB=60\P為a

內的動點，且尸到直線CD的距離為JJ,

則NAP8的最大值為（）

A.30°B.60°C.90°D.1204

提示：空間中到直線CO的距離為6的點構成一個圓柱面，它和面。相交得一橢圓，所以P在。

內的軌跡為一個橢圓，。為橢圓的中心，b=6。=」~丁=2,則c=l,于是A8為橢圓

sin60

的焦點，橢圓上點關于兩焦點的張角在短軸的端點取得最大，故為60’

五.利用向量的外積求平面的法向量

和傳統的立體幾何教材相比，新課標下的立體幾何不管是在內容編排上還是培養目

標上都有很大的不同，傳統的立體幾何教學主要關注邏輯論證和幾何公理體系，側重于

幾何問題的思辯論證，而新課標下的立體幾何更重視“空間觀念、幾何直覺”，更重視

“直觀感知、操作確認、思辯論證，度量計算”的全過程，在計算和論證中，更加強調

“向量”的工具性，不管是對空間中“線線”、“線面”、“面面”的垂直或平行關系的證

明，還是對空間中“角”和“距離”的度量計算，都可以在空間直角坐標系中利用向量

達到目的。所以，對向量的處理方法和手段越多，無疑更能提升我們對立體幾何問題的

處理能力。

我們知道，在利用向量進行計算和證明立體兒何問題時，凡涉及到平面，我們都需

要計算平面的法向量，怎樣計算平面的法向量呢？在教學中，我們主要是利用平面的法

向量和平面內的所有向量都垂直這一性質，通過解方程組得到平面的法向量，如下例:

已知AB=(1,2,-2)=(1,-1,3),求平面43C的法向量。

解._：設5〃=(x,y,z),則_.有.<n-AB=0=>x+2y-2z=0，令.x=l,解._得〃二(1,一一5,一一3)o

n-AC=0[x-y+3z=044

在上例的解答中，我們可以看到，由于有三個未知數而只有兩個方程，是一個不定

方程，我們令其中一個未知數為1,進而求出另外兩個未知數。顯然平面的法向量不唯

一，我們這樣求得的法向量只是其中一個“特殊值”而已，特別是我們求得的法向〃的

相反向量也是平面A8C的法向量，而我們這種求法無法對求出的法向量的方向進行準

確控制，這就會給我們的后續計算帶來一些麻煩。

比如我們在求二面角的大小的時候，我們用解方程組的方法先求出兩個平面的法向

量，再利用公式8式=’<丐求出二面角的余弦值,從而得解。但這樣解有一個問

題：由于平面的法向量有兩個方向，而我們的求解過程并不能準確控制它的方向，我們

有可能求出了下面四種情形之一：

如果我們恰好求出的是第1、4兩種情形，此時兩個平面的法向量一個指向二面角內

部，一個指向二面角外部，兩個法向量所成的角恰是二面角的大小；如果我們求出的是

第2、3兩種情形，此時兩個平面的法向量都指向內部或都指向外部，我們求出的只是

二面角的補角。在目前這種求解方法下，我們并不清楚求出的是哪一種情形，從而也就

無法保證我們求出的結果的正確性。造成這一結果的根源在于我們這種求解方法的缺

陷，就是求平面的法向量時不能準確控制它的方向，怎樣改進求法向量的方法呢？為此,

我們引進向量的另一種運算，即外積。

對于向量的積，高中教材已經講解了內積，定義兩個向量的內積為

a-h=\a\-\b|cos<t/,/?>,這是一個實數。和內積不同，向量的外積仍然是一個向量,

a與b的外積記為a,定義||=|〃|sin<a,b>,定義ax〃的方向滿足右手定

則：如圖，伸出右手，先讓四指指向a方向，再

握向力方向，此時大拇指的方向就為。x8的方個xZ?

向。由定義可以看出，axb與向量。，b都垂直，［竺二二

所以ax人是。，〃所在平面的法向量，又由右手.b

定則可知ax〃與〃xa是相反向量，這給我們控

制法向量的方向帶來便利。

下面介紹向量外積的坐標表示，設4=(4,生,%),b=(仄也,隊)，構造行列式：

4%，如下決定各坐標分量的1%a\^x=a2by-a.b2值:

Ah2b3

Ub3

分y=她一他q%->z=axb2-02bl

l:b\b2

再回到上文的例子：已知A8=(l,2,-2),AC=(1,-1,3),求平面ABC的法向量。

xyz

我們口J由行列式12—2fABxAC=(4,—5,-3),得平面A

1-13'

的法向量為(4,-5,-3),如果我們交換二三行的位置，

可得另一個法向量(-4,5,3),它們的方向剛好相反。

下面我們利用向量外積來求一個二面角：如圖，己知AV

A4”B3”CG兩兩平行，且A4,=BB,=2CCt=2,

A41JL面AeG且AA4G是邊長為2的等邊三角形，M為

的中點.求二面角G-Mq-4的余弦值.

解：（1）取4用的中點。為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系，則有

A（O,TO）,B1（O,1,O），C（6,O,O）,B（0,l,2）,C（A/3,0,1）

由中點坐標公式有網字黃

B?=（瓜-1,0），44=（0,一2,0）,4M=（苧-g,|）

現設平面曷4M和平面的法向量分別為

%,n2,則有4=44xB1M=（一3,0,6）

%二46>8也=（一|,一手,0）

所以，所求余弦值為-@

I"H.I4

注意解答中，求修，為時兩向量外積的先后順產，由右手定則可知，%的方向指向二

面角外部，4指向了二面角內部，這樣所求的結果恰好是二面角的大小，這正是利用

外積求平面法向量的意義之所在。

排列組合

一.復習建議

二.典例列舉

1.兩個原理

（1）1,2,3,…,〃的排列滿足條件：每個數或者大于它之前的所有數，或者小于它之前的所有數,

問有多少種這樣的排列？

（2）一天中，老板交給秘書九封信，讓她用打字機打出來，接送的先后順序分別編號為1,2,…,9,

送信的時間是不定的，但每次都是將信放在那些待打信的上面，秘書一有空，就從最上面取一封信

出來打，現已知第8封信在上午已被打出來，請問在下午有多少種不同的打信的順序？

2.占位問題（特殊元素特殊位置問題）

（3）某班某天要上七節不同的課，基中包括一節數學和一節體育，若要求體育不排第一節，數學不

排最后一節，則共有多少種不同的排課方法？

(4)如圖，用五種顏色涂六塊區域，相鄰區域不涂同色，共有多少種涂法?

(5)同室四人各寫一張賀年片，先集中起來，然后，再將它們分配給這四個人，并且自己不拿自

己的賀年片，則共有種不同的分配方案

3.相鄰相間問題

(6)六個人排成一排，

(a)若A與B不相鄰，C與D相鄰的不同排法有多少種？

(b)若A與B不相鄰，A與C也不相鄰的排法有多少種？

(C)若A與B不相鄰，D與C也不相鄰的排法有多少種？

(d)若A與B不相鄰，D與C也不相鄰，E與尸也不相鄰的排法有多少種？

4.不均分與均分問題

（7）8本不同的書，全部分給4個人，每人至少一本，共有多少種不同的分法?

（8）K個人上N節車廂（K>N）,每節車廂至少1人,共有多少種不同的上法？

（9）由1,2,3,456組成的沒有重復數字的一個排列力生%。4%。6，其中能經過兩次調換其中兩個

數的位置得到123456的排列總數為.

5.混合列問題

（10）欲將一個棋子由點（0,0）移動到點（機,〃），而且規定必須沿坐標軸方向移動，只

許在整點改變方向，向移動棋了?的最短路徑有多少條？

（11）在一次射擊比賽中，有8個泥制的靶子掛成如圖所示的三列（其中兩列三個，一列兩個）一

位神槍手按照下面的規則打中所有的靶子：

（1）首先選一列；

（2）再打掉這列最下面的靶子，問打中這8個靶子共有多少種不同的順序？

(12)一名旅游者開車自駕游，他從城市A”出發，沿著

如圖的道路一直往下前進(&為城市，直線為道路)，

在每一個城市他選擇向左或向右的道路是等可能的，則他

到達城市A.(IWkWn)的概率為

(13)數列｛勺｝共有11項，滿足4=0,4=4,|4_「4|=1,則這樣的不同數列的個數為

(14)已知正方體qGA，一只青蛙從A點出發，沿著正方體的棱跳動，每步從一個

頂點等可能的跳到和它相鄰的另三個頂點之一，則青蛙跳5步后，停在頂點G的概率為

6.隔板問題

(15)(a+b+c+dy00展開式有多少項？

(16)擲硬幣15次，按序記下每次得出的“正”、“反”，有多少種不同的序列，它們恰好有2個“正

正”，3個“正反”、4個“反正”、和5個“反反”？

7.對應問題

(17)滿足條件的整數組&,兒。“)共有多少個？

(18)某城市的車牌號是由0,1,2,…,9的1()個數字組成的六位數碼(數字可重復使用，且0可作首

位)，則滿足各位數字之和為9的倍數，且至少含有三個9的車牌號共有()個

A.1762B.278C.5560D.1620

(19)甲、乙兩隊各出7名隊員按事先排好的順序出場參加圍棋擂臺賽，雙方先由1號隊員比賽,

負者被淘汰，勝者再與負方2號