2017-2018學年湖北省武漢市硚口區九年級（上）期中數學試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（3分）一元二次方程3x2=5x+2的二次項的系數為3，則一次項的系數和常數項分別為（）A．5，2 B．5，﹣2 C．﹣5，2 D．﹣5，﹣22．（3分）下列學生喜歡的手機應用軟件圖標中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8=0時，則方程變形正確的是（）A．（x﹣3）2=17 B．（x+3）2=17 C．（x﹣3）2=1 D．（x+3）2=14．（3分）中國“一帶一路”戰略給沿線國家和地區帶來很大的經濟效益，沿線某地區居民2015年年收入200美元，預計2017年年收入將達到1000美元，設2015年到2017年該地區居民年人均收入平均增長率為x，可列方程為（）A．200（1+2x）=1000 B．200（1+x）2=1000C．200（1+x2）=1000 D．200+2x=10005．（3分）如圖，在⊙O中，相等的弦AB、AC互相垂直，OE⊥AC于E，OD⊥AB于D，則四邊形OEAD為（）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四邊形6．（3分）拋物線y=﹣x2向左平移1個單位長度得到拋物線的解析式為（）A．y=﹣（x+1）2 B．y=﹣（x﹣1）2 C．y=﹣x2+1 D．y=﹣x2﹣17．（3分）二次函數y=2x2﹣1的圖象是一條拋物線，下列關于該拋物線的說法，正確的是（）A．拋物線開口向下 B．拋物線的對稱軸是直線x=1C．拋物線經過點（2，1） D．拋物線與x軸有兩個交點8．（3分）在探究“尺規三等分角”這個數學名題中，利用了如圖，該圖中，四邊形ABCD是矩形，線段AC繞點A逆時針旋轉得到線段AF，CF、BA的延長線交于點E，若∠E=∠FAE，∠ACB=21°，則∠ECD的度數是（）A．7° B．21° C．23° D．34°9．（3分）如圖，已知A（0，2），B（1，0），C（2，1），若拋物線y=x2+bx+1與△ABC的邊一定有公共點，則b的取值范圍是（）A．b≤0 B．b≤﹣2 C．b≥0 D．b≥﹣210．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，已知A（2，0），B（5，0），點P為線段AB外一動點，且PA=2，以PB為邊作等邊△PBM，則線段AM的最大值為（）A．3 B．5 C．7 D．二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）11．（3分）點P（﹣3，4）關于原點對稱的點的坐標是．12．（3分）一元二次方程x2+3x=0的解是．13．（3分）在⊙O中，⊙O的半徑為13，弦AB的長為10，則圓心O到AB的距離為．14．（3分）如圖，用一段長為40m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園ABCD，墻長為18m，設AD的長為xm，菜園ABCD的面積為ym2，則函數y關于自變量x的函數關系式是，x的取值范圍是．15．（3分）一位運動員投擲鉛球的成績是14m，當鉛球運行的水平距離是6m時達到最大高度4m，若鉛球運行的路線是拋物線，則鉛球出手時距地面的高度是m．16．（3分）如圖1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF疊合在一起，邊BC與EF重合，BC=EF=12，點G為邊EF的中點，邊FD與AB相交于點H，如圖2，將三角板DEF繞點G按順時針方向旋轉到60°的過程中，BH的最大值是，點H運動的路徑長是．三、解答題（共8小題，滿分72分）17．（8分）解方程：x2+2x﹣1=0．18．（8分）如圖，在兩個同心圓⊙O中，大圓的弦AB與小圓相交于C，D兩點．（1）求證：AC=BD；（2）若AC=2，BC=4，大圓的半徑R=5，求小圓的半徑r的值；（3）若AC?BC等于12，請直接寫出兩圓之間圓環的面積．（結果保留π）19．（8分）已知關于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2=0．（1）若方程總有兩個實數根，求m的取值范圍；（2）若兩實數根x1、x2滿足（x1+1）（x2+1）=8，求m的值．20．（8分）如圖，已知AC⊥BC，垂足為C，AC=4，BC=，將線段AC繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到線段AD，連接DC，DB．（1）直接寫出線段DC=；（2）求線段DB的長度；（3）直接寫出點B到直線AD的距離為．21．（8分）如圖，直線y=kx+與拋物線y=交于點A（﹣2，0）與點D，直線y=kx+與y軸交于點C．（1）求k、b的值及點D的坐標；（2）過D點作DE⊥y軸于點E，點P是拋物線上A、D間的一個動點，過P點作PM∥CE交線段AD于M點，問是否存在P點使得四邊形PMEC為平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．22．（10分）某網店銷售某款童裝，每件售價60元，每星期可賣300件，為了促銷，該網店決定降價銷售．市場調查反映：每降價1元，每星期可多賣30件．已知該款童裝每件成本價40元，設該款童裝每件售價x元，每星期的銷售量為y件．（1）求y與x之間的函數關系式；（2）當每件售價定為多少元時，每星期的銷售利潤最大，最大利潤多少元？（3）若該網店每星期想要獲得不低于6480元的利潤，每星期至少要銷售該款童裝多少件？23．（10分）如圖1，在△ABC中，點DE分別在AB、AC上，DE∥BC，BD=CE，（1）求證：∠B=∠C，AD=AE；（2）若∠BAC=90°，把△ADE繞點A逆時針旋轉到圖2的位置，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點，連接MN，PM，PN．①判斷△PMN的形狀，并說明理由；②把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD=4，AB=10，請直接寫出△PMN的最大面積為24．（12分）如圖，拋物線y=ax2+bx經過點A（﹣1，）及原點，交x軸于另一點C（2，0），點D（0，m）是y軸正半軸上一動點，直線AD交拋物線于另一點B．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接AO、BO，若△OAB的面積為5，求m的值；（3）如圖2，作BE⊥x軸于E，連接AC、DE，當D點運動變化時，AC、DE的位置關系是否變化？請證明你的結論．參考答案一、選擇題1．D．2．C．3．C．4．B．5．A．6．A．7．D．8．C．9．D．10．B．二、填空題11．（3，﹣4）．12．0，﹣3．13．12．14．y=﹣2x2+40x，11≤x＜20，15．．16．6，12﹣18．三、解答題17．解：∵x2+2x=1，∴x2+2x+1=1+1，即（x+1）2=2，則x+1=，∴x=﹣1．18．（1）證明：過O作OE⊥AB于點E，如圖1，由垂徑定理可得AE=BE，CE=DE，∴AE﹣CE=BE﹣DE，∴AC=BD；（2）解：連接OC、OA，如圖2，∵AC=2，BC=4，∴AB=2+4=6，∴AE=3，∴CE=AE﹣AC=3﹣2=1，在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2=OA2﹣AE2=52﹣32=16，在Rt△COE中，由勾股定理可得OC2=CE2+OE2=12+16=17，∴OC=，即小圓的半徑r為；（3）解：連接OA，OC，作OE⊥AB于點E，如圖2，由垂徑定理可得AE=BE．在Rt△AOE與Rt△OCE中：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，∴OA2﹣AE2=OC2﹣CE2，∴OA2﹣OC2=AE2﹣CE2=（AE+CE）（AE﹣CE）=（BE+CE）?AC=BC?AC=12，∴OA2﹣OC2=12，∴圓環的面積為：πOA2﹣πOC2=π（OA2﹣OC2）=12π．19．解：（1）∵關于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2=0總有兩個實數根，∴△=[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+2）=8m﹣4≥0，解得：m≥．（2）∵x1、x2為方程x2﹣2（m+1）x+m2+2=0的兩個根，[來∴x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+2．∵（x1+1）（x2+1）=8，∴x1x2+（x1+x2）+1=8，∴m2+2+2（m+1）+1=8，整理，得：m2+2m﹣3=0，即（m+3）（m﹣1）=0，解得：m1=﹣3（不合題意，舍去），m2=1，∴m的值為1．20．解：（1）∵AC=AD，∠CAD=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴DC=AC=4．故答案是：4；（2）作DE⊥BC于點E．∵△ACD是等邊三角形，∴∠ACD=60°，又∵AC⊥BC，∴∠DCE=∠ACB﹣∠ACD=90°﹣60°=30°，∴Rt△CDE中，DE=DC=2，CE=DC?cos30°=4×=2，∴BE=BC﹣CE=3﹣2=．∴Rt△BDE中，BD=．（3）延長AD、CB交于K，由（2）可得DK=AD=4，BK=EK﹣BE=2﹣=，設點B到直線AD的距離為h，△DBK的面積=，即h=．故答案為：（1）4；（3）21．解：（1）把A（﹣2，0）代入y=kx+得到：0=﹣2k+，解得k=．把A（﹣2，0）代入y=得到：×（﹣2）2﹣2b﹣=0，解得b=﹣．則該直線方程為y=x+，①拋物線方程為：y=x2﹣x﹣，②聯立①②解得x=8，y=，即點D的坐標是（8，）；綜上所述，k的值是，b的值是．點D的坐標是（8，）；（2）設P（m，m2﹣m﹣），則M（m，m+），∵PM∥CE且四邊形PMEC為平行四邊形，∴PM=CE，∴yM=﹣yP=yE﹣yC，即﹣m2+m+4=﹣，整理，得（m﹣2）（m+4）=0，解得m1=2，m2=﹣4，故點P的坐標為（2，﹣3）或（4，﹣）．22．解：（1）y=300+30（60﹣x）=﹣30x+2100．（2）設每星期利潤為W元，W=（x﹣40）（﹣30x+2100）=﹣30（x﹣55）2+6750．∴x=55時，W最大值=6750．∴每件售價定為55元時，每星期的銷售利潤最大，最大利潤6750元．（3）由題意（x﹣40）（﹣30x+2100）≥6480，解得52≤x≤58，當x=52時，銷售300+30×8=540，當x=58時，銷售300+30×2=360，∴該網店每星期想要獲得不低于6480元的利潤，每星期至少要銷售該款童裝360件．23．解：（1）∵DE∥BC，∴，∵BD=CE，∴AB=AC，∴∠B=∠C，AB﹣BD=AC﹣CD，∴AD=AE，即：∠B=∠C，AD=AE，（2）①△PMN是等腰直角三角形，理由：∵點P，M分別是CD，DE的中點，∴PM=CE，PM∥CE，∵點N，M分別是BC，DE的中點，∴PN=BD，PN∥BD，∵BD=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，∵PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形，②由①知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD，∴PM最大時，△PMN面積最大，∴點D在AB的延長線上，∴BD=AB+AD=14，∴PM=7，∴S△PMN最大=PM2=×72=．故答案為．24．解：（1）∵拋物線y=ax2+bx經過點A（﹣1，）和點C（2，0），∴，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣x；（2）∵D（0，m），∴可設直線AD解析式為y=kx+m，把A點坐標代入可得=﹣k+m，即k=m﹣，∴直線AD解析式為y=（m﹣）x+m，聯立直線AD與拋物線解析式可得，消去y，整理可得x2+（﹣m）x﹣m=0