測量誤差基礎知識第一頁，共70頁。第三講誤差根底知識

觀測誤差

衡量觀測質量的指標誤差轉播定律算數平均值及其中誤差加權平均值及其中誤差2第二頁，共70頁。3.1觀測誤差

測量中常見的問題距離測量

S1=56.743m≠S2=56.748m≠S3

三角測量理論上：∠A+∠B+∠C=1800

實測中：∠A+∠B+∠C≠1800

高程測量理論上：h1+h2+h3+h4=0

實測中：

h1+h2+h3+h4≠03第三頁，共70頁。觀測誤差的概念概念：被觀測對象的觀測值與真實值(理論值)的差值。一般用符號△表示：△=L觀–X真〔或X理論值〕示例角度測量——三角形的閉合差：W=∠A+∠B+∠C–180O高程測量——閉合水準線路的高差閉合差：fh=Σhi43.1觀測誤差第四頁，共70頁。觀測誤差產生的原因測量設備：儀器及其附件儀器制造：設計與實現間的差異。長期使用：部件磨損和環境影響。觀測者：作業員儀器安置和操作目標瞄準和讀數外界環境：風、溫度、日照等大氣折光、熱脹冷縮等地球曲率、儀器升沉等

5

觀測條件3.1觀測誤差第五頁，共70頁。觀測誤差原因例如儀器的原因鋼尺量距——刻劃線刻劃不均勻水準測量——水準儀的i角誤差2025/4/1763.1觀測誤差第六頁，共70頁。

觀測人員的原因水準測量——標尺上讀數2025/4/1771595中絲讀數：159615973.1觀測誤差第七頁，共70頁。

外界環境的原因高程測量——大氣折光2025/4/178

水準測量

三角高程測量3.1觀測誤差第八頁，共70頁。

觀測誤差的種類

誤差產生原因與影響的性質不同，誤差可分為：

系統誤差:

各觀測誤差在大小、符號上表現出系統性；

具有一定的規律性，或為一常數；

偶然誤差:

各觀測誤差在大小和符號上表現出偶然性；

單個誤差而言，誤差的大小和符號沒有規律性；

大量的誤差而言，具有一定的統計規律；

粗差：觀測值中含有的誤差較大或超過了規定的數值。93.1觀測誤差第九頁，共70頁。

系統誤差的處理方法

系統誤差處理方法1——采用數學模型改正

—鋼尺量距—對鋼尺鑒定獲得丈量溫度下實際尺長2025/4/17103.1觀測誤差第十頁，共70頁。系統誤差處理方法2—采用一定的作業方法消除與削弱水準測量i角誤差——觀測作業：每測站前、后視距之差≤限值；——數據處理：對觀測數據進展改正；系統誤差處理方法3—在測量數據處理將系統誤差作為未知數中求解。113.1觀測誤差第十一頁，共70頁。粗差的處理方法性質：觀測值中所含“觀測誤差〞已不屬于誤差范圍，而是觀測值中的“錯誤〞。解決方法：采取“多余觀測〞進展檢核，予以剔除；多余觀測對觀測量進展重復觀測；使多個觀測量之間構成檢核條件。檢核觀測誤差的大小、性質和觀測質量，剔除粗差。123.1觀測誤差第十二頁，共70頁。

偶然誤差的特性誤差分布表13誤差區間0.2”正誤差負誤差合計viVi/nviVi/nviVi/n0.0～0.2460.128450.126910.2540.2～0.4410.115400.112810.2270.4～0.6330.092330.092660.1840.6～0.8210.059230.064440.1230.8～1.0160.045170.047330.0921.0～1.2130.036130.036260.0721.2～1.450.01460.017110.0311.4～1.620.00640.01160.017>1.6000000和1770.4951810.5053581.0003.1觀測誤差第十三頁，共70頁。

偶然誤差的特性誤差分布圖——頻率直方圖2025/4/17143.1觀測誤差第十四頁，共70頁。

偶然誤差的特性當觀測次數足夠多時偶然誤差具有以下統計規律：限值特性——有界性在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不超過一定的限值。小誤差大概率特性——聚中性絕對值較小的偶然誤差比絕對值大的出現的頻率大。等值等概率特性——對稱性絕對值相等的正負偶然誤差出現的可能性大致相等。均值零特性

——抵償性當觀測次數無窮增多時，偶然誤差的算術平均值為零。

偶然誤差上述規律可以用數學公式加以描述。156.1觀測誤差第十五頁，共70頁。

誤差分布圖——分布曲線觀測次數n→∞區間間隔d→0直方圖→正態分布曲線163.1觀測誤差第十六頁，共70頁。誤差分布曲線的特點

f(Δ)是偶函數，對稱于縱軸；

當|Δ|減小時，f(Δ)增大；

——偶然誤差的對稱性、抵償性

Δ=0時；f(Δ)有最大值

——偶然誤差的聚中性

f(Δ)的漸近線為橫軸，Δ→±∞時，f(Δ)→0；

——偶然誤差的有界性173.1觀測誤差第十七頁，共70頁。誤差分布曲線的特點曲線拐點Δ

=±σ

——當|σ|愈大時，曲線愈平緩，小誤差的個數少且分散；

——當|σ|愈小時,曲線愈陡峭,小誤差的個數多且集中。參數σ的值可以作為衡量觀測質量的標準。2025/4/17183.1觀測誤差第十八頁，共70頁。3.2衡量觀測質量的指標觀測質量的相關術語精度：指一組觀測值的誤差分布的密集或離散的程度。準確度：指觀測值與真值的接近程度。精度好，說明觀測誤差分布得越密集，但并不等價于觀測值離真值越接近，只說明觀測值很穩定。準確度好則離真值越接近。同精度、不同精度觀測條件一樣——精度一樣；觀測條件不同——精度不同。19第十九頁，共70頁。

評定觀測質量的指標方差方差↘，精度↗；標準差中誤差

——中誤差m為標準差σ的估值20±σ=Δ拐（n→∞）（觀測次數n→∞）（觀測次數n→有限個數）6.2衡量觀測質量的指標第二十頁，共70頁。

中誤差21例1：某三角形用不同精度分別進展了2組各10次觀測，三角形內角和的誤差(閉合差)如下(單位秒)，求2組三角形閉合差的中誤差。第一組：+3，-2，-4，+2，0，-4，+3，+2，-3，-1第二組：0，-1，-7，+2，+1，+1，-8，0，+3，-1解：6.2衡量觀測質量的指標第二十一頁，共70頁。極限誤差〔限差〕——容許誤差由實驗和誤差理論可知，在大量同精度觀測的一組誤差中，誤區間的概率分別為：P〔-σ＜Δ＜+σ〕≈68.3%P〔-2σ＜Δ＜+2σ〕≈95.5%P〔-3σ＜Δ＜+3σ〕≈99.7%

大于3倍標準差的觀測誤差Δ出現的概率只有0.3%是小概率事件。因此，通常將2倍標準差作為偶然誤差的極限值，稱為極限誤差。即：限=2σ或Δ限=2m226.2衡量觀測質量的指標±σ=Δ拐第二十二頁，共70頁。

相對誤差：誤差的絕對值與相應觀測值之比。23例2：線段AB長10m,線段CD長100m，均丈量兩次，兩次丈量值的差值分別為：ΔAB

=10㎝；ΔCD=20㎝,那條線段丈量的精度好？解：6.2衡量觀測質量的指標第二十三頁，共70頁。

相對中誤差：觀測值中誤差的絕對值與相應觀測值之比。24例3:丈量兩段距離：L1=1000m；L2=80m，中誤差分別為:m1=±20mm，m2=±20mm，則那條線段丈量的精度好？解：6.2衡量觀測質量的指標第二十四頁，共70頁。問題：設有一般函數：Z=f〔l1，l2，…lk〕式中li為獨立觀測值，其中誤差為mi，(i=1，2，…k)，求Z的中誤差？例如256.3誤差傳播定律第二十五頁，共70頁。

誤差傳播定律的含義：

概念：闡述觀測值中誤差與觀測值函數中誤差之間關系的定律。其作用是根據觀測值中誤差求得觀測值函數的中誤差。

應用條件：在推導和運用誤差傳播定律時，函數中的自變量

觀測值間應該是相互獨立的，兩兩之間不能相互表達。例如：獨立觀測值：β1和β3、β2和β3、β3

和β4不獨立的觀測值：β1、β2和

β4

因為：β4

=β1

+

β2

263.3誤差傳播定律第二十六頁，共70頁。6.3誤差傳播定律誤差傳播定律的公式推導：根本思想：由微分的定義式出發Z=f〔l1，l2，…lk〕Z+△Z=Z真〔或Z理〕27第二十七頁，共70頁。

誤差傳播定律的公式推導：286.3誤差傳播定律第二十八頁，共70頁。

誤差傳播定律的特例

倍數關系29例4：設有函數Z=Cl，C為常數，l為觀測值。ml，求mZ。

函數Z的中誤差：

解：

誤差關系式：

構造中誤差計算式：6.3誤差傳播定律第二十九頁，共70頁。

誤差傳播定律的特例

和差關系30例5：設有函數Z=l1+l2，l1和l2互為獨立觀測值。m1，m2，求mZ。

函數Z的中誤差：

解：

誤差關系式：

構造中誤差計算式：0n→∞3.3誤差傳播定律第三十頁，共70頁。

誤差傳播定律的特例

一般線性關系31例6：設有函數Z=C1l1+C2l2+…+Cklk，li互為獨立觀測值。m1，m2，…，mk，求mZ。

函數Z的中誤差：

解：

誤差關系式：

構造中誤差計算式：3.3誤差傳播定律nCnCnCnkkz][][][][22222221212D++D+D=DTL第三十一頁，共70頁。32例7：A、B點坐標，觀測了角度β和距離SAP，由A點求P點坐標的點位精度是多少？現：mxA、myA、mTAB、mβ和mS。解：1〕列出函數關系式:Z=f〔l1，l2，…lk〕

3.3誤差傳播定律第三十二頁，共70頁。2025/4/17332〕列出誤差關系式3.3誤差傳播定律第三十三頁，共70頁。2025/4/17343〕誤差傳播定律公式6.3誤差傳播定律第三十四頁，共70頁。2025/4/17353〕計算P點點位中誤差不考慮點位誤差和方向誤差3.3誤差傳播定律第三十五頁，共70頁。36例8：X=L1+L2，Y=(L1+L2)/2，Z=XY。設L1，L2的中誤差為m，求X，Y，Z的中誤差。解：3.3誤差傳播定律第三十六頁，共70頁。誤差傳播定律例如由真誤差計算中誤差37例9：在一樣條件下觀測了24個三角形每一個內角，由觀測值算得各三角形的角度閉合差如下〔單位秒〕：求每個三角形閉合差的中誤差mω和三角形內角的測角中誤差mβ。解：三角形閉合差為真誤差Δω=ω-0=(A+B+C-1800〕-0即，Δω=ω=A+B+C-18003.3誤差傳播定律第三十七頁，共70頁。38一樣條件下觀測了每一個內角(Ai、Bi、Ci)，則有：3.3誤差傳播定律第三十八頁，共70頁。誤差傳播定律例如由雙觀測值的差數計算中誤差di=L1i-L2i〔i=1，2，3，…，n〕39例10：對長度大致一樣的8條邊作等精度雙次觀測，結果如下。編號：12345678求觀測值中誤差和每邊的算術均值的中誤差。3.3誤差傳播定律第三十九頁，共70頁。40解：

8條長度大致相同邊作等精度雙次觀測，則有：每條邊的每次觀測中誤差相同3.3誤差傳播定律第四十頁，共70頁。誤差傳播定律小結應用步驟第一步：列出函數式；第二步：函數式求導，得出函數和觀測值的誤差關系式第三步：套用誤差傳播定律。本卷須知函數式中觀測量〔變量〕相互間必須獨立；計算時各觀測量的中誤差的單位必須統一；如：點位中誤差計算時，應將角度單位換算為弧度。412.3誤差傳播定律第四十一頁，共70頁。3.4算術平均值及其中誤差

算術平均值42例11：設在一樣觀測條件下，對未知量L觀測了n次，觀測值為：l1，l2，…，ln，求該未知量的最正確值？

解：L的觀測值的算術平均值同精度條件下觀測值的算術平均值可作為觀測值的最正確值或最或然值同精度mi=m第四十二頁，共70頁。算術平均值的中誤差43例12：對觀測值L觀測n次，m1=m2=…=mn=m,求mx

解：結論：算術平均值的中誤差為觀測值中誤差的倍3.4算術平均值及其中誤差應用誤差傳播定律：第四十三頁，共70頁。改正數:概念：算術平均值(最或是值〕與觀測值之差稱為觀測值的改正數。一般用小寫字母V表示：特性443.4算術平均值及其中誤差第四十四頁，共70頁。

由改正數計算中誤差453.4算術平均值及其中誤差第四十五頁，共70頁。中誤差計算公式解釋3.4算術平均值及其中誤差真誤差計算中誤差〔真值，同精度，同一觀測量〕改正數計算中誤差〔真值未知，同精度，同一觀測量〕中誤差計算一般公式〔真值未知，同精度，t個觀測量〕多余觀測量第四十六頁，共70頁。改正數計算中誤差例如47例13：對某段距離同精度測量了4次，四次丈量值分別為：；試求該段距離的最或然值、觀測值中誤差及最或然值中誤差。解：次序觀測值l/m改正數v/mmvv/mm2計算:m,mx125.066-39225.068-525325.056+749425.062+11∑x=25.0630.0843.4算術平均值及其中誤差第四十七頁，共70頁。問題：在測量工作中，通常是對某一未知量進展了n次不同精度觀測，如何根據這些不同精度的觀測值求出未知量的最或然值，并評定它們的精度呢？2025/4/1748例13：某距離丈量了兩組：第一組4次丈量后得L1；第二組6次丈量后得L2；假設每次測量中誤差為m，求該距離的最或然值及其中誤差？

解：由誤差傳播定律3.5加權平均值及其中誤差第四十八頁，共70頁。2025/4/1749第一組：l1,l2,l3,l4

第二組：l5,l6,l7,l8,l9,l103.5加權平均值及其中誤差第四十九頁，共70頁。權定義與廣義算術平均值

廣義算術平均值〔加權平均值〕定義加權平均值的精度：50在誤差理論中，定義權C是常數，又稱為單位權中誤差。一般用表示。3.5加權平均值及其中誤差第五十頁，共70頁。51解：每一次測量中誤差為m，則：第一組丈量：3次：第二組丈量：2次：第三組丈量：1次：計算加權平均值與單位權大小無關3.5加權平均值及其中誤差例14：某距離丈量了三組：第一組丈量：3次；第二組丈量：2次；第三組丈量：1次；假設每次測量中誤差為m，求該距離的最或然值？第五十一頁，共70頁。52解：例15：L1，L2，L3的中誤差:m1=±3mm；m2=±4mm;m3=±5mm，求各觀測值的權。3.5加權平均值及其中誤差第五十二頁，共70頁。權的特性

選定一個m0值就對應一組權，或一組權必對應一個m0值；權的大小隨m0值不同而異,但權之間的比例關系始終不變假設觀測值Li是同類型的，其權是無單位；假設觀測值Li是不同類型的，權的單位要視具體情況而定。53計算加權平均值時，觀測值權的計算必須采用同一m0值，否則將破壞權之間的比例關系。3.5加權平均值及其中誤差第五十三頁，共70頁。

定權方法

54例16：在每公里測距精度mkm的一樣條件下測量了三條邊，得：S1=3km；S2=4km；S3=5km,求各邊的中誤差和權。每公里同精度測距時，測距中誤差與距離S的平方根成正比，距離的權與距離S成反比

解：3.5加權平均值及其中誤差第五十四頁，共70頁。2025/4/1755例17：水準測量中每測站高差的測量中誤差m站一樣的條件下，測了三條水準路線，各路線測站數分別為：n1、n2、n3，求每條水準路線的高差中誤差和權。

水準測量中，高差中誤差與測站數n的平方根成正比，高差的權與測站數n成反比。

解：3.5加權平均值及其中誤差第五十五頁，共70頁。2025/4/1756例18：水準測量中每公里高差的測量中誤差mkm一樣的條件下，測了三條水準路線，各路線長度分別為：S1、S2、S3，求每條水準路線的高差中誤差和權。水準測量中，高差中誤差與路線長度S的平方根成正比，高差的權與路線長度S成反比.

解：3.5加權平均值及其中誤差第五十六頁，共70頁。57例19：對某角做三組觀測，第1組測4測回，算術平均值β1；第2組測6測回，算術平均值β2；第3組測8測回，算術平均值β3。設每測回中誤差均為m。求β1、β2、β3的中誤差和權。

解：測角均值中誤差與測回數的平方根成反比，其權與測回數成正比.3.5加權平均值及其中誤差第五十七頁，共70頁。3.5加權平均值及其中誤差定權方法小結距離測量：水準測量：角度測量〔m為一測回中誤差〕：58C為常數，其選取與單位權的選取一樣第五十八頁，共70頁。權倒數傳播律59例20：觀測值函數為:Z=f(L1，L2，…，Ln)，L1，…，Ln為獨立觀測值，中誤差分別為：m1，…，mn；權分別為：P1，…，Pn；求觀測值函數的Z權PZ=

解：3.5加權平均值及其中誤差

權倒數傳播定理：第五十九頁，共70頁。60

例21：求加權平均值x

的權Px。

解：加權平均值的權等于各觀測值的權的和。3.5加權平均值及其中誤差其結論可以用權倒數傳播定律導出〔課堂練習〕。第六十頁，共70頁。

不同精度條件下的中誤差由真誤差計算單位權中誤差和最或然值的中誤差。61例22：不同精度獨立觀測值：

L1,…,Ln；權分別為：P1,…，Pn

；求單位權中誤差、最或然值的中誤差。

解：令則：因此，可得同精度的誤差式：由誤差傳播定律得：為同精度觀測值；3.5加