專題2.8絕對值貫穿有理數的八大經典題型

【華東師大版】

?題型梳理

【題型1利用絕對值的性質化簡求值】............................................................1

【題型2利用絕對值的非負性求值】...............................................................1

【題型3根據字母的取值范圍化簡絕對值】........................................................2

【題型4利用絕對值的定義判斷正誤】............................................................2

【題型5利用絕對值的意義求字母取值范圍】......................................................3

【題型6利用絕對值的意義分類討論高問題】......................................................3

|a|

【題型7分類討論多絕對值問題】................................................................4

【題型8絕對值中最值問題】.....................................................................4

，舉一反三

【題型1利用絕對值的性質化簡求值】

【例1】（2023春?江蘇常州?七年級校考期中）如圖表示在數軸上四個點p,q,r,s位置關系,若|p?r|=10,

|p-s|=12,|q-s|=9,則|q-r|=（）

___________II11A

Pqrs

A.7B.9C.11D.13

【變式1-1］（2023春?山東威海?六年級校聯考期中）有理數a、b,在數軸上的位置如圖所示，化簡|a+b|+

北-匕-川的結果為（）

I11I■、

C-1ao1b

A.—aB.aC.a+2cD.-a—2c

【變式1-2］（2023春?陜西西安?七年級西安市鐵一中學校聯考階段練習）化簡：|x-2|-|x+l|+|x-4|.

【變式1-3］（2023春?全國?七年級期末）已知|a|+a=0,粵=—l,|c|=c,化簡：\a+2b\-\c-a\+

u

\-b-a\=.

【題型2利用絕對值的非負性求值】

【例2】（2023春?天津和平?七年級天津二十中校考期中）若有理數x、y滿足田=3,|y+1|=4,且|無+y|二

一（％+y），求Wl+|y|的值?

【變式2-1]（2023春?七年級課時練習）已知（〃+1）2+/+5|=6+5,且|2〃一〃一1|=1,則必=.

【變式2-2]（2023春?重慶?七年級校考階段練習）已知x,y均為整數，且僅-），|+k-3|=1,則的值為一.

【變式2-3】（2023春?浙江溫州?七年級校聯考階段練習）滿足|a?5|+ab=l的非負整數（a,b）的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【題型3根據字母的取值范圍化簡絕對值】

【例3】（2023春?黑龍江牡丹江?七年級統考期中）當1cm<3時，化簡|m-1|一|血一3|二.

【變式3-1]（2023春?全國?七年級專題練習）已知有理數Q<—1,則化簡|。+1|+|1-。|的結果是.

【變式3-2]（2023春?上海?六年級專題練習）已知非零實數a,b,c,|Q|+Q=0,\ab\=ab,|c|-c=0,

化簡|b|-|a+b|—|c-b\+\a-c\.

【變式3-3]（2023春?河南新鄉?七年級校考期中）已知，同=-。，粵=一1，|c|=c，化簡|4+"-|"-日-也

-c|=.

【題型4利用絕對值的定義判斷王誤】

【例4】（2023春?湖北宜昌?七年級枝江市實驗中學校考期中）如果Q+b+c=0,且|c|>也|>⑷.則下

列說法中可能成立的是（）

A.Q、匕為正數，c為負數B.Q、c為正數，力為負數C.b、c為正數，Q為負數D.a、

c為正數，b為0

【變式4-1]（2023春?四川甘孜?七年級統考期末）已知有理數mb,c在數軸上的對應點的位置如圖所示.

IIII-

b0（7c

給下列結論：①a+b+（―c）>0：②（―a）—b+c>0；③^+卜+畝=1：④be-a>0：⑤|a-b|一

|c+b|+|a+c|=-26其中，正確的是.（填序號）

【變式4-2]（2023春?湖北省直轄縣級單位?七年級校考階段練習）已知a、b為有理數，下列說法：

①若。、》互為相反數，則；

01

②若a+bVO,ab>0,則|3a+41|=-3a-4b；

③若|a-b\+a-b=0,則b>a；

④若聞>步|,則Ca+b）?Ca-b）是負數.

其中錯誤的是—（填寫序號）.

【變式4-3]（2023春?湖北咸寧?七年級校聯考期中）已知如〃為有理數，且QVO,ab<0,a+b<0,則

下列結論：①b（a+b）>0：②|a|）@a<—b<b<-a；④|a—“一|a十。|-2|b|=0.其中正

確結論的序號是—.（把正確結論的序號都填上）

【題型5利用絕對值的意義求字母取值范圍】

【例5】（2023春?七年級單元測試）當。取什么范圍時,關于x的方程k-4|+2|「2|+|x?1|+國=〃總有解？

（）

A.a>4,5B.a>5C.a>5.5D.a>6

【變式5-1］（2023春?四川資陽?七年級校考階段練習）已知I5x-21=2-5x,則x的范圍是（）

A.X>B.X<C.X>7D.X<

2555

【變式5-2］（2023春?重慶?七年級重慶實驗外國語學校校考期末）數〃在數軸上對應點位置如圖，若數〃滿

足后間，則的值不可能是（）

????一

-2-101234

A.-1B.2C.1D.0

【變式5-3］（2023春?山東濟南?七年級校聯考期中）若區?2+3?2川巾?2|+|3-2/成立，則乂的范圍是_.

【題型6利用絕對值的意義分類討論總問題】

【例6】（2023春?全國?七年級專題練習）己知”，〃，c為有理數，且a+b+c=0,abcV0,則白+白+白的

⑷向Id

值為（）

A.1B.-1或一3C.1或一3D.-1或3

【變式6-2］（2023春?浙江?七年級專題練習）已知有理數。、從c、d滿足%=-1,求卷+白+卷+①的

\abcd\\a\同|c||d|

值.

【變式6-3］（2023春?四川內江.七年級四川省內江市第六中學校考期中）己知必，上，“3，…不。2】都是不

等于。的有理數，若力二里，求為的值.

xi

解：當％i>0時，y=—=—=1,當％i<0時，y=—=—=-1,所以yi=±1

xX1X1xX1X1

（1）若、2=四+四，則為的值為：

X1X2

（2）若二兇+四+四，則為的值為；

X1x2x3

（3）由以上探究猜想，y202i=—+—+—+-+共有_____個不同的值.

XiX2x3*2021

（4）應用：如果。、從c是非零實數，且a+b+c=0,那含+高+卷+瑞的所有可能的值為?

【題型7分類討論多絕對值問題】

【例7】（2023春?廣西南寧?七年級校考期中）在數軸上有四個互不相等的有理數〃Ac、d,若|a-1+|b-c|=

c-a,設“在a、c之間，則|a-d|+|d-c|+|c-/?|+|a-c|=.

【變式7-11（2023春?湖北武漢?七人級校考階段練習）已知a,b,c,d都是整數，且|a+b|+仍+c|+|c+d|+

|d+a|=2,則|a+b\=.

【變式7-2］（2023春?福建泉州?七年級統考期末）已知x是有理數，且x有無數個值可以使得弋數式

|2021x+2021*2|*4+|x+2021|+\2022x+20222|的值是同一個常數，則此常數為.

【變式7-3］（2023春?四川成都?七年級成都實外校考期中）已知m、九為有理數，方程||x+-川=2.7僅

有三個不相等的解，則九=_.

【題型8絕對值中最值問題】

【例8】（2023春?江蘇?七年級期末）如圖,數軸上有點〃，春c三點.

4—?~~o-----------~>

（1）用將a,b,c連接起來.

（2）b-a0（填"=”）；

（3）化簡匕一b|一|c—+11；

（4）用含m〃的式子表示下列的最小值.

①氐一。|+僅一〃1的最小值為:

②氐一。|+僅一〃l+k—d的最小值為.

【變式8-1］（2023春?廣東汕頭?七年級校考階段練習）（1）在數軸上，點A表示數-3,點。表示原點，點40

之間的距離=_.

（2）在數軸上，點力、B分別表示數a、b,同A、B之間的距離=\a-b\,數軸上分別表示Q和-2的兩點4和8之

間的距離為3,那么Q=_

⑶計算:：曰一斗+］一:+…+p----2-1-

132\143l154l1202020191一

（4）|3-a|+|a-2|的最小值是

【變式8-2］（2023春?福建泉州?七年級福建省永春第三中學校聯考期中）己知（|%+1|+|x-2|）（|y-2|+|y+

l|）（|z-3|+|z+l|）=36,則2016x+2017y+2018z的最大值是.最小值是.

【變式8-3］（2023春?江蘇泰州?七年級校考階段練習）三個整數a,b,c滿足aVbVc,且a+b+c=0.若

|a|<10,則|a|+|b|+|c|的最大值為.

專題2.8絕對值貫穿有理數的八大經典題型

【華東師大版】

，題型梳理

【題型1利用絕對值的性質化簡求值】............................................................1

【撅型2利用絕對俏的非負性求俏】..............................................................1

【題型3根據字母的取值范圍化簡絕對值】........................................................2

【題型4利用絕對值的定義判斷正誤】............................................................2

【題型5利用絕對值的意義求字母取值范圍】......................................................3

【題型6利用絕對值的意義分類討論5問題】......................................................3

|a|

【題型7分類討論多絕對值問題】................................................................4

【題型8絕對值中最值問題】.....................................................................4

，舉一反三

【題型1利用絕對值的性質化簡求值】

【例1】（2023春?江蘇常州?七年級校考期中）如圖表示在數軸上四個點p,q,r,s位置關系，若|p-r|=10,

|p-s|=12,|q-s|=9,則|q-r|二（）

______i1ii.

Pqrs

A.7B.9C.11D.13

【答案】A

【分析】根據絕對值的幾何意義，將|p-r|=10,|p-s|=12,|q-s|=9轉化為兩點間的距離，進而可得q、r兩點間

的距離，即可得答案.

【詳解】解：根據絕對值的幾何意義，

由|p-r|=10,|p-s|=12,|q-s|=9可得

p、i?兩點間的距離為10,p、s兩點間的距離為12,q、s兩點間的距離為9,

貝IJq、r兩點間的距離為10+9-12=7,

即|q-r|=7,

故選A.

【點睛】本題考查絕對值的幾何意義，|a-b|即兩實數a、b表示兩個點間的距離.

【變式（2023春?山東威海?六年級校聯考期中）有理數a、b,在數軸上的位置如圖所示，化簡|a+b|+

|c|-|c—W的結果為()

I|aI■、

C-1ao1b

A.-aB.aC.a+2cD.-a-2c

【答案】B

【分析】由數軸可知—1<Q<0,匕>l,cv—l,|c|>|6|,然后進行去絕對值，進而問題可求解.

【詳解】解：由數軸可得：-1<a<U,b>l,c<-1,?>網，

G+/?>0,c—b<0,

/.\a+b\+\c\—\c-b\=a+b-c+c—b=a；

故選B.

【點睛】本題主要考查數軸、絕對值，熟練掌握數軸、絕對值是解題的關鍵.

【變式1-2】(2023春?陜西西安?七年級西安市鐵一中學校聯考階段練習)化簡：|x-2|-|x+l|+|x-4|.

7—x,x<—1

【答案】+=5—3x,-1<x<2

1-x,2<x<4

x—7,x>4

【詳解】試題分析：要去掉絕對值符號，需知絕對值中式子的符號，x的取值是有理數范圍內任一數，所以

要對X的取值分情況討論，再去絕對值符號.

試題解析：

①當為<一1時，原式=(2-%)-(-%-1)+(4-%)=7-x

②當一14%V2時，原式=(2-A)-(x+1)+(4-z)=5-3x

③當2<x<4IJJ,原式=(x-2)-(x+1)+(4-x)=1-x

④當%>4時，原式=(%-2)-(A-+1)4-(x-4)=x-7

7—x,x<—1

51-^,2<?<42

(x-7,x>4

【變式1-3](2023春.仝國，七年級期末)已知|a|+a=0,3=一1,?=c,化簡：\+2b\-\c-a\+

ua

\—b-a|=.

【答案】-a-3b-c

【分析】先確定a、b、c的正負，然后再去絕對值，最后化簡求值即可.

【詳解】解：??,|a|+Q=0,粵=-l,|c|=c,

b

/.a<0,b<0?c>0

Aa+2b<0,c-a>0,-b-a>0

\a+2b\—|c-a|4-\—b—a\=-（a+2b）-（c-a）+（-b-a）=-a-2b-c+a-b-a=-a-3b-c

故答案為-a-3b-c.

【點睛】本題考查了絕對值的相關知識，牢記非負數得絕對值是它本身，負數的絕對值為其相反數，是解答

本題的關鍵.

【題型2利用絕對值的非負性求值】

[M2]（2023春?天津和平?七年級天津二十中校考期中）若有理數x、y滿足因=3,|y+l|=4,且優+y|=

-（%+y）,求+的值.

【答案】6或8.

【分析】根據絕對值的性質解得x,y的值，分情況討論得出符合條件的x,y的值，即可解.

【詳解】V|x|=3,|y+l|=4,

AA=3或-3,y=3或-5,

①當％=3,y=3時，+y|=6H-（％+y）=-6（舍去），

②當％=3,、=一5時，|%+訓=2=一（一%+、）=2,

M+|y|=8

③當x=-3,y=3時，|x+y|=0=-（x+y）=0,

|R+|y|=6.

④當x=-3,y=-5時，+y|=8=—（無+y）=8,

l%l+|y|=8.

則②3④滿足，則因+\y\=6或8.

【變式2-1]（2023春?七年級課時練習）已知（。+1）2+|力+5|=6+5,且|2〃一〃一1|=1,則岫=.

【答案】2或4.

【詳解】解：根據平方數是非負數，絕對值是非負數的性質可得:|什1|沙,|什5|加，???（。+1）2+步+5|=b

+5,.\/?+5>0,:.（a+l）2+人+5=〃+5,:.（?+1）2=0,解得〃=一],b>-5,加一人一1|=1,.\|-2

T—1|=L/.|/?+3|=1>/./?+3=±1,，方=—4或。=-2,???當o=-1,/?=—2時，ab=2；

當。=-1,b=-4時，ab=4.

故答案為2或4.

點睹：本題主要考查了絕對值是非負數，偶次方是非負數的性質，根據題意列出等式是解題的關鍵.

【變式2-2]（2023春?重慶?七年級校考階段練習）已知A,y均為整數，且田?卅工-3|=1,則工+），的值為一.

【答案】5或7或8或4

【分析】由絕對值的非負性質可知b-）1和h3|這兩個非負整數一個為1,一個為0,即優一川=1,|%-3|=0

或卜一3|=1,|x-y|=0,然后解絕對值方程組即可，.

【詳解】解.：因為％,y均為整數，|x-y|+|x-3|=1,

可得：|x-y|=l,|x-3|=0或—3|=1,\x-y\=0,

工當％-3=0,x-y=1,可得：x=3,y=2,則x+y=5；

當x-3=0,x-y=-1,可得：x=3,y=4,則％+y=7；

當《-3=1,x-y=0,可得：r=4,y=4,則x+y=8；

當x-3=-l,x-y=0f可得：x=2,y=2,則x+y=4,

故答案為5或7或8或4.

【點睛】本題考查了絕對值性質，由非負整數和為1得出加數分別為1和0,然后分類討論解含絕對值的方

程是關鍵.

【變式2-3］（2023春?浙江溫州?七年級校聯考階段練習）滿足|a-b|+ab=l的非負整數（a,b）的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【詳解】V|a-b|+ab=l,/.|a-b|=l-ab,V|a-b|>0,/.1-afeO,/.ab<l,

Va,b是非負整數，

???存在（1,1）（1,0）（0,1）3種情況.

故選C.

【點睛】本題主要考查非負整數、絕對值的性質，非負整數包括0和正整數，所以a,b可以是0或者是正

整數.

【題型3根據字母的取值范圍化簡絕對值】

【例3】（2023春?黑龍江牡丹江?七年級統考期中）當ivmv3時，化簡|m-1|一|m-3|=.

【答案】2m-4

【分析】根據絕對值的性質進行化簡即可.

【詳解】解：根據絕對值的性質可知，當1V771<3時，g-1|=m-1,-3|=3-m,

:.|m—1|—|m—3|=（TH-1）—（3-m）=2m—4,

故答案為：2m-4.

【點睛】本題考查了絕對值的性質，整式的加減，熟知正數的絕對值是其本身、零的絕對值還是零、負數的

絕對值是其相反數是解本題的關鍵.

【變式3-1]（2023春?全國?七年級專題練習）已知有理數。<一1,則化簡|。+1|+|1-。|的結果是.

【答案】-2a

【分析】先根據已知條件判斷每個絕對值里邊的代數式的值是大于0還是小于0,再根據絕對值的性質去掉

絕對值符號，最后去括號，合并同類項即可.

【詳解】Va<-1,

,?a+1<0?a>0?

+11+|1-ci\

=（-tz-1）+（1-d）

=-a-\+\-a

=-2a,

故答案為：-2a.

【點睛】本題考查了絕對值和相反數的性質，正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，。的絕

對值還是0,掌握以上知識是解題的關鍵.

【變式3-2]（2023春?上海?六年級專題練習）已知非零實數a,b,c,|a|+a=0,\ab\=ab,\c\-c=0,

化簡IW-|Q+b|-|c-W+|a-c|.

【答案】b

【分析】根據“一個正數的絕對值是它本身，一個負數的絕對值它的相反數”化簡即可.

【詳解】

V\a\+a=0,\ab\=ab,|c|-c=0,

a<0,b<0,c>0,

.'?a+b<0,c-b>0,a-c<0,

原式=-b+a+b-c+b-a+c=b.

【點睛】本題考查了化簡絕對值，整式的加減計算，熟練掌握所學知識是解題關鍵.

【變式3-3]（2023春?河南新鄉?七年級校考期中）已知，\a\=-a,瞿=一1，|c|=c，化簡|。-d”

O

-c|=?

【答案】-2c

【分析】根據已知的等式判斷出。、A、c的正負，進而確定出"b、a?c、人?c的正負，再利用絕對值的代

數意義化簡，即可求解.

【詳解】解：???|a|=-a,?=-l,|c|=c,

???〃為非正數，〃為負數，c為非負數，

a+Z?<0,a-c<0?b-c<0,

:.原式=-a-b+a-c+b-c=-2c,

故答案為：-2c.

【點睛】本題考查了根據絕對值的代數意義進行化簡等知識點，熟練掌握絕對值的代數意義是解答本題的關

鍵.

【題型4利用絕對值的定義判斷正誤】

【例4】（2023春?湖北宜昌?七年級枝江市實驗中學校考期中）如果a+b+c=O,且|c|>|b|>|a|.則下

列說法中可能成立的是（）

A.a、b為正數，c為負數B.a、c為正數，力為負數C.b、c為正數，a為負數D.a、

c為正數，b為0

【答案】A

【分析】根據有理數的加法，一對相反數的和為0,可得a、b、c中至少有一個為正數，至少有一個為負數，

又|c|>網>|a|,那么|c|=|b|+|a|,進而得出可能存在的情況.

【詳解】解：0**a+b+c=0,

??.a、b、c中至少有一個為正數，至少有一個為負數，

???|c|>\b\>\a\,

???kl=\b\4-|a|,

???可能a、b為正數，c為負數；也可能a、b為負數，c為正數.

故選：A.

【點睛】本題主要考查的是有理數的加法，絕對值的意義，掌握有理數的加法法則是解題的關鍵.

【變式4-1】（2023春泗川甘孜?七年級統考期末）已知有理數小人，。在數軸上的對應點的位置如圖所示.

IIII一

b0（7c

給出下列結論：①Q+b+（―c）>0：②（―Q）—b+c>0；（3）p-+3a=1；④be-a>0：⑤|a-b\—

|a|c|

\c+b\+\a+c\=-2b.其中，正確的是.（填序號）

【答案】②③

【分析】根據有理數。、從c在數軸上的對應點的位置和絕對值的意義逐一進行判斷即可.

【詳解】解：由數軸可知，b<O<a<c,|a|<\b\<|c|,

G+(-c)<0?(—ci)—b>0,

G+Z?+(-c)<0,(-a)—b+c>0

故①不正確，②正確，

?哈=L^=T后=1，

端+*百=1+(T)+1=K

故③正確，

*.*fc<0<a<c

:?匕c<0,

/.tc—a<0?

故④不正確，

*/1<0<a<c,|a|<\b\<|c|,

.\\a-b\-\c+b\+\a+c\=a-b-c-b+a+c=2a-2bf

故⑤不正確，

故答案為：②③.

【點睛】本題考查了數軸、絕對值，解決本題的關健是掌握絕對值的意義.

【變式4-2］(2023春.湖北省直轄縣級單位.七年級校考階段練習)已如〃、〃為有理數，卜.列說法:

①若4、〃互為相反數，則￡=1；

D

②若a+b<0,ab>0,則|3〃+4〃|=-3a-4b；

③若一例+a?b=0,則b>a；

④若同>|加，則(a+b)?(a-b)是負數.

其中錯誤的是—(填寫序號).

［答案］???

【分析】根據不等式的性質進行判斷即可；

【詳解】解：若4=/?=0,則生殳有意義，故①符合題意；

b

Ta+bVO,ab>0,

Ad<0,bVO,

???3ai4)V0,

???即+物=-3a-4b,故②不符合題意;

y\a-b\+a-b=Ot

-b\=h-a,

；?。@，故③符合題意；

若q=-2,b=\,

(a+力)?(〃-力)=(-1)x(-3)=3>0,故④符合題意；

故答案為：①③④.

【點睛】本題主要考杳有理數加法、乘法和除法法則，以及絕對值法則，掌握這些法則是解題的關鍵.

【變式4-3](2023春?湖北咸寧?七年級校聯考期中)已知〃為有理數，且Q<0,Qb<0,Q+b<0,則

下列結論：①b(Q+6)>0；②|a|>|b|；?a<-b<h<-a；?|a-b\-\a+b\-2\b\=0.其中正

確結論的序號是—.(把正確結論的序號都填.卜.)

【答案]@@@

【分析】根據aV0，abV0,a+b<0得b>0,—a>0,從而得6(a+b)<0,|a|>\b\,—b<0,a—b<

0,進而判斷各項結論.

【詳解】解：:a<0,abvO,a+b<0,

：.b>0,-a>0,

??hCa+b)<0,|a|>\b\,-b<0,a-bvO,故①錯誤，②正確，

/.a<—b<b<—a,\a-b\—\a+b\-2\b\=b-a+a+b-2/?=0,故③④正確，

故答案為：②③④.

【點睛】本題主要考查了絕對值、有理數的乘法、有理數的比較大小，綜合有理數的絕對值、有理數的乘法

是解題的關鍵.

【題型5利用絕對值的意義求字母取值范圍】

【例5】(2023春?七年級單元測試)當〃取什么范圍時，關于工的方程以-4|+2卜-2|+卜-1|+團=〃總有解？

()

A.a>4.5B.a>5C.a>5.5D.a>()

【答案】B

【分析】令y=|x-4|+2|x-2|+|x-l|+|x|,根據x的范圍分情況去掉絕對值符號，可求得yN5,再結合題意即可確定

a的范圍.

【詳解】令y=|x-4|+2k-2|+lx-l|+|x|,

當立4時，>'=5x-9>ll,

當2VxV4時，y=3x-1,

/.5<y<ll；

當1-2時，），=-x+7,

A5<><6；

當OVxVl時，.v=-3x+9,

A6<y<9；

當x<0時，y=-5x+9,

A）>9：

綜上所述，y>5,

，生5時等式恒有解.

故選：D.

【點睛】本題考查絕對值的性質；通過構造函數，將等式問題轉叱為函數問題解題是關鍵

【變式5-1］（2023春?四川資陽?七年級校考階段練習）已知|5x-2|=2-5x,貝心的范圍是（）

A.x>^B.x<\C.x>\D.x<7

2555

【答案】D

【分析】根據正數的絕對值等于它本身，負數的絕對值等于它的相反數，0的絕對值是。可得出答案.

【詳解】解：?；|5x-2|=2-5x,

：.5x-2<0,

解得：

故選：D.

【點睛】本題考查了絕對值的性質，理解正數的絕對值等于它本身，負數的絕對值等于它的相反數，0的絕

對值等于0是解決問題的關鍵.

【變式5-2］（2023春?重慶?七年級重慶實驗外國語學校校考期末）數〃在數軸上對?應點位置如圖，若數〃滿

足后間，則b的值不可能是（）

????一

-2-101234

A.-1B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】根據數軸得到|a|V2,根據題意解答即可

【詳解】由數軸可知，MlV2

Vfc<|a|,

Afc<2,

.??8可以是一1」,0不可能是2,

故選：B.

【點睛】本題考查了數軸的概念、絕對值的性質，根據數軸確定|。|的范圍是解題的關鍵.

【變式5-3］（2023春?山東濟南?七年級校聯考期中）若便-2+3-2乂%-2|+|3-2*|成立，則x為范圍是

【答案】l<x<2

【分析】根據絕對值的性質可得｛（二或｛;［（官），解天等式組即可求解.

【詳解】V|x-2+3-2x|=|x-2|+|3-2x|,

?f%—2<0成（X—2>0

eel3-2x<0I，Zt3-2x>0，

解得曰<x<2.

故x的范圍是;<x<2.

故答案為群x<2.

【點睛】考查了絕對值，如果用字母a表示有理數，則數a絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當a是

正有理數時，a的絕對值是它本身a；②當a是負有理數時，a的絕對值是它的相反數-a；③當a是零時，a

的絕對值是零.

【題型6利用絕對值的意義分類討論總問題】

【例6】（2023春.全國?七年級專題練習）己知”，力，。為有理數，且a+b+c=0,abcV0,則言+卷+白的

⑷聞|c|

值為（）

A.1B.-1或一3C.1或一3D.-1或3

【答案】A

【分析】先根據有理數的乘法法則推出：要使三個數的乘積為負，a,b,。中應有奇數個負數，進而可將

b,c的符號分兩種情況：1負2正或3負；再根據加法法則：要使三個數的和為。，a,b,c的符號只能為

1負2正，然后化簡即得.

【詳解】:abc<0

???0,b,。中應有奇數個負數

???a,b,c的符號可以為：1負2正或3負

*.*G+/?+C=0

b,c的符號為1負2正

令aV0,b>0,c>0

/.|a|=-a,\b\=b,|c|=c

常+卷+5=T+l+l=l

故選：A.

【點睛】本題考查了絕對值的性質、乘法法則及加法法則，利用加法法則和乘法法則確定數的符號是解題關

鍵.

【變式6-1](2023?浙江?模擬預測)有理數小〃，。均不為0.且a+b+c=0,設x=獸+電+」工，則

b+cc+aa+b

代數式-21x+2010的值是()

A.2010B.1990C.2030或1990D.2010或1990

【答案】C

【分析】根據題意可得a，b,。中不能全同號，必有一正兩負或兩正一負，a=-(Z>+e),b=-(.c+a),c=-(.a+h),

則可得普，里，與的值為兩個+1，一個-1或兩個-1,一個+1,即可求得x的值，代入即可求得答案.

b+cc+aa+b

【詳解】解：由。，b,c均不為0,知。+c,c+a,均不為0,

Va+b+c=0,

a=-(b+c),b=-(c+a),c=-(a+b)>

又q,Ac?中不能全同號，故必一正二負或一負二正，

???獸，兇，號中必有兩個同號，另一個符號相反，

b+cc+aa+b

即其值為兩個+1,一個-1或兩個-1,一個+1,

.../=魯+電+粵T,

b+cc+aa+b

：.x21-21x+2010=l21-21+2010=1990,

或-21x4-2010=(-1)21-21x(-1)+2010=2030,

故選c.

【點睛】本題考查了代數式求值，注意分類討論思想的應用.能得到獸，電，粵的值為兩個+1,一個-1或

b+cc+aa+b

兩個-1,一個+1是解此題的關鍵，要注意仔細分析，難度適中.

【變式6-2](2023春?浙江?七年級專題練習)已知有理數a、b、c、d滿足陪^=-1,求言+白+卷+3的

\abcd\|a|網|c||d|

值.

【答案】2或一2

【分析】根據%=-1,得到小b,C,d中負數個數為1個或3個，然后分情況求解即可.

\abcd\

【詳解】解：根據端二一1,得到小b,c,4中負數個數為I個或3個，

\abcd\

則原式=-14-1+1+1=2或-1-1-1+1=-2.

【點睛】本題考查了絕對值的意義以及有理數的混合運算，熟練掌握絕對值的意義結合分類討論的思想解題

是關鍵.

【變式6?3](2023春?四川內江?七年級四川省內江市第六中學校考期中)已知勺,不，的，…“202】都是不

等于0的有理數，若%=電，求力的值.

xi

解：當％]>0時，y=—=—=1,當必<0時，y,=—=—=-1,所以=±1

1xixixixi

(1)若、2=兇+國，則丫2的值為_____；

X】x2

(2)若乃=聞+四+四，則%的值為______;

X】x2x3

(3)由以上探究猜想，y2i=—+—+—+-+共有個不同的值.

20X1x2x3x202l

(4)應用：如果a、b、c是非零實數，且a+b+c=0,邢臺+9的所有可能的值為______?

同\b\|c|label

[答案]⑴±2或0

⑵±1或±3

(3)2022

(4)0

【分析】(I)由題意可得兇=±1,四=±1,再求解即可；

X1x2

(2)由題意可得應=±L國=±1,國=±1,再求解即可;

XiX2x3

（3）通過計算發現規律：力021有2022個值，最大值2021,最小值為-2021,再求解即可；

（4）根據正負性去絕對值計算即可，注意分類討論.

【詳解】（1）解：?：同=±1,幽=±1,

X\X2

...），2=回+四=±2或0,

故答案為：±2或0；

（2）解：兇=±1,囪=±1,兇=±1,

MX2x3

），3=師+國+同=±1或±3，

X1X2x3

故答案為:±1或±3；

（3）解：由（1）（2）可知，yi有2個值，丫2有3個值，內有4個值，

???。2021有2022個值,最大值2021,最小值為一2021,

故答案為：2022.

（4）解：??力、。、c是非零實數，且Q+匕+c=0,

???〃、仇c是兩個正數一個負數或一個正數兩個負數，

當“、b、c?是兩個正數一個負數時，abcvO,此時含+白+白+陪=1+1TT=。；

|a|\b\|c||abc|

當。、b、。是一個正數兩個負數時，Qbc>0,此時白+白+白+陪=1-1-1+1=0;

|a|出1|c|label

.?.：+&+￡+匹=0,

lai網kllabel

故答案為：0.

【點睛】本題考查數字的變化規律、絕對值化簡，通過計算，從特殊到一般進行歸納，探索出結果的規律是

解題的關鍵.

【題型7分類討論多絕對值問題】

【例7】（2023春?廣西南寧?七年級校考期中）在數軸上有四個互不相等的有理數4、b、c",若|aT|+|b-c|=

c-a,設d在a、c之間，則|a-d|+\d-c\+\c-b\+\a-c\=.

【答案】-2a-b+3c

【分析】由|a-+|b-c|=c-a=aVbVc,又d在a、。之間，故有aVdVbVc或aVbVdVc兩

種情況，分別討論可得答案.

【詳解】解：\a-b\+\b-c\=c-a.

??a<b<c,

?；d在a、c之間,

???a<d<b<c或a<b<d<

當a<d<b<c時，|a—d|+|d-c|+|c-b|+|a—c|=d-a+c—d+c-b+c—Q=-2a—b+3c,

當a<b<d<c時，|a—d|+|d-c|+|c—b|+|a—c|=d—a+c—d+c-b+c-a=-2a—b+3c,

故答案為：-2a—b+3c

【點睛】本題考查去絕對值，解題的關鍵是分類討論思想的應用.

【變式7-1]（2023春?湖北武漢?七色級校考階段練習）已知a,瓦c,d都是整數,且|a+b|+g+c|+|c+d|+

|d+a|=2,則|Q+b\=.

【答案】1或0.

【分析】根據題意易知|a+b|、|b+c|、|c根|、|d+a|是整數,所以不外乎兩種可能:①3個為0,1人為2：②2

個為0,2個為1,繼而討論|a+d|的值.

【詳解】由題意得：|a十b|、|b十c|、|汁d|、|d十a|是整數，所以有兩種可能:

①3個為0,1個為2,

②2個為0,2個為1,

所以|a+d|只可能取。1、2,若為2,

WO|a+b|=|b+c|=|c+d|=0,

不難得出a=-d,所以|a+d|=0,與假設|a+d|=2矛盾.

所以|a+d|只可能取0、1,a=0?b=0,c=-l,d=l時|a+d|=l；

a=-l,b=0,c=0,d=lBt|a+d|=0.

故答案為1或0.

【點睛】本題考查了絕對值的知識，難度較大，注意對各種情況的討論，不要漏解.

【變式7-2]（2023春?福建泉州?七年級統考期末）已知x是有理數，且x有無數個值可以使得弋數式

|2021x+20212|+|x+2021|+|2022x+20222|的值是同一個常數，則此常數為.

【答案】2022

【分析】由題意確定出x的取值范圍，然后按照這個取值范圍化簡原式即可求出此常數.

【詳解】由題意，得將|2021計20212|+忱+2021|+12022%+20222|進行化簡后代數式中不含羽才能滿足

題意.

因此，當一2022&%&-2021時，

原式二-202產-2021%-%-2021+2022x+2022

=(—2021%-x+2022%)-202#-2021+20222

=2022.

故答案為：2022.

【點睛】本題考查了絕對值的性質、有理數的加減，解題的關鍵是確定x的取值范圍.

【變式7-3](2023春?四川成都?七年級成都實外校考期中)已知m、n為有理數,方程||%+m|-n|=2.7僅

有三個不相等的解，貝加二.

【答案】2.7

【分析】含有絕對值的方程，先去掉外邊絕對值得|x+=2.7+幾或氏+=-2.7+n,由于僅有3個不

相等的解，則一2.7+九=0,解方程求得〃的值.

【詳解】解：||x+m|-n|=2.7,

/.|x4-m|=2.7+ri或+m|=-2.7+n,

當W+m\=2.7+nH寸，x=2.7+n-7n或;v=—2.7—n—m,

當W+m|=-2.7+n時，x=-2.7+n-m或％=2.7-n-m,

???方程|+m|-n|=2.7僅有三個不相等的解，

:.-2.7+n=0時，n=2.7或2.74-n=0時，n=-2.7,

當九=一2.7時，K+m|=-5.4,不成立，

:.n=2.7,

綜上所述:名的值為2.7,

故答案為：2.7.

【點睛】本題考查絕對值方程，分類討論是解題的關鍵.

【題型8絕對值中最值問題】

【例8】(2023春?江蘇?七年級期末)如圖，數軸上有點a,b,c三點.

-4-?~~o---------->

(I)用“V”將4,rC連接起來.

(2)b~a0(填W,“=”)；

(3)化簡匕一目一匕一。|+|。一1|；

(4)用含小〃的式子表示下列的最小值.

①氐一。|+僅一臼的最小值為;

②以一a|+\x—〃|+\x-c|的最小值為.

【答案】(1)cVa〈b,(2)>,(3)/?-1：(4)①b-。：②A-c.

【分析】(1)比較有理數的大小可以利用數軸，它們從左到右的順序，即從小到大的順序(在數軸上表示

的兩個有理數，右邊的數總比左邊的數大)；

(2)先求出。的范圍，再比較大小即可求解：

(3)先計算絕對值，再合并同類項即可求解；

(4)根據絕對值的性質以及題意艮」可求出答案.

【詳解】解：(1)根據數軸上的點得：