專題6.1有理數(shù)十六大必考點(diǎn)

【滬科版】

【考點(diǎn)1相反意義的量】........................................................................1

【考點(diǎn)2有理數(shù)的概念及分類】..................................................................1

【考點(diǎn)3相反數(shù)】...............................................................................2

【考點(diǎn)4絕對值】...............................................................................3

【考點(diǎn)5根據(jù)數(shù)軸化簡絕對值】..................................................................3

【考點(diǎn)6相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)綜合1.............................................................................................3

【考點(diǎn)7有理數(shù)的混合運(yùn)算】....................................................................4

【考點(diǎn)8新定義中的有理數(shù)運(yùn)算】................................................................4

【考點(diǎn)9科學(xué)記數(shù)法】..........................................................................5

【考點(diǎn)10有理數(shù)乘方的應(yīng)用】....................................................................5

【考點(diǎn)II有理數(shù)的大小比較】....................................................................6

【考點(diǎn)12閱讀材料中的有理數(shù)運(yùn)算】..............................................................7

【考點(diǎn)13有埋數(shù)的實(shí)際垃用】....................................................................8

【考點(diǎn)14正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】....................................................................9

【考點(diǎn)15有理數(shù)中的規(guī)律探究】.................................................................10

【考點(diǎn)16數(shù)軸與絕對值、動點(diǎn)的綜合探究】......................................................11

【考點(diǎn)1相反意義的量】

【例1】（河北省保定市新秀學(xué)校2022-2023學(xué)年七年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）在我國

古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，首次引入負(fù)數(shù)，如果收入100元記作+100元，則-50

元表示（）

A.支出50元B.收入50元C.支出60元D.收入60元

【變式1-1］（重慶市育才中學(xué)校2022-2023學(xué)年七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如果水庫的

水位高于正常水位4m時(shí)，記作+4m,那么低于正常水位5m時(shí)，應(yīng)記作（）

A.5mB.-5mC.+^mD.

【變式1-2］（山西省呂梁市交城縣2022-2023學(xué)年七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如果電梯

上升5米，記作+5米，那么-3米表示.

【變式1-3］（2022?全國?七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）文具店、書店和玩具店依次坐落在

一條東西走向的大街上，文具店在書店西邊20米處，玩具店位于書店西邊10Q米處，小明從

書店沿街向東走了4。米，接著又向西走了60米，此時(shí)小明的位置在（）

A.文具店B.玩具店C.文具店西邊4瞇D.玩具店西邊6瞇

【考點(diǎn)2有理數(shù)的概念及分類】

【例2】（2022?湖北?公安縣教學(xué)研究中心七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）把下列有理數(shù)填入

它所屬于的集合圈內(nèi).

-11,3.5,0,-2，4

負(fù)數(shù)集合非負(fù)數(shù)集合分?jǐn)?shù)集合正整數(shù)集合

【變式2-1］（2022?江蘇?泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）在:，-4.3,

0.25,0,1.23,1.01001000100001...,三中，非負(fù)有理數(shù)的數(shù)有.

【變式2-2］（2022?黑龍江?肇源縣超等蒙古族鄉(xiāng)學(xué)校期中）在下列數(shù)中：-3,0.23,（-2）;，

0,（-3）3,-（-2006,一%■（一￡，該正整數(shù)的個(gè)數(shù)為m，非負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為m則m-n

的值為.

【變式2-3］（2022?陜西?白水縣田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）把下列各數(shù)

填入它所屬的集合內(nèi)：

15,一：，-5,卷，0,-5.32,2.3，E80%,5.

⑴分?jǐn)?shù)集合｛-｝；

⑵自然數(shù)集合｛-｝：

⑶非正整數(shù)集合｛-｝；

⑷非負(fù)有理數(shù)集合｛_______

【考點(diǎn)3相反數(shù)】

【例3】（2022?黑龍江?同江市第三中學(xué)七年級期中）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）

A.2與;B.（-1）2與1C.-1與（-1）2D.2與|-2|

【變式3-1］（2022?河北保定?七年級期中）如圖，在數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩數(shù)的點(diǎn)是

DCBA

?????--------.------->

-3-2-10123

【變式3-2］（2022?寧夏?釵川市第三中學(xué)七年級期中）下列各組數(shù)中：①-32與32；②（-

3）2與3?；③-（-2）與-（+2）：④（-3〉3與-3?；⑤-2,與32,其中互為相反數(shù)

的共有（）

A.4對B.3對C.2對D.1對

【變式3-3］（2022?山東威海?期中）若m,n互為相反數(shù)，則下列各組數(shù)中不是互為相反數(shù)

的是（）

A.-m和-nB.m+1和n+1C.m+1和n-1D.5m和5n

【考點(diǎn)4絕對值】

【例4】（2022?黑龍江?哈爾濱市第一二四中學(xué)校期中）若舊=：，且。＜0，則。+1=.

【變式4-1］（2022?黑龍江?蘭西縣紅星鄉(xiāng)第一中學(xué)校期中）已知|x|=8,|田=5,且冷、＜0,

則x+y的值等于.

【變式4-2］（2022?廣東?肇慶市頌德學(xué)校七年級期中）絕對值小于3的正整數(shù)有.

【變式4-3］（2022?遼寧本溪?七年級期中）化簡：|3-TT|-|4-ir|=.

【考點(diǎn)5根據(jù)數(shù)軸化簡絕對值】

【例5】（2022?四川廣安七年級期末）有理數(shù)0,b，C在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡：

-\b\-|c+b|+|b-a|=.

_____Il11A

cb0a

【變式5-1］（2022?廣東?廣州市真光中學(xué)七年級期中）如圖，點(diǎn)A和8表示的數(shù)分別為a

和方，若c是絕對值最小的數(shù)，d是最大的負(fù)整數(shù).

（1）在數(shù)軸上表示c=,d=.

（2）若|x+3|=2,則%的值是多少?

（3）若?lVxVO,化簡：\x-/?|+|x+?|+|c-x\.

AB

------------1------------------------------1------

-1a01b

【變式5?2】（2022?山東德州?七年級期中）有理數(shù)a,b.c在數(shù)軸上的位置如圖，解答下列

問題：

??-------------?

cb0a

（1）若。=2,將。表示的點(diǎn)沿?cái)?shù)軸方向平移5個(gè)單位，得到的點(diǎn)表示的數(shù)為：

（2）數(shù)匕與其相反數(shù)相距10個(gè)單位長度，則力表示的數(shù)是；

（3）化簡：\b-c\+\a+b\+\c-a\.

【變式5-3］（2022?湖南?李達(dá)中學(xué)七年級期中）如圖，數(shù)軸上有點(diǎn)a,b,c三點(diǎn).

-1c01ab2

（l\c-b0：c-a。填

（2）化簡|c--|c-a|i|a-1|

⑶求的值

【考點(diǎn)6相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)綜合】

【例6】（2022?全國?七年級課時(shí)練習(xí)）若孫力互為相反數(shù)，則你-5+川=.

【變式6-1］（2022?廣東?揭西旦寶塔實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級期中〉-3的絕對值加上-3的倒數(shù)等于

【變式6-2](2022?湖南?李達(dá)中學(xué)七年級期中)一：的倒數(shù)的絕對值是

【變式6-3](2022?湖北十堰?七年級期中)已知m。互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，。的絕

對值為1，求3a+3Hc"+e2的值.

【考點(diǎn)7有理數(shù)的混合運(yùn)算】

【例7】(2022?黑龍江?蘭西縣崇文實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中)計(jì)算：

(1)(-7)-(-10)+(-8)-(+2)；

(2)3x(-1)-4+(-2)；

⑶G+沁)*T2)；

(4)l4-(l-0.5)xix|2-(-3)2]

【變式7-1](2022?黑龍江?哈爾濱市第一二四中學(xué)校期中)計(jì)算，有簡便方法的用簡便方

法.

⑴(4)7+1)

(2)(-2)x31x(-0.5]

⑶?9+2x(-4)H-(-6)+(-i)

(4)(-1)2021x24-(-2)-+4

【變式7-2](2022?天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心七年級期中)計(jì)算：

(1)(-3)x(-4)-15+；

⑵(：-5+：)x36

(3)-I4-|-7|+3-2x(-1?

(4)22+1-122-(1x12

【變式7-3](2022?安徽?七年級期中)計(jì)算：

(理4靜伊4)；

(2)9)小沁).

【考點(diǎn)8新定義中的有理數(shù)運(yùn)算】

【例8】(2022?河南駐馬店?七年級期中)對于有理數(shù)m力，定義一種新運(yùn)算"O”,規(guī)定aOb

=\a+b\+\a-b\.

(1)計(jì)算：20(-3)的值；

(2)當(dāng)小〃在數(shù)軸上的位置如圖所示時(shí)，化簡：aO〃.

b,?a,

-101

【變式8-1］（2022?山東?招遠(yuǎn)市教學(xué)研究室期中）現(xiàn)定義運(yùn)算"*〃，對于任意有理數(shù)

都有-ab-力，例如：5*3=5*-5x3-3=25-15-3=7,由此算出2*（—4）

【變式8-2］（2022?吉林長春?七年級期中）完成下列各題.

（1）定義新運(yùn)算：對于任意有理數(shù)°、匕，都有a④b=a（a-b）+l.計(jì)算如下：

205=2x（2-5）+l=2x（-3）+l=-6+l=-5.

求（-2）④3的值.

（2）對于有理數(shù)0、力，若定義運(yùn)算：a?b=W，求（-4）@三的值.

【變式8-3］（2022?遼寧沈陽?七年級期中）定義一種新運(yùn)算：〃領(lǐng)2=〃x|〃?|.

如50（-3）=5x|-3|=15,-80=-8x|4|=-32.

（1）計(jì)算：650=,-43?-2|=；

（2）若〃V0,化簡48??3〃）：

（3）若a,〃?，〃為任意有理數(shù)，等式aG＞（m+〃）一定成立嗎？請說理由.

【考點(diǎn)9科學(xué)記數(shù)法】

【例9】（2022?山東濟(jì)南七年級期中）我國的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中有一顆中高軌道衛(wèi)星高

度大約是21500000米.將數(shù)字21500000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

€

A.2.15xio7B.0.215xio1C.2.15xlO€D.21.5X10

【變式9-1］（2022?北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校七年級期中）2020年國慶檔電影《我和我的家

鄉(xiāng)》上映13天票房收入達(dá)到21.94億元，并連續(xù)10天拿下票房單日冠軍.其中21.94億元

用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）

A.2194x10阮B.2.194X1十元C.0.2194x10“元D.2.194x10玩

【變式9-2］（2022?河北?廊坊市第四中學(xué)七年級期中）整數(shù)61355O-?用科學(xué)記數(shù)法表示為

8.1S55x10電則原數(shù)中“U的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.6C.5D.10

【變式9-3】（2022?廣東?廣州四十七中七年級期中）過度包裝既浪費(fèi)資源又污染環(huán)境，據(jù)

測算如果全國每年減少十分之?的包裝紙用量那么能減少3.12X10,噸二氧化碳的排放量，

把3.12x10?寫成原數(shù)是（）

A.312000B.312OOOCc.31200000D.312000000

【考點(diǎn)10有理數(shù)乘方的應(yīng)用】

【例10］（2022?全國?七年級期中）我們平常用的是十進(jìn)制,Jn：1967=lxl03+9xl02+6xl01+7,

表示十進(jìn)制的數(shù)要用10個(gè)數(shù)碼：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.在計(jì)算機(jī)中用的是二進(jìn)

制，只有兩個(gè)數(shù)碼:0,1.如:二進(jìn)制中111=1X22+1X2%L相當(dāng)于十進(jìn)制中的7,又如：

11011=1X24+1X23+0X22+1X21+1相當(dāng)于十進(jìn)制中的27.那么二進(jìn)制中的1011相當(dāng)于十進(jìn)制中

的（）

A.9B.10C.11D.12

【變式10-1］（2022?廣東?東莞市光大新亞外國語學(xué)校七年級期中）將?根繩子對折一?次后

從中間剪一刀，繩子變成3段；對折兩次后從中間剪一刀，繩子變成5段：將這根繩子對折

n次后從中間剪一刀，繩子變成段.

【變式10-2】（2022?河南鄭州?七年級期中）你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅，用一根很粗

的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反復(fù)幾次，就把這根很粗的面條拉成了

許多細(xì)的面條，如下面草圖所示.這樣捏合到第一次后可拉出64根細(xì)面條.

第一次捏合第二次捍合第二次捏合

【變式10-3】（2022?全國?七年級期中）一質(zhì)點(diǎn)P從距原點(diǎn)1個(gè)單位的A點(diǎn)處向原點(diǎn)方向跳

動，第?次跳動到OA的中點(diǎn)A1處，第二次從A?點(diǎn)跳動到OA.的中點(diǎn)A，處，第三次從A,點(diǎn)跳

動到OA邢J中點(diǎn)A］處，如此不斷跳動下去，則第5次跳動后，該質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)。的距離為

（）AJA）A:AtAx

【考點(diǎn)11有理數(shù)的大小比較】

【例II】（2022?湖北?老河口市第四中學(xué)七年級階段練習(xí)）下列有理數(shù)的大小關(guān)系正確的是

（）

A.-l>-0.01B.0>|-10|C.|-3|<|+3|D.

【變式（2022?浙江?七年級專題練習(xí)）已知b<（U+〃>0,那么a也-〃的大小關(guān)

系是（）

A.a>-b>-a>bB.-b>a>-a>b

C.a>b>-a>-bD.a>-b>b>-a

【變式11-2］（2022?天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心七年級期中）有理數(shù)a,2在數(shù)軸上的位置

如圖所示，i式比較a,b,—a,一〃四個(gè)數(shù)的大小關(guān)系；<<<.

-----------------------------------1------------------------------;-------?

a0b

【變式11-3】（2022?全國?七年級專題練習(xí)）探索研窕：

（1）比較下列各式的大小（用“V”、">"、"=”連接）

①|(zhì)2|+|3||2+3|；

②I-2|+|-3||-2-3|；

③|2|+|-3||2-3|；

④|2|+|0||2+0|.

(2)小。為有理數(shù)，通過比較、分析，歸納|。|+網(wǎng)與|〃+。|的大小關(guān)系.(用"V"、">"、

“=〃、，〃、“4〃連接)

當(dāng)。、人同號時(shí)，|。|+|加\a+b\；

當(dāng)4、力異號時(shí)，|a|+|b||a+b|;

當(dāng)。=0或b=0時(shí),IM+聞Ia+b|；

綜上，|〃|+g|\a+b\.

(3)根據(jù)(2)中得出的結(jié)論，當(dāng)次|+2015=口?2015|時(shí)，則x的取值范圍是.

【考點(diǎn)12閱讀材料中的有理數(shù)運(yùn)算】

【例12】(2022?浙江?余姚市高風(fēng)中學(xué)七年級期中)閱讀下列材料：對于排好順序的三個(gè)數(shù):

xv必，A稱為數(shù)列M,必,Xs.將這個(gè)數(shù)列如下式進(jìn)行計(jì)算:必，必一卬必-必+與，

所得的三個(gè)新數(shù)中，最大的那個(gè)數(shù)稱為數(shù)列刈，不，xj勺"理想數(shù)值".例如：對于數(shù)列1，

-2,3,因?yàn)?,1-(-2)=3,1-(-2)+3=6,所以數(shù)列1,-2,3的“理想數(shù)值為6,進(jìn)一

步發(fā)現(xiàn)：當(dāng)改變這三個(gè)數(shù)的順序時(shí)，所得的數(shù)列都可以按照上述方法求出“理想數(shù)值”，如：

數(shù)列-2,1,3的“理想數(shù)值〃為0……而對于"1,-2,3〃這三個(gè)數(shù)，按照不同的排列順序得到的

不同數(shù)列中，"理想數(shù)值"的最大值為6.

⑴數(shù)列-5,4,-3的“理想數(shù)值”為；

(2)將-5,4,-3這三個(gè)數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個(gè)不同的數(shù)列，這些數(shù)列的‘理想

數(shù)值"的最大值是，取得“理想數(shù)值”的最大值的數(shù)列是:

⑶將“-1，7,。(a<0)"這三個(gè)數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個(gè)不同的數(shù)列，這些

數(shù)列的“理想數(shù)值”的最大值是10,求a的值，并寫出取得“理想數(shù)值”最大值的數(shù)列.

【變式12-1】(2022?山東威海?期中)【數(shù)學(xué)閱讀】高斯上小學(xué)時(shí)，有一次數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)

們計(jì)算“從1到100這10C個(gè)正整數(shù)的和〃.許多同學(xué)都采用了依次累加的計(jì)算方法，計(jì)算起

來非常繁瑣，且易出錯(cuò).勰明的高斯經(jīng)過探索后，給出了下面的解答過程：

解：設(shè)5=1+2+3+...+100,①

則S=100+99+98+...+l.0

①+②，得(即左右兩邊分別相加)：

25=(1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(100+1)=100x101.

所以，s=M羅.

所以，1+2+3+...+100=5050.

后來人們將高斯的這種解答方法概括為"倒序相加法〃.

【問題解決】利用“倒序相加法"解答卜.面的問題：

⑴計(jì)算：1+2+3+...+101；

(2)猜想：1+2十3十…十〃一；

⑶利用（2）中的結(jié)論,計(jì)算：1001+1002+...+2000.

【變式12-2]（2022?上海黃浦?期中）每個(gè)假分?jǐn)?shù)可以寫成一個(gè)自然數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和（例

如營=3+：,真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)又可以寫成一個(gè)自然數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和（?=1+5，反狂

進(jìn)行同樣的過程，直到真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)是一個(gè)自然數(shù)為止C=4+：，；=2），我們把用這

種方法得到的自然數(shù)，按照先后順序?qū)懗梢粋€(gè)數(shù)組｛3,L4,2｝,那么這個(gè)數(shù)組叫做由這個(gè)

假分?jǐn)?shù)生成的自然數(shù)組.

如：對于假分?jǐn)?shù)三，則?=3+1

11-.2

7=1+1

（=4+；，

修，

所生成的自然數(shù)組為｛3,1,4,2）.

請根據(jù)上述閱讀材料填空：

⑴由假分?jǐn)?shù)日生成的自然數(shù)組是｛｝;

（2）已知某個(gè)假分?jǐn)?shù)所生成的自然數(shù)組為｛2,4,1,1,3｝,那么這個(gè)假分?jǐn)?shù)是.

【變式12-3】（2022?重慶市第九十五初級中學(xué)校七年級期中）閱讀理解

材料?：若一?個(gè)正整數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除，則這個(gè)數(shù)就能被3整除；反之

也能夠成立.

材料二：兩位數(shù)〃和三位數(shù)小它們各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為0,將數(shù)〃任意一個(gè)數(shù)位上的

數(shù)字作為一個(gè)新的兩位數(shù)的十位數(shù)字，將數(shù)q的任意一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字作為該新數(shù)的兩位數(shù)

的個(gè)位數(shù)字，按照這種方式產(chǎn)生的所有新的兩位數(shù)的和記為T（D9）.例如：

7（12.123）=11+12+13+21+22+23=102，

7（33.456）=34+35+36+34+35+36=210.

（1）計(jì)算：7（15345）=____.

⑵試說明：當(dāng)q能夠被3整除時(shí)定能夠被6整除.

【考點(diǎn)13有理數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】

【例13]（2022?湖北黃石七年級期末）地球北緯30a線是一條神秘而又奇特的緯線，我國

有許多資源豐富的名山都分布在這條緯線附近.峨眉山與黃山植物種類的比是11：5，已知

峨眉山有植物3300種，黃山的植物種類是廬山的那么廬山有植物多少種？

【變式13-1】（2022?黑龍江省新華農(nóng)場中學(xué)期末）下面是學(xué)校到少年宮的行走路線圖

北

⑴如果小明從公園到學(xué)校，請敘述一下他的行走路線.

（2）如果他每分鐘走60米，那么他從公園走到學(xué)校要走匚分鐘？

【變式13-2］（2022?黑龍江?哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校期中）當(dāng)溫度每上升2℃時(shí)，某種金屬絲伸長

0.003mm.反之，當(dāng)溫度每下降2℃時(shí)，金屬絲縮短0.002mm.把17℃的這種金屬絲加熱到

63℃,再使它冷卻降溫到5℃,最后的長度和原來相比是伸長了還是縮短了？伸長了或縮短

了多少？

【變式13-3】（2022?湖北黃石?七年級期末）一個(gè)高為8cm，容積為50mL的圓柱形容器里裝

滿了水，現(xiàn)把高16cm的圓柱垂直放入，使圓柱的底面與容器的底面接觸，這時(shí)一部分水從

容器中溢出，當(dāng)把圓柱從容器中拿出后，容器中水的高度為6厘米.求圓柱的體積.

【考點(diǎn)14正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】

【例14］（陜西省西安市雁塔區(qū)師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)

試題）為全力迎接全國第十四屆運(yùn)動會，西安市將繼續(xù)加快交通高質(zhì)量發(fā)展，不斷增強(qiáng)市民

獲得感和幸福感.某檢修小組從。地出發(fā)，在東西向的馬路上檢修線路，如果規(guī)定向東行

駛為正，向西行駛為負(fù)，一天中七次行駛記錄如下，（單位：km）

第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次

-4+7-9+8+6-5-1

（1）求收工時(shí)距。地多遠(yuǎn)？

（2）在第幾次記錄時(shí)距。地最遠(yuǎn)？

（3）若每千米耗油0.2升，問共耗油多少升？

【變式14-1］（黑龍江省哈爾濱市德強(qiáng)初中2022-2023學(xué)年下學(xué)期雙減下的數(shù)學(xué)匯報(bào)試卷六

年級（五四制））某一出租車一天下午以博物館為出發(fā)地在東西方向營運(yùn)，向東為正，向西

為負(fù)，行車?yán)锍蹋▎挝唬簁m）依先后次序記錄如下：+9、一3、一5、+4、一8、+6、一3、

一6、一4、+8

⑴在第次記錄時(shí)距博物館最遠(yuǎn).

⑵將最后一名乘客送到目的地，出租車離博物館出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)？在博物館的什么方向？

⑶若每千米的價(jià)格為1.9元，司機(jī)一個(gè)下午的營業(yè)額是多少？

【變式14-2］（山東省煙臺市牟平區(qū)2022-2023學(xué)年六年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）某小型體

育用品加工廠計(jì)劃一天生產(chǎn)300個(gè)足球，但由于各種原因，實(shí)際每天生產(chǎn)足球個(gè)數(shù)與計(jì)劃每

天生產(chǎn)足球個(gè)數(shù)相比有出入.下表是某周的生產(chǎn)情況(增產(chǎn)記為正、減產(chǎn)記為負(fù))：

星期—二三四五六七

增減+3-5-2+9-7+12-3

⑴求該廠本周實(shí)際生產(chǎn)足球的個(gè)數(shù)；

(2)求產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)足球的個(gè)數(shù)；

⑶該廠實(shí)行每口計(jì)件工資制，按計(jì)劃完成每生產(chǎn)一個(gè)足球可得6元，若超額完成任務(wù)，則

超過部分每個(gè)另獎(jiǎng)2元，若未能完成任務(wù)，則少生產(chǎn)一個(gè)扣2.5元，那么該廠工人這一周的

工資總額是多少元？

【變式14-3](廣西桂林市灌陽縣2022-2023學(xué)年七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)如圖，某快

遞員要從公司點(diǎn)A出發(fā)，前往B、C、D等地派發(fā)包裹，規(guī)定：向上向右走為正，向下句左

走為負(fù)，并且行走方向順序?yàn)橄茸笥以偕舷?如果從4到4記為：A9/3(+l,+4),從B

到4記為：(-1,-4),其中第一個(gè)數(shù)表示左右方向，第二個(gè)數(shù)表示上下方向，請

根據(jù)圖完成如下問題：

(1)4"(_,)，BfD(,),C^D(+1,)；

(2)若快遞員的行走路線為Al83c與。，請計(jì)算該快遞員走過的路程；

(3)若快遞員從A處去某P處的行走路線依次為(+2,+2),(+1,-1),(-2,

+3),(-1,-2),請?jiān)趫D中標(biāo)出P的位置..

【考點(diǎn)15有理數(shù)中的規(guī)律探究】

【例15】(2022?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)七年級期中)觀察下面算式的演算過程:

22

11x14-142-r12x4+193

1m1Y1Id9￥4N4

11642-14x64*125/

+----=--------=-----=—1+x-----=--------=-----=—

IYCIYKIwK4*4

(1)根據(jù)上面的規(guī)律，直接寫出下面結(jié)果:

(九為正整數(shù))

(2)根據(jù)規(guī)律計(jì)算:

。+上)X(1+e)X(1+六)X(1+六)X…X(1+f)X(1+』：.

【變式15-1】(2022?湖南岳陽?七年級期中)請觀察下列算式，找出規(guī)律并填空.

111111111_11

M.~-2*2^3-2-3*57J一丁“痂二".

則第10個(gè)算式是,第〃個(gè)算式是.

根據(jù)以上規(guī)律解讀以卜兩題：

(2)若有理數(shù)明〃滿足|。-2|+|%-4|=0,試求:

的值.

ah(〃+2)(〃+2)(〃+4乂〃+4)(〃+2016)(〃+2016)”

【變式15-2】(2022?湖南長沙?七年級期中)由乘方的定義可知：an=axaxax-xa

個(gè)a相乘).觀察下列算式回答問題：

22x3:=(2x2)x(3x3)=4x9=36=(2x3):

2Jx33=(2x2x2)x(3x3x3)=8x27=216=(2x3)3

25x35=(2x2x2x2x2)x(3x3x3x3x3)=32x243=7776=(2x3)5

⑴5?x62=_______:

(2)m:xn2=；

⑶計(jì)算：(一2嚴(yán)儀(一了3

【變式15-3](2022?寧夏?銀川英才學(xué)校七年級期中)點(diǎn)44,期中，4(〃為正整數(shù))都在

數(shù)軸上，點(diǎn)A在原點(diǎn)。的左邊，口AO=I；點(diǎn)為在點(diǎn)A的右邊，且4A=2；點(diǎn)A3在點(diǎn)4的

左邊，且44=3；點(diǎn)4在點(diǎn)4的右邊，且44=4；…，依照上述規(guī)律，點(diǎn)A刈8，4(“9所表

示的數(shù)分別為()

A.2018,—2019B.1009,—1010C.—2018,2019D.—1009,1009

【考點(diǎn)16數(shù)軸與絕對值、動點(diǎn)的綜合探究】

【例16】(2022?湖南?永州市德雅學(xué)校七年級階段練習(xí))閱讀下面材料：如圖，點(diǎn)人，B在

數(shù)軸上分別表示有理數(shù)。、b,則A,8兩點(diǎn)之間的距離可以表示為|a-b|.

ab

------1>------->

AR

根據(jù)閱讀材料與你的理解回答卜列問題：

⑴數(shù)軸上表示.，與-2的兩點(diǎn)之間的距離是.

⑵數(shù)軸上有理數(shù)十與有理數(shù)7所對應(yīng)兩點(diǎn)之間的距離用絕對值符號可以表示為.

⑶代數(shù)式|X+81可以表示數(shù)軸上有理數(shù)X與有理數(shù)所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；若

lx+81=5，則x=.

⑷求代數(shù)式lx+10101+|x+5051+-10101的最小值是，并直接寫出這時(shí)X的值

為.

【變式16-1】(2022?黑龍江?哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校期中)如圖，數(shù)軸上點(diǎn)0為原點(diǎn)，點(diǎn)力所表示的

數(shù)為。，點(diǎn)B所表示的數(shù)為5且。、力滿足|。+4|+—=0.

A0B

圖1

A6BC

圖2

A6BC

備用圖

⑴請直接寫出點(diǎn)力所表示的數(shù)：，點(diǎn)B所表示的數(shù)：.

(2)如圖1,點(diǎn)尸從力出發(fā)以2個(gè)單位/秒的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動，點(diǎn)p運(yùn)動的同時(shí)，點(diǎn)Q從B出

發(fā)以1個(gè)單位/秒的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，數(shù)軸上動點(diǎn)M到點(diǎn)P、原點(diǎn)。的距

離始終相等，設(shè)點(diǎn)。到點(diǎn)M之間的距離為d，求d的值.

⑶如圖2,在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)P、。之間的距離等于:d時(shí)，N從點(diǎn)C出發(fā)(點(diǎn)C所表示的

數(shù)為14),以2個(gè)單位/秒的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動，此時(shí)尸、Q仍按原速度、原方向運(yùn)動，當(dāng)

N與尸、Q都未相遇之前，是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)N到點(diǎn)?、。距離之和等于點(diǎn)同到原點(diǎn)0距離，

若存在，求點(diǎn)M所表示的數(shù)，若不存在，請說明理由.

【變式16-2】(2022?廣東?廣州市越秀區(qū)育才實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級期中)已知：，是一1.且

人，c滿足(c—4)，+|—2。+b|=0,請回答問題：

(1)請直接寫出〃，。的值：b=______，c=______；

(2)在數(shù)軸上，a,6c所對應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C,點(diǎn)P為一動點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)為X：

①當(dāng)點(diǎn)。在A與8之間運(yùn)動時(shí)，請化簡式子：|K+1|-|X-4|+2|X+2|；

②若點(diǎn)Q為數(shù)軸上另一動點(diǎn)，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長度從4點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動，點(diǎn)。以每秒

4個(gè)單位長度從。點(diǎn)出發(fā)向左運(yùn)動，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)，點(diǎn)。馬上以同樣速度往

反方向運(yùn)動，尸點(diǎn)繼續(xù)按原方向運(yùn)動，在整個(gè)運(yùn)動過程1,假設(shè)兩點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為，秒后，

P0=0C，求1的值.

【變式16-3】(2022?重慶?七年級期中)已知數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)之間的距離等于這兩個(gè)點(diǎn)表示的

數(shù)的差的絕對值.如圖I,在數(shù)軸上點(diǎn)人表示的數(shù)為一2,點(diǎn)8表示的數(shù)為1,點(diǎn)c表示的

數(shù)為3,則8,C之間的距離表示為：8c=|3-II，A,C之間的距離表示為：

4C=|3-(-2)l=l3f21.

若點(diǎn)。在數(shù)軸上表示的數(shù)為X,則P,A之間的距離表示為：PA=|x-(-2)|=|x+2|，P，

8之間的距離表示為：PB=|x-1.

ABC

_!_____I_____I____4____I-----1----L------1----L-----1------?

-5-4-3-2-101234圖1

(1)如圖1,

①若點(diǎn)P在點(diǎn)4左側(cè)，化簡|x+2|+|x-l|=:

②若點(diǎn)。在線段上，化簡lx+21+lx-11=；

③若點(diǎn)P在點(diǎn)8右側(cè)，化簡|x+2|+|x-l|=：

④由圖可知，|x+2|+|x-1|的最小值是.

(2)請按照(1)問的方法思考：|x+3|+|x-1|+12|的最小值是-

(3)如圖2,在一條筆直的街道上有E,F,G,月四個(gè)小區(qū)，且相鄰兩個(gè)小區(qū)之間的距離

均為2001r.已知E，F(xiàn),G,〃四個(gè)小區(qū)各有2個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，1個(gè)小朋友在同一-所小學(xué)的

同一班級上學(xué)，安全起見，這8個(gè)小朋友約定先在街道上某處匯合，再一起去學(xué)校.聰明的

小朋友們通過分析，發(fā)現(xiàn)在街道上的M處匯合會使所有小朋友從小區(qū)門口到匯合地點(diǎn)的路

程之和最小，請直接寫出匯合地點(diǎn)M的位置和所有小朋友從小區(qū)門口到匯合地點(diǎn)的路程之

和的最小值.

FG"圖2

專題6.1有理數(shù)十六大必考點(diǎn)

【滬科版】

【考點(diǎn)?相反意義的量】........................................................................1

【考點(diǎn)2有理數(shù)的概念及分類】..................................................................1

【考點(diǎn)3相反數(shù)】...............................................................................2

【考點(diǎn)4絕對值】...............................................................................3

【考25根據(jù)數(shù)軸化簡絕對值】..................................................................3

【考點(diǎn)6相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)綜合1......................................................................................3

【考點(diǎn)7有理數(shù)的混合運(yùn)算】....................................................................4

【考點(diǎn)8新定義中的有理數(shù)運(yùn)算】................................................................4

【考點(diǎn)9科學(xué)計(jì)數(shù)法】..........................................................................5

【考點(diǎn)10有理數(shù)乘方的應(yīng)用】....................................................................5

【考點(diǎn)II有理數(shù)的大小比較】....................................................................6

【考點(diǎn)12閱讀材料中的有理數(shù)運(yùn)算】..............................................................7

【考點(diǎn)13有理數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】....................................................................8

【考點(diǎn)14正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】....................................................................9

【考點(diǎn)15有理數(shù)中的規(guī)律探究】.................................................................10

【考點(diǎn)16數(shù)軸與絕對值、動點(diǎn)的綜合探究】.....................................................11

【考點(diǎn)1相反意義的量】

［例I］（河北省保定市新秀學(xué)校2022-2023學(xué)年七年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）在我國

古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，首次引入負(fù)數(shù)，如果收入100元記作+100元，則-50

元表示（）

A.支出50元B.收入50元C.支出60元D.收入60元

【答案】A

【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)的相反意義即可得出答案.

【詳解】解：收入100元記作+100元，則-50元表示支出50元,

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了正負(fù)數(shù)表示一對相反意義的量，正確理解正負(fù)數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1］（重慶市育才中學(xué)校2022-2023學(xué)年七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如果水庫的

水位高于止常水位4m時(shí)，記作+4m,那么低于止常水位5m時(shí)，應(yīng)記作（）

A.5mB.-5mC.D.

【答案】B

【分析】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示，據(jù)此可

求解.

【詳解】解：如果水庫的水位高于正常水位4m時(shí)，記作+4m,那么低于正常水位5m時(shí)，

應(yīng)記作-5m.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查正負(fù)數(shù)的意義，關(guān)鍵是掌握正數(shù)與負(fù)數(shù)表示意義相反的兩種量，看清

規(guī)定哪一個(gè)為正，則和它意義相反的就為負(fù).

【變式1?2】（山西省呂梁市交城縣2022-2023學(xué)年七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如果電梯

上升5米，記作+5米，那么米表示.

【答案】電梯下降3米

【分析】在一對具有相反箴義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示.

【詳解】解："正"和"負(fù)"相對,

?.?電梯上升5米，記作+5米，

」?-3表示電梯下降3米.

故答案為：電梯下降3米.

【點(diǎn)睛】本題考杳了正數(shù)和負(fù)數(shù)，解題關(guān)鍵是理解"正"和"負(fù)'’的相對性，確定一對具有相反

意義的量.

【變式1-3］（2U22?全國?七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題文具店、書店和玩具店依次坐落在一

條東西走向的大街上，文具店在書店西邊20米處，玩具店位于書店西邊10怵處，小明從書

店沿街向東走了40米，接著乂向西走了6。米，此時(shí)小明的位置在（）

A.文具店B.玩具店C.文具店西邊4瞇D.玩具店西邊6瞇

【答案】A

【分析】根據(jù)題意以書店為原點(diǎn)，向東方向?yàn)檎剑?0米為單位長度，畫出數(shù)軸，根據(jù)數(shù)

軸分析即可得出答案.

【詳解】如圖，根據(jù)題意一書店為原點(diǎn)，向東方向?yàn)檎剑?0米為單位長度，畫出數(shù)軸，

玩具店文具店書店

-100-90-80-70-60-50^10-3o-20-10010203040

則文具店表式的數(shù)是一20,玩具店所表示的數(shù)是一100,依題意，40-60=-20

故此時(shí)小明的位置在文具店

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸的應(yīng)用，具有相反意義的星:，有理數(shù)的加減的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)軸分析

是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)2有理數(shù)的概念及分類】

【例2】（2022?湖北?公安縣教學(xué)研究中心七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）把卜.列有理數(shù)填入

它所屬于的集合圈內(nèi).

【點(diǎn)睛】本題考查了負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)、正整數(shù)和非負(fù)數(shù)的的定義，理解相關(guān)定義是解答本題的關(guān)

鍵.注意：有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都屬于分?jǐn)?shù)即他們都是有理數(shù).

【變式2-1]（2022?江蘇漆州市姜堰區(qū)第四中學(xué)七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）在[，-4.3,

0.25,0,1.23,1.01001000100001...,?中，非負(fù)有理數(shù)的數(shù)有.

【答案】：，0.25,0,1.23

【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義及分類：整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，逐個(gè)判定即可得到結(jié)論.

【詳解】解根據(jù)有理數(shù)的定義及分類可知，;符合題意；一4.3是負(fù)數(shù)，不合題意；0.25符合

題意；0符合題意；1.23符合題意：1.01001000100001...是無理數(shù)，不合題意；?是無理數(shù)，

不合題意；

故答案為:0.25,0,1.23.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的定義及分類，掌握有理數(shù)的分類是解決問題的關(guān)鍵.

【變式2-2](2022?黑龍江?肇源縣超等蒙古族鄉(xiāng)學(xué)校期中)在下列數(shù)中:-I-3,0.23,(-2>，

0.(-3)3,-(-20062),-5)，該正整數(shù)的個(gè)數(shù)為m,非負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為m則m-n

的值為.

【答案】-2

[分析]根據(jù)正整數(shù)的概念知所給數(shù)中(一2%一(一20062),-(-勿為正整數(shù),得到m=3；

根據(jù)非負(fù)數(shù)的概念知所給數(shù)中0.23,(-2)2,0,-(一20062),-(-士)為非負(fù)數(shù)，得到九二5,

代人求值即可.

【詳解】解：一|一3|=-3,0.23,(-2)2=4,0,(-3)3=-27,-(-20062)=20062,

-r-(一總)=5,

???正整數(shù)有:(一2)2,-(-20062),一(_3即m=3,

非負(fù)數(shù)有：中0.23,(—2%0,一(一20062),-(一4)，即九=5,

?n-n=3-5=-2>

故答案為：—2.

【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，掌握有理數(shù)概念及分類是解決問題的關(guān)鍵.

【變式2-3](2022?陜西?白水縣田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)把下列各數(shù)

填入它所屬的集合內(nèi)：

15,T.5,白0,-5.32,23-80%,5.

⑴分?jǐn)?shù)集合｛…｝;

⑵自然數(shù)集合｛-｝；

⑶非正整數(shù)集合｛…｝:

⑷非負(fù)有理數(shù)集合｛…｝.

【答案】(1)-5*4-532,2.3,80%

(2)15,0,5

(3)-5,0

(4)15,0,2.3?80%,5

【分析】根據(jù)有理數(shù)的相關(guān)定義及分類方法解答即可.

(1)

解：分?jǐn)?shù)集合｛?：,備-5.32,2.3,80%)；

故答案為：?：，2，-5.32,2.3,80%；

(2)

解：自然數(shù)集合｛15,0,5)；

故答案為：15,0,5：

(3)

解：非正整數(shù)集合｛-5,0｝；

故答案為?5,0；

(4)

解：非負(fù)有理數(shù)集合｛15,1，0,2.3，80%,5)；

故答案為：15,福，0,2.3,80%,5.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的分類，熟記有理數(shù)的分類方法是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)3相反數(shù)】

【例3】(2022?黑龍江?同江市第三中學(xué)七年級期中)下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是()

A.2與;B.(-1)2與1C.-1與(-1)2D.2與|-2|

【答案】C

【分析】兩數(shù)互為相反數(shù)，它們的和為0,可對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行一一分析，看選項(xiàng)中的兩個(gè)數(shù)

和是否為0,如果和為0,則那組數(shù)互為相反數(shù).

【詳解】解：A、2+i=1；

B、(-1)2+1=2；

C、-1+(-1)2=0：

D、2+|-2|=4.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查相反數(shù)的定義及性質(zhì)：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0,以及有理數(shù)的加法計(jì)

算法則.

【變式3-1](2022?河北保定?七年級期中)如圖，在數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩數(shù)的點(diǎn)是

DCBA

?????-----?------->

-3-2-10123

【答案】A和C.

【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，可得答案.

【詳解】解：由題意得：點(diǎn)A表示的數(shù)為：2,點(diǎn)B表示的數(shù)為：1,點(diǎn)C表示的數(shù)為：-2,

點(diǎn)D表示的數(shù)為：-3,

則A與C互為相反數(shù)，

故答案為：A和C.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸和相反數(shù)的定義，知道數(shù)軸上某點(diǎn)表示的數(shù)，并熟練掌握相反數(shù)的

定義即可.

【變式3-2］（2022?寧夏?銀川市第三中學(xué)七年級期中）下列各組數(shù)中：①?32與32；②（?

3）2與32；③-（-2）與-（+2）；④（-3）3與-33；⑤-23與32,其中互為相反數(shù)

的共有（）

A.4對B.3對C.2對D.1對

【答案】C

【分析】兩數(shù)互為相反數(shù)，它們的和為0.本題可對■各選項(xiàng)進(jìn)行一一分析，看選項(xiàng)中的兩個(gè)

數(shù)和是否為0，如果和為0,則那組數(shù)互為相反數(shù).

【詳解】解：根據(jù)相反數(shù)的定義可知：①?32與32：③?（?2）與-（+2）互為相反數(shù).

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查相反數(shù)的概念.解題的關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的概念，明確兩數(shù)互為相反數(shù)，

它們的和為0.

【變式3-3］（2022?山東威海?期中）若m,n互為相反數(shù)，則下列各組數(shù)中不是互為相反數(shù)

的是（）

A.-m和-nB.m+1和n+1C.m+1和n-1D.5m和5n

【答案】B

【詳解】分析：直接利用互為相反數(shù)的定義分析得出答案.

詳解：A、???m,n互為相反數(shù)，

「?-m和-n也是互為相反數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤：

B.v