1)數(shù)學(xué)期望4.隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一頁，共46頁。例12：第二頁，共46頁。（2）旅客8：20分到達(dá)X的分布率為第三頁，共46頁。第四頁，共46頁。

數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)c)若x,y獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y)第五頁，共46頁。2)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望第六頁，共46頁。第七頁，共46頁。定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若E{[X-E(X)]2}<∞，E{[X-E(X)]2}

為X的方差.則稱3）方差

D(X)=稱為X標(biāo)準(zhǔn)差.X為離散型，P{X=xk}=pkX為連續(xù)型，X~f(x)第八頁，共46頁。簡化公式

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

展開D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)=E(X2)-[E(X)]2利用期望性質(zhì)-2[E(X)]2+[E(X)]2證：第九頁，共46頁。例14.要在甲乙兩射手之間選送一個(gè)人去參加奧運(yùn)會(huì)，送誰去參加奧運(yùn)會(huì)更合理呢？已知兩人的射擊成績的分布律分別為：第十頁，共46頁。首先評(píng)選的指標(biāo)是平均成績第十一頁，共46頁。評(píng)選的第二個(gè)指標(biāo)是方差送甲去參加奧運(yùn)會(huì)更合理。D(X)=E[X-E(X)]2第十二頁，共46頁。a)設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0b)若C是常數(shù),則D(CX)=c)若X1與X2

獨(dú)立，則可推廣為：若X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,則D(X1+X2)=D(X1)+D(X2);C2D(X);方差的性質(zhì)第十三頁，共46頁。

兩點(diǎn)分布

二項(xiàng)分布泊松分布離散型4)常見分布的數(shù)學(xué)期望和方差第十四頁，共46頁。若X服從若X服從參數(shù)為連續(xù)型若X~U[a,b],即X服從[a,b]上的均勻分布,則第十五頁，共46頁。四數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念(1)總體和樣本總體：研究對(duì)象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)的值的全體。個(gè)體：總體中的每個(gè)元素為個(gè)體。容量：總體中所包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)。按此分為有限總體和無限總體。例如：某工廠生產(chǎn)的燈泡的壽命是一個(gè)總體，每一個(gè)燈泡的壽命是一個(gè)個(gè)體；某學(xué)校男生的身高的全體一個(gè)總體，每個(gè)男生的身高是一個(gè)個(gè)體。1、基本概念第十六頁，共46頁。定義：設(shè)X是具有分布函數(shù)F的隨機(jī)變量，若是具有同一分布函數(shù)F的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則稱為從總體X中得到的容量為n的簡單隨機(jī)樣本，簡稱為樣本，其觀察值稱為樣本值。第十七頁，共46頁。(2)統(tǒng)計(jì)量定義：設(shè)為來自總體X的一個(gè)樣本，g是的函數(shù)，若g是連續(xù)函數(shù)，且g中不含任何未知參數(shù)；第十八頁，共46頁。常用的統(tǒng)計(jì)量它反映了總體均值的信息它反映了總體方差的信息它反映了總體k階矩的信息第十九頁，共46頁。它們的觀察值分別為：第二十頁，共46頁。分別稱為樣本均值、樣本方差、樣本k階矩、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本k階中心矩。第二十一頁，共46頁。定義：統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，它是一個(gè)隨機(jī)變量，統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。(3)抽樣分布第二十二頁，共46頁。2）常用統(tǒng)計(jì)量的分布第二十三頁，共46頁。第二十四頁，共46頁。3)正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布：定理第二十五頁，共46頁。這類問題稱為參數(shù)估計(jì).五、參數(shù)估計(jì)X1,X2,…,Xn要依據(jù)該樣本對(duì)參數(shù)作出估計(jì).現(xiàn)從該總體抽樣，得樣本設(shè)有一個(gè)統(tǒng)計(jì)總體，總體的分布函數(shù)為F(x,)，其中為未知參數(shù).第二十六頁，共46頁。1、點(diǎn)估計(jì)第二十七頁，共46頁。(1)矩估計(jì)法第二十八頁，共46頁。

這種估計(jì)量稱為矩估計(jì)量；矩估計(jì)量的觀察值稱為矩估計(jì)值。例15設(shè)某炸藥廠一天中發(fā)生著火現(xiàn)象的次數(shù)X服從第二十九頁，共46頁。(2)極大似然估計(jì)法第三十頁，共46頁。第三十一頁，共46頁。第三十二頁，共46頁。第三十三頁，共46頁。似然函數(shù)為：第三十四頁，共46頁。第三十五頁，共46頁。(3)估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)第三十六頁，共46頁。

譬如，在估計(jì)湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚數(shù)N的極大似然估計(jì)為1000條.

若我們能給出一個(gè)區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信N的真值位于其中.這樣對(duì)魚數(shù)的估計(jì)就有把握多了.實(shí)際上，N的真值可能大于1000條，也可能小于1000條.2、區(qū)間估計(jì)第三十七頁，共46頁。也就是說，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.湖中魚數(shù)的真值[]這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的，稱為置信概率，置信度或置信水平.

習(xí)慣上把置信水平記作

，這里是一個(gè)很小的正數(shù).第三十八頁，共46頁。置信水平的大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的.例如，通常可取置信水平=0.95或0.9等.根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，由給定的置信水平，我小的區(qū)間，使們求出一個(gè)盡可能置信區(qū)間.稱區(qū)間為的置信水平為的第三十九頁，共46頁。(1)置信區(qū)間與置信度通常，采用95%的置信度，有時(shí)也取99%或90%第四十頁，共46頁。(2)單個(gè)正態(tài)總體均值和方差的區(qū)間估計(jì)已知方差，估計(jì)均值1）均值的區(qū)間估計(jì)第四十一頁，共46頁。例17.已知幼兒身高服從正態(tài)分布，現(xiàn)從5~6歲的幼兒中隨機(jī)地抽查了9人，其高度分別為：115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;第四十二頁，共46頁。

未知方差，估計(jì)均值則隨機(jī)變量t服從n-1個(gè)自由度的t分布,置信區(qū)間為:第四十三頁，共46頁。2）方差的區(qū)間估計(jì)第四十四頁，共46頁。這就是說，隨機(jī)區(qū)間：第四十五頁，共46頁。例18.設(shè)某機(jī)床加工的零件長度今抽查16個(gè)零件，測(cè)得長度（單位：mm）如下：12.15,