北師大版七年級下冊數(shù)學(新教材)全冊教學課件第

一

章

整

式

的

乘

除1

冪的乘除

第1課時同底數(shù)冪的乘法學習目標1.經(jīng)歷探索同底數(shù)冪乘法運算性質的過程，進一步體會冪運

算的意義及類比、歸納等方法的應用，發(fā)展運算能力和有條

理的表達能力.2.了解同底數(shù)冪乘法的運算性質，并能解決一些實際問題.3.從數(shù)的相應運算入手，類比過渡到式的運算，從中探索、

歸納式的運算法則，使新的運算規(guī)律自然而然地同化到原有

的知識之中，使原有的知識得到擴充、發(fā)展.重點

：理解并掌握同底數(shù)冪的乘法法則.難

點

：能夠運用同底數(shù)冪的乘法法則進行相關計算.知識鏈接1015是有理數(shù)的什么運算?其中10叫什么數(shù)?1

5

叫什么數(shù)?根據(jù)乘方的定義怎樣計算107×108?底數(shù)指數(shù)10×10×

…

×10×10=

101515個10相乘乘方運算—冪情境導入2024年4月25日，神舟十八號載人飛船發(fā)射取

得

成

功

，我國航天工程進入新的階段.飛船的飛行速

度約為7.9×103米/秒，若以此速度飛行104秒，問

飛船飛行了多少米?(用科學記數(shù)法表示)解：7.9×103×10?=7.9×(103×104).想一想：103×104等于多少呢?曰

··

探究新知1

同底數(shù)冪相乘嘗試與思考計算下列各式：(1)103×10?;(2)a3×a?;(3)10m×10n(m,n

都是正整數(shù)).

你發(fā)現(xiàn)了什么?合作探究1.完成計算并說出每一步的依據(jù)：(1)103×10?

(冪的形式)=(10×10×10)×(10×10×10×10)(3個10)

(4個10)(依據(jù)：

乘方的意義=

10×10×…×10

(積的形式)(7個10)(依據(jù)：乘法的結合律)=107

(依據(jù)：乘方的意義)(冪的形式)(2)a3

·a?=(

a

·a

·a

×(a

·a

·a

·a)=

a

·a

·a

·a

·a

·a

·a

=

a?(3)10m×10n=(10×10×…×10_)×(10×10×…

×10)(m

、n是正整數(shù))

m

個10

n

個10=

10×10×…×10m+n

個

1

0=

10m+n注意觀察：計算前后，

底數(shù)和指數(shù)有何變化?嘗試與思考秒

等于什么?(

3)"×(

3)"呢?(m,n

都是正整數(shù))解：

-

…

創(chuàng)=[(-3)×(-3)×…×(-3)]×[(-3)×(-3)×…×(-3)]m個-3

=(

-

3)m+n創(chuàng)

…n

個

，(-3)"×(-3)"m個n個-3”“疆棱m+n-am.a"

=(a·a·…·a)·(a·a…·a)

((乘方的意義)(m個a)

(n

個a)=a·a·...·a

(乘法的結合律)(m+n

個a)=a(m+n).

(乘方的意義)3.參考以上計算過程，嘗試計算am

·an(m、n是正整數(shù)).試一試追問

1:

比較以上計算結果與原式，底數(shù)和指數(shù)分別有什么規(guī)律?底數(shù)不變，指數(shù)相加.追問2:

如何能用數(shù)學符號語言表達其中的規(guī)律?am·an=am+n(m

、n

都是正整數(shù)).追問3:

在探究過程中，體會到了什么數(shù)學思想方法?類比思想、轉化思想(把未知問題轉化為已知問題)、特殊到一般思想.知識要點同底數(shù)冪的乘法運算法則：

am·an=am

+n(m,n

都是正整數(shù))

.文字說明：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變

，指數(shù)相加例

1

計算：(1)(-3)?×(-3)6;(3)-x3·x?;解：(1)原式=(-3)7+6=(-3)13.(2)原式=

1"=

1

11(3)

原式=-x3+5=-x8.(4)原式-b2m+2m+1=b4m+1.13(2)囅

忐(4)b2m·b2m+1.提醒：計算同底數(shù)

冪的乘法時，要注

意算式里面的負號

是屬于冪的還是屬

于底數(shù)的.典例精析(4)x2·x2=2x?(

×

)(

√

)(

√)對于計算出錯的題目，你能分析出錯的原因嗎?試試看!判一判判

斷

正

誤

(

正確的打“

√

”,錯誤的打“×”

):(1)x?·x?=x24(×)(2)x·x3=x3(×)(3)x?+x?=x?

(

×

)(5)(

一x)2

·(

一x)3=

(一x)?(6)a2·a3-a3·a2=0(7)x3·y?=(xy)?(

×

)`(8)k?+x?=x14(×

)思考與交流類比同底數(shù)冪的乘法公式

am

·an=am

+n(m、n

都是正整數(shù)),

a·a?·a3=

a?·a3=a10.想一想：當三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，是否也具有這一性質呢?用字母表示a"

·a"

·

α等于什么呢?a"·a".aP=am+n+P(m

、n

、p

都是正整數(shù)).(2)

;(4)(a+b)2·(a+b)3;(6)mn-2·m3n+1.(2)原式(4)原式=(a+b)?

.(6)原式=m?-1(1)6?

·66;(3)x?

·

x?;(5)y·y2·y?;解：(1)原式=611.(3)原式=x?

.(5)原式=y?

.注

意

：底

數(shù)a既可以是單項式，也可以是多項式；指數(shù)可以用數(shù)字表示，也可以用字母和代數(shù)式表示.練一練計算下列各式，結果用冪的形式表示.2同

底數(shù)冪的乘法法則的運用例2

光在真空中的速度約為3×108m/s,太陽光照射到地球上大約需要5×102s.

地球距離太陽大約有多遠?解：3×108×5×102=15×1010=1.5×1011(m).答：地球距離太陽大約有1.5×1011m.曰

當堂練習一

、選擇題1.計算xs·x?的值為(

B

)A.x?

B.x10C.x25

D.2x52.下列計算正確的是(

B

)A.a2·a3=a6

B.y?·y=y?C.b3·b3=2b3

D.x?+x?=x103.若am=3,an=4,則

am+n的值為(

B

)A.7

B.12C.9D.81二、填空題4

.計算

：(1)-5

·52=

-125(2)(-x)3·(-x)2=

(-x)?

;(3)y2

·y

·y=

y?5

若xn-2·xn=x2,則

n=2解：原式

(2

)

y·(

一y)2·y3

.解

：原

式=y6.三、解答題

6.

計算：(1)●103×10?=107a3·a?=a710m×10n=10m+n↓am·an=am+n當堂小結底

數(shù)

指

數(shù)找規(guī)律猜想并證明性質：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加數(shù)數(shù)

式式數(shù)

式

數(shù)

式步

一

般

化一般特殊逐1

冪的乘除第2課時冪的乘方第一章

整式的乘除學習目標1.經(jīng)歷探索冪的乘方的運算性質的過程，進一步體會冪運

算的意義及類比、歸納等方法的作用，發(fā)展運算能力和

有條理的思考和表達能力.2.了解冪的乘方的運算性質，并能解決一些實際問題.3.從數(shù)的相應運算入手，類比過渡到式的運算，從中探索、歸納式的運算法則，使新的運算規(guī)律自然而然地同

化到原有的知識之中，使原有的知識得到擴充、發(fā)展.重點

理解并掌握冪的乘方法則.難

點

：掌握冪的乘方法則的推導過程并能靈活運用.曰

知識鏈接我們知道a

·a

·a

·a

可以寫成a?

,那么類似的a2·a2·a2·a2

可以寫成什么?地球、木星、太陽可以近似地看作是球體.木星、太陽的半徑分別約是地球的10倍和102倍，它們的

體積分別約是地球的多少倍?其中

V

是球的體積，r

是球的半徑.你知道(102)3等于多少嗎?情境導入(1)(32)3=32×32×32=32+2+2=36.=

32×3(

2)(a2)3=a2×a2×a2=a2+2+2

=a?

.

=a2×3(3)(am)3=

am

×

am

am=am+m+m=a3m.

=am×3議一議：觀察計算結果你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?底數(shù)不變，指數(shù)相乘.追問：你能用符號表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎?(am)"=amn.計算下列各式，并說明理由.探究新知冪的乘方法則合作探究你能證明你的猜想嗎?一般地，對于任意底數(shù)a

與任意正整數(shù)m,n,=amn.知識要點冪的乘方法則不變

，指數(shù)相

乘文字說明：冪的乘方，底數(shù)運算法則：(am)n=amn(m,n都是正整數(shù))

.解：(1)(102)3=102×3=106.

(2)(b?)?=b5×5=b25.(3)(an)3=an×3=a3n.

(4)一(x2)m=-x2×m=-x2m.(5)(v2)3·y=y2×3·y=y?·y=y?

.(6)2(a2)?-(a3)?=2a2×6—a3×4=2a12-a12=a12.注意：一定不要將冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法混淆例1計算：(1)(102)3;(4)一(x2)m;(3)(an)3;(6)2(a2)?-(a3)?(2)(b?)?;(5)(v2)3·y;判一判判斷對錯：(1)(a")"

=

am+".(2)a2x?=a1?

.(3)-(a2)1?=-a2?.32(4)

-籍(5)(b”+1)2=b2n+1.(6)[(x+y)3}·(x+y)=(x+y)?.2(

×

)

(

×

)

(

√

)(

×

)(

×

)

(

√

)典例精析例2

已知

am=2,an=3.

求

：(1)a2m,a

3n的值；(2)am+n

的值；3)a2m

+3n

的值

.解

：(1)

a2m=(am)2=22=4,a3n=(an)3=33=27.(2)am+n=am·an=2×3=6.(3)a2m+3n=a2m·a3n=4×27=108.方法總結：

本題考查了冪的乘方的逆用及同底數(shù)冪

的乘法，整體代入求解也比較關鍵.回顧導入1.a2·a2·a2·a2

可以寫成什么?2.地球、木星、太陽可以近似地看作是球體.木

星、太陽的半徑分別約是地球的10倍和102倍，它們的體積分別約是地球的多少倍?木星體積是地球體積的太陽體積是地球體積的a2·a2·a2·a2=(a2)?=a?.倍倍拓展提升已知a

=355,b=444,c=533,

試比較a,b

,c

的大小

.解

：a=355=(35)l=2431,b=444=(44)1=25611,c=533=(53)l1=12511..256>243>125,∴b>a>c.一、選擇題1.計算(a5)?的結果是

(

D

)A.

4a?

B.5a?C.a?D.a202.

下列計算正確的是

(

D

)A.(a3)2=a?

B.(a2)3=a?C.a3+a3=a?

D.(a?)2=a?當堂練習正方體的體積是(1-2

b)?4.若ax=3,

則(a2)x=9

.三、解答題5.

計算：(1)

(2)(y4)2+(v2)3·y2

解

：(1)

原

(2)原式=y?+y?=2y?

.二

、填空題3.如果某個正方體的棱長是(1-2b)3,

那么這個■(am)"=amn(m,n

都是正整數(shù))冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法的區(qū)

別

：(am)"=amn,am

·an=am+n冪的乘方法則的逆用：法則冪的乘方注意曰

·

當堂小結amn=(am)n=(an)m1

冪的乘除第3課時積的乘方第一章整式的乘除學習目標1.經(jīng)歷探索積的乘方的運算性質的過程，進一步體會冪運

算的意義及類比、歸納等方法的作用，發(fā)展運算能力和

有條理的思考和表達能力.2.了解積的乘方的運算性質，并能解決實際問題.3.從數(shù)的相應運算入手，類比過渡到式的運算，從中探索、歸納式的運算法則，使新的運算規(guī)律自然而然地同

化到原有的知識之中，使原有的知識得到擴充、發(fā)展.重

點

：理解并掌握積的乘方的運算法則.難點：掌握積的乘方的推導過程，并能靈活運用.2.(1)

同底數(shù)冪的乘法：am

·an=

am+n

(m,n都是

正整數(shù)).(

2)冪的乘方：(am)"=a

mn_

(m,n都是正整數(shù))

.1.計算：(1)

10×102×103=

106

_

;(2)(x?)2=

x10.知識鏈接地球可以近似地看作是球體，地球的半徑約為6×103千米，它的體積大約是多少立方千米?,

其

中

V

是球的

體積，r是球的半徑.那么,(6×103)3=?情境導入曰

··

探究新知冪的乘方法則合作探究1.計算下列各式，并說出每一步的依據(jù)：(3×5)2=(3×5)×(3×5)

乘方的意義=(3×3)×(5×5)——(

乘法交換律、結合律)=

32×52同底數(shù)冪的乘法(2×5)2

(xy)?((

52))××(

))

(

x·(

))

(

·(

))=

22×52yyxyy)vy··xxyxx(xy)555222乘方，再把所得的冪相乘.追問

：你能用符號表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律【(ab)"=an·bn(n為

正

整

數(shù)

).議一議：觀察計算結果你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?積的乘方，等于把積的每一個因式分別2.按照以上方法，完成填空：你能證明這

個猜測嗎?■

■=

(a

a…·a)·(b·b

…·b)(乘法的交換律、n

個a

n

個b

結合律)=anbn.

(同底數(shù)冪的乘法)證一證一般地，對于任意底數(shù)a,b與任意正整數(shù)n,(乘方的意義)知識要點積的乘方法則運算法則：(ab)n=anbn

(n

是正整數(shù)).文字說明：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方

,再把所得的冪

相乘追問：

三個或三個以上因式積的乘方，是否依舊具有

這樣的運算性質?(abc)n=an·bn·c(n為正整數(shù)).典例精析例1

計算：(1)(3x)2;(2)(-2b)?;

(3)(-2xy)?;(4)(3a2)".解：(1)原式=(3x)

·

(3x)=(3×3)

·

(x

·x)=32x2=9x2

.(2)原式=(-2b)·

(-2b)

·

(-2b)

·

(-2b)

·

(-2b)=[(-

2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)]·(b·b·b·b·b)

=

(-

2)sb?=-32b5.(4)原式=3n(a2)n=3na2n.注意：(1)在運用積的乘方法則時，要注意積的每

一項都要乘方，不要遺漏任一項.(2)解題時先確定系數(shù)(包括正確確定它們的符號),

再確定每個字母的指數(shù).(3)含有“—”號的字母底數(shù)看成-1乘以這個字母，

再運用積的乘方法則.(3)(-2xy)?;(4)(3a2)n.(3)原式=(-2)?

x?y?=16x4y?

.例2

填空：(1)a3b?=(ab2)3;(2)36

x6y10=(

±6x3y5

)2

.

例3

計算：)

×2202420242024解：原式=12024=1.冪的乘方的運算法則逆用同底數(shù)冪的乘法運算法則逆用積的乘方的運算法則提示：可利用

簡化運算210逆用冪的乘方的運算法則拓展提升計

算

：解：原式=2108創(chuàng)28

228籍創(chuàng)2

22

=4贛贛210.24二an.bn=

(ab)"

am+n

=am·anamn

=(am)n◆作

用

：可使運算更加簡便快捷!冪的運算法則的逆用知識要點回顧導入那

么

,(6×103)3=?(6×103)3=63×(103)3=216×109

=2.16×1011一

、選擇題1.計算(ab)2

的結果是

(C)A.2

ab

B.a2b

C.a2b22.

下列計算正確的是

(

D

)A.(xy)3=xy3B.

(2xy)3=2x3y3C.

(

一

2x3)3=-6x?D.(

一xy2)?=x?y?當堂練習3.

計算

·510的結果是

(

C

)A.

B.5

C.1

D.520二

、填空題4.

計

算

：(1)-(3m2nh3)2=

-9m?n2h?(2)(2×102)3×(-10)2=

8×1085.若(ambn)2=a?b?,則

m=4,n=3三、解答題6.若xn

=2,yn=3,

求(xy)n與(x3y3)n的值.解：∵xn=2,yn=3,∴(xy)"=x"yn

=2×3=6,(x3y3)"=x3n·y3n=(x)3(yn)3=23×33=216.am

·

an=am+n,(am)"=amn,(ab)n=a"bn(m,n

都是正整數(shù))am+n=am·an,amn=(am)n,運用積的乘方法則時要注意：公式中

的a、b

代表任何代數(shù)式；每一個因式都要“乘方”;注意結果的

符號、冪的指數(shù)及其逆向運用(混合

運算要注意運算順序)曰

·當堂小結法則an·bn=(ab)n:可使某些計算簡捷逆

用注

意冪的運

算法則第

一章整式的乘除1

冪的乘除第4課時

同底數(shù)冪的除法學習目標1.經(jīng)歷探索同底數(shù)冪除法運算性質的過程，進一步體會冪運算的意義

及類比、歸納等方法的作用，發(fā)展運算能力和有條理的表達能力；2.

了解同底數(shù)冪的除法的運算性質，會進行同底數(shù)冪的除法，并能解

決一些實際問題；3.通過對整式的除法運算法則學習，在經(jīng)歷猜想、驗證、歸納的學習過

程中，體會歸納的數(shù)學思想方法，逐步養(yǎng)成用數(shù)學語言表達與交流

的習慣，感悟數(shù)據(jù)的意義與價值.重

點

：1.理解零次冪和負整數(shù)指數(shù)冪的意義，并能進行負整數(shù)指數(shù)冪的運算；2.會用同底數(shù)冪的除法法則進行計算.難點

：理解冪的除法運算并在運算中體會轉化的思想.這兩個問題都是已知積和其中一個因式，求另一個因式

，你想到該如何計算了嗎?(1)102×103=(2)a?·a?=

曰

知識鏈接計

算

：(1)102×103=(2)a?

·a?

=(3)

am·an=填空：(1)

102(2)a?

·am+n

(m,n×103=105a?

=a910?

_

;a?

;都是正整數(shù)).情境導入一種液體每升含有1012個有害細菌，為了試驗某種殺菌劑的效果，科學家們進行了實驗，發(fā)現(xiàn)1滴殺

菌劑可以殺死109個此種細菌.要將1升液體中的有害細菌全部殺死，需要這種殺菌劑多少滴?我們觀察可以發(fā)現(xiàn)，1012和109這兩個冪的底數(shù)相同，是同底數(shù)的冪的形式.所以我們把1012

÷109這種運算叫作同底數(shù)冪的除法.(1)怎樣列式?1012÷109.(2)

觀察這個算式，它有何特點?計算下列各式，并說明理由(m>n).(1)1012÷10?;

(2)10m÷10";(3)(-3)"÷(-3)".10創(chuàng)010創(chuàng)010創(chuàng)010創(chuàng)010創(chuàng)101010(1)1012÷109

二10創(chuàng)010創(chuàng)010創(chuàng)010創(chuàng)010=1000=103l

同底數(shù)冪的除法曰

··

探究新知嘗試思考…

10=10X10X…X10…

101

0m個(-3)(-3)2

3)創(chuàng).

(

3)3)

?

3)

創(chuàng)。(-3)(m-n)個(-3)

n個(-3)≠(一3)×(一3)×

·

·

.

×(一3)=(-3)"-nn

個=10m-n(3)(-3)"÷(-3)"m個10

(m-n)個10(2)10"÷10"=10創(chuàng)1010創(chuàng)0合作探究提

問：觀察上面算式，底數(shù)有什么特點?底數(shù)相同.追問1

:

上面算式中，等號左邊是什么運算?除法運算追問2:

等號左右兩邊的指數(shù)有什么關系?等號右邊的指數(shù)等于等號左邊指數(shù)相減.議一議：總結一下你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，能否用符號語言表示出來?小組討論得出結論.am÷an=am-n(m>n).運算法則：am÷an=am-"(a≠0,m,n

是正整數(shù)，且m>n).文字說明：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變

，指數(shù)相減證一證：你能證明你們發(fā)現(xiàn)的猜想嗎?例1

計算：(1)a?÷a?;

(2)(-x)?÷(—x)3;(3)(xy)?÷(xy);(4)b2m+2÷b2

.解：(1)a?÷a?=a7-4=a3

.(2)(-x)?÷(-x)3=(-x)?-3=(-x)3=-x3.(3)(xy)?÷(xy)=(xy)?-

1=(xy)3=x3y3

.(4)b2m+2÷b2=b2m+2-2=b2m

同底數(shù)冪的除法可以逆用：

am-n=am÷an.

(1)am-n的值；(2)

a3m-3n的值

.解：(1)am-n=am÷an=8÷5=1.6

.(2)a3m-3n=a3m÷a3n這種思維叫作

逆向思維(逆

用運算性質).=(am)3÷(an)3=83÷53=512÷125已知：am=8,an=5.

求：2

零次冪與負整數(shù)次冪合作探究假設把am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整數(shù)，m>n)中的m>n

這個條件去掉，那在什么條件下am÷an=am-n還成立?思考交流(1)計算：23÷

23,23÷2?

,

a3÷a3,a3÷a?

.(2)假設m=n或

m<n

時

，am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整數(shù))仍然成立，那么(1)中各式的結果用冪的形式又該如何表示?23÷23,23÷2?,a3÷a3,a3÷a?23÷23=23-3=20

23÷2?=23-5=2-2a3÷a3=a3-

3=a?

a3÷a?=a3-5=a-223÷23=23-3=2°23÷2?=23-?=2-2a3÷a3=a3-

3=a?a3÷a?=a3-?=a-2(3)比較(1)(2)各式的對應結果，你有什么發(fā)現(xiàn)?與同伴進行交流.23÷23=1a3÷a3=1有了這個規(guī)定后，已學過的同底數(shù)冪的乘法和除法運算性質中的m,n就從正整數(shù)擴大到全體整數(shù)了，即am

a"=am+n,am÷an=am-n(a≠0,m,n是

整數(shù))知識要點我們規(guī)定：a”

(a≠0,p即任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1.即用

a-P表

示aP

的倒數(shù).(a1

0).是正整數(shù)).(3)1.6×10-?=1.

.6×0.0001=0.00016

.n歸納總結

(a≠0,

n是整數(shù)).典例精析例2

用小數(shù)或分數(shù)表示下列各數(shù)：(1)10-3;

(2)7?×8-2;

(3)1.6×10-4解

：(2)例3

計算：(1)7-3÷7?

;

(2)a-?÷a?;(3)3?÷3-3.

(4)(bc)-?÷(bc)-8解：(1)7-3÷7-?=7-3-(-5)=72

.(2)a-?÷a?=a-4-6=a-10.(3)3?÷3-3=30-(-3)=33.(4)(bc)-?÷(bc)-8=(bc)-4-(-8)=(bc)?=b

?c?

.3用科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)寫

一

寫

：(3)1×10-3=(103

)=(

0.001

);(4)1×

10-3=(

10?)=(

0.0001

);議一議：指數(shù)與運算結果的0的個數(shù)有什么關系?合作探究指數(shù)與運算結果的0的個數(shù)的關系：0.00···01=1×10-"n'個0一般地，1前面有n

個0就是10的

-n

次冪.10的

-n

次冪，在1前面有

n個0

.例如：0.000052=

5.2×10-5科學記數(shù)法表示較小的數(shù)：一個小于1的正數(shù)可以

表示為a×10-n

的形式，其中1≤a<10,n是負整數(shù).用科學記數(shù)法表示一些絕對值小于1的數(shù)的方法：利用10的負整數(shù)次冪，可以把一個絕對值小于1的數(shù)表示成a×10-n的形式，其中n

是正整數(shù)，1≤|a|<10,n

等于原數(shù)第一個非零數(shù)字前所有零的個數(shù)

(特別注意：包括小數(shù)點前面那個零)知識要點大于-1的負數(shù)也可以用類似的方法表示.

如

：-0.00000256=

-2.56×10-6典例精析例4實驗表明，人體內某細胞的形狀可以近似

地看成球狀，并且它的直徑為0.00000156m,

則這個數(shù)可用科學記數(shù)法表示為(

C

)A.0.156×10-5mB.0.156×105mC.1.56×10-6

mD

.1.56×106

m練一練1.用科學記數(shù)法表示下列各數(shù)：(1)0.0000000001;(2)0.0000000000029;(3)0.000000001295;解：(1)0.0000000001=1×10-10.(2)0.0000000000029=2.9×10-12.(3)0.000000001295=1.295×10-9.練一練2.

(南充校考)中國科學技術大學完成的“祖沖之二號”和“九章二號”量子計算優(yōu)越性實驗入選國際物理學十

大進展.人們發(fā)現(xiàn)全球目前最快的超級計算機用時2

.3秒

的計算量，

“祖沖之二號”大約用時僅為0.00000023秒，將數(shù)字0.00000023用科學記數(shù)法表示為(B)A.23×10-8

B.2.3×10-7C.0.23×10-9D.2.3×10-6一、選擇題1

.計算a

?÷a

2的結果是

(

B)A.

a?

B.a?C.a?

D.a22.計算(π-3)°的結果是

(

B

)B.1D.π—3當堂練習3.

用科學記數(shù)法表示0.0000907的結果正確的是(

D

)A.9.

1×10-4B.9.1×10-5C.9.0×10-5D.9.07×10-54.若am=15,an=5,

則am-n等于

(A

)B.5D.75二

、填空題5.

(1)若(x-2)?

有意義，則x

≠2

;2)已知

am÷a?=a2,

則m=

7

.6.已知0.003×0.005=1.5×10n,則n

的值是

-5解

：(1)原式=

-a?÷a?=-a3

.(2)

三

、

解

答

題7.計算：(1)(-a)?÷a?;(2)曰

當堂小結1.同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不

變，指數(shù)相減.(a≠0,

m、n

為任意整數(shù)).2.任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1.a?=1(a1

0).n3.

負整數(shù)指數(shù)冪：

(a≠0,n

為正整數(shù)).利用10的負整數(shù)次冪，我們可以用科學記數(shù)法表示一些絕對值較小的數(shù)，即將它們表示成a×10-n的形式，其中n

是正整數(shù)，1≤|a|<10.

這里用科學

記數(shù)法表示時，關鍵是掌握其中的規(guī)律：0.00…·01=10?"(n

為正整數(shù)).n

個0第

一

章

整

式

的

乘

除2

整式的乘法第1課時單項式與單項式相乘三

學習目標1.經(jīng)歷探索整式乘法運算法則的過程，進一步體會類比方

法的作用，以及乘法交換律、結合律在整式乘法運算中

的作用

；2.能借助圖形解釋整式乘法的法則，發(fā)展幾何直觀；3.能進行簡單的整式乘法運算，發(fā)展運算能力.重點：復習冪的運算性質，探究并掌握單項式乘以單項式

的運算法則.難點

，能夠熟練運用單項式乘以單項式的運算法則進行計

算并解決實際問題.曰

·知識鏈接1.什么是單項式?由數(shù)和字母的積組成的代數(shù)式叫作單項式，單獨的一個數(shù)或一個字母也叫作單項式.2.前面學習了哪些冪的運算?運算法則分別是什么?am×an=am+n

(am)n=amnam÷a"=am-n二

探究新知單項式與單項式相乘問

題

：天安門廣場位于北京市中心，呈南北向為長，

東西向為寬的長方形，其面積之大在世界上首屈可指，小王想估計天安門廣場的面積，先從南走到北，

記下所走的步數(shù)為1100步，再從東走到西，記下所走的步數(shù)為625步.(1)如果小王的步長用a(m)

表示，你

能用含a的代數(shù)式表示廣場的面積嗎?1100a×625a

62

5步1100步(2)假設小王的步長為0.8m,怎么

表示并計算出廣場的面積?方法一：原式=880×500=440000(m2)方法二：原式=(1100×625)×0.8×0.=440000(m2)思考：類比上述方法計算1100a·625a.1100步625步8議一議1100a·625a=

(1100×625)×(a×a)=687500a2單項式×單項式系數(shù)相乘同底數(shù)冪相乘通過以上經(jīng)驗，你能總結出單項式乘單項式的運算

法則嗎?小組討論得出結果.單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字

母的冪分別相乘.=-a2b3c字母c

的字母及指數(shù)不變，作為積的因式.請某同學將單項式乘單項式的乘法法則補充完整.追問：計

7

如何處理字母c?單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式.注意：(1)系數(shù)相乘；(2)相同字母的冪相乘；(3)其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式.知識要點單項式與單項式的乘法法則解：(1)原例

計

算

：(1)

;

(2)-2a2b3·(-3a);(2)原式=[(-2)×(-3)]·(a2

·a)

·b3=6a3b3.(

3

)

原

式

=

7xy2z·4x2y2z2=(7×4)·(x·x2)·v2·y2)·(z·z2)=28x3y4z3.原

·(a·a2·a)·(b·b)·(c

·

c3)=2a?b2c?

.追問1:

當系數(shù)為負數(shù)時應當注意什么?先確定符號.先乘方，后乘除.追問2:

運算中有乘方和乘除的混合運算時，

運算順序如何?方法總結有乘方運算的要先算乘方；單×單=(系數(shù)×系數(shù))×(同底數(shù)冪相乘)×(單獨的冪)單項式乘單項式中的“一、二、三”:一個不變：

單項式與單項式相乘時，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)不變，作為積的因

式.二個相乘：把各個單項式中的系數(shù)、相同字母的冪分

別相乘.三個檢驗：單項式乘單項式的結果是否正確，可從三個方面檢驗：①結果仍是單項式；②若無零次冪出現(xiàn)，則結果含有原式中的所有字母；③結果中每一個字母的指數(shù)都等于前面單項式中同一(2)(-2a)3(-3a)2;解：原式=9x2

·4x2

解：原式=-8

a3

·9a2=(9×4)(x2·x2)

=[(-8)×9](a3·a2)

=-72a?.注意：有乘方運算，先算乘方，再算單項式相乘.觀察思考如圖，一幅邊長為am

的正方形風景畫，上下各留有

的空白區(qū)域做裝飾，中間畫面的面積是多少平方米?解：中間畫面的寬為：中間畫面的面積為：方法總結：掌握長方形的面積公式和單項式乘單項式

的法則是解題的關鍵.練一練2.有一塊長為xm,寬為ym

的長方形空地，現(xiàn)在

要在這塊地中規(guī)劃一塊長

寬

的長方形

空地用于綠化，求綠化的面積和剩下的面積.解：長方形的面積是xy

m2,

綠化的面積是

下的面積3.已知-2x3m+1y2n與

7x?m-3y?n-4

的

積

與x?y是同類項，求m2+n

的值

.解

：

因

為

-

2x3m+1y2n與7x5m-3y?n-4

的

積

與x?y

是同類項，所以2n+5n-4=1,3m+1+5m-3=4.解得所以當堂練習一、選擇題1.計

算

2a3·a2b的結果是(

B

)A.2ab

B.2a?bC.2a?bD.2a?b2.計算2x2

·

(-3x3)的結果是(

A

)A.

一6x?

B.6x?C.5x?

D.-5x?3.

一種計算機每秒可做4×108次運算，它工作

3×103秒運算的次數(shù)為

(

B

)A.12×1024

B.1.2×1012C.12×1012

D.12×1085.若mx?

·4xk=12x12,則m=3

,k=

86.某三角形的一邊長為4ab,此邊上的高為,則

它的面積為

a3b二

、填空題

4.計算：(2)2xy·(-3xy3)=

-6x2y?三

、解答題7.計

算

：(1?ay(

-6x)A);(2)2m2n(-3mm}p;(3)-8a2b

·

;(4)(2xry)}2(-3x)3.y.解：(1)原式=-3x?y3.(2)原式=2m3n·9m2n?=18m?n5.(

3)原式=8

asb3.

(4)原式=4x2y2.

(-27x3)

·y=-108x?y3.實質上是轉化為同底數(shù)冪的運算(1)不要出現(xiàn)漏乘現(xiàn)象；(2)有乘方運算，先算乘方，

再將單項式相乘.曰··

當堂小結單項式乘

單

項

式單項式與單項式相乘注

意第

一

章

整式

的乘

除1.2整式的乘法

第2課時多項式的乘法學習目標1.經(jīng)歷探索整式乘法運算法則的過程，進一步體會類

比方法的作用，以及乘法分配律在整式乘法運算中

的作用；2.能借助圖形解釋整式乘法的法則，發(fā)展幾何直觀；3.能進行簡單的整式乘法運算，發(fā)展運算能力.重點：理解單項式乘多項式、多項式乘以多項式的運算

法

則.難

點：能夠熟練運用單項式乘多項式、多項式乘多項式的運算法則進行計算并解決實際問題.(1

;

(2)5x3y

·

(-3xy)2.解：1)原

(2

)

原式

=

5x3y

·9x2y2=45x?y3.單項式與單項式相乘2.

計

算

：知識鏈接1.單項式乘單項式的實質是什么?轉化乘法交換律

和結合律有理數(shù)的乘法與同底數(shù)冪的乘法情境導入我們可以根據(jù)有理數(shù)乘法的分配律進行計算

那么怎樣計算2x

·

(3x2-2x+1)呢?

(2x+1)(

3x2-2x+1)

呢?6+4+3問題

：寧寧作了一幅畫，所用紙的大小如圖所示，她在紙的

左、右兩邊各留了。xm的空白，8怎樣用不同形式表示這幅畫的畫面面積?曰

··

探究新知1

單項式乘多項式xm8xmnx

m方式二：也可以用紙的面積減去空白處的面積，由此得到畫面—

nx

m的長與寬，由此得到畫面的面積為x

;的面積為由此你可以得到什么?方式一：可以先表示出畫面一X

m8xmx

m你能用運算律解釋

嗎?乘法分配律

)(單項式乘法法則通過以上經(jīng)驗，你能總結出單項式乘多項式的運算

法則嗎?小組討論得出結果.單項式與多項式相乘，就是根據(jù)分配律用單項

式乘多項式的每一項，再把所得的積相加.單項式與多項式相乘，將單項式分別乘多項式的每一項，再將所得的積相加.p

(a+b+c)

pa

+

pb

十

pC注意：

(1)依據(jù)是乘法分配律；(2)結果的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.知識要點單項式乘多項式的法則例1

計算：(1)

■解：原式=2ab·5ab2+2ab·3a2b=10a2b3+6a3b2.②

■(3)5m2n(2n+3m-n2);解：原式=5m2n·2n+5m2n·3m+5m2n·(-n2)=10m2n2+15m3n-5m2n3.(4)2(x+y2z+xy2z3)·xyz.解：原式=(2x+2y2z+2xy2z3)

·xyz=2x2yz+2xy3z2+2x2y3z?

.典例精析例2

先化簡，再求值：5a(2a2-

5a+3)-2a2(5a+5)+7a2,其

中a=2.解：5a(2a2-5a+3)-2a2(5a+5)+7a2=10a3-25a2+15a-10a3-10a2+7a2=-28a2+15a,當

a=2

時，原式=-82.方法總結：在計算時要注意先化簡然后再代值計算.

整式的加減運算實際上就是去括號與合并同類項.1

.計算：-2

x2

·

(xy+y2)-5x(x2y-xy2).解

：

原

式

=(

-

2x2)·xy+(-2x2)·y2+(-5x)

·x2y+(-5x)

·

(-xy2)

=-2x3y+(-2x2y2)+(-5x3y)+5x2y2=-7x3y+3x2y2

.注意：(1)將2x2與5x

前面的“—”看成性質符號；(2)單項式與多項式相乘的結果中，應將

同類項

合并.片，如果它的長和寬分別增加a,b,所得長方形

(圖2)的面積怎樣用不同形式表示?nm圖

1

m

圖

2

a你能用不同的形式表示所拼圖的面積嗎?②

多項式乘多項式問題：如圖1是一個長和寬分別為m,n的長方形紙合作探究方法一：用不同的形式表示所拼圖的面積：b

①(m+a)(n+b)②

n(m+a)+b(m+a)n

③

m(n+b)+a(n+b)④

mn+mb+an+abm

a于是得到(m+a)(n+b)=n(m+a)+b(m+a)=

m(n+b)+a(n+b)=mn+mb+an

+ab方法二：把

(m+a)

和

(n+b)看成一個整體，利用乘法分配n律：(m+a)(n+b)=(m+a)n+(m+a)b=mn+mb+an+ab.或(m+a)(n+b)=m(n+b)+a(n+b)=mn+mb+an+ab.你能類比單項式與多項式相乘的法則，敘

述

多項式與多項式相乘的法則嗎?小組討論得出結果.議一議多項式乘多項式多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.追問：以(a+b)(m+n)

為例，能否用字母呈現(xiàn)出多項式與多項式相乘的法則?②①

①

②

③

④(a+b)(m+n)=am+

an+bm+bn典例精析例3計算：(1)(1-x)(0.6-x);(2)(2x

+y)(x-y);解：(1)原式=1×0.6-1×x-x·0.6+x·x=0.6-x-0.6x+x2=0.6-1.6x+x2

.(2)原式=2x

·x-2x

·y+y

·x-y

·y=2x2-2xy+xy-y2=2x2-xy-y2

.(3)(x+y)(x2-xy+y2).解：原式=x·x2-x·xy+xy2+x2y-xy2+y·y2=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3

.注意：(1)漏乘；(2)符號問題；(3)最后結果應化成最簡形式(是同類項的要合并).觀察思考(1)如圖，一幅邊長為am

的正方形風景畫，

左右各留

的長方形空白區(qū)域做裝飾，中

間畫面的面積是多少平方米?解：中間畫面的面積為：(2)如圖，一幅長為a

m、寬為bm

的長方形風景畫，畫面的四周留有空白區(qū)域做裝飾，其中四角均是邊長

為xm

的正方形，正中間畫面的面積是多少平方米?X解：中間畫面的面積為：

X(a-2x)(b-2x)=ab-2ax-2bx+4x2.a例4先化簡，再求值：(a-2b)(a2+2ab+4b2)

=a

(a-5b)(a+3b),其中a=-1,b=1.解：原式=

a3-8b3-(a2-5ab)(a+3b)=a3-8b3-a3-3a2b+5a2b+15ab2=-8b3+2a2b+15ab2.當a=-1,b=1時，原式=

-

8+2

-

15=

-

21

.方法總結：化簡求值的題型，一定要注意先化簡，再求值，不能先代值，再計算.當堂練習一

、選擇題1.計算a(a-b)

的結果為

(

C

)A.-

a2-ab

B.—a2+abC.a2-ab

D.a2+ab2.計算(x-5y)(x+4y)

的結果是

(

C

)A.x2-20y2

B.x2-9xy-20y2

c./x2-xy-20y2

D.x2+xy-20y23.若(x+k)(x-4)

的積中不含有x的一次項，則k

的值為(

B

)A.0B.4C.

一4D.2二

、填空題4.

計

算

：(1)(2a-b)·(-2ab)=-4a2b+2ab2

;(2)(a

+1)(b+1)=

ab+a+b+15.(1)當x=3

時

，x(x+1)一x2=3

;(2)若xy=12

,x+y=13,則(x+1)(y+1)

=266.某農(nóng)戶租兩塊土地種植沃柑.第一塊是邊長為am的正方形，第二塊是長為(a+10)m,寬為(a+5)

m的長方形，則第二塊比第一塊的面積多(15a+50)m2.三、解答題7.計算：(1)-a2b(2a-ab+3b);(2)(x+1)2—x(x-2).解

：(1)原式=

-

2a3b+a3b2-3a2b2.(2)原式=x2+x+x+1-x2+2x=4x+

1.8.先化簡，再求值：(a-b)(a+

2b)-(3a+b)(a-3b),其中a

=

-

2,b=-1.解：原式=a2+2ab-ab-2b2-(3a2-9ab+ab-3b2

)

=a2+ab-2b2-3a2+8ab+3b2=-2a2+9ab+b2.當

a

=-2,b=-1

時，原式

=-2×(一2)2+9×(一2)×(-1)+(-1)2=-8+18+1=11.曰

·當堂小結單項式乘多項式

轉化

單項式乘單項式轉化多項式乘多項式(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn多項式

的乘法1.3

乘法公式第1課時

平方差公式第

一

章

整

式

的

乘

除學習目標1.經(jīng)歷探索平方差公式的過程，進一步發(fā)展學生的符號意識和

推理能力，會推導平方差公式，并能運用公式進行簡單的計

算和推理；2.通過實例，了解平方差公式的幾何背景，會運用平方差公式

進行一些簡便運算；3.通過觀察圖形的拼接，驗證平方差公式，了解平方差公式的

幾何背景，發(fā)展幾何直觀，從中體會數(shù)形結合的數(shù)學思想.重點：

理解并掌握平方差公式的推導和應用.難點：掌握平方差公式的結構特征，能靈活運用公式進行計算.計

算

：(x+1

y

-

5)=

xy-5x+y-5(x+1)(x-5)=

x2-5x+x-5=x2-4x-5;(x+1)(x-1)=x2-x+x-1=x2-1思考：積為何從四項變成三項又變?yōu)閮身?知識鏈接情境導入繪畫課上，靈靈向新新借了一張邊長為a

cm

的

正方形彩紙.

幾天后還了一張寬為(a-4)cm,長為(a+4)cm

的長方形彩紙.兩張彩紙面積相等嗎?(a-(a+解：原正方形彩紙面積為a2還的彩紙面積：(a+4)(a-4)=a2-4a+4a-42=a2-42答：兩張彩紙面積不相等.有什么

特點?算一算：①(x+2)(x2);②

1+Ba)(1

3a);③

(x+5y)

(x

-5y);④

(2y+z2y

z)

·兩數(shù)的

和

兩數(shù)的差x2-4

x2221-9a2=

12-

(3a)2x2-25y2

x

2

-

K5y)24y2-z2=(2y)+z2兩數(shù)平方的差曰

··

探究新知1

|

平方差公式的認識觀察相乘的兩個多項式有什么特點?

最終結果又有什么特點?前一項相同項，后一項互為相反數(shù)(也可從加減

法的角度理解).最終結果有兩項，是乘式中兩項的

平方差，即(相同項)2-(互為相反數(shù)的數(shù))2.追問1:為什么具備這些特點的兩個二項式相乘，

積會是二項式?

有的積相加為0.知識要點追問2:能否描述你們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律?(分別從文字語言

和符號語言角度引導)平方差公式：文字語言：兩個數(shù)的和×兩個數(shù)的差=這兩個數(shù)的平方差.

符號語言：

(a+b)(a-b)=a2-b2

.

-b

-ab+ab-b2

=

a2-b2。代a2證(a-b)(a+b)aba2—b2(1+x)(1-x)1X12—x2(-3+a)(-3-a)-3a(-3)2-a2(1+a)(-1+a)a1a2-12(0.3x-1)(1+0.3x)0.3x1(0.3x)2-12填一填典例精析例1利用平方差公式計算：(1)(5+6x)(5-6x);

(2)(x-2y)(x+2y);(3)(-m+n)(-m-n).相反看作b解：(1)⑤+

6x⑤-6x)=52-(6x)2=25-36x2.相同看作a(2)原式=x2-(2y)2=x2-4y2

.(3)原式=(-m)2-n2=m2-n2

.應用平方差公式計算時，應注意：(1)觀察該運算是否符合平方差公式(兩個多項式

中的各項，除符號外是否完全相同);(2)符號相同看作a,

符號相反看作b,

套用公式.歸納總結典例精析例2

利用平方差公式計算：(2)原式=(ab)2-82=a2b2-64.(2)(ab+8)(ab-8).解：(1)原練一練利用平方差公式計算：(1)(-

7m+8n)(-8n-7m);(2)(x-2)(x+2)(x2+4).解：(1)原式=(-7m)2-(8n)2=49m2—64n2.(2)原式=(x2-4)(x2+4)=x?—16.想一想回答下列各題：I

(-

a+b)a+b)=b2-a2(2)(a-b)b+a)=a2-b2(3)(

-a-bN-a+b)=

a2-b2(4)(a

-

bK-a-b)=

b2-a2_典例精析例3

先化簡，再求值：(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x)

,其中x=1,y=2.解：(2x-y)(v+2x)-(2y+x)(2y-x)=4x2-y2-(4y2-x2)=4x2-y2-4y2+x2=5x2-5y2

.當x=1,y=2時，原式=5×12-5×22=-15.2

平方差公式的幾何驗證

如

圖①,邊長為a

的大正方形中有一個邊長為b

的小正方形.(1)請表示圖①中陰影部分的面積.a2-b2圖①(2)小穎將陰影部分拼成了一個長方形(如圖②),這個

長方形的長和寬分別是多少?你能表示出它的面積嗎?圖②中長：a+b,寬

：a-b,面積：(a+b)(a-b).證

一

證

：

-b→

圖②經(jīng)過以上求面積的過程，你能驗證平方差公式嗎?(a+b)(a-b)=a2—b2合作探究還有其他的幾何方法解釋嗎?a+ba-b算一算!b

bia-ba

aaa-ba(1)10

3×97;解：103×97=(100+3)(100-3)=1002-32=10000—9=9991.(2)118×122.解：118×122=(120-2)(120+2)=1202-22=14400-4=14396.典例精析例1

用平方差公式進行計算：注意：不能直接應用公式的，要經(jīng)過變形才可以應用.典例精析例2

計算：(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2;(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3).解：(1)原式=a2(a2-b2)+a2b2=a?-a2b2+a2b2=a?.(2)原式=(2x)2-25-(4x2-6x)=4x2-25-4x2+6x=6x-25.7×9=

63

11×13=143

_

79×81=63998×8=64

12×12=

14480×80=6400(2)從以上的過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?(3)請用字母表示這一規(guī)律，你能說明它的正確性嗎?a+1)(a-1)=a2-1自主探究想一想：(1)計算下列各式，并觀察他們的共同特點：典例精析例3王大伯家把一塊邊長為a

米的正方形土地租給了鄰居李大媽.

今年王大伯對李大媽說：“我把這塊地

一邊減少4米，另外一邊增加4米，繼續(xù)原價租給你，

你看如何?”李大媽一聽，就答應了.你認為李大媽

吃虧了嗎?為什么?解：李大媽吃虧了.理由如下：原正方形的面積為a2,改變邊長后面積為(a+4)(a-4)=a2-16.因為a2>a2-

16,所以李大媽吃虧了.曰

··

當堂練習一、平方差公式的認識一、選擇題1.計算(

x+2y)(x-2y)

的結果是

(

B

)A.x2-2y2

B.x2-4y2

C.2y2-x2

D.4y2-x22.

下列多項式的乘法中，不能運用平方差公式計算的是

(

B

)A.(a

+1)(a-1)B.(2x-3)(-2x+3) D.(3m-2n)(-3m-2n)3.若M(2x-5y)=4x2-25y2,則

M

表示的式子為(

D)A.(-2x+5y)

B.(2x-5y)C.(

-2y-5x)

D.(2x+5y)二、填空題4.計

算

：(

))(

-

1n)

x

)=

n

-

-

.5.若x-y=

4,x+y=7,

則x2-y2=

28m2;n21m(x2(1三

、

解

答

題6.

計

算

：(1)(

一c+ab)(

一

c-ab);解：(1)原式=(一c)2-(ab)2=c2—a2b2.7.先化簡，再求值：(2x-3y)(

3y+2x)

一(4y-3x)(3x+4y),

其中x