北師大版七年級下冊數學(新教材)全冊教學課件第

一

章

整

式

的

乘

除1

冪的乘除

第1課時同底數冪的乘法學習目標1.經歷探索同底數冪乘法運算性質的過程，進一步體會冪運

算的意義及類比、歸納等方法的應用，發展運算能力和有條

理的表達能力.2.了解同底數冪乘法的運算性質，并能解決一些實際問題.3.從數的相應運算入手，類比過渡到式的運算，從中探索、

歸納式的運算法則，使新的運算規律自然而然地同化到原有

的知識之中，使原有的知識得到擴充、發展.重點

：理解并掌握同底數冪的乘法法則.難

點

：能夠運用同底數冪的乘法法則進行相關計算.知識鏈接1015是有理數的什么運算?其中10叫什么數?1

5

叫什么數?根據乘方的定義怎樣計算107×108?底數指數10×10×

…

×10×10=

101515個10相乘乘方運算—冪情境導入2024年4月25日，神舟十八號載人飛船發射取

得

成

功

，我國航天工程進入新的階段.飛船的飛行速

度約為7.9×103米/秒，若以此速度飛行104秒，問

飛船飛行了多少米?(用科學記數法表示)解：7.9×103×10?=7.9×(103×104).想一想：103×104等于多少呢?曰

··

探究新知1

同底數冪相乘嘗試與思考計算下列各式：(1)103×10?;(2)a3×a?;(3)10m×10n(m,n

都是正整數).

你發現了什么?合作探究1.完成計算并說出每一步的依據：(1)103×10?

(冪的形式)=(10×10×10)×(10×10×10×10)(3個10)

(4個10)(依據：

乘方的意義=

10×10×…×10

(積的形式)(7個10)(依據：乘法的結合律)=107

(依據：乘方的意義)(冪的形式)(2)a3

·a?=(

a

·a

·a

×(a

·a

·a

·a)=

a

·a

·a

·a

·a

·a

·a

=

a?(3)10m×10n=(10×10×…×10_)×(10×10×…

×10)(m

、n是正整數)

m

個10

n

個10=

10×10×…×10m+n

個

1

0=

10m+n注意觀察：計算前后，

底數和指數有何變化?嘗試與思考秒

等于什么?(

3)"×(

3)"呢?(m,n

都是正整數)解：

-

…

創=[(-3)×(-3)×…×(-3)]×[(-3)×(-3)×…×(-3)]m個-3

=(

-

3)m+n創

…n

個

，(-3)"×(-3)"m個n個-3”“疆棱m+n-am.a"

=(a·a·…·a)·(a·a…·a)

((乘方的意義)(m個a)

(n

個a)=a·a·...·a

(乘法的結合律)(m+n

個a)=a(m+n).

(乘方的意義)3.參考以上計算過程，嘗試計算am

·an(m、n是正整數).試一試追問

1:

比較以上計算結果與原式，底數和指數分別有什么規律?底數不變，指數相加.追問2:

如何能用數學符號語言表達其中的規律?am·an=am+n(m

、n

都是正整數).追問3:

在探究過程中，體會到了什么數學思想方法?類比思想、轉化思想(把未知問題轉化為已知問題)、特殊到一般思想.知識要點同底數冪的乘法運算法則：

am·an=am

+n(m,n

都是正整數)

.文字說明：同底數冪相乘，底數不變

，指數相加例

1

計算：(1)(-3)?×(-3)6;(3)-x3·x?;解：(1)原式=(-3)7+6=(-3)13.(2)原式=

1"=

1

11(3)

原式=-x3+5=-x8.(4)原式-b2m+2m+1=b4m+1.13(2)囅

忐(4)b2m·b2m+1.提醒：計算同底數

冪的乘法時，要注

意算式里面的負號

是屬于冪的還是屬

于底數的.典例精析(4)x2·x2=2x?(

×

)(

√

)(

√)對于計算出錯的題目，你能分析出錯的原因嗎?試試看!判一判判

斷

正

誤

(

正確的打“

√

”,錯誤的打“×”

):(1)x?·x?=x24(×)(2)x·x3=x3(×)(3)x?+x?=x?

(

×

)(5)(

一x)2

·(

一x)3=

(一x)?(6)a2·a3-a3·a2=0(7)x3·y?=(xy)?(

×

)`(8)k?+x?=x14(×

)思考與交流類比同底數冪的乘法公式

am

·an=am

+n(m、n

都是正整數),

a·a?·a3=

a?·a3=a10.想一想：當三個或三個以上同底數冪相乘時，是否也具有這一性質呢?用字母表示a"

·a"

·

α等于什么呢?a"·a".aP=am+n+P(m

、n

、p

都是正整數).(2)

;(4)(a+b)2·(a+b)3;(6)mn-2·m3n+1.(2)原式(4)原式=(a+b)?

.(6)原式=m?-1(1)6?

·66;(3)x?

·

x?;(5)y·y2·y?;解：(1)原式=611.(3)原式=x?

.(5)原式=y?

.注

意

：底

數a既可以是單項式，也可以是多項式；指數可以用數字表示，也可以用字母和代數式表示.練一練計算下列各式，結果用冪的形式表示.2同

底數冪的乘法法則的運用例2

光在真空中的速度約為3×108m/s,太陽光照射到地球上大約需要5×102s.

地球距離太陽大約有多遠?解：3×108×5×102=15×1010=1.5×1011(m).答：地球距離太陽大約有1.5×1011m.曰

當堂練習一

、選擇題1.計算xs·x?的值為(

B

)A.x?

B.x10C.x25

D.2x52.下列計算正確的是(

B

)A.a2·a3=a6

B.y?·y=y?C.b3·b3=2b3

D.x?+x?=x103.若am=3,an=4,則

am+n的值為(

B

)A.7

B.12C.9D.81二、填空題4

.計算

：(1)-5

·52=

-125(2)(-x)3·(-x)2=

(-x)?

;(3)y2

·y

·y=

y?5

若xn-2·xn=x2,則

n=2解：原式

(2

)

y·(

一y)2·y3

.解

：原

式=y6.三、解答題

6.

計算：(1)●103×10?=107a3·a?=a710m×10n=10m+n↓am·an=am+n當堂小結底

數

指

數找規律猜想并證明性質：同底數冪相乘，底數不變，指數相加數數

式式數

式

數

式步

一

般

化一般特殊逐1

冪的乘除第2課時冪的乘方第一章

整式的乘除學習目標1.經歷探索冪的乘方的運算性質的過程，進一步體會冪運

算的意義及類比、歸納等方法的作用，發展運算能力和

有條理的思考和表達能力.2.了解冪的乘方的運算性質，并能解決一些實際問題.3.從數的相應運算入手，類比過渡到式的運算，從中探索、歸納式的運算法則，使新的運算規律自然而然地同

化到原有的知識之中，使原有的知識得到擴充、發展.重點

理解并掌握冪的乘方法則.難

點

：掌握冪的乘方法則的推導過程并能靈活運用.曰

知識鏈接我們知道a

·a

·a

·a

可以寫成a?

,那么類似的a2·a2·a2·a2

可以寫成什么?地球、木星、太陽可以近似地看作是球體.木星、太陽的半徑分別約是地球的10倍和102倍，它們的

體積分別約是地球的多少倍?其中

V

是球的體積，r

是球的半徑.你知道(102)3等于多少嗎?情境導入(1)(32)3=32×32×32=32+2+2=36.=

32×3(

2)(a2)3=a2×a2×a2=a2+2+2

=a?

.

=a2×3(3)(am)3=

am

×

am

am=am+m+m=a3m.

=am×3議一議：觀察計算結果你能發現什么規律?底數不變，指數相乘.追問：你能用符號表示你發現的規律嗎?(am)"=amn.計算下列各式，并說明理由.探究新知冪的乘方法則合作探究你能證明你的猜想嗎?一般地，對于任意底數a

與任意正整數m,n,=amn.知識要點冪的乘方法則不變

，指數相

乘文字說明：冪的乘方，底數運算法則：(am)n=amn(m,n都是正整數)

.解：(1)(102)3=102×3=106.

(2)(b?)?=b5×5=b25.(3)(an)3=an×3=a3n.

(4)一(x2)m=-x2×m=-x2m.(5)(v2)3·y=y2×3·y=y?·y=y?

.(6)2(a2)?-(a3)?=2a2×6—a3×4=2a12-a12=a12.注意：一定不要將冪的乘方與同底數冪的乘法混淆例1計算：(1)(102)3;(4)一(x2)m;(3)(an)3;(6)2(a2)?-(a3)?(2)(b?)?;(5)(v2)3·y;判一判判斷對錯：(1)(a")"

=

am+".(2)a2x?=a1?

.(3)-(a2)1?=-a2?.32(4)

-籍(5)(b”+1)2=b2n+1.(6)[(x+y)3}·(x+y)=(x+y)?.2(

×

)

(

×

)

(

√

)(

×

)(

×

)

(

√

)典例精析例2

已知

am=2,an=3.

求

：(1)a2m,a

3n的值；(2)am+n

的值；3)a2m

+3n

的值

.解

：(1)

a2m=(am)2=22=4,a3n=(an)3=33=27.(2)am+n=am·an=2×3=6.(3)a2m+3n=a2m·a3n=4×27=108.方法總結：

本題考查了冪的乘方的逆用及同底數冪

的乘法，整體代入求解也比較關鍵.回顧導入1.a2·a2·a2·a2

可以寫成什么?2.地球、木星、太陽可以近似地看作是球體.木

星、太陽的半徑分別約是地球的10倍和102倍，它們的體積分別約是地球的多少倍?木星體積是地球體積的太陽體積是地球體積的a2·a2·a2·a2=(a2)?=a?.倍倍拓展提升已知a

=355,b=444,c=533,

試比較a,b

,c

的大小

.解

：a=355=(35)l=2431,b=444=(44)1=25611,c=533=(53)l1=12511..256>243>125,∴b>a>c.一、選擇題1.計算(a5)?的結果是

(

D

)A.

4a?

B.5a?C.a?D.a202.

下列計算正確的是

(

D

)A.(a3)2=a?

B.(a2)3=a?C.a3+a3=a?

D.(a?)2=a?當堂練習正方體的體積是(1-2

b)?4.若ax=3,

則(a2)x=9

.三、解答題5.

計算：(1)

(2)(y4)2+(v2)3·y2

解

：(1)

原

(2)原式=y?+y?=2y?

.二

、填空題3.如果某個正方體的棱長是(1-2b)3,

那么這個■(am)"=amn(m,n

都是正整數)冪的乘方，底數不變，指數相乘冪的乘方與同底數冪的乘法的區

別

：(am)"=amn,am

·an=am+n冪的乘方法則的逆用：法則冪的乘方注意曰

·

當堂小結amn=(am)n=(an)m1

冪的乘除第3課時積的乘方第一章整式的乘除學習目標1.經歷探索積的乘方的運算性質的過程，進一步體會冪運

算的意義及類比、歸納等方法的作用，發展運算能力和

有條理的思考和表達能力.2.了解積的乘方的運算性質，并能解決實際問題.3.從數的相應運算入手，類比過渡到式的運算，從中探索、歸納式的運算法則，使新的運算規律自然而然地同

化到原有的知識之中，使原有的知識得到擴充、發展.重

點

：理解并掌握積的乘方的運算法則.難點：掌握積的乘方的推導過程，并能靈活運用.2.(1)

同底數冪的乘法：am

·an=

am+n

(m,n都是

正整數).(

2)冪的乘方：(am)"=a

mn_

(m,n都是正整數)

.1.計算：(1)

10×102×103=

106

_

;(2)(x?)2=

x10.知識鏈接地球可以近似地看作是球體，地球的半徑約為6×103千米，它的體積大約是多少立方千米?,

其

中

V

是球的

體積，r是球的半徑.那么,(6×103)3=?情境導入曰

··

探究新知冪的乘方法則合作探究1.計算下列各式，并說出每一步的依據：(3×5)2=(3×5)×(3×5)

乘方的意義=(3×3)×(5×5)——(

乘法交換律、結合律)=

32×52同底數冪的乘法(2×5)2

(xy)?((

52))××(

))

(

x·(

))

(

·(

))=

22×52yyxyy)vy··xxyxx(xy)555222乘方，再把所得的冪相乘.追問

：你能用符號表示你發現的規律【(ab)"=an·bn(n為

正

整

數

).議一議：觀察計算結果你能發現什么規律?積的乘方，等于把積的每一個因式分別2.按照以上方法，完成填空：你能證明這

個猜測嗎?■

■=

(a

a…·a)·(b·b

…·b)(乘法的交換律、n

個a

n

個b

結合律)=anbn.

(同底數冪的乘法)證一證一般地，對于任意底數a,b與任意正整數n,(乘方的意義)知識要點積的乘方法則運算法則：(ab)n=anbn

(n

是正整數).文字說明：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方

,再把所得的冪

相乘追問：

三個或三個以上因式積的乘方，是否依舊具有

這樣的運算性質?(abc)n=an·bn·c(n為正整數).典例精析例1

計算：(1)(3x)2;(2)(-2b)?;

(3)(-2xy)?;(4)(3a2)".解：(1)原式=(3x)

·

(3x)=(3×3)

·

(x

·x)=32x2=9x2

.(2)原式=(-2b)·

(-2b)

·

(-2b)

·

(-2b)

·

(-2b)=[(-

2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)]·(b·b·b·b·b)

=

(-

2)sb?=-32b5.(4)原式=3n(a2)n=3na2n.注意：(1)在運用積的乘方法則時，要注意積的每

一項都要乘方，不要遺漏任一項.(2)解題時先確定系數(包括正確確定它們的符號),

再確定每個字母的指數.(3)含有“—”號的字母底數看成-1乘以這個字母，

再運用積的乘方法則.(3)(-2xy)?;(4)(3a2)n.(3)原式=(-2)?

x?y?=16x4y?

.例2

填空：(1)a3b?=(ab2)3;(2)36

x6y10=(

±6x3y5

)2

.

例3

計算：)

×2202420242024解：原式=12024=1.冪的乘方的運算法則逆用同底數冪的乘法運算法則逆用積的乘方的運算法則提示：可利用

簡化運算210逆用冪的乘方的運算法則拓展提升計

算

：解：原式=2108創28

228籍創2

22

=4贛贛210.24二an.bn=

(ab)"

am+n

=am·anamn

=(am)n◆作

用

：可使運算更加簡便快捷!冪的運算法則的逆用知識要點回顧導入那

么

,(6×103)3=?(6×103)3=63×(103)3=216×109

=2.16×1011一

、選擇題1.計算(ab)2

的結果是

(C)A.2

ab

B.a2b

C.a2b22.

下列計算正確的是

(

D

)A.(xy)3=xy3B.

(2xy)3=2x3y3C.

(

一

2x3)3=-6x?D.(

一xy2)?=x?y?當堂練習3.

計算

·510的結果是

(

C

)A.

B.5

C.1

D.520二

、填空題4.

計

算

：(1)-(3m2nh3)2=

-9m?n2h?(2)(2×102)3×(-10)2=

8×1085.若(ambn)2=a?b?,則

m=4,n=3三、解答題6.若xn

=2,yn=3,

求(xy)n與(x3y3)n的值.解：∵xn=2,yn=3,∴(xy)"=x"yn

=2×3=6,(x3y3)"=x3n·y3n=(x)3(yn)3=23×33=216.am

·

an=am+n,(am)"=amn,(ab)n=a"bn(m,n

都是正整數)am+n=am·an,amn=(am)n,運用積的乘方法則時要注意：公式中

的a、b

代表任何代數式；每一個因式都要“乘方”;注意結果的

符號、冪的指數及其逆向運用(混合

運算要注意運算順序)曰

·當堂小結法則an·bn=(ab)n:可使某些計算簡捷逆

用注

意冪的運

算法則第

一章整式的乘除1

冪的乘除第4課時

同底數冪的除法學習目標1.經歷探索同底數冪除法運算性質的過程，進一步體會冪運算的意義

及類比、歸納等方法的作用，發展運算能力和有條理的表達能力；2.

了解同底數冪的除法的運算性質，會進行同底數冪的除法，并能解

決一些實際問題；3.通過對整式的除法運算法則學習，在經歷猜想、驗證、歸納的學習過

程中，體會歸納的數學思想方法，逐步養成用數學語言表達與交流

的習慣，感悟數據的意義與價值.重

點

：1.理解零次冪和負整數指數冪的意義，并能進行負整數指數冪的運算；2.會用同底數冪的除法法則進行計算.難點

：理解冪的除法運算并在運算中體會轉化的思想.這兩個問題都是已知積和其中一個因式，求另一個因式

，你想到該如何計算了嗎?(1)102×103=(2)a?·a?=

曰

知識鏈接計

算

：(1)102×103=(2)a?

·a?

=(3)

am·an=填空：(1)

102(2)a?

·am+n

(m,n×103=105a?

=a910?

_

;a?

;都是正整數).情境導入一種液體每升含有1012個有害細菌，為了試驗某種殺菌劑的效果，科學家們進行了實驗，發現1滴殺

菌劑可以殺死109個此種細菌.要將1升液體中的有害細菌全部殺死，需要這種殺菌劑多少滴?我們觀察可以發現，1012和109這兩個冪的底數相同，是同底數的冪的形式.所以我們把1012

÷109這種運算叫作同底數冪的除法.(1)怎樣列式?1012÷109.(2)

觀察這個算式，它有何特點?計算下列各式，并說明理由(m>n).(1)1012÷10?;

(2)10m÷10";(3)(-3)"÷(-3)".10創010創010創010創010創101010(1)1012÷109

二10創010創010創010創010=1000=103l

同底數冪的除法曰

··

探究新知嘗試思考…

10=10X10X…X10…

101

0m個(-3)(-3)2

3)創.

(

3)3)

?

3)

創。(-3)(m-n)個(-3)

n個(-3)≠(一3)×(一3)×

·

·

.

×(一3)=(-3)"-nn

個=10m-n(3)(-3)"÷(-3)"m個10

(m-n)個10(2)10"÷10"=10創1010創0合作探究提

問：觀察上面算式，底數有什么特點?底數相同.追問1

:

上面算式中，等號左邊是什么運算?除法運算追問2:

等號左右兩邊的指數有什么關系?等號右邊的指數等于等號左邊指數相減.議一議：總結一下你發現了什么規律，能否用符號語言表示出來?小組討論得出結論.am÷an=am-n(m>n).運算法則：am÷an=am-"(a≠0,m,n

是正整數，且m>n).文字說明：同底數冪相除，底數不變

，指數相減證一證：你能證明你們發現的猜想嗎?例1

計算：(1)a?÷a?;

(2)(-x)?÷(—x)3;(3)(xy)?÷(xy);(4)b2m+2÷b2

.解：(1)a?÷a?=a7-4=a3

.(2)(-x)?÷(-x)3=(-x)?-3=(-x)3=-x3.(3)(xy)?÷(xy)=(xy)?-

1=(xy)3=x3y3

.(4)b2m+2÷b2=b2m+2-2=b2m

同底數冪的除法可以逆用：

am-n=am÷an.

(1)am-n的值；(2)

a3m-3n的值

.解：(1)am-n=am÷an=8÷5=1.6

.(2)a3m-3n=a3m÷a3n這種思維叫作

逆向思維(逆

用運算性質).=(am)3÷(an)3=83÷53=512÷125已知：am=8,an=5.

求：2

零次冪與負整數次冪合作探究假設把am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整數，m>n)中的m>n

這個條件去掉，那在什么條件下am÷an=am-n還成立?思考交流(1)計算：23÷

23,23÷2?

,

a3÷a3,a3÷a?

.(2)假設m=n或

m<n

時

，am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整數)仍然成立，那么(1)中各式的結果用冪的形式又該如何表示?23÷23,23÷2?,a3÷a3,a3÷a?23÷23=23-3=20

23÷2?=23-5=2-2a3÷a3=a3-

3=a?

a3÷a?=a3-5=a-223÷23=23-3=2°23÷2?=23-?=2-2a3÷a3=a3-

3=a?a3÷a?=a3-?=a-2(3)比較(1)(2)各式的對應結果，你有什么發現?與同伴進行交流.23÷23=1a3÷a3=1有了這個規定后，已學過的同底數冪的乘法和除法運算性質中的m,n就從正整數擴大到全體整數了，即am

a"=am+n,am÷an=am-n(a≠0,m,n是

整數)知識要點我們規定：a”

(a≠0,p即任何不等于零的數的零次冪都等于1.即用

a-P表

示aP

的倒數.(a1

0).是正整數).(3)1.6×10-?=1.

.6×0.0001=0.00016

.n歸納總結

(a≠0,

n是整數).典例精析例2

用小數或分數表示下列各數：(1)10-3;

(2)7?×8-2;

(3)1.6×10-4解

：(2)例3

計算：(1)7-3÷7?

;

(2)a-?÷a?;(3)3?÷3-3.

(4)(bc)-?÷(bc)-8解：(1)7-3÷7-?=7-3-(-5)=72

.(2)a-?÷a?=a-4-6=a-10.(3)3?÷3-3=30-(-3)=33.(4)(bc)-?÷(bc)-8=(bc)-4-(-8)=(bc)?=b

?c?

.3用科學記數法表示絕對值小于1的數寫

一

寫

：(3)1×10-3=(103

)=(

0.001

);(4)1×

10-3=(

10?)=(

0.0001

);議一議：指數與運算結果的0的個數有什么關系?合作探究指數與運算結果的0的個數的關系：0.00···01=1×10-"n'個0一般地，1前面有n

個0就是10的

-n

次冪.10的

-n

次冪，在1前面有

n個0

.例如：0.000052=

5.2×10-5科學記數法表示較小的數：一個小于1的正數可以

表示為a×10-n

的形式，其中1≤a<10,n是負整數.用科學記數法表示一些絕對值小于1的數的方法：利用10的負整數次冪，可以把一個絕對值小于1的數表示成a×10-n的形式，其中n

是正整數，1≤|a|<10,n

等于原數第一個非零數字前所有零的個數

(特別注意：包括小數點前面那個零)知識要點大于-1的負數也可以用類似的方法表示.

如

：-0.00000256=

-2.56×10-6典例精析例4實驗表明，人體內某細胞的形狀可以近似

地看成球狀，并且它的直徑為0.00000156m,

則這個數可用科學記數法表示為(

C

)A.0.156×10-5mB.0.156×105mC.1.56×10-6

mD

.1.56×106

m練一練1.用科學記數法表示下列各數：(1)0.0000000001;(2)0.0000000000029;(3)0.000000001295;解：(1)0.0000000001=1×10-10.(2)0.0000000000029=2.9×10-12.(3)0.000000001295=1.295×10-9.練一練2.

(南充校考)中國科學技術大學完成的“祖沖之二號”和“九章二號”量子計算優越性實驗入選國際物理學十

大進展.人們發現全球目前最快的超級計算機用時2

.3秒

的計算量，

“祖沖之二號”大約用時僅為0.00000023秒，將數字0.00000023用科學記數法表示為(B)A.23×10-8

B.2.3×10-7C.0.23×10-9D.2.3×10-6一、選擇題1

.計算a

?÷a

2的結果是

(

B)A.

a?

B.a?C.a?

D.a22.計算(π-3)°的結果是

(

B

)B.1D.π—3當堂練習3.

用科學記數法表示0.0000907的結果正確的是(

D

)A.9.

1×10-4B.9.1×10-5C.9.0×10-5D.9.07×10-54.若am=15,an=5,

則am-n等于

(A

)B.5D.75二

、填空題5.

(1)若(x-2)?

有意義，則x

≠2

;2)已知

am÷a?=a2,

則m=

7

.6.已知0.003×0.005=1.5×10n,則n

的值是

-5解

：(1)原式=

-a?÷a?=-a3

.(2)

三

、

解

答

題7.計算：(1)(-a)?÷a?;(2)曰

當堂小結1.同底數冪的除法法則：同底數冪相除，底數不

變，指數相減.(a≠0,

m、n

為任意整數).2.任何不等于零的數的零次冪都等于1.a?=1(a1

0).n3.

負整數指數冪：

(a≠0,n

為正整數).利用10的負整數次冪，我們可以用科學記數法表示一些絕對值較小的數，即將它們表示成a×10-n的形式，其中n

是正整數，1≤|a|<10.

這里用科學

記數法表示時，關鍵是掌握其中的規律：0.00…·01=10?"(n

為正整數).n

個0第

一

章

整

式

的

乘

除2

整式的乘法第1課時單項式與單項式相乘三

學習目標1.經歷探索整式乘法運算法則的過程，進一步體會類比方

法的作用，以及乘法交換律、結合律在整式乘法運算中

的作用

；2.能借助圖形解釋整式乘法的法則，發展幾何直觀；3.能進行簡單的整式乘法運算，發展運算能力.重點：復習冪的運算性質，探究并掌握單項式乘以單項式

的運算法則.難點

，能夠熟練運用單項式乘以單項式的運算法則進行計

算并解決實際問題.曰

·知識鏈接1.什么是單項式?由數和字母的積組成的代數式叫作單項式，單獨的一個數或一個字母也叫作單項式.2.前面學習了哪些冪的運算?運算法則分別是什么?am×an=am+n

(am)n=amnam÷a"=am-n二

探究新知單項式與單項式相乘問

題

：天安門廣場位于北京市中心，呈南北向為長，

東西向為寬的長方形，其面積之大在世界上首屈可指，小王想估計天安門廣場的面積，先從南走到北，

記下所走的步數為1100步，再從東走到西，記下所走的步數為625步.(1)如果小王的步長用a(m)

表示，你

能用含a的代數式表示廣場的面積嗎?1100a×625a

62

5步1100步(2)假設小王的步長為0.8m,怎么

表示并計算出廣場的面積?方法一：原式=880×500=440000(m2)方法二：原式=(1100×625)×0.8×0.=440000(m2)思考：類比上述方法計算1100a·625a.1100步625步8議一議1100a·625a=

(1100×625)×(a×a)=687500a2單項式×單項式系數相乘同底數冪相乘通過以上經驗，你能總結出單項式乘單項式的運算

法則嗎?小組討論得出結果.單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字

母的冪分別相乘.=-a2b3c字母c

的字母及指數不變，作為積的因式.請某同學將單項式乘單項式的乘法法則補充完整.追問：計

7

如何處理字母c?單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數不變，作為積的因式.注意：(1)系數相乘；(2)相同字母的冪相乘；(3)其余字母連同它的指數不變，作為積的因式.知識要點單項式與單項式的乘法法則解：(1)原例

計

算

：(1)

;

(2)-2a2b3·(-3a);(2)原式=[(-2)×(-3)]·(a2

·a)

·b3=6a3b3.(

3

)

原

式

=

7xy2z·4x2y2z2=(7×4)·(x·x2)·v2·y2)·(z·z2)=28x3y4z3.原

·(a·a2·a)·(b·b)·(c

·

c3)=2a?b2c?

.追問1:

當系數為負數時應當注意什么?先確定符號.先乘方，后乘除.追問2:

運算中有乘方和乘除的混合運算時，

運算順序如何?方法總結有乘方運算的要先算乘方；單×單=(系數×系數)×(同底數冪相乘)×(單獨的冪)單項式乘單項式中的“一、二、三”:一個不變：

單項式與單項式相乘時，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數不變，作為積的因

式.二個相乘：把各個單項式中的系數、相同字母的冪分

別相乘.三個檢驗：單項式乘單項式的結果是否正確，可從三個方面檢驗：①結果仍是單項式；②若無零次冪出現，則結果含有原式中的所有字母；③結果中每一個字母的指數都等于前面單項式中同一(2)(-2a)3(-3a)2;解：原式=9x2

·4x2

解：原式=-8

a3

·9a2=(9×4)(x2·x2)

=[(-8)×9](a3·a2)

=-72a?.注意：有乘方運算，先算乘方，再算單項式相乘.觀察思考如圖，一幅邊長為am

的正方形風景畫，上下各留有

的空白區域做裝飾，中間畫面的面積是多少平方米?解：中間畫面的寬為：中間畫面的面積為：方法總結：掌握長方形的面積公式和單項式乘單項式

的法則是解題的關鍵.練一練2.有一塊長為xm,寬為ym

的長方形空地，現在

要在這塊地中規劃一塊長

寬

的長方形

空地用于綠化，求綠化的面積和剩下的面積.解：長方形的面積是xy

m2,

綠化的面積是

下的面積3.已知-2x3m+1y2n與

7x?m-3y?n-4

的

積

與x?y是同類項，求m2+n

的值

.解

：

因

為

-

2x3m+1y2n與7x5m-3y?n-4

的

積

與x?y

是同類項，所以2n+5n-4=1,3m+1+5m-3=4.解得所以當堂練習一、選擇題1.計

算

2a3·a2b的結果是(

B

)A.2ab

B.2a?bC.2a?bD.2a?b2.計算2x2

·

(-3x3)的結果是(

A

)A.

一6x?

B.6x?C.5x?

D.-5x?3.

一種計算機每秒可做4×108次運算，它工作

3×103秒運算的次數為

(

B

)A.12×1024

B.1.2×1012C.12×1012

D.12×1085.若mx?

·4xk=12x12,則m=3

,k=

86.某三角形的一邊長為4ab,此邊上的高為,則

它的面積為

a3b二

、填空題

4.計算：(2)2xy·(-3xy3)=

-6x2y?三

、解答題7.計

算

：(1?ay(

-6x)A);(2)2m2n(-3mm}p;(3)-8a2b

·

;(4)(2xry)}2(-3x)3.y.解：(1)原式=-3x?y3.(2)原式=2m3n·9m2n?=18m?n5.(

3)原式=8

asb3.

(4)原式=4x2y2.

(-27x3)

·y=-108x?y3.實質上是轉化為同底數冪的運算(1)不要出現漏乘現象；(2)有乘方運算，先算乘方，

再將單項式相乘.曰··

當堂小結單項式乘

單

項

式單項式與單項式相乘注

意第

一

章

整式

的乘

除1.2整式的乘法

第2課時多項式的乘法學習目標1.經歷探索整式乘法運算法則的過程，進一步體會類

比方法的作用，以及乘法分配律在整式乘法運算中

的作用；2.能借助圖形解釋整式乘法的法則，發展幾何直觀；3.能進行簡單的整式乘法運算，發展運算能力.重點：理解單項式乘多項式、多項式乘以多項式的運算

法

則.難

點：能夠熟練運用單項式乘多項式、多項式乘多項式的運算法則進行計算并解決實際問題.(1

;

(2)5x3y

·

(-3xy)2.解：1)原

(2

)

原式

=

5x3y

·9x2y2=45x?y3.單項式與單項式相乘2.

計

算

：知識鏈接1.單項式乘單項式的實質是什么?轉化乘法交換律

和結合律有理數的乘法與同底數冪的乘法情境導入我們可以根據有理數乘法的分配律進行計算

那么怎樣計算2x

·

(3x2-2x+1)呢?

(2x+1)(

3x2-2x+1)

呢?6+4+3問題

：寧寧作了一幅畫，所用紙的大小如圖所示，她在紙的

左、右兩邊各留了。xm的空白，8怎樣用不同形式表示這幅畫的畫面面積?曰

··

探究新知1

單項式乘多項式xm8xmnx

m方式二：也可以用紙的面積減去空白處的面積，由此得到畫面—

nx

m的長與寬，由此得到畫面的面積為x

;的面積為由此你可以得到什么?方式一：可以先表示出畫面一X

m8xmx

m你能用運算律解釋

嗎?乘法分配律

)(單項式乘法法則通過以上經驗，你能總結出單項式乘多項式的運算

法則嗎?小組討論得出結果.單項式與多項式相乘，就是根據分配律用單項

式乘多項式的每一項，再把所得的積相加.單項式與多項式相乘，將單項式分別乘多項式的每一項，再將所得的積相加.p

(a+b+c)

pa

+

pb

十

pC注意：

(1)依據是乘法分配律；(2)結果的項數與原多項式的項數相同.知識要點單項式乘多項式的法則例1

計算：(1)

■解：原式=2ab·5ab2+2ab·3a2b=10a2b3+6a3b2.②

■(3)5m2n(2n+3m-n2);解：原式=5m2n·2n+5m2n·3m+5m2n·(-n2)=10m2n2+15m3n-5m2n3.(4)2(x+y2z+xy2z3)·xyz.解：原式=(2x+2y2z+2xy2z3)

·xyz=2x2yz+2xy3z2+2x2y3z?

.典例精析例2

先化簡，再求值：5a(2a2-

5a+3)-2a2(5a+5)+7a2,其

中a=2.解：5a(2a2-5a+3)-2a2(5a+5)+7a2=10a3-25a2+15a-10a3-10a2+7a2=-28a2+15a,當

a=2

時，原式=-82.方法總結：在計算時要注意先化簡然后再代值計算.

整式的加減運算實際上就是去括號與合并同類項.1

.計算：-2

x2

·

(xy+y2)-5x(x2y-xy2).解

：

原

式

=(

-

2x2)·xy+(-2x2)·y2+(-5x)

·x2y+(-5x)

·

(-xy2)

=-2x3y+(-2x2y2)+(-5x3y)+5x2y2=-7x3y+3x2y2

.注意：(1)將2x2與5x

前面的“—”看成性質符號；(2)單項式與多項式相乘的結果中，應將

同類項

合并.片，如果它的長和寬分別增加a,b,所得長方形

(圖2)的面積怎樣用不同形式表示?nm圖

1

m

圖

2

a你能用不同的形式表示所拼圖的面積嗎?②

多項式乘多項式問題：如圖1是一個長和寬分別為m,n的長方形紙合作探究方法一：用不同的形式表示所拼圖的面積：b

①(m+a)(n+b)②

n(m+a)+b(m+a)n

③

m(n+b)+a(n+b)④

mn+mb+an+abm

a于是得到(m+a)(n+b)=n(m+a)+b(m+a)=

m(n+b)+a(n+b)=mn+mb+an

+ab方法二：把

(m+a)

和

(n+b)看成一個整體，利用乘法分配n律：(m+a)(n+b)=(m+a)n+(m+a)b=mn+mb+an+ab.或(m+a)(n+b)=m(n+b)+a(n+b)=mn+mb+an+ab.你能類比單項式與多項式相乘的法則，敘

述

多項式與多項式相乘的法則嗎?小組討論得出結果.議一議多項式乘多項式多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.追問：以(a+b)(m+n)

為例，能否用字母呈現出多項式與多項式相乘的法則?②①

①

②

③

④(a+b)(m+n)=am+

an+bm+bn典例精析例3計算：(1)(1-x)(0.6-x);(2)(2x

+y)(x-y);解：(1)原式=1×0.6-1×x-x·0.6+x·x=0.6-x-0.6x+x2=0.6-1.6x+x2

.(2)原式=2x

·x-2x

·y+y

·x-y

·y=2x2-2xy+xy-y2=2x2-xy-y2

.(3)(x+y)(x2-xy+y2).解：原式=x·x2-x·xy+xy2+x2y-xy2+y·y2=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3

.注意：(1)漏乘；(2)符號問題；(3)最后結果應化成最簡形式(是同類項的要合并).觀察思考(1)如圖，一幅邊長為am

的正方形風景畫，

左右各留

的長方形空白區域做裝飾，中

間畫面的面積是多少平方米?解：中間畫面的面積為：(2)如圖，一幅長為a

m、寬為bm

的長方形風景畫，畫面的四周留有空白區域做裝飾，其中四角均是邊長

為xm

的正方形，正中間畫面的面積是多少平方米?X解：中間畫面的面積為：

X(a-2x)(b-2x)=ab-2ax-2bx+4x2.a例4先化簡，再求值：(a-2b)(a2+2ab+4b2)

=a

(a-5b)(a+3b),其中a=-1,b=1.解：原式=

a3-8b3-(a2-5ab)(a+3b)=a3-8b3-a3-3a2b+5a2b+15ab2=-8b3+2a2b+15ab2.當a=-1,b=1時，原式=

-

8+2

-

15=

-

21

.方法總結：化簡求值的題型，一定要注意先化簡，再求值，不能先代值，再計算.當堂練習一

、選擇題1.計算a(a-b)

的結果為

(

C

)A.-

a2-ab

B.—a2+abC.a2-ab

D.a2+ab2.計算(x-5y)(x+4y)

的結果是

(

C

)A.x2-20y2

B.x2-9xy-20y2

c./x2-xy-20y2

D.x2+xy-20y23.若(x+k)(x-4)

的積中不含有x的一次項，則k

的值為(

B

)A.0B.4C.

一4D.2二

、填空題4.

計

算

：(1)(2a-b)·(-2ab)=-4a2b+2ab2

;(2)(a

+1)(b+1)=

ab+a+b+15.(1)當x=3

時

，x(x+1)一x2=3

;(2)若xy=12

,x+y=13,則(x+1)(y+1)

=266.某農戶租兩塊土地種植沃柑.第一塊是邊長為am的正方形，第二塊是長為(a+10)m,寬為(a+5)

m的長方形，則第二塊比第一塊的面積多(15a+50)m2.三、解答題7.計算：(1)-a2b(2a-ab+3b);(2)(x+1)2—x(x-2).解

：(1)原式=

-

2a3b+a3b2-3a2b2.(2)原式=x2+x+x+1-x2+2x=4x+

1.8.先化簡，再求值：(a-b)(a+

2b)-(3a+b)(a-3b),其中a

=

-

2,b=-1.解：原式=a2+2ab-ab-2b2-(3a2-9ab+ab-3b2

)

=a2+ab-2b2-3a2+8ab+3b2=-2a2+9ab+b2.當

a

=-2,b=-1

時，原式

=-2×(一2)2+9×(一2)×(-1)+(-1)2=-8+18+1=11.曰

·當堂小結單項式乘多項式

轉化

單項式乘單項式轉化多項式乘多項式(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn多項式

的乘法1.3

乘法公式第1課時

平方差公式第

一

章

整

式

的

乘

除學習目標1.經歷探索平方差公式的過程，進一步發展學生的符號意識和

推理能力，會推導平方差公式，并能運用公式進行簡單的計

算和推理；2.通過實例，了解平方差公式的幾何背景，會運用平方差公式

進行一些簡便運算；3.通過觀察圖形的拼接，驗證平方差公式，了解平方差公式的

幾何背景，發展幾何直觀，從中體會數形結合的數學思想.重點：

理解并掌握平方差公式的推導和應用.難點：掌握平方差公式的結構特征，能靈活運用公式進行計算.計

算

：(x+1

y

-

5)=

xy-5x+y-5(x+1)(x-5)=

x2-5x+x-5=x2-4x-5;(x+1)(x-1)=x2-x+x-1=x2-1思考：積為何從四項變成三項又變為兩項?知識鏈接情境導入繪畫課上，靈靈向新新借了一張邊長為a

cm

的

正方形彩紙.

幾天后還了一張寬為(a-4)cm,長為(a+4)cm

的長方形彩紙.兩張彩紙面積相等嗎?(a-(a+解：原正方形彩紙面積為a2還的彩紙面積：(a+4)(a-4)=a2-4a+4a-42=a2-42答：兩張彩紙面積不相等.有什么

特點?算一算：①(x+2)(x2);②

1+Ba)(1

3a);③

(x+5y)

(x

-5y);④

(2y+z2y

z)

·兩數的

和

兩數的差x2-4

x2221-9a2=

12-

(3a)2x2-25y2

x

2

-

K5y)24y2-z2=(2y)+z2兩數平方的差曰

··

探究新知1

|

平方差公式的認識觀察相乘的兩個多項式有什么特點?

最終結果又有什么特點?前一項相同項，后一項互為相反數(也可從加減

法的角度理解).最終結果有兩項，是乘式中兩項的

平方差，即(相同項)2-(互為相反數的數)2.追問1:為什么具備這些特點的兩個二項式相乘，

積會是二項式?

有的積相加為0.知識要點追問2:能否描述你們發現的規律?(分別從文字語言

和符號語言角度引導)平方差公式：文字語言：兩個數的和×兩個數的差=這兩個數的平方差.

符號語言：

(a+b)(a-b)=a2-b2

.

-b

-ab+ab-b2

=

a2-b2。代a2證(a-b)(a+b)aba2—b2(1+x)(1-x)1X12—x2(-3+a)(-3-a)-3a(-3)2-a2(1+a)(-1+a)a1a2-12(0.3x-1)(1+0.3x)0.3x1(0.3x)2-12填一填典例精析例1利用平方差公式計算：(1)(5+6x)(5-6x);

(2)(x-2y)(x+2y);(3)(-m+n)(-m-n).相反看作b解：(1)⑤+

6x⑤-6x)=52-(6x)2=25-36x2.相同看作a(2)原式=x2-(2y)2=x2-4y2

.(3)原式=(-m)2-n2=m2-n2

.應用平方差公式計算時，應注意：(1)觀察該運算是否符合平方差公式(兩個多項式

中的各項，除符號外是否完全相同);(2)符號相同看作a,

符號相反看作b,

套用公式.歸納總結典例精析例2

利用平方差公式計算：(2)原式=(ab)2-82=a2b2-64.(2)(ab+8)(ab-8).解：(1)原練一練利用平方差公式計算：(1)(-

7m+8n)(-8n-7m);(2)(x-2)(x+2)(x2+4).解：(1)原式=(-7m)2-(8n)2=49m2—64n2.(2)原式=(x2-4)(x2+4)=x?—16.想一想回答下列各題：I

(-

a+b)a+b)=b2-a2(2)(a-b)b+a)=a2-b2(3)(

-a-bN-a+b)=

a2-b2(4)(a

-

bK-a-b)=

b2-a2_典例精析例3

先化簡，再求值：(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x)

,其中x=1,y=2.解：(2x-y)(v+2x)-(2y+x)(2y-x)=4x2-y2-(4y2-x2)=4x2-y2-4y2+x2=5x2-5y2

.當x=1,y=2時，原式=5×12-5×22=-15.2

平方差公式的幾何驗證

如

圖①,邊長為a

的大正方形中有一個邊長為b

的小正方形.(1)請表示圖①中陰影部分的面積.a2-b2圖①(2)小穎將陰影部分拼成了一個長方形(如圖②),這個

長方形的長和寬分別是多少?你能表示出它的面積嗎?圖②中長：a+b,寬

：a-b,面積：(a+b)(a-b).證

一

證

：

-b→

圖②經過以上求面積的過程，你能驗證平方差公式嗎?(a+b)(a-b)=a2—b2合作探究還有其他的幾何方法解釋嗎?a+ba-b算一算!b

bia-ba

aaa-ba(1)10

3×97;解：103×97=(100+3)(100-3)=1002-32=10000—9=9991.(2)118×122.解：118×122=(120-2)(120+2)=1202-22=14400-4=14396.典例精析例1

用平方差公式進行計算：注意：不能直接應用公式的，要經過變形才可以應用.典例精析例2

計算：(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2;(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3).解：(1)原式=a2(a2-b2)+a2b2=a?-a2b2+a2b2=a?.(2)原式=(2x)2-25-(4x2-6x)=4x2-25-4x2+6x=6x-25.7×9=

63

11×13=143

_

79×81=63998×8=64

12×12=

14480×80=6400(2)從以上的過程中，你發現了什么規律?(3)請用字母表示這一規律，你能說明它的正確性嗎?a+1)(a-1)=a2-1自主探究想一想：(1)計算下列各式，并觀察他們的共同特點：典例精析例3王大伯家把一塊邊長為a

米的正方形土地租給了鄰居李大媽.

今年王大伯對李大媽說：“我把這塊地

一邊減少4米，另外一邊增加4米，繼續原價租給你，

你看如何?”李大媽一聽，就答應了.你認為李大媽

吃虧了嗎?為什么?解：李大媽吃虧了.理由如下：原正方形的面積為a2,改變邊長后面積為(a+4)(a-4)=a2-16.因為a2>a2-

16,所以李大媽吃虧了.曰

··

當堂練習一、平方差公式的認識一、選擇題1.計算(

x+2y)(x-2y)

的結果是

(

B

)A.x2-2y2

B.x2-4y2

C.2y2-x2

D.4y2-x22.

下列多項式的乘法中，不能運用平方差公式計算的是

(

B

)A.(a

+1)(a-1)B.(2x-3)(-2x+3) D.(3m-2n)(-3m-2n)3.若M(2x-5y)=4x2-25y2,則

M

表示的式子為(

D)A.(-2x+5y)

B.(2x-5y)C.(

-2y-5x)

D.(2x+5y)二、填空題4.計

算

：(

))(

-

1n)

x

)=

n

-

-

.5.若x-y=

4,x+y=7,

則x2-y2=

28m2;n21m(x2(1三

、

解

答

題6.

計

算

：(1)(

一c+ab)(

一

c-ab);解：(1)原式=(一c)2-(ab)2=c2—a2b2.7.先化簡，再求值：(2x-3y)(

3y+2x)

一(4y-3x)(3x+4y),

其中x