高中數(shù)學(xué)52種快速做題方法

1.適用條件

［直線過焦點］,必有ecosA=(x-l)/(x+l),其中A為直線與焦點所在軸夾角，是銳角。x為分離

比，必須大于1。

注：上述公式適合一切圓錐曲線。如果焦點內(nèi)分(指的是焦點在所截線段上)，用該公式;如果

外分(焦點在所截線段延長線上)，右邊為(x+l)/(x-l),其他不變。

2.函數(shù)的周期性問題(記憶三個)

(1)若f(x)=-f(x+k),則T=2k;

(2)若f(x)=m/(x+k)(m不為0),則T=2k;

(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k),則T=6ko

注意點：a.周期函數(shù)，周期必?zé)o限b.周期函數(shù)未必存在最小周期，如：常數(shù)函數(shù)。c.周期函

數(shù)加周期函數(shù)未必是周期函數(shù)，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函數(shù)。

3.關(guān)于對稱問題(無數(shù)人搞不懂的問題)總結(jié)如下

⑴若在R上(下同)滿足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，對稱軸為x=(a+b)/2

(2)函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于x=(b-a)/2對稱；

⑶若f(a+x)+f(a-x)=2b,則f(x)圖像關(guān)于(a,b)中心對稱

4.函數(shù)奇偶性

⑴對于屬于R上的奇函數(shù)有f(0)=0;

(2)對于含參函數(shù)，奇函數(shù)沒有偶次方項，偶函數(shù)沒有奇次方項

⑶奇偶性作用不大，一般用于選擇填空

5.數(shù)列爆強定律

⑴等差數(shù)列中：S奇=na中,例如S13=13a7(13和7為下角標)；

(2)等差數(shù)列中:S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n〉S(2n)成等差

⑶等比數(shù)列中，上述2中各項在公比不為負一時成等比，在q=-l時，未必成立

⑷等比數(shù)列爆強公式：S(n+m)=S(m)+q2ms(n)可以迅速求q

6.數(shù)列的終極利器，特征根方程

首先介紹公式：對于an+l=pan+q(n+l為下角標，n為下角標)，

al已知I,那么特征根x=q/(l-p),則數(shù)列通項公式為an=(al-x)p2(n-l)+x,這是一階特征根方

程的運用。

二階有點麻煩，且不常用。所以不贅述。希望同學(xué)們牢記上述公式。當(dāng)然這種類型的數(shù)列可

以構(gòu)造(兩邊同時加數(shù))

7.函數(shù)詳解補充

1、復(fù)合函數(shù)奇偶性：內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外

2、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：同增異減

3、重點知識關(guān)于三次函數(shù)：恐怕沒有多少人知道三次函數(shù)曲線其實是中心對稱圖形。

它有一個對稱中心，求法為二階導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)為0,根x即為中心橫坐標，縱坐標可以用x帶入

原函數(shù)界定。另外，必有唯一一條過該中心的直線與兩旁相切。

8.常用數(shù)列bn=nx(22n)求和Sn=(n-l)x(22(n+l))+2記憶方法

前面減去一個1,后面加一個，再整體加一個2

9.適用于標準方程(焦點在x軸)爆強公式

kffi=-{(b2)xo}/{(a2)yoj卜雙={儼伙0}/{好卜。}k|fe=p/yo

注：(x。，y。)均為直線過圓錐曲線所截段的中點。

10.強烈推薦一個兩直線垂直或平行的必殺技

已知直線LI：alx+bly+cl=O直線L2：a2x+b2y+c2=0

若它們垂直：(充要條件)ala2+blb2=0;

若它們平行：(充要條件)alb2=a2bl且alc2*a2cl[

這個條件為了防止兩直線重合)

注：以上兩公式避免了斜率是否存在的麻煩，直接必殺！

相信鄰項相消大家都知道。

下面看隔項相消：

對于Sn=l/(lx3)+l/(2x4)+V(3x5)+...+V[n(n+2)]=1/2[l+lZ2-l/(n+l)-l/(n+2)]

注：隔項相加保留四項，即首兩項，尾兩項。自己把式子寫在草稿紙上，那樣看起來會很清

爽以及整潔！

12.爆強△面積公式

S=V2|mq-np|其中向量AB=(m,n),向量BC=(p,q)

注：這個公式可以解決已知三角形三點坐標求面積的問題

13.你知道嗎?空間立體幾何中：以下命題均錯

⑴空間中不同三點確定一個平面

(2)垂直同一直線的兩直線平行

⑶兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

⑷如果一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則直線垂直平面

⑸有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱

⑹有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體都是棱錐

注：對初中生不適用。

14.一個小知識點

所有棱長均相等的棱錐可以是三、四、五棱錐。

15.求f(x)=|x-l|+|x-2|+|x-3|+...+|x-n|(n為正整數(shù))的最小值

答案為：當(dāng)n為奇數(shù)，最小值為(d-Da，在x=(n+l)/2時取到；

當(dāng)n為偶數(shù)時，最小值為尼港，在x=n△或n?+l時取到。

16.V((a2+b2))/2>(a+b)/2>Vab>2ab/(a+b)(a,b為正數(shù)，是統(tǒng)一定義域)

17.橢圓中焦點三角形面積公式

S=b2tan(A/2)在雙曲線中：S=b%an(A/2)

說明：適用于焦點在x軸，且標準的圓錐曲線。A為兩焦半徑夾角。

18.爆強定理

空間向量三公式解決所有題目：cosA=|｛向量a.向量b｝川句量a的模x向量b的模]

(1)A為線線夾角

(2)A為線面夾角(但是公式中cos換成sin)

(3)A為面面夾角注：以上角范圍均為[0,派/2]。

19.爆強公式

l2+22+32+...+n2=l^(n)(n+l)(2n+l);l23+223+323+...+n23=l/4(n2)(n+l)2

20.爆強切線方程記憶方法

寫成對稱形式，換一個x,換一個y

舉例說明：對于y2=2px可以寫成yxy=px+px

再把(xo,yo)帶入其中一個得：yxyo=pxo+px

21.爆強定理

(a+b+c)2n的展開式[合并之后]的項數(shù)為：Cn+22,n+2在下,2在上

22.轉(zhuǎn)化思想

切線長l=V(d2-r2)d表示圓外一點到圓心得距離，r為圓半徑，而d最小為圓心到直線的距離。

23.對于y2=2px

過焦點的互相垂直的兩弦AB、CD,它們的和最小為8p。

爆強定理的證明：對于yz=2px,設(shè)過焦點的弦傾斜角為A

那么弦長可表示為2p/((sinA)?),所以與之垂直的弦長為2p/[(cosA)4

所以求和再據(jù)三角知識可知。

(題目的意思就是弦AB過焦點，CD過焦點，且AB垂直于CD)

24.關(guān)于一個重要絕對值不等式的介紹爆強

IIa|-|b||<|a±b|<|a|+|b|

25.關(guān)于解決證明含In的不等式的一種思路

舉例說明：證明l+l/2+l/3+...+Vn>ln(n+l)

把左邊看成是Vn求和，右邊看成是Sn。

解:令an=l/n,令Sn=ln(n+1),則bn=ln(n+l)-lnn,

那么只需證an>bn即可，根據(jù)定積分知識畫出y=]/x的圖。

an=lx1/n=矩形面積〉曲線下面積=bn。當(dāng)然前面要證明l>ln2?

注：僅供有能力的童鞋參考!!另外對于這種方法可以推廣，就是把左邊、右邊看成是數(shù)列求

和，證面積大小即可。說明：前提是含In。

26.爆強簡潔公式

向量a在向量b上的射影是：(向量ax向量b的數(shù)量積)/[向量b的模]。

記憶方法：在哪投影除以哪個的模

27.說明一個易錯點

若f(x+a^a任意]為奇函數(shù)，那么得到的結(jié)論是f(x+a)=-&x+a)(等式右邊不是蟲-x-a))

同理如果f(x+a)為偶函數(shù)，可得f(x+a)=f(-x+a)牢記

28.離心率爆強公式

e=sinA/(sinM+sinN)

注：P為橢圓上一點，其中A為角F1PF2,兩腰角為M,N

29.橢圓的參數(shù)方程也是一個很好的東西，它可以解決一些最值問題。

比如x%+y2=l求z=x+y的最值。

解：令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去=0不知道快多少倍！

30.僅供有能力的童鞋參考的爆強公式

和差化積

sin0+sin4)=2sin[(0+4))/2]cos[(0-cj))/2]sin0-sin4)=2cos[(0+4>)/2]sin[(0-4))Z2]cos0+cos<t)=2cos[(6+(|>)Z2]

cos[(0-<t>)^]cos0-cos4?=-2sin[(0+(t))^]sin[(0-4))/2]

積化和差

sinasinP=[cos(a-P)-cos(a+P)]/2cosacosP=[cos(a+P)+cos(a-P)]/2sinacosP=[sin(a+P)+sin(a-P)]/2cos

asinP=[sin(a+p)-sin(a-P)]/2

31.爆強定理

直觀圖的面積是原圖的倍。

32.三角形垂心爆強定理

⑴向量OH=向量OA+向量OB+向量OC(O為三角形外心,H為垂心)

(2)若三角形的三個頂點都在函數(shù)y=l/x的圖象上，則它的垂心也在這個函數(shù)圖象上。

33.維維安尼定理

正三角形內(nèi)(或邊界上)任一點到三邊的距離之和為定值，這定值等于該三角形的高。

34.爆強思路

如果出現(xiàn)兩根之積xlx2=m,兩根之和xl+x2=n

我們應(yīng)當(dāng)形成一種思路，那就是返回去構(gòu)造一個二次函數(shù)

再利用△大于等于0,可以得到m、n范圍。

35.常用結(jié)論

過(2p,0)的直線交拋物線y2=2px于A、B兩點。

O為原點，連接AO.BO。必有角AOB=90度

36.爆強公式

ln(x+l)4x(x>-l)該式能有效解決不等式的證明問題。

舉例說明：ln(V(22)+l)+ln(V(32)+l)+...+ln(l/(n2)+l)<l(nS2)

證明如下：令x=l/(M),根據(jù)ln(x+l)4x有左右累和右邊

再放縮得：左和證畢！

37.函數(shù)y=(sinx)/x是偶函數(shù)

在(0,派)上它單調(diào)遞減，(-派，0)上單調(diào)遞增。

利用上述性質(zhì)可以比較大小。

38.函數(shù)

y=(nx)/x在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+無窮)上單調(diào)遞減。

另外y=x2("x)與該函數(shù)的單調(diào)性一致。

39.幾個數(shù)學(xué)易錯點

(l)f'(x)<0是函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件

⑵研究函數(shù)奇偶性時，忽略最開始的也是最重要的一步：考慮定義域是否關(guān)于原點對稱

⑶不等式的運用過程中，千萬要考慮"="號是否取到

⑷研究數(shù)列問題不考慮分項，就是說有時第一項并不符合通項公式，所以應(yīng)當(dāng)極度注意：

數(shù)列問題一定要考慮是否需要分項！

40.提高計算能力五步曲

⑴扔掉計算器

(2)仔細審題(提倡看題慢，解題快)，要知道沒有看清楚題目，你算多少都沒用

⑶熟記常用數(shù)據(jù)，掌握一些速算技

⑷加強心算、估算能力

⑸檢驗

41.一個美妙的公式

已知三角形中AB=a,AC=b,。為三角形的外心，

則向量A0x向量BC(即數(shù)量積)=(1/2)歸目］

證明：過。作BC垂線，轉(zhuǎn)化到已知邊上

42.函數(shù)

①函數(shù)單調(diào)性的含義：大多數(shù)同學(xué)都知道若函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)，則函數(shù)值隨著自變量的

增大(減小)而增大(減小)，但有些意思可能有些人還不是很清楚，若函數(shù)在D上單調(diào)，則函

數(shù)必連續(xù)(分段函數(shù)另當(dāng)別論)這也說明了為什么不能說y=tanx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，因為它

的圖像被無窮多條漸近線擋住，換而言之，不連續(xù).還有，如果函數(shù)在D上單調(diào)，則函數(shù)在

D上y與x一—對應(yīng).這個可以用來解一些方程.至于例子不舉了

②函數(shù)周期性：這里主要總結(jié)一些函數(shù)方程式所要表達的周期設(shè)f(x)為R上的函數(shù)，對任意

xGR

(l)f(a±x)=f(b±x)T=(b-a)(力口絕對值，下同)

(2)f(a±x)=-f(b±x)T=2(b-a)

(3)f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a

⑷設(shè)TWO，有f(x+T)=M[f(x)洪中M(x)滿足M[M(x)]=x,且M(x)#x則函數(shù)的周期為2

43.奇偶函數(shù)概念的推廣

⑴對于函數(shù)f(x),若存在常數(shù)a,使得f(a-x)=f(a+x),則稱f(x)為廣義(I)型偶函數(shù)，且當(dāng)有兩

個相異實數(shù)a,b滿足時，f(x)為周期函數(shù)T=2(b-a)

⑵若f(a-x)=-f(a+x),貝ijf(x)是廣義(I)型奇函數(shù)，當(dāng)有兩個相異實數(shù)a,b滿足時，f(x)為周期

函數(shù)T=2(b-a)

(3)有兩個實數(shù)a,b滿足廣義奇偶函數(shù)的方程式時，就稱f(x)是廣義(II)型的奇，偶函數(shù).且

若f(x)是廣義(口)型偶函數(shù),那么當(dāng)f在又+b/2,8)上為增函數(shù)時，有f(xl)<f(x2)等價于絕對

值xl-(a+bp=""<=""2K絕對值x2-(a+b)="">

44.函數(shù)對稱性

⑴若f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c則函數(shù)關(guān)于(a+b/2,c/2)成中心對稱

(2)若f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)則函數(shù)關(guān)于直線x=a+b/2成軸對稱

柯西函數(shù)方程：若f(x)連續(xù)或單調(diào)

(1)若f(xy)=f(x)+f(y)(x>O,y>O),貝ijf(x)=logax

(2)若f(xy)=f(x)f(y)(x>O,y>O),則f(x)=x2u(u由初值給出)

(3)f(x+y)=f(x)f(y)則f(x)=a2x

(4)若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,則f(x)=ax2+bx(5)若f(x+y)+f(x-y)=2f(x),則f(x)=ax+b特別的若

f(x)+f(y)=f(x+y),則f(x)=kx

45.與三角形有關(guān)的定理或結(jié)論中學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何最基本的圖形就是三角形

①正切定理(我自己取的，因為不知道名字)：在非Rt△中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

②任意三角形射影定理(又稱第一余弦定理)：

在^ABC中，

a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA

③任意三角形內(nèi)切圓半徑r=2S/a+b+c(S為面積)，外接圓半徑應(yīng)該都知道了吧

④梅涅勞斯定理：設(shè)A1,B1,Cl分別是△ABC三邊BC,CA,AB所在直線的上的點，則Al,

Bl,Cl共線的充要條件是CB1/B1ABA1/A1C-ACVC1B=1

46.易錯點

⑴函數(shù)的各類性質(zhì)綜合運用不靈活，比如奇偶性與單調(diào)性常用來配合解決抽象函數(shù)不等式

問題；

⑵三角函數(shù)恒等變換不清楚，誘導(dǎo)公式不迅捷。

47.易錯點

⑶忽略三角函數(shù)中的有界性，三角形