棗莊學院高數試題及答案姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共20題）

1.下列函數中，在定義域內連續的函數是（）

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2-1

C.f(x)=x/(x-1)

D.f(x)=1/x

2.若函數f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)>0,f(b)<0，則下列結論正確的是（）

A.存在c∈(a,b)，使得f(c)=0

B.存在c∈(a,b)，使得f(c)>0

C.存在c∈(a,b)，使得f(c)<0

D.存在c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)

3.已知函數f(x)=x^3-3x+2，則f'(x)=（）

A.3x^2-3

B.3x^2-1

C.3x^2+3

D.3x^2+1

4.設函數f(x)=x^2+2x+1，則f(-1)=（）

A.0

B.1

C.2

D.3

5.若函數f(x)在區間[a,b]上可導，且f'(x)>0，則f(x)在區間[a,b]上（）

A.單調遞增

B.單調遞減

C.有極值

D.有拐點

6.設函數f(x)=x^3-3x^2+2x，則f'(x)=（）

A.3x^2-6x+2

B.3x^2-6x-2

C.3x^2+6x+2

D.3x^2+6x-2

7.若函數f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)=f(b)，則f(x)在區間[a,b]上（）

A.至少有一個零點

B.至少有一個極值點

C.至少有一個拐點

D.至少有一個單調區間

8.設函數f(x)=x^2-4x+3，則f(x)的圖像（）

A.關于x軸對稱

B.關于y軸對稱

C.關于原點對稱

D.既不關于x軸對稱也不關于y軸對稱

9.若函數f(x)在區間[a,b]上可導，且f'(x)>0，則f(x)在區間[a,b]上（）

A.單調遞增

B.單調遞減

C.有極值

D.有拐點

10.設函數f(x)=x^3-3x^2+2x，則f''(x)=（）

A.6x-6

B.6x+6

C.6x-12

D.6x+12

11.若函數f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)>0,f(b)<0，則下列結論正確的是（）

A.存在c∈(a,b)，使得f(c)=0

B.存在c∈(a,b)，使得f(c)>0

C.存在c∈(a,b)，使得f(c)<0

D.存在c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)

12.設函數f(x)=x^2+2x+1，則f'(x)=（）

A.2x+2

B.2x-2

C.2x+1

D.2x-1

13.若函數f(x)在區間[a,b]上可導，且f'(x)>0，則f(x)在區間[a,b]上（）

A.單調遞增

B.單調遞減

C.有極值

D.有拐點

14.設函數f(x)=x^3-3x^2+2x，則f''(x)=（）

A.6x-6

B.6x+6

C.6x-12

D.6x+12

15.若函數f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)=f(b)，則f(x)在區間[a,b]上（）

A.至少有一個零點

B.至少有一個極值點

C.至少有一個拐點

D.至少有一個單調區間

16.設函數f(x)=x^2-4x+3，則f(x)的圖像（）

A.關于x軸對稱

B.關于y軸對稱

C.關于原點對稱

D.既不關于x軸對稱也不關于y軸對稱

17.若函數f(x)在區間[a,b]上可導，且f'(x)>0，則f(x)在區間[a,b]上（）

A.單調遞增

B.單調遞減

C.有極值

D.有拐點

18.設函數f(x)=x^3-3x^2+2x，則f''(x)=（）

A.6x-6

B.6x+6

C.6x-12

D.6x+12

19.若函數f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)>0,f(b)<0，則下列結論正確的是（）

A.存在c∈(a,b)，使得f(c)=0

B.存在c∈(a,b)，使得f(c)>0

C.存在c∈(a,b)，使得f(c)<0

D.存在c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)

20.設函數f(x)=x^2+2x+1，則f'(x)=（）

A.2x+2

B.2x-2

C.2x+1

D.2x-1

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.導數的定義是函數在某一點處的瞬時變化率，因此導數只存在于可導的點。（）

2.如果一個函數在某一點可導，那么這個函數在該點也一定連續。（）

3.在一個閉區間上的連續函數，一定在該區間上存在最大值和最小值。（）

4.如果一個函數的導數在某一點為0，那么該點一定是函數的極值點。（）

5.一個函數在某一區間內的導數恒大于0，則該函數在該區間內單調遞增。（）

6.二階導數表示函數曲線的凹凸性。（）

7.對于任何函數f(x)，都有f(x)+f'(x)=f''(x)。（）

8.若函數f(x)在區間[a,b]上單調遞增，則其導數f'(x)在區間[a,b]上恒大于0。（）

9.若函數f(x)在區間[a,b]上可導，且f'(x)在區間[a,b]上恒為正，則f(x)在區間[a,b]上單調遞增。（）

10.對于可導函數f(x)，若f'(x)>0，則f(x)是增函數；若f'(x)<0，則f(x)是減函數。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述導數的幾何意義。

2.如何求函數的極值？

3.請解釋函數的周期性和周期函數的概念。

4.簡述拉格朗日中值定理的內容及其應用。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述微分中值定理的幾種形式及其在求解函數性質中的應用。

2.論述積分學在解決實際問題時的重要性，并結合具體例子說明積分的應用。

試卷答案如下：

一、多項選擇題（每題2分，共20題）

1.A

解析：A項是絕對值函數，連續；B項是多項式函數，連續；C項在x=1處間斷；D項在x=0處間斷。

2.A

解析：根據零點定理，若連續函數在區間兩端的函數值異號，則至少存在一點使得函數值為0。

3.A

解析：對f(x)求導得到f'(x)=3x^2-3。

4.B

解析：將x=-1代入f(x)得到f(-1)=(-1)^2+2*(-1)+1=0。

5.A

解析：導數大于0表示函數在該區間內斜率恒正，即函數單調遞增。

6.A

解析：對f(x)求導得到f'(x)=3x^2-6x+2。

7.A

解析：根據零點定理，若連續函數在區間兩端的函數值異號，則至少存在一點使得函數值為0。

8.B

解析：將f(x)=x^2-4x+3分解因式得到f(x)=(x-1)(x-3)，圖像關于y軸對稱。

9.A

解析：導數大于0表示函數在該區間內斜率恒正，即函數單調遞增。

10.A

解析：對f(x)求二階導得到f''(x)=6x-6。

11.A

解析：根據零點定理，若連續函數在區間兩端的函數值異號，則至少存在一點使得函數值為0。

12.B

解析：對f(x)求導得到f'(x)=2x+2。

13.A

解析：導數大于0表示函數在該區間內斜率恒正，即函數單調遞增。

14.A

解析：對f(x)求二階導得到f''(x)=6x-6。

15.A

解析：根據零點定理，若連續函數在區間兩端的函數值異號，則至少存在一點使得函數值為0。

16.B

解析：將f(x)=x^2-4x+3分解因式得到f(x)=(x-1)(x-3)，圖像關于y軸對稱。

17.A

解析：導數大于0表示函數在該區間內斜率恒正，即函數單調遞增。

18.A

解析：對f(x)求二階導得到f''(x)=6x-6。

19.A

解析：根據零點定理，若連續函數在區間兩端的函數值異號，則至少存在一點使得函數值為0。

20.B

解析：對f(x)求導得到f'(x)=2x-2。

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.×

解析：導數的定義是函數在某一點處的瞬時變化率，但導數只存在于可導的點，不可導的點沒有導數。

2.√

解析：如果一個函數在某一點可導，則在該點連續，因為可導性是連續性的充分必要條件。

3.√

解析：根據最值定理，一個在閉區間上連續的函數，一定在該區間上存在最大值和最小值。

4.×

解析：導數為0的點可能是極值點，也可能是拐點，不一定都是極值點。

5.√

解析：導數大于0表示函數在該區間內斜率恒正，即函數單調遞增。

6.√

解析：二階導數大于0表示函數曲線凹向上，小于0表示函數曲線凹向下。

7.×

解析：f(x)+f'(x)=f''(x)不成立，除非f(x)是一個特定形式的函數。

8.√

解析：若導數恒大于0，則函數在定義域內單調遞增。

9.√

解析：導數恒為正表示函數在該區間內斜率恒正，即函數單調遞增。

10.√

解析：導數大于0表示函數單調遞增；導數小于0表示函數單調遞減。

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.導數的幾何意義是指曲線在某一點的切線斜率，即函數在該點的瞬時變化率。

2.求函數的極值，首先求出函數的一階導數，令其一階導數為0，求出所有可能的極值點，然后求出這些點的二階導數，根據二階導數的符號判斷這些點是否為極值點。

3.函數的周期性是指函數在一個固定的區間內重復出現，這個固定的區間稱為函數的周期。周期函數是指滿足周期性的函數。

4.拉格朗日中值定理的內容是：若函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且在開區間(a,b)內可導，則存在至少一點c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。該定理可以用來證明函數在某區間內的性質，如單調性、凹凸性等。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和羅爾定理。