PAGEPAGE10第5講橢圓基礎學問整合1．橢圓的概念在平面內到兩定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡(或集合)叫做eq\o(□,\s\up3(01))橢圓．這兩定點叫做橢圓的eq\o(□,\s\up3(02))焦點，兩焦點間的距離叫做eq\o(□,\s\up3(03))焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a(1)若eq\o(□,\s\up3(04))a>c，則集合P表示橢圓；(2)若eq\o(□,\s\up3(05))a＝c，則集合P表示線段；(3)若eq\o(□,\s\up3(06))a<c，則集合P為空集．2．橢圓的標準方程和幾何性質續表橢圓的常用性質(1)設橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上隨意一點P(x，y)，則當x＝0時，|OP|有最小值b，P點在短軸端點處；當x＝±a時，|OP|有最大值a，P點在長軸端點處．(2)橢圓的一個焦點、中心和短軸的一個端點構成直角三角形，其中a為斜邊，a2＝b2＋c2.(3)已知過焦點F1的弦AB，則△ABF2的周長為4a(4)過橢圓的焦點且垂直于長軸的弦之長為eq\f(2b2,a).(5)橢圓離心率e＝eq\r(1－\f(b2,a2)).1．已知橢圓eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1，長軸在y軸上，若焦距為4，則m等于()A．4 B．5C．7 D．8答案D解析橢圓焦點在y軸上，∴a2＝m－2，b2＝10－m.又c＝2，∴m－2－(10－m)＝c2＝4.∴m＝8.2．(2024·廣西模擬)若橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短軸長等于焦距，則橢圓的離心率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(2),4)答案C解析因為橢圓的短軸長等于焦距，所以b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，故選C.3．已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于eq\f(1,3)，則橢圓C的方程是()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1答案D解析依題意，設橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,3)，,c2＝a2－b2，))解得a2＝9，b2＝8.故橢圓C的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.4．(2024·西安模擬)已知點P(x1，y1)是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的一點，F1，F2是其左、右焦點，當∠F1PF2最大時，△PF1F2的面積是()A.eq\f(16\r(3),3) B．12C．16(2＋eq\r(3)) D．16(2－eq\r(3))答案B解析∵橢圓的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，∴a＝5，b＝4，c＝eq\r(25－16)＝3，∴F1(－3,0)，F2(3,0)．依據橢圓的性質可知當點P與短軸端點重合時，∠F1PF2最大，此時△PF1F2的面積S＝eq\f(1,2)×2×3×4＝12，故選B.5．橢圓3x2＋ky2＝3的一個焦點是(0，eq\r(2))，則k＝________.答案1解析方程3x2＋ky2＝3可化為x2＋eq\f(y2,\f(3,k))＝1.a2＝eq\f(3,k)>1＝b2，c2＝a2－b2＝eq\f(3,k)－1＝2，解得k＝1.6．設橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，P是C上的點，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為________．答案eq\f(\r(3),3)解析設|PF2|＝x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2x，|F1F2|＝eq\r(3)x.又|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c.∴2a＝3x,2c＝eq\r(3)x，∴C的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).核心考向突破考向一橢圓定義的應用例1(1)(2024·湖北八校聯考)設F1，F2為橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的兩個焦點，點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上，則eq\f(|PF2|,|PF1|)的值為()A.eq\f(5,14) B.eq\f(5,13)C.eq\f(4,9) D.eq\f(5,9)答案B解析由題意知a＝3，b＝eq\r(5)，c＝2.設線段PF1的中點為M，則有OM∥PF2，∵OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，∴|PF2|＝eq\f(b2,a)＝eq\f(5,3).又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝eq\f(13,3)，∴eq\f(|PF2|,|PF1|)＝eq\f(5,3)×eq\f(3,13)＝eq\f(5,13).故選B.(2)設F1，F2分別是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點，|AF1|＝3|F1B|，且|AB|＝4，△ABF2的周長為16.則|AF2|＝________.答案5解析由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3.∵△ABF2的周長為16，∴4a＝16，∴a＝4.則|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，∴|AF2|＝8－|AF觸類旁通橢圓定義的應用主要有兩個方面：一是確認平面內與兩定點有關的軌跡是否為橢圓；二是當P在橢圓上時，與橢圓的兩焦點F1，F2組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其周長，利用定義和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通過整體代入可求其面積等.即時訓練1.(2024·甘肅聯考)設A，B是橢圓C：eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,2)＝1的兩個焦點，點P是橢圓C與圓M：x2＋y2＝10的一個交點，則||PA|－|PB||＝()A．2eq\r(2) B．4eq\r(3)C．4eq\r(2) D．6eq\r(2)答案C解析由題意知，A，B恰好在圓M上且AB為圓M的直徑，∴|PA|＋|PB|＝2a＝4eq\r(3)，|PA|2＋|PB|2＝(2c)2＝40，∴(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA||PB|，解得2|PA||PB|＝8，∴(|PA|－|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA||PB|＝32，則||PA|－|PB||＝4eq\r(2)，故選C.2．已知橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，點M與橢圓C的焦點不重合．若M關于橢圓C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在橢圓C上，則|AN|＋|BN|＝________.答案12解析取MN的中點為G，點G在橢圓C上．設點M關于橢圓C的焦點F1的對稱點為A，點M關于橢圓C的焦點F2的對稱點為B，則有|GF1|＝eq\f(1,2)|AN|，|GF2|＝eq\f(1,2)|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.考向二橢圓的標準方程例2(1)(2024·杭州模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1，F2，離心率為eq\f(\r(3),3)，過F2的直線l交C于A，B兩點．若△AF1B的周長為4eq\r(3)，則C的方程為()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1答案A解析由題意及橢圓的定義知4a＝4eq\r(3)，則a＝eq\r(3)，又eq\f(c,a)＝eq\f(c,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.選A.(2)已知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，B是圓：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋y2＝4(F為圓心)上一動點，線段AB的垂直平分線交BF于點P，則動點P的軌跡方程為________．答案x2＋eq\f(4,3)y2＝1解析如圖，由題意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2.所以|PA|＋|PF|＝2且|PA|＋|PF|>|AF|，即動點P的軌跡是以A，F為焦點的橢圓，a＝1，c＝eq\f(1,2)，b2＝eq\f(3,4).所以動點P的軌跡方程為x2＋eq\f(4,3)y2＝1.觸類旁通求橢圓方程的常用方法(1)定義法，定義法的要點是依據題目所給的條件確定動點的軌跡滿意橢圓的定義．2待定系數法，待定系數法的要點是依據題目所給的條件確定橢圓中的兩個系數a，b.當不知焦點在哪一個坐標軸上時，一般可設所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1m>0，n>0，m≠n，再用待定系數法求出m，n的值即可.即時訓練3.(2024·青島模擬)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是橢圓C的兩個焦點，過F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點，且|AB|＝3，則C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1答案C解析如圖，|AF2|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(3,2)，|F1F2由橢圓定義，得|AF1|＝2a－eq\f(3,2).①在Rt△AF1F2|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋22.②由①②得a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，應選C.4．設F1，F2為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，經過F1的直線交橢圓C于A，B兩點，若△F2AB是面積為4eq\r(3)的等邊三角形，則橢圓C的方程為________．答案eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1解析l經過F1垂直于x軸，得yA＝eq\f(b2,a)，在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，得eq\f(b2,a)＝eq\f(\r(3),3)×2c，eq\f(1,2)×2c×eq\f(2b2,a)＝4eq\r(3)，a2＝b2＋c2，解得a2＝9，b2＝6，c2＝3.所求的橢圓方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1.考向三橢圓的幾何性質例3(1)(2024·全國卷Ⅰ)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1的一個焦點為(2,0)，則C的離心率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(2\r(2),3)答案C解析依據題意，可知c＝2，因為b2＝4，所以a2＝b2＋c2＝8，即a＝2eq\r(2)，所以橢圓C的離心率為e＝eq\f(2,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2).故選C.(2)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的半焦距為c，且滿意c2－b2＋ac<0，則該橢圓的離心率e的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析∵c2－b2＋ac<0，∴c2－(a2－c2)＋ac<0，即2c2－a2＋ac<0，∴2eq\f(c2,a2)－1＋eq\f(c,a)<0，即2e2＋e－1<0，解得－1<e<eq\f(1,2).又∵0<e<1，∴0<e<eq\f(1,2).∴橢圓的離心率e的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).觸類旁通橢圓離心率的求解方法求橢圓的離心率，常見的有三種方法：一是通過已知條件列方程組，解出a，c的值；二是由已知條件得出關于a，c的二元齊次方程，然后轉化為關于離心率e的一元二次方程求解；三是通過取特別值或特別位置，求出離心率．即時訓練5.(2024·全國卷Ⅱ)已知F1，F2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則CA．1－eq\f(\r(3),2) B．2－eq\r(3)C.eq\f(\r(3)－1,2) D.eq\r(3)－1答案D解析在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，設|PF2|＝m，則2c＝|F1F2|＝2m，|PF1|＝eq\r(3)m，又由橢圓定義可知2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq\r(3)＋1)m，則離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(2m,\r(3)＋1m)＝eq\r(3)－1.故選D.6．(2024·江蘇模擬)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A為左頂點，B為上頂點，F為右焦點且AB⊥BF，則這個橢圓的離心率等于________．答案eq\f(\r(5)－1,2)解析由題意得A(－a,0)，B(0，b)，F(c,0)，∵AB⊥BF，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝0，∴(a，b)·(c，－b)＝ac－b2＝ac－a2＋c2＝0，∴e－1＋e2＝0，解得e＝eq\f(\r(5)－1,2).考向四直線與橢圓的位置關系角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(1))弦的中點問題例4(2024·全國卷Ⅲ)已知斜率為k的直線l與橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1交于A，B兩點．線段AB的中點為M(1，m)(m>0)．(1)證明：k<－eq\f(1,2)；(2)設F為C的右焦點，P為C上一點，且Feq\o(P,\s\up6(→))＋Feq\o(A,\s\up6(→))＋Feq\o(B,\s\up6(→))＝0.證明：|eq\o(FA,\s\up6(→))|，|eq\o(FP,\s\up6(→))|，|eq\o(FB,\s\up6(→))|成等差數列，并求該數列的公差．解(1)證明：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(x\o\al(2,1),4)＋eq\f(y\o\al(2,1),3)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),4)＋eq\f(y\o\al(2,2),3)＝1.兩式相減，并由eq\f(y1－y2,x1－x2)＝k得eq\f(x1＋x2,4)＋eq\f(y1＋y2,3)·k＝0.由題設知eq\f(x1＋x2,2)＝1，eq\f(y1＋y2,2)＝m，于是k＝－eq\f(3,4m).①由題設得m<eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))×3)＝eq\f(3,2)，且m>0，即0<m<eq\f(3,2)，故k<－eq\f(1,2).(2)由題意得F(1,0)．設P(x3，y3)，則由(1)及題設得(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)，x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m又點P在C上，所以m＝eq\f(3,4)，從而Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))，|Feq\o(P,\s\up6(→))|＝eq\f(3,2).于是|Feq\o(A,\s\up6(→))|＝eq\r(x1－12＋y\o\al(2,1))＝eq\r(x1－12＋3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,1),4))))＝2－eq\f(x1,2).同理|Feq\o(B,\s\up6(→))|＝2－eq\f(x2,2).所以|Feq\o(A,\s\up6(→))|＋|Feq\o(B,\s\up6(→))|＝4－eq\f(1,2)(x1＋x2)＝3.故2|Feq\o(P,\s\up6(→))|＝|Feq\o(A,\s\up6(→))|＋|Feq\o(B,\s\up6(→))|，即|eq\o(FA,\s\up6(→))|，|eq\o(FP,\s\up6(→))|，|eq\o(FB,\s\up6(→))|成等差數列．設該數列的公差為d，則2|d|＝||eq\o(FB,\s\up6(→))|－|eq\o(FA,\s\up6(→))||＝eq\f(1,2)|x1－x2|＝eq\f(1,2)eq\r(x1＋x22－4x1x2).②將m＝eq\f(3,4)代入①得k＝－1.所以l的方程為y＝－x＋eq\f(7,4)，代入C的方程，并整理得7x2－14x＋eq\f(1,4)＝0.故x1＋x2＝2，x1x2＝eq\f(1,28)，代入②解得|d|＝eq\f(3\r(21),28).所以該數列的公差為eq\f(3\r(21),28)或－eq\f(3\r(21),28).角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(2))弦長的問題例5(2024·陜西咸陽模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)過點P(2,1)，且離心率e＝eq\f(\r(3),2).(1)求橢圓C的方程；(2)直線l的斜率為eq\f(1,2)，直線l與橢圓C交于A，B兩點．求△PAB面積的最大值．解(1)∵e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3,4)，∴a2＝4b2.又橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)過點P(2,1)，∴eq\f(4,a2)＋eq\f(1,b2)＝1，∴a2＝8，b2＝2.故所求橢圓方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)設l的方程為y＝eq\f(1,2)x＋m，點A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋m，,\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，))整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0.∵Δ＝4m2－8m∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2則|AB|＝eq\r(1＋\f(1,4))×eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(54－m2).點P到直線l的距離d＝eq\f(|m|,\r(1＋\f(1,4)))＝eq\f(2|m|,\r(5)).∴S△PAB＝eq\f(1,2)d|AB|＝eq\f(1,2)×eq\f(2|m|,\r(5))×eq\r(54－m2)＝eq\r(m24－m2)≤eq\f(m2＋4－m2,2)＝2.當且僅當m2＝2，即m＝±eq\r(2)時取得最大值．觸類旁通1解決直線與橢圓的位置關系的問題，其常規思路是先把直線方程與橢圓方程聯立，消元、化簡，然后應用根與系數的關系，解決相關問題.(3)直線與橢圓相交時常見問題的處理方法涉及問題處理方法弦長根與系數的關系、弦長公式(直線與橢圓有兩交點)中點弦或弦的中點點差法(結果要檢驗Δ>0)即時訓練7.(2024·廣西聯考)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>1)的焦距為2，過短軸的一個端點與兩個焦點的圓的面積為eq\f(4π,3)，過橢圓C的右焦點作斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，線段AB的中點為P.(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點P垂直于AB的直線與x軸交于點Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，0))，求k的值．解(1)由題易得，過橢圓短軸的一個端點與兩個焦點的圓的半徑為eq\r(\f(4,3)).設橢圓的右焦點的坐標為(c,0)，依題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2c＝2，,a2＝b2＋c2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\r(\f(4,3))))2＋c2＝\f(4,3).))又因為b>1，解得a＝2，b＝eq\r(3)，c＝1，所以橢圓C的標準方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由題意，過橢圓C的右焦點的直線l的方程為y＝k(x－1)，將其代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(8k2,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(4k2－12,3＋4k2)，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝eq\f(－6k,3＋4k2).因為P為線段AB的中點，所以點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k2,3＋4k2)，\f(－3k,3＋4k2))).又因為直線PD的斜率為－eq\f(1,k)，所以直線PD的方程為y－eq\f(－3k,3＋4k2)＝－eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4k2,3＋4k2))).令y＝0，得x＝eq\f(k2,3＋4k2)，所以點D的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k2,3＋4k2)，0))，則eq\f(k2,3＋4k2)＝eq\f(1,7)，解得k＝±1.8．(2024·云南昆明模擬)已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓E過點C(0,1)，離心率為eq\f(\r(2),2).(1)求橢圓E的方程；(2)直線l過橢圓E的左焦點F，且與橢圓E交于A，B兩點，若△OAB的面積為eq\f(2,3)，求直線l的方程．解(1)設橢圓E的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,a2＝b2＋c2，))解得a2＝2，b2＝1，所以橢圓E的方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)由已知，直線l過左焦點F(－1,0)．當直線l與x軸垂直時，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(\r(2),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)))，此時|AB|＝eq\r(2)，則S△OAB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×1＝eq\f(\r(2),2)，不滿意條件．當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,2)＋y2＝1))得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(4k2,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(2k2－2,1＋2k2).因為S△OAB＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|＝eq\f(1,2)|y1－y2|，由已知S△OAB＝eq\f(2,3)得|y1－y2|＝eq\f(4,3).因為y1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x2＋1)＝k(x1＋x2)＋2k＝k·eq\f(－4k2,1＋2k2)＋2k＝eq\f(2k,1＋2k2)，y1y2＝k(x1＋1)·k(x2＋1)＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)＝eq\f(－k2,1＋2k2)，所以|y1－y2|＝eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(\f(4k2,1＋2k22)＋\f(4k2,1＋2k2))＝eq\f(4,3)，所以k4＋k2－2＝0，解得k＝±1，所以直線l的方程為x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.1．已知點F1，F2是橢圓x2＋2y2＝2的左、右焦點，點P是該橢圓上的一個動點，那么|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|的最小值是()A．0 B．1C．2 D．2eq\r(2)答案C解析解法一：設P(x0，y0)，則eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(－1－x0，－y0)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(1－x0，－y0)，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(－2x0，－2y0)，所以|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝eq\r(4x\o\al(2,0)＋4y\o\al(2,0))＝2eq\r(2－2y\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0))＝2eq\r(－y\o\al(2,0)＋2).因為點P在橢圓上，所以0≤yeq\o\al(2,0)≤1，所以當yeq\o\al(2,0)＝1時，|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|取最小值2.解法二：由eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OF1,\s\up6(→))＋eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OF2,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))求解．故選C.2．已知F是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦點，P是此橢圓上的動點，A(1,1)是肯定點，求|PA|＋|PF|的最大值和最小值．解由題意知a＝3，b＝eq\r(5)，c＝2，F(－2,0)．設橢圓右焦點為F′，則|PF|＋|PF′|＝6，所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF′|＋6.當P，A，F′三點共線時，|PA|－|PF′|取到最大值|AF′|＝eq\r(2)，或者最小值－|AF′|＝－eq\r(2).所以|PA|＋|PF|的最大值為6＋eq\r(2)，最小值為6－eq\r(2).3．在橢圓eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,8)＝1上求一點，使它到直線2x－3y＋15＝0的距離最短．解設所求點坐標為A(3eq\r(2)cosθ，2eq\r(2)sinθ)，θ∈R，由點到直線的距離公式得d＝eq\f(|6\r(2)cosθ－6\r(2)sinθ＋15|,\r(22＋－32))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－12sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＋15)),\r(13))，當θ＝2k