PAGEPAGE1第7講函數的圖象基礎學問整合1．利用描點法作函數圖象其基本步驟是列表、eq\o(□,\s\up3(01))描點、連線．首先：①確定函數的定義域；②化簡函數解析式；③探討函數的性質(奇偶性、單調性、周期性、對稱性等)．其次：列表(尤其留意特別點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等)，描點，連線．2．利用圖象變換法作函數的圖象(1)平移變換y＝f(x)eq\o((a>0，右移a個單位),\s\do17(a<0，左移|a|個單位))y＝f(x－a)；y＝f(x)eq\o((b>0，上移b個單位),\s\do17(b<0，下移|b|個單位))y＝eq\o(□,\s\up3(02))f(x)＋b.(2)伸縮變換(3)對稱變換y＝f(x)eq\o((關于x軸對稱))y＝－f(x)；y＝f(x)eq\o((關于y軸對稱))y＝f(－x)；y＝f(x)eq\o((關于原點對稱))y＝eq\o(□,\s\up3(04))－f(－x)．(4)翻折變換y＝f(x)eq\o((去掉y軸左邊圖，保留y軸右邊圖),\s\do17(作其關于y軸對稱的圖象))y＝f(|x|)；y＝f(x)eq\o((留下x軸上方圖),\s\do17(將x軸下方圖翻折上去))y＝|f(x)|.1．左右平移僅僅是相對x而言的，即發生改變的只是x本身，利用“左加右減”進行操作．假如x的系數不是1，須要把系數提出來，再進行變換．2．上下平移僅僅是相對y而言的，即發生改變的只是y本身，利用“上減下加”進行操作．但平常我們是對y＝f(x)中的f(x)進行操作，滿意“上加下減”．1．(2024·昆明模擬)函數y＝x2－2|x|的圖象是()答案B解析由y＝x2－2|x|知是偶函數，故圖象關于y軸對稱，解除C.當x≥0時，y＝x2－2x＝(x－1)2－1.即當x＝0時，y＝0，當x＝1時，y＝－1，解除A，D，故選B.2．已知圖①中的圖象對應的函數為y＝f(x)，則在下列給出的四個選項中，圖②中的圖象對應的函數只可能是()A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)答案C解析由圖②知，圖象關于y軸對稱，對應的函數是偶函數．對于A，當x>0時，y＝f(|x|)＝f(x)，其圖象在y軸右側與圖①的相同，不符合，故錯誤；對于B，當x>0時，對應的函數是y＝f(x)，明顯B錯誤；對于D，當x<0時，y＝－f(－x)，其圖象在y軸左側與圖①的不相同，不符合，故錯誤；所以C正確．3．(2024·四川模擬)函數y＝eq\f(x3,3x－1)的圖象大致是()答案C解析因為函數的定義域是非零實數集，所以A錯誤；當x<0時，y>0，所以B錯誤；指數型函數遠比冪函數上升的快，故當x→＋∞時，y→0，所以D錯誤．故選C.4.(2024·寧夏模擬)函數f(x)＝2x＋sinx的部分圖象可能是()答案A解析函數f(x)＝2x＋sinx是奇函數，故其圖象關于原點對稱，解除B；又當0<x<eq\f(π,2)時，函數值為正，僅有A滿意，故選A.5．(2024·梅州模擬)函數f(x)＝eq\f(x＋lnx,x2)的大致圖象是()答案B解析函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，當x→0時，f(x)<0，解除C，D；當x→＋∞時，f(x)>0，解除A，故選B.核心考向突破考向一函數圖象的畫法例1作出下列函數的圖象：(1)y＝|x－2|·(x＋2)；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(4)y＝x2－2|x|－1.解(1)函數式可化為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4，x≥2，,－x2＋4，x<2，))其圖象如圖(1)實線所示．(2)將函數y＝log2x的圖象向左平移1個單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖(2)所示．(3)原函數解析式可化為y＝2＋eq\f(1,x－1)，故函數圖象可由函數y＝eq\f(1,x)的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到，如圖(3)所示．(4)因為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，))且函數為偶函數，先用描點法作出[0，＋∞)上的圖象，再依據對稱性作出(－∞，0)上的圖象，最終得函數圖象如圖(4)所示．觸類旁通畫函數圖象的一般方法(1)干脆法：當函數表達式(或變形后的表達式)是熟識的基本函數時，就可依據這些函數的特征干脆畫出．2圖象變換法：若函數圖象可由某個基本函數的圖象經過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，但要留意變換依次，對不能干脆找到熟識的基本函數的要先變形，并應留意平移變換與伸縮變換的依次對變換單位及解析式的影響.即時訓練1.作出下列各函數的圖象：(1)y＝x－|x－1|；(2)y＝|x2－4x＋3|；(3)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|；(4)y＝|log2x－1|.解(1)依據肯定值的意義，可將函數式化為分段函數y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥1，,2x－1，x<1，))可見其圖象是由兩條射線組成，如圖(1)所示．(2)函數式可化為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3，x≥3或x≤1，,－x2＋4x－3，1<x<3，))圖象如圖(2)所示．(3)作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象，保留y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象中x≥0的部分，加上y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象中x>0部分關于y軸的對稱部分，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|的圖象，如圖(3)實線部分．(4)先作出y＝log2x的圖象，再將其圖象向下平移一個單位，保留x軸上方的部分，將x軸下方的圖象翻折到x軸上方，即得y＝|log2x－1|的圖象，如圖(4)所示．考向二識圖與辨圖角度1知式選圖例2(2024·全國卷Ⅱ)函數f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2)的圖象大致為()答案B解析∵x≠0，f(－x)＝eq\f(e－x－ex,x2)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數，故不選A；∵f(1)＝e－e－1>0，∴不選D；∵f′(x)＝eq\f(ex＋e－xx2－ex－e－x2x,x4)＝eq\f(x－2ex＋x＋2e－x,x3)，∴當x>2時，f′(x)>0，∴不選C.因此選B.角度2知圖選式例3(2024·太原模擬)函數f(x)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝x＋sinxB．f(x)＝eq\f(cosx,x)C．f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3π,2)))D．f(x)＝xcosx答案D解析函數為奇函數，解除C；函數f(x)＝x＋sinx只有一個零點，解除A；B選項中x≠0，所以B不正確，選D.觸類旁通函數圖象的識辨(1)從函數的定義域，推斷圖象的左右位置；從函數的值域，推斷圖象的上下位置．eq\a\vs4\al(2從函數的單調性，推斷圖象的改變趨勢.)eq\a\vs4\al(3從函數的奇偶性，推斷圖象的對稱性.)eq\a\vs4\al(4從函數的周期性，推斷圖象的循環往復.)eq\a\vs4\al(5從函數的特征點，解除不合要求的圖象.)即時訓練2.(2024·浙江高考)函數y＝2|x|sin2x的圖象可能是()答案D解析設f(x)＝2|x|sin2x，其定義域關于坐標原點對稱，又f(－x)＝2|－x|·sin(－2x)＝－f(x)，所以y＝f(x)是奇函數，故解除A，B；令f(x)＝0，所以sin2x＝0，所以2x＝kπ(k∈Z)，所以x＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，故解除C.故選D.3．下列四個函數中，圖象如圖所示的只能是()A．y＝x＋lgx B．y＝x－lgxC．y＝－x＋lgx D．y＝－x－lgx答案B解析(特別值法)當x＝1時，由圖象知y>0，而C，D中y<0，故解除C，D；又當x＝eq\f(1,10)時，由圖象知y>0，而A中y＝eq\f(1,10)＋lgeq\f(1,10)＝－eq\f(9,10)<0，解除A.故選B.考向三函數圖象的應用例4(1)(2024·洛陽統考)已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3x，x≤0，))關于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個實根，則實數a的取值范圍是________．答案(1，＋∞)解析問題等價于函數y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象有且只有一個交點，如圖，結合函數圖象可知a>1.(2)(2024·天津高考)已知a>0，函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2ax＋a，x≤0，,－x2＋2ax－2a，x>0.))若關于x的方程f(x)＝ax恰有2個互異的實數解，則a的取值范圍是________．答案(4,8)解析由題可設函數g(x)＝f(x)－ax＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋ax＋a，x≤0，,－x2＋ax－2a，x>0，))當x≤0時，Δ1＝a2－4a，當x>0時，Δ2＝a2－8a.依據題目條件可知a>0時，函數g(x)恰有2個不同的零點，可分以下三種狀況：①當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝0，,Δ2＝0))時，解得a＝0，不滿意條件a>0，此時無解；②當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1>0，,Δ2<0))時，解得4<a<8，此時函數g(x)的兩個零點均為負數；③當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1<0，,Δ2>0))時，此時無解．綜上可得a的取值范圍是4<a<8.即時訓練4.如圖，函數f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1<x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1<x≤1}D．{x|－1<x≤2}答案C解析令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函數g(x)的圖象如圖．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,y＝log2x＋1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))∴結合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1<x≤1}．5．(2024·陜西模擬)已知函數y＝eq\f(|x2－1|,x－1)的圖象與函數y＝kx的圖象恰有兩個交點，則實數k的取值范圍是________．答案(0,1)∪(1,2)解析函數y＝eq\f(|x2－1|,x－1)的定義域為{x|x≠1}，所以當x>1時，y＝x＋1，當－1<x<1時，y＝－x－1，當x≤－1時，y＝x＋1，圖象如圖所示，由圖象可知當0<k<2且k≠1時兩函數的圖象恰有兩個交點，所以實數k的取值范圍為(0,1)∪(1,2)．[特別點法]1．(2024·北師大附中模擬)函數y＝ecosx(－π≤x≤π)的大致圖象為()答案C解析當x＝0時，函數y取得最大值ecos0＝e；當x＝π時，則y＝ecosπ＝eq\f(1,e).可解除A，B，D，選C.答題啟示運用特別點法解除一些不符合要求的錯誤選項，主要留意兩點：一是選取的點要具備特別性和代表性，能解除一些選項；二是可能要選取多個特別點進行解除才能得到正確答案．對點訓練函數y＝xcosx＋sinx的圖象大致為()答案D解析令f(x)＝xcosx＋sinx，則有f(－x)＝－xcosx－sinx＝－f(x)，∴f(x)為奇函數．∵奇函數的圖象關于原點對稱，而B中的圖象不關于原點對稱，∴解除B；當x＝eq\f(π,2)時，y＝1，而由C中圖象知當x＝eq\f(π,2)時，y≠1，∴解除C；當x＝π時，y＝－π，而A中，當x＝π時，y>0，∴解除A.故選D.

[性質檢驗法]2．(2024·全國卷Ⅲ)函數y＝－x4＋x2＋2的圖象大致為()答案D解析當x＝0時，y＝2，解除A，B.y′＝－4x3＋2x＝－2x(2x2－1)，當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))時，y′>0，解除C.故選D.答題啟示利用性質識別函數圖象是辨圖中的主要方法，采納的性質主要是定義域、值域，函數整體的奇偶性，函數局部的單調性等．當然，對于一些更為困難的函數圖象的推斷，還可能同特別點法結合起來運用．對點訓練(2024·滄州七校聯考)函數f(x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))的圖象是()答案B解析因為f(x)＝lneq\