PAGE1-第三節(jié)模擬方法—概率的應(yīng)用[考綱傳真]1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用隨機(jī)模擬方法估計(jì)概率.2.了解幾何概型的意義．1．模擬方法對(duì)于某些無(wú)法準(zhǔn)確知道的概率問(wèn)題，常借助模擬方法來(lái)估計(jì)某些隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的概率．用模擬方法可以在短時(shí)間內(nèi)完成大量的重復(fù)試驗(yàn)．2．幾何概型(1)向平面上有限區(qū)域(集合)G內(nèi)隨機(jī)地投擲點(diǎn)M，若點(diǎn)M落在子區(qū)域G1G的概率與G1的面積成正比，而與G的形態(tài)、位置無(wú)關(guān)，即P(點(diǎn)M落在G1)＝eq\f(G1的面積,G的面積)，則稱這種模型為幾何概型．(2)幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域，相應(yīng)的概率是體積之比或長(zhǎng)度之比．eq\o([常用結(jié)論])幾種常見(jiàn)的幾何概型(1)與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，其基本領(lǐng)件只與一個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)；(2)與面積有關(guān)的幾何概型，其基本領(lǐng)件與兩個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本領(lǐng)件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問(wèn)題；(3)與體積有關(guān)的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問(wèn)題．[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(思索辨析)推斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)隨機(jī)模擬方法是以事務(wù)發(fā)生的頻率估計(jì)概率． ()(2)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形態(tài)有關(guān)． ()(3)在一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率為0． ()(4)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是eq\f(1,10)． ()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．(教材改編)在線段[0,3]上任投一點(diǎn)，則此點(diǎn)坐標(biāo)小于1的概率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．1B[坐標(biāo)小于1的區(qū)間為[0,1)，長(zhǎng)度為1，[0,3]的區(qū)間長(zhǎng)度為3，故所求概率為eq\f(1,3).]3．(教材改編)有四個(gè)嬉戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的嬉戲盤是()ABCDA[∵P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(2,8)，P(C)＝eq\f(2,6)，P(D)＝eq\f(1,3)，∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)．]4．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，則使四棱錐M-ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率為_(kāi)_______．eq\f(1,2)[在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)M-ABCD的高為h，則eq\f(1,3)×S四邊形ABCD×h＝eq\f(1,6).又S四邊形ABCD＝1，所以h＝eq\f(1,2).若體積小于eq\f(1,6)，則h＜eq\f(1,2).即點(diǎn)M在正方體的下半部分，所以P＝eq\f(1,2).]5．如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形中隨機(jī)撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為_(kāi)_______．0.18[由題意知，eq\f(S陰,S正)＝eq\f(180,1000)＝0.18，∵S正＝1，∴S陰＝0.18.]與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型1．在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形的面積大于20cm2的概率為()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(4,5)C[設(shè)|AC|＝x，則|BC|＝12－x，所以x(12－x)＞20，解得2＜x＜10，故所求概率P＝eq\f(10－2,12)＝eq\f(2,3).]2．(2024·江蘇高考)記函數(shù)f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定義域?yàn)镈．在區(qū)間[－4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈D的概率是________．eq\f(5,9)[由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2,3]．如圖，區(qū)間[－4,5]的長(zhǎng)度為9，定義域D的長(zhǎng)度為5，∴P＝eq\f(5,9).]3．如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與AB交于點(diǎn)M，則AM＜AC的概率為_(kāi)_______．eq\f(3,4)[過(guò)點(diǎn)C作CN交AB于點(diǎn)N，使AN＝AC，如圖所示．明顯當(dāng)射線CM處在∠ACN內(nèi)時(shí)，AM＜AC．又∠A＝45°，所以∠ACN＝67.5°，故所求概率為P＝eq\f(67.5°,90°)＝eq\f(3,4).][規(guī)律方法]求解與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型的方法求與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度(角度)，然后求解．要特殊留意“長(zhǎng)度型”與“角度型”的不同．解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事務(wù)的區(qū)域(長(zhǎng)度或角度)．與面積有關(guān)的幾何概型?考法1與平面圖形面積有關(guān)的問(wèn)題【例1】(2024·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(π,8)C．eq\f(1,2) D．eq\f(π,4)B[不妨設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得S正方形＝4.由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱，得S黑＝S白＝eq\f(1,2)S圓＝eq\f(π,2)，所以由幾何概型知所求概率P＝eq\f(S黑,S正方形)＝eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8).故選B.]?考法2與線性規(guī)劃學(xué)問(wèn)交匯命題的問(wèn)題【例2】在平面區(qū)域{(x，y)|0≤x≤1,1≤y≤2}內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿意y≤2x的概率為()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)A[依題意作出圖像如圖，則P(y≤2x)＝eq\f(S陰影,S正方形)＝eq\f(\f(1,2)×\f(1,2)×1,12)＝eq\f(1,4).][規(guī)律方法]1.與平面幾何、解析幾何等學(xué)問(wèn)交匯問(wèn)題的解題思路利用平面幾何、解析幾何等相關(guān)學(xué)問(wèn)，先確定基本領(lǐng)件對(duì)應(yīng)區(qū)域的形態(tài)，再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ê凸剑?jì)算出其面積，進(jìn)而代入公式求概率．2．與線性規(guī)劃交匯問(wèn)題的解題思路先依據(jù)約束條件作出可行域，再確定形態(tài)，求面積大小，進(jìn)而代入公式求概率．(1)已知實(shí)數(shù)m∈[0,1]，n∈[0,2]，則關(guān)于x的一元二次方程4x2＋4mx－n2＋2n＝0有實(shí)數(shù)根的概率是()A．1－eq\f(π,4) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π－3,2) D．eq\f(π,2)－1(2)在滿意不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≤0，,y≥0))的平面內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M(x0，y0)，設(shè)事務(wù)A＝“y0－2x0”，那么事務(wù)A發(fā)生的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)(1)A(2)B[(1)方程有實(shí)數(shù)根，即Δ＝16m2－16(－n2＋2n)≥0，m2＋n2－2n≥0，m2＋(n－1)2≥1，畫出圖形如圖所示，長(zhǎng)方形面積為2，半圓的面積為eq\f(π,2)，故概率為eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4).(2)作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≤0，,y≥0))的平面區(qū)域即△ABC，其面積為4，且事務(wù)A＝“y0＜2x0”表示的區(qū)域?yàn)椤鰽OC，其面積為3，所以事務(wù)A發(fā)生的概率是eq\f(3,4).]與體積有關(guān)的幾何概型1．已知正三棱錐S-ABC的底面邊長(zhǎng)為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC的概率是()A．eq\f(7,8) B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)A[當(dāng)P在三棱錐的三條側(cè)棱的中點(diǎn)所在的平面及下底面構(gòu)成的正三棱臺(tái)內(nèi)時(shí)符合要求，由幾何概型知，P＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).]2．一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，一只蝴蝶在幾何體ADF-BCE內(nèi)自由翱翔，則它飛入幾何體F-AMCD內(nèi)的概率為()A．eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)D[由題圖可知VF-AMCD＝eq\f(1,3)×S四邊形AMCD×DF＝eq\f(1,4)a3，VADF-BCE＝eq\f(1,2)a3，所以它飛入幾何體F-AMCD內(nèi)的概率為eq\f(\f(1,4)a3,\f(1,2)a3)＝eq\f(1,2).][規(guī)律方法]求解與體積有關(guān)的幾何概型的留意點(diǎn)對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總體積(總空間)以及事務(wù)的體積(事務(wù)空間)，對(duì)于某些較困難的也可利用其對(duì)立事務(wù)去求.1．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)B[如圖，7：50至8：30之間的時(shí)間長(zhǎng)度為40分鐘，而小明等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘是指小明在7：50至8：00之間或8：20至8：30之間到達(dá)發(fā)車站，此兩種狀況下的時(shí)間長(zhǎng)度之和為20分鐘，由幾何概型概率公式知所求概率為P＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2).故選B.]2．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒．若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少須要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A．eq\f(7,10)B．eq\f(5,8)C．eq\f(3,8)D．eq\f(3,10)B[如圖，若該行人在時(shí)間段AB的某一時(shí)刻來(lái)到該路口，則該行人至少等待15秒才出現(xiàn)綠燈．AB長(zhǎng)度為40－15＝25，由幾何概型的概率公式知，至少須要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為eq\f(40－15,40)＝eq\f(5,8)，故選B.]3．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為()A．eq\f(4n,m)B．eq\f(2n,m)C．eq\f(4m,n)D．eq\f(2m,n)C[因?yàn)閤1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在區(qū)間[0,1]內(nèi)隨機(jī)抽取，所以構(gòu)成的n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，如圖所示．若兩數(shù)的平方和小于1，則對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì)在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì))，故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對(duì)有m個(gè)．用隨機(jī)模擬的方法可得eq\f(S扇形,S正方形)＝eq\f(m,n)，即eq\f(π,4)＝eq\f(m,n)，所以π＝eq\f(4m,n).]六概率與統(tǒng)計(jì)中的高考熱點(diǎn)問(wèn)題[命題解讀]1.統(tǒng)計(jì)與概率是高考中相對(duì)獨(dú)立的一塊內(nèi)容，處理問(wèn)題的方式、方法體現(xiàn)了較高的思維含量，該類問(wèn)題以應(yīng)用題為載體，留意考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模及閱讀理解實(shí)力、分類探討與化歸轉(zhuǎn)化實(shí)力．2．概率問(wèn)題的核心是概率計(jì)算，其中事務(wù)的互斥、對(duì)立是概率計(jì)算的核心.統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的核心是樣本數(shù)據(jù)的獲得及分析方法，重點(diǎn)是頻率分布直方圖、莖葉圖和樣本的數(shù)字特征，統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容相互滲透，背景新奇．統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例以統(tǒng)計(jì)圖表或文字?jǐn)⑹龅膶?shí)際問(wèn)題為載體，通過(guò)對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)的分析、抽象概括，作出估計(jì)、推斷.常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等學(xué)問(wèn)交匯考查，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理實(shí)力與運(yùn)算實(shí)力及應(yīng)用意識(shí)．【例1】已知某班n名同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)試成果(單位：分，滿分100分)的頻率分布直方圖如圖所示，其中a，b，c成等差數(shù)列，且成果在[90,100]內(nèi)的有6人．(1)求n的值；(2)規(guī)定60分以下為不及格，若不及格的人中女生有4人，而及格的人中，男生比女生少4人，借助獨(dú)立性檢驗(yàn)分析能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.10的前提下認(rèn)為“本次測(cè)試的及格狀況與性別有關(guān)”？附：P(χ2≥x0)0.100.050.0100.005x02.7063.8416.6357.879χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).[解](1)依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10×0.035＋0.025＋c＋2b＋a＝1，,2b＝a＋c，))解得b＝0.01.因?yàn)槌晒赱90,100]內(nèi)的有6人，所以n＝eq\f(6,0.01×10)＝60.(2)由于2b＝a＋c，而b＝0.01，可得a＋c＝0.02，則不及格的人數(shù)為0.02×10×60＝12，及格的人數(shù)為60－12＝48，設(shè)及格的人中，女生有x人，則男生有x－4人，于是x＋x－4＝48，解得x＝26，故及格的人中，女生有26人，男生有22人．于是本次測(cè)試的及格狀況與性別的2×2列聯(lián)表如下：及格不及格總計(jì)男22830女26430總計(jì)481260所以χ2＝eq\f(60×22×4－8×262,30×30×48×12)＝1.667＜2.706，故不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.10的前提下認(rèn)為“本次測(cè)試的及格狀況與性別有關(guān)”．[規(guī)律方法]獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法(1)構(gòu)造2×2列聯(lián)表；(2)計(jì)算χ2；(3)查表確定有多大的把握判定兩個(gè)變量有關(guān)聯(lián)．易錯(cuò)提示：查表時(shí)不是查最大允許值，而是先依據(jù)題目要求的百分比找到第一行對(duì)應(yīng)的數(shù)值，再將該數(shù)值對(duì)應(yīng)的臨界值與求得的χ2相比較．另外，表中第一行數(shù)據(jù)表示兩個(gè)變量沒(méi)有關(guān)聯(lián)的可能性p，所以其有關(guān)聯(lián)的可能性為1－p.近幾年出現(xiàn)各種食品問(wèn)題，食品添加劑會(huì)引起血脂增高、血壓增高、血糖增高等疾病．為了解三高疾病是否與性別有關(guān)，醫(yī)院隨機(jī)對(duì)入院的60人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到了如下的列聯(lián)表：(1)請(qǐng)將如圖的列聯(lián)表補(bǔ)充完整．若用分層抽樣的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女生抽多少人？(2)為了探討患三高疾病是否與性別有關(guān)，請(qǐng)計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量χ2，并說(shuō)明是否可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為患三高疾病與性別有關(guān)．患三高疾病不患三高疾病總計(jì)男630女總計(jì)36下面的臨界值表供參考：P(χ2≥x0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001x02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(參考公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d)[解](1)完善補(bǔ)充列聯(lián)表如下：患三高疾病不患三高疾病總計(jì)男24630女121830總計(jì)362460在患三高疾病人群中抽9人，則抽取比例為eq\f(9,36)＝eq\f(1,4)，所以女性應(yīng)當(dāng)抽取12×eq\f(1,4)＝3(人)．(2)依據(jù)2×2列聯(lián)表，則χ2＝eq\f(60×24×18－6×122,30×30×36×24)＝10＞7.879.所以可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為患三高疾病與性別有關(guān)．常見(jiàn)概率模型的概率概率應(yīng)用題側(cè)重于古典概型，主要考查隨機(jī)事務(wù)、等可能事務(wù)、互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)的概率.解決簡(jiǎn)潔的古典概型試題可用干脆法(定義法)，對(duì)于較為困難的事務(wù)的概率，可以利用所求事務(wù)的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為互斥事務(wù)或?qū)α⑹聞?wù)的概率求解．【例2】(2024·全國(guó)卷Ⅲ)某超市安排按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．依據(jù)往年銷售閱歷，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．假如最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；假如最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；假如最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)安排，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率．(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的全部可能值，并估計(jì)Y大于零的概率．[解](1)這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率的估計(jì)值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，所以，Y的全部可能值為900,300，－100.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8.[規(guī)律方法]統(tǒng)計(jì)以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特征數(shù)的計(jì)算為主，概率以考查概率計(jì)算為主，往往和實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，要留意理解實(shí)際問(wèn)題的意義，使之和相應(yīng)的概率計(jì)算對(duì)應(yīng)起來(lái)，只有這樣才能有效地解決問(wèn)題．某商場(chǎng)在元旦實(shí)行購(gòu)物抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，規(guī)定顧客從裝有編號(hào)為0,1,2,3,4的五個(gè)相同小球的抽獎(jiǎng)箱中一次隨意摸出兩個(gè)小球，若取出的兩個(gè)小球的編號(hào)之和等于7，則中一等獎(jiǎng)，等于6或5，則中二等獎(jiǎng)，等于4，則中三等獎(jiǎng)，其余結(jié)果為不中獎(jiǎng)．(1)求中二等獎(jiǎng)的概率；(2)求不中獎(jiǎng)的概率．[解](1)記“中二等獎(jiǎng)”為事務(wù)A．從五個(gè)小球中一次隨意摸出兩個(gè)小球，不同的結(jié)果有{0,1}，{0,2}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共10個(gè)基本領(lǐng)件．記兩個(gè)小球的編號(hào)之和為x，由題意可知，事務(wù)A包括兩個(gè)互斥事務(wù)：x＝5，x＝6.事務(wù)x＝5的取法有2種，即{1,4}，{2,3}，故P(x＝5)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)；事務(wù)x＝6的取法有1種，即{2,4}，故P(x＝6)＝eq\f(1,10).所以P(A)＝P(x＝5)＋P(x＝6)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,10)＝eq\f(3,10).(2)記“不中獎(jiǎng)”為事務(wù)B，則“中獎(jiǎng)”為事務(wù)eq\x\to(B)，由題意可知，事務(wù)eq\x\to(B)包括三個(gè)互斥事務(wù)：中一等獎(jiǎng)(x＝7)，中二等獎(jiǎng)(事務(wù)A)，中三等獎(jiǎng)(x＝4)．事務(wù)x＝7的取法有1種，即{3,4}，故P(x＝7)＝eq\f(1,10)；事務(wù)x＝4的取法有{0,4}，{1,3}，共2種，故P(x＝4)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).由(1)可知，P(A)＝eq\f(3,10).所以P(eq\x\to(B))＝P(x＝7)＋P(x＝4)＋P(A)＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,5)＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5).所以不中獎(jiǎng)的概率為P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,5)＝eq\f(2,5).統(tǒng)計(jì)與概率的綜合應(yīng)用統(tǒng)計(jì)和概率學(xué)問(wèn)相結(jié)合命題統(tǒng)計(jì)概率解答題已經(jīng)是一個(gè)新的命題趨向，概率和統(tǒng)計(jì)學(xué)問(wèn)初步綜合解答題的主要依托點(diǎn)是統(tǒng)計(jì)圖表，正確相識(shí)和運(yùn)用這些圖表是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，在此基礎(chǔ)上駕馭好樣本數(shù)字特征及各類概率的計(jì)算．【例3】(本小題滿分12分)(2024·全國(guó)卷Ⅰ)某家庭記錄了未運(yùn)用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位：m3)和運(yùn)用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：未運(yùn)用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0，0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)[0.6，0.7)頻數(shù)13249265運(yùn)用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0，0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)頻數(shù)151310165(1)在下圖中作出訪用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；(2)估計(jì)該家庭運(yùn)用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率；(3)估計(jì)該家庭運(yùn)用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)約多少水？(一年按365天計(jì)算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表．)[信息提取]看到作頻率分布直方圖，想到作頻率分布直方圖的作圖規(guī)則；看到求概率，想到利用頻率分布直方圖求概率的方法；看到估計(jì)節(jié)水量，想到求運(yùn)用節(jié)水龍頭前后的用水量．[規(guī)范解答](1)如圖所示． 4分(2)依據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭運(yùn)用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48， 6分因此該家庭運(yùn)用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率的估計(jì)值為0.48.7分(3)該家庭未運(yùn)用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up13(－))1＝eq\f(1,50)(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48. 9分該家庭運(yùn)用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up13(－))2＝eq\f(1,50)(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35. 11分估計(jì)運(yùn)用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)約水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3). 12分[易錯(cuò)與防范]作頻率分布直方圖時(shí)留意縱軸單位是“eq\f(fi,Δxi)”，計(jì)算平均數(shù)時(shí)運(yùn)算要精確，避開(kāi)“會(huì)而不對(duì)”的失誤．[通性通法]概率與統(tǒng)計(jì)作為考查考生應(yīng)用意識(shí)的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn)．它與其他學(xué)問(wèn)融合、滲透，情境新奇，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)的工具性和交匯性．長(zhǎng)時(shí)間用手機(jī)上網(wǎng)嚴(yán)峻影響著學(xué)生的身體健康，某校為了解A，B兩班學(xué)生手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng)，分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將他們平均每周手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng)作為樣本繪制成莖葉圖如圖所示(圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個(gè)位數(shù)字)．(1)你能否估計(jì)哪個(gè)班級(jí)平均每周上網(wǎng)時(shí)間較長(zhǎng)？(2)從A班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)不超過(guò)19的數(shù)據(jù)記為a，從B班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)不超過(guò)21的數(shù)據(jù)記為b，求a>b的概率．[解](1)A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為eq\f(1,5)(9＋11＋14＋20＋31)＝17，由此估計(jì)A班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時(shí)間為17小時(shí)；B班樣本數(shù)據(jù)的平均值為eq\f(1,5)(11＋12＋21＋25＋26)＝19，由此估計(jì)B班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時(shí)間為19小時(shí)．所以B班學(xué)生上網(wǎng)時(shí)間較長(zhǎng)．(2)A班的樣本數(shù)據(jù)中不超過(guò)19的數(shù)據(jù)a有3個(gè)，分別為9,11,14，B班的樣本數(shù)據(jù)中不超過(guò)21的數(shù)據(jù)b也有3個(gè)，分別為11,12,21.從A班和B班的樣本數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取一個(gè)共有9種不同的狀況，分別為(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)，其中a>b的狀況有(14,11)，(14,12)，2種，故a>b的概率P＝eq\f(2,9).[大題增分專訓(xùn)]1．某校高三期中考試后，數(shù)學(xué)老師對(duì)本次全部數(shù)學(xué)成果按1∶20進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的成果為樣本，成果用莖葉圖記錄如圖所示，但部分?jǐn)?shù)據(jù)不當(dāng)心丟失，同時(shí)得到如下表所示的頻率分布表：分?jǐn)?shù)段(分)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]總計(jì)頻數(shù)b頻率a0.25(1)求表中a，b的值及成果在[90,110)范圍內(nèi)的樣本數(shù)，并估計(jì)這次考試全校高三學(xué)生數(shù)學(xué)成果的及格率(成果在[90,150]內(nèi)為及格)；(2)若從莖葉圖中成果在[100,130)范圍內(nèi)的樣本中一次性抽取兩個(gè)，求取出兩個(gè)樣本數(shù)字之差的肯定值小于或等于10的概率．[解](1)由莖葉圖知成果在[50,70)范圍內(nèi)的有2人，在[110,130)范圍內(nèi)的有3人，∴a＝0.1，b＝3.∵成果在[90,110)范圍內(nèi)的頻率為1－0.1－0.25－0.25＝0.4，∴成果在[90,110)范圍內(nèi)的樣本數(shù)為20×0.4＝8.估計(jì)這次考試全校高三學(xué)生數(shù)學(xué)成果的及格率為P＝1－0.1－0.25＝0.65.(2)全部可能的結(jié)果為(100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)，共21個(gè)，取出的兩個(gè)樣本中數(shù)字之差小于或等于10的結(jié)果為(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)，共10個(gè)，∴P(A)＝eq