PAGEPAGE4其次章推理與證明課時作業37一、選擇題1．否定結論“至多有兩個解”的說法中，正確的是()A．有一個解 B．有兩個解C．至少有三個解 D．至少有兩個解解析：在邏輯中“至多有n個”的否定是“至少有n＋1個”，所以“至多有兩個解”的否定為“至少有三個解”，故應選C.答案：C2．設a，b，c為正實數，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“PQR>0”是“P，Q，R同時大于零”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：首先若P，Q，R同時大于零，則必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，則P，Q，R同時大于零或其中兩個負數一個正數，不妨假設P<0，Q<0，∴a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0與b為正實數沖突，故P，Q，R都大于0.故選C.答案：C3．已知f(x)是R上的增函數，a，b∈R，下列四個命題：①若a＋b≥0，則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；②若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0；③若a＋b<0，則f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)；④若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，則a＋b<0.其中真命題的個數為()A.1 B.2C.3 D.4解析：易知①③正確．②用反證法：假設a＋b<0，則a<－b，b<－a，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)與條件沖突，故a＋b≥0，從而②為真命題，④類似于②用反證法．故選D.答案：D4．假如△A1B1C1的三個內角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內角的正弦值，則()A.△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形C.△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2C2是銳角三角形D.△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C2是鈍角三角形解析：因為正弦值在(0°，180°)內是正值，所以△A1B1C1的三個內角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是銳角三角形．假設△A2B2C2也是銳角三角形，并設cosA1＝sinA2，則cosA1＝cos(90°－∠A2)，所以∠A1＝90°－∠A2.同理設cosB1＝sinB2，cosC1＝sinC2，則有∠B1＝90°－∠B2，∠C1＝90°－∠C2.又∠A1＋∠B1＋∠C1＝180°，∴(90°－∠A2)＋(90°－∠B2)＋(90°－∠C2)＝180°，即∠A2＋∠B2＋∠C2＝90°.這與三角形內角和等于180°沖突，所以原假設不成立．故選D.答案：D二、填空題5．用反證法證明“f(x)＝x2＋px＋q，求證：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于eq\f(1,2)”時的假設為________．解析：“至少有一個”的反設詞為“一個也沒有”．答案：假設|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于eq\f(1,2)6．用反證法證明“一個三角形不能有兩個鈍角”有三個步驟：①∠A＋∠B＋∠C>180°，這與三角形內角和為180°沖突，故假設錯誤．②所以一個三角形不能有兩個鈍角．③假設△ABC中有兩個鈍角，不妨設∠A>90°，∠B>90°.上述步驟的正確依次為__________．解析：依據反證法知，上述步驟的正確依次應為③①②.答案：③①②7．若下列兩個方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個方程有實根，則實數a的取值范圍是______．解析：假設兩個一元二次方程均無實根，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝a－12－4a2<0，,Δ2＝2a2－4－2a<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a2＋2a－1>0，,a2＋2a<0，))解得{a|－2<a<－1}，所以其補集{a|a≤－2或a≥－1}即為所求的a的取值范圍．答案：{a|a≤－2或a≥－1}三、解答題8．設{an}，{bn}是公比不相等的兩個等比數列，cn＝an＋bn，證明數列{cn}不是等比數列．證明：假設數列{cn}是等比數列，利用{an}，{bn}是公比不相等的等比數列的條件推出沖突，即知假設不成立．假設數列{cn}是等比數列，則(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．①∵{an}，{bn}是公比不相等的兩個等比數列，設公比分別為p，q，∴aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1，beq\o\al(2,n)＝bn－1bn＋1.代入①并整理，得2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbn(eq\f(p,q)＋eq\f(q,p))，即2＝eq\f(p,q)＋eq\f(q,p).②當p，q異號時，eq\f(p,q)＋eq\f(q,p)<0，與②相沖突；當p，q同號時，由于p≠q，∴eq\f(p,q)＋eq\f(q,p)>2，與②相沖突．故數列{cn}不是等比數列．9．已知a，b，c是互不相等的實數，求證：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的交點．證明：假設題設中的函數確定的三條拋物線都不與x軸有兩個不同的交點．由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.同向