PAGEPAGE7課下實力提升(六)[學業(yè)水平達標練]題組1球的體積和表面積1．直徑為6的球的表面積和體積分別是()A．36π，144πB．36π，36πC．144π，36πD．144π，144π2．兩個半徑為1的鐵球，熔化成一個大球，這個大球的半徑為()A．2B.eq\r(2)C.eq\r(3,2)D.eq\f(1,2)eq\r(3,4)3．如圖是一個幾何體的三視圖，依據圖中數據，可得該幾何體的表面積是()A．9πB．10πC．11πD．12π4．火星的半徑約是地球半徑的一半，則地球的體積是火星體積的________倍．5．某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為________．6．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱體，左右兩端均為半球體，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積．題組2與球有關的切、接問題7．棱長為2的正方體的外接球的表面積是()A．8πB．4πC．12πD．16π8．(2024·淄博高一檢測)正方體的內切球與其外接球的體積之比為()A．1∶eq\r(3)B．1∶3C．1∶3eq\r(3)D．1∶99．若一個底面邊長為eq\f(\r(6),2)，側棱長為eq\r(6)的正六棱柱的全部頂點都在一個球面上，求該球的體積和表面積．[實力提升綜合練]1．(2024·濰坊高一檢測)將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為()A.eq\f(4π,3)B.eq\f(\r(2)π,3)C.eq\f(\r(3)π,2)D.eq\f(π,6)2．(2024·嘉興高一檢測)某幾何體的三視圖如圖所示，其中三角形的三邊長與圓的直徑均為2，則該幾何體的體積為()A.eq\f(4＋\r(3),3)πB.eq\f(32＋8\r(3),3)πC.eq\f(32＋\r(3),3)πD.eq\f(4＋3\r(3),3)π3．(2024·大連高一檢測)用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為π，則球的表面積為()A.eq\f(8π,3)B.eq\f(32π,3)C．8πD.eq\f(8\r(2)π,3)4．(2024·濟南高一檢測)一個三棱錐的三條側棱兩兩相互垂直且長分別為3、4、5，則它的外接球的表面積是()A．20eq\r(2)πB．25eq\r(2)πC．50πD．200π5．兩個球的半徑相差1，表面積之差為28π，則它們的體積和為________．6．圓柱形容器內盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好沉沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是________cm.7．(2024·石家莊高一月考)下圖是一個幾何體的三視圖(單位：cm)，試畫出它的直觀圖，并計算這個幾何體的體積與表面積．8．如圖所示，半徑為R的半圓內的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積．(其中∠BAC＝30°)答案[學業(yè)水平達標練]題組1球的體積和表面積1．解析：選B球的半徑為3，表面積S＝4π·32＝36π，體積V＝eq\f(4,3)π·33＝36π.2．解析：選C設熔化后的球的半徑為R，則其體積是原來小球的體積的2倍，即V＝eq\f(4,3)πR3＝2×eq\f(4,3)π×13，得R＝eq\r(3,2).3．解析：選D由三視圖可知，該幾何體的上部分是半徑為1的球，下部分是底面半徑為1，高為3的圓柱．由面積公式可得該幾何體的表面積是12π.4．解析：設火星半徑為r，則地球半徑為2r，eq\f(V地,V火)＝eq\f(\f(4,3)π2r3,\f(4,3)πr3)＝8.答案：85．解析：由三視圖可知，該幾何體為一個半徑為1的半球，其表面積為半個球面面積與截面面積的和，即eq\f(1,2)×4π＋π＝3π.答案：3π6．解：該組合體的表面積S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，該組合體的體積V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).題組2與球有關的切、接問題7．解析：選C正方體的體對角線長為2eq\r(3)，即2R＝2eq\r(3)，∴R＝eq\r(3)，S＝4πR2＝12π.8．解析：選C設正方體的棱長為a，則它的內切球的半徑為eq\f(1,2)a，它的外接球的半徑為eq\f(\r(3),2)a，故所求的比為1∶3eq\r(3).9．解：在底面正六邊形ABCDEF中，連接BE、AD交于O，連接BE1，則BE＝2OE＝2DE＝eq\r(6)，在Rt△BEE1中，BE1＝eq\r(BE2＋E1E2)＝2eq\r(3)，所以2R＝2eq\r(3)，則R＝eq\r(3)，所以球的體積V球＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π，球的表面積S球＝4πR2＝12π.[實力提升綜合練]1．解析：選A由題意知，此球是正方體的內切球，依據其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長是相等的，故可得球的直徑為2，故半徑為1，其體積是eq\f(4,3)×π×13＝eq\f(4π,3).2．解析：選A由三視圖可知，該幾何體是一個圓錐與一個球的組合體．圓錐的底面半徑與球的半徑均為1，圓錐的高為eq\r(22－1)＝eq\r(3)，∴該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＋eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4＋\r(3),3)π.3．解析：選C設球的半徑為R，則截面圓的半徑為eq\r(R2－1)，∴截面圓的面積為S＝π(eq\r(R2－1))2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面積S＝4πR2＝8π.4．解析：選D因為這個三棱錐的三條側棱兩兩相互垂直，所以此三棱錐可視為一個長方體的一個角(如圖所示)，而且此長方體的外接球就是三棱錐的外接球．設三棱錐的外接球半徑為r，則有(2r)2＝32＋42＋52＝50，即4r2＝50，它的外接球的表面積是S＝4πr2＝200π.5．解析：設大、小兩球半徑分別為R、r，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R－r＝1，,4πR2－4πr2＝28π，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝4，,r＝3，))所以體積和為eq\f(4,3)πR3＋eq\f(4,3)πr3＝eq\f(364π,3).答案：eq\f(364π,3)6．解析：設球的半徑為r，則圓柱形容器的高為6r，容積為πr2×6r＝6πr3，高度為8cm的水的體積為8πr2,3個球的體積和為3×eq\f(4,3)πr3＝4πr3，由題意6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4cm.答案：47．解：這個幾何體的直觀圖如圖所示．因為V長方體＝10×8×15＝1200(cm3)，又V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))3＝eq\f(125π,12)(cm3)，所以所求幾何體體積為V＝V長方體＋V半球＝1200＋eq\f(125π,12)(cm3)．因為S長方體表＝2×(10×8＋8×15＋10×15)＝700(cm2)，故所求幾何體的表面積為S＝S長方體表＋S半球－S半球底＝700＋eq\f(25π,4)(cm2)．8．解：如圖所示，過C作CO1⊥AB于O1.在半圓中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝eq\r(3)R，BC＝R，CO1＝eq\f(\r(3),2)R，∴S球＝4πR2，S圓錐AO1側＝π×eq\f(\r(3),2)R×eq\r(3)R