反比例函數與幾何圖形交點問題—2025年中考數學總復習考前板塊訓練一、選擇題1．如圖，已知點A是一次函數y＝2x的圖象與反比例函數y＝﹣kx的圖象在第一象限內的交點，AB⊥x軸于點B，點C在x軸的負半軸上，且∠ACB＝∠OAB，△AOB的面積為4，則點CA．（﹣5，0） B．（﹣6，0）C．（﹣5.5，0） D．（﹣4，0）2．如圖，矩形ABCD的邊BC在x軸的負半軸上，頂點D(a,b)在反比例函數y=kx的圖像上，直線AC交yA．－16 B．－8 C．－4 D．－23．如圖，點B在反比例函數y=8x(x>0)的圖象上，點C在反比例函數y=?4x(x>0)的圖象上，且BC//yA．4 B．5 C．6 D．74．如圖，A，~B是函數y=6x上兩點，P為一動點，作PB//①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，則OP平分∠AOB；④若S△BOP＝2，則S△ABP＝8A．①③ B．②③ C．②④ D．③④5．如圖，點P是函數y=k1x(k1>0,x>0)的圖像上一點，過點P分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為點A，~B，交函數y=k2x(k2>0A．①② B．①③ C．②③ D．①6．如圖，A、B是函數y=12①△AOP?△BOP；②S△AOP=S△BOP；③若OA=OB，則OP平分∠AOB；④A．①③ B．②③ C．②④ D．③④7．如圖，直線y=k1x+b與x軸，y軸相交于P，Q兩點，與y=k2x的圖象相交于A(?2,m),B(1,n)兩點，連接OA，OB．下列結論：A．①③ B．②③④ C．①③④ D．②④8．如圖，點P是函數y=k1x(k1>0,x>0)的圖象上一點，過點P分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為點A，、B，交函數y=k2xA．①② B．①③ C．②③ D．①9．如圖，四邊形OABC是平行四邊形，對角線OB在y軸上，位于第一象限的點A和第二象限的點C分別在雙曲線y=k1x和y=k2x的一支上，過點A，點C分別作x軸的垂線，垂足分別為M和N，有以下結論：①ON=OM；②AMCN=|k1kA．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④10．如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點O與坐標原點重合，頂點A、C分別在x軸、y軸上，反比例函數y＝kx（k≠0，x＞0）的圖象與正方形OABC的兩邊AB、BC分別交于點M、N，ND⊥x軸，垂足為D，連接OM、ON、MN，下列結論中①△OCN≌△OAM；②四邊形DAMN與△OMN面積相等；③ON＝MN；④若∠MON＝45°，MN＝2，則點C的坐標為（0，2其中正確的結論有（）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空題11．如圖，線段AB的兩端點分別在x軸正半軸和y軸負半軸上，且△ABO的面積為6，若雙曲線y=kx(k<0)恰好經過線段AB的中點M12．如圖，點A是反比例函數圖象上一點，過點A作AB⊥y軸于點B，點C，D在x軸上，且BC‖AD，四邊形ABCD的面積為3，則這個反比例函數的解析式為13．如圖，點A和點B分別是反比例函數y=mX(x>0)和y=nX(x>0)的圖象上的點，AB⊥x軸，點14．如圖，△ABC的頂點A，B在雙曲線y=kx上，頂點C在y軸上，BC邊與雙曲線交于點D，若BD=3CD，△ABC的面積為50，則k的值為15．如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的邊OA在x軸的負半軸上，反比例函數y＝kx（x＜0）的圖象經過對角線OB的中點D和頂點C．若菱形OABC的面積為6，則k的值等于16．如圖，點A是反比例函數y=kx(x>0)圖象上一點，過點A作AB⊥y軸于點B，點P在x軸上，且△17．/span>．如圖，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，頂點A，B分別在反比例函數y=1x(x>0)與y=18．如圖，在平面直角坐標系中，□OABC的頂點A，B在第一象限內，頂點C在y軸上，經過點A的反比例函數y=kx(x>0)的圖象交BC于點D．若CD=2BD19．如圖，正方形ABCD的頂點A在反比例函數y=kx(x>0)的圖象上，函數y=3x(x>0)的圖象關于直線AC對稱，且經過點B，D兩點，若AB=2，現給出下列結論：①O，A，C三點一定在同一直線上；②點A的橫坐標是2；③點20．如圖，點A，B分別是反比例函數y=ax(a>0,x>0)和y=bx(b<0,x<0)圖象上的點，且AB//三、解答題21．如圖1，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OC、OA分別在坐標軸上，且OA=3，OC=6，反比例函數y=kxx>0的圖象與AB、BC（1）如圖2，連結OD、OE，當△OAD的面積為2時：①k=______；②求△ODE的面積；（2）如圖3，將△DEB沿DE翻折，當點B的對稱點F恰好落在邊OC上時，求k的值．22．如圖（1）【閱讀理解】王亮同學在學習了“平行線分線段成比例定理”后，發現角平分線還具有性質“若AD是△ABC的一條角平分線（如圖①），則ABAC=BDDC．”對此結論他進行了證明，想法是：過點C作AD的平行線交BA的延長線于點（2）【問題解決】請你利用以上角平分線的性質解決下列問題：如圖③，已知反比例函數y＝22x，點A是該圖象第一象限上的動點，連接AO并延長交另一支于點B，以AB為斜邊作等腰直角△ABC，頂點C在第四象限，AC與x軸交于點P，連接BP，點A在運動過程中，是否存在BP恰好平分∠ABC的情況，若存在，請求出點23．學習了圖形的旋轉之后，小明知道，將點P繞著某定點A順時針旋轉一定的角度α，能得到一個新的點P'，經過進一步探究，小明發現，當上述點P在某函數圖象上運動時，點P'也隨之運動，并且點試根據下列各題中所給的定點A的坐標，角度α的大小來解決相關問題．（1）【初步感知】如圖1，設A(1,1),α=90①點P1旋轉后，得到的點P1'②若點P'的運動軌跡經過點P（2）【深入感悟】如圖2，設A(0,0),α=45°，點P是反比例函數（3）【靈活運用】如圖3，設A(1,?3),α=60°24．如圖1，直線y=?x+42與x，y軸的交點分別為點A，B，與反比例函數y=6x（1）求△OCD的面積；（2）是否存在點M，使得△ODM~△OAD？若存在，請求出點（3）過點M分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為E，F，是否存在點M，使得矩形OEMF與△OCD的重疊部分的面積S等于236？若存在，請求出點M25．在平面直角坐標系中，若某函數的圖象經過矩形ABCD對角線的兩個端點，則定義該函數為矩形ABCD的“友好函數”，例如：如圖1，矩形ABCD，經過點A?1,1和點C3,3的一次函數y=1（1）如圖2，矩形ABCD的頂點坐標分別為A2,1，B6,1，C6,3，D2,3，反比例函數y=k（2）矩形ABCD在第一象限，AB∥x軸，AD∥y軸，且點A的坐標為1,2，正比例函數y1=ax經過點A，且是矩形ABCD的“友好函數”，反比例函數y2①如圖3，當OC>OA時，將矩形ABCD沿AC折疊，點B的對應點為E，若點E落在y軸上，求k的值；②設矩形ABCD的周長為y，求y關于k的函數表達式；③在②的條件下，當矩形ABCD的周長y=4時，設矩形ABCD的面積為S1；當矩形ABCD的周長y=8時，設矩形ABCD的面積為S2，請直接寫出26．【問題背景】如1圖，在平面直角坐標系中，點B，D是直線y=ax(a>0)上第一象限內的兩個動點(OD>OB)，以線段BD為對角線作矩形ABCD【構建聯系】（1）求證：函數y=kx的圖象必經過點（2）如2圖，把矩形ABCD沿BD折疊，點C的對應點為E.當點E落在y軸上，且點B的坐標為(1,2（3）【深入探究】如3圖，把矩形ABCD沿BD折疊，點C的對應點為E.當點E，A重合時，連接AC交BD于點P.以點O為圓心，AC長為半徑作⊙O.若OP=32，當⊙O與△ABC的邊有交點時，求k27．【閱讀理解】如圖1，在平面直角坐標系中，直線l的函數關系式y=kx+b，P1x1,y1，P2x2,y2是直線l上任意兩個不同的點，過點P1、P2分別作y軸、x軸的平行線交于點【直接應用】（1）直線y=2x+1的“縱橫比”為_______，直線y=?1【拓展提升】（2）如圖2，已知直線l:y=kx+bk>0與直線l':y=mx+nm<0互相垂直，請用“縱橫比”原理以及相關的幾何知識分析【綜合應用】（3）如圖3，已知點A8,0，P是y軸上一動點，線段PA繞著點P按逆時針方向旋轉90°至線段PB，設此時點B的運動軌跡為直線l，若另一條直線m⊥l，且與y=2x28．如圖1，直線y=?2x+6的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點D是線段AB上一點，過D點分別作OA、OB的垂線，垂足分別是C、E，矩形OCDE的面積為4，且CD>DE．（1）求D點坐標；（2）將矩形OCDE以1個單位/秒的速度向右平移，平移后記為矩形MNPQ，記平移時間為t秒．①如圖2，當矩形MNPQ的面積被直線AB平分時，求t的值；②如圖3，當矩形MNPQ的邊與反比例函數y=12

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】B11．【答案】-312．【答案】y=?13．【答案】414．【答案】?1015．【答案】﹣216．【答案】-1217．【答案】518．【答案】1819．【答案】①③20．【答案】2421．【答案】（1）①4；解：②在矩形OABC中，OA=BC=3，OC=AB=6，∵k=4，∴反比例函數的解析式是：y=4∵OA=3，即點D的縱坐標是3，令4x解得：x=4∴D43同理，當x=6時，y=4∴E6,∴AD=43，BD=AB?AD=6?43=∴=OA?OC?=6×3?2?2?=77（2）解：過點D作DG⊥x軸于點G，則DG=OA=3，∵OA=3，即點D的縱坐標是3，令y=k解得：x=k∴Dk同理可得，當x=6時，y=k∴E6,∴AD=k3，BD=AB?AD=6?k3，由折疊的性質可知：DF=BD=6?k3，FE=BE=3?k∴∠DFG+∠CFE=90°，∵DG⊥x軸，∴∠DFG+∠GDF=90°，∴∠CFE=∠GDF，∵∠CFE=∠GDF，∠FCE=∠DGF=90°∴△CFE∽△GDF，∴CE即k6∴GF=k∵DG⊥x軸，∴△GDF是直角三角形，DG∴3解得：k=27即k的值為27422．【答案】（1）證明：∵AD∥CE，∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE，ABBD∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠E＝∠ACE，∴AC＝AE∴ABBD（2）解：假設存在．∵點A在反比例函數y=2∴設點A的坐標為(m,∵△ABC為以AB邊為底邊的等腰直角三角形，點C為點A繞原點O順時針旋轉90°后得到的點，∴點C的坐標為（22∵BP平分∠ABC，∴∴AP=2PC解得：m=2或m=?經檢驗m=2是方程2∴點C的坐標為(2故存在BP平分∠ABC的情況，此時點C的坐標為(23．【答案】（1）解：①（1，3）；②（2）解：設雙曲線與二，四象限平分線交于N點，則：y=?x,y=?1x(①當x≤?1時，作PQ⊥x軸于Q，∵∠QAM=∠PO∴∠PAQ=∠∵PM⊥AM∴∠∴在△PQA和△P∠PQA=∠∴△PQA?△∴S△P②當?1<x<0時，作PH⊥y軸于點H，∵∠PO∴∠PON=∠∴∠M∵∠POH=∠PO∴∠POH=∠M在△POH和△OP∠PHO=∠OM∴△POH?△O∴綜上所述，△OMP'的面積為（3）解：24．【答案】（1）解：當y=?x+42=0時，∴點B的坐標為(0解方程組：y=?x+42得：x=32y=2∴點C坐標為(2,32)過點C作CG⊥OB于點G，過點D作DH⊥OB于點H，∴S（2）解：存在點M，使得△ODM∽△OAD，假設存在點M，使得△ODM∽△OAD，此時∠MDO＝45°，以OD為直角邊構建等腰直角△NOD，過點N作NP⊥OB于點P，過點D作DQ⊥OA于點Q，∴∠NOP+∠POD＝∠DOQ+∠POD＝90°，∴∠NOP＝∠DOQ，∵∠NPO＝∠DQO＝90°，NO＝DO，∴△NPO≌△DQO（AAS），∴PN=QD=∴點N的坐標為(?設直線DN的關系式為：y=kx+b，把點D(3解得：k=?1直線DN的函數關系式為：y=?1解方程組：y=?1解得：x=22y=3∴點M坐標為(22∴DM=(OD=(OA=42AD=∴AD:∴AD：OA＝DM：OD，且∠MDO＝∠DAO＝45°∴△MOD~DOA，此時M點坐標為（3）解：如圖，重疊面積為四邊形MSOT，設點M坐標為(m,6m)，根據點D坐標為當x=m時，y=1∴點T的坐標為(m,∴OE=m根據點C坐標為(2,32)，得OC的關系式為：y=3x解得：x=2∴點S的坐標為(2∴SF=∵矩形OEMF與△OCD的重疊部分的面積S等于236∴6?化簡得，m4解得：m=±2或±3，∵m>0，∴m=2或3，∴m點坐標為(2,325．【答案】（1）解：將點B6,1的坐標代入反比例函數表達式y=kx得：k=1×6=6，∴反比例函數的表達式為：y=6x，

當x=2時，y=3，

∴點D在反比例函數圖象上，（2）解：①將點A1,2的坐標代入正比例函數表達式y1=ax得a=2，∴正比例函數表達式為y=2x，

∵正比例函數是矩形ABCD的“友好函數”，

∴點C在直線y=2x上，

設點Cm,2m，則B(m,2),D(1,2m)，

∴AB=m?1,BC=2m?2；

∵將矩形ABCD沿AC折疊，點B的對應點為E，點E落在y軸上，

∴AE=AB=m?1，CE=BC=2m?2，∠BCO=∠ECO，

延長BA交y軸于F，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAB=90°，BC∥AD，

∵AD∥y軸，

∴∠EFA=∠DAB=90°，BC∥y，

∴∠BCO=∠EOC，

∵∠BCO=∠ECO，

∴∠EOC=∠ECO，

∴OE=CE=2m?2，

∵AB∥x軸，

∴F0,2，AF=1，

∴OF=2，

∴EF=OE?OF=2m?2?2=2m?4，

在Rt△AEF中，AF2+EF2=AE2，

∴1+2m?42=m?12，

解得：m=83或m=2，

∵AE>AF，

∴m?1>1，

∴m>2，

∴m=83，

當m=83時，B83,2，

把B83,2代入反比例函數y=kx得，k=163；

②當OC>OA時，即m>1，

將點B(m,2)的坐標代入反比例函數表達式得k=2m，即m=k2，∵AB=m?1,BC=2m?2，

∴y=2AB+BC=6m?6=3k?6，

∵m>1，

∴k>2，

∴當k>2時，y=3k?6，

當OC<OA時，即0<k<226．【答案】（1）證明：設點B(t，at)，D(s，as)，

∵四邊形ABCD是矩形，且AD∥x軸，

∴點A(t，as)，C(s，at)，

∵反比例函數經過點A(t，as)，代入反比例函數中，

∴k=ast，

此時，若x=s，則y=ks=ast（2）解：如圖，連接CE，延長CB和DA交y軸與點F和點G，

∵B(1，2)，代入直線y=ax(a>0)，

∴2=a，即直線y=2x，

設點D(2m，4m)，

此時點C(2m，2)，A(1，4m)，

即BC=2m-1，CD=4m-2，BF=1，

∵四邊形ABCD是矩形，△DEB是△DCB折疊所得，

∴∠DEB=∠DCB=90°，CE⊥BD，

∴∠BDC+∠CBD=∠BCE+∠DCE=90°，

∴∠CDB=∠FCE，

在Rt△CFE和Rt△DCB中，

tan∠BDC=tan∠ECF，

∴BCCD=EFCF，即2m?14m?2=EF2m=12，

∴EF=m，

同理，∠BEF+∠EBF=∠DEG+∠EDG=90°，

在Rt△BFE和Rt△DGE中，

tan∠BEF=tan∠EDG，

∴BFEF=GEDG，即1m=GE2m，

∴GE=2，（3）解：如圖，過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，交BC于點N，

∵矩形ABCD沿BD折疊，點E，A重合時，

此時AB=AC，故四邊形ABCD是正方形，

∴BD平分∠ABC，即∠BOM=45°，

∴OM=PM，

在等腰Rt△OMP中，

∵OP=32，

∴由勾股定理得OM=PM=3，即點P(3，3)

設點B(a，a)，則C(6-a，a)，D(6-a，6-a)，A(a，-a+6)，

易得直線AC的解析式為y=-x+6，此時k=a(-a+