數(shù)學(xué)模型建立與解決實(shí)際問(wèn)題案例分析集姓名_________________________地址_______________________________學(xué)號(hào)______________________-------------------------------密-------------------------封----------------------------線--------------------------1.請(qǐng)首先在試卷的標(biāo)封處填寫您的姓名，身份證號(hào)和地址名稱。2.請(qǐng)仔細(xì)閱讀各種題目，在規(guī)定的位置填寫您的答案。一、數(shù)學(xué)模型建立案例題1.案例一：庫(kù)存控制模型

題目：某超市為了提高庫(kù)存管理效率，采用經(jīng)濟(jì)訂貨批量（EOQ）模型進(jìn)行庫(kù)存控制。已知該超市某種商品的年需求量為10000件，每次訂貨成本為50元，單位商品的年存儲(chǔ)成本為2元。請(qǐng)計(jì)算該商品的EOQ訂貨量。

2.案例二：生產(chǎn)線調(diào)度模型

題目：某生產(chǎn)線有5個(gè)工序，每個(gè)工序的加工時(shí)間分別為2小時(shí)、3小時(shí)、4小時(shí)、5小時(shí)和6小時(shí)。為了提高生產(chǎn)效率，需要安排合理的調(diào)度方案。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)生產(chǎn)線調(diào)度模型，并計(jì)算最優(yōu)調(diào)度方案。

3.案例三：運(yùn)輸路徑優(yōu)化模型

題目：某物流公司有3個(gè)配送中心，分別位于A、B、C三個(gè)城市。公司需要從A城市向B、C城市配送貨物，貨物總量為100噸。已知A、B、C三城市之間的距離分別為100公里、200公里和150公里。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)運(yùn)輸路徑優(yōu)化模型，并計(jì)算最優(yōu)配送方案。

4.案例四：需求預(yù)測(cè)模型

題目：某手機(jī)廠商為了預(yù)測(cè)未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)手機(jī)銷量，采用時(shí)間序列分析法進(jìn)行需求預(yù)測(cè)。已知過(guò)去6個(gè)月的手機(jī)銷量數(shù)據(jù)1200、1300、1400、1500、1600、1700。請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)下一個(gè)月的手機(jī)銷量。

5.案例五：供應(yīng)鏈管理模型

題目：某供應(yīng)鏈包含供應(yīng)商、制造商和分銷商。供應(yīng)商向制造商提供原材料，制造商將原材料加工成產(chǎn)品，分銷商將產(chǎn)品銷售給消費(fèi)者。已知供應(yīng)商的供應(yīng)能力為1000單位，制造商的加工能力為800單位，分銷商的銷售能力為600單位。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)供應(yīng)鏈管理模型，并計(jì)算各環(huán)節(jié)的優(yōu)化方案。

6.案例六：風(fēng)險(xiǎn)管理模型

題目：某企業(yè)在進(jìn)行投資決策時(shí)，需要評(píng)估項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)。已知該項(xiàng)目可能產(chǎn)生以下三種收益：100萬(wàn)元、0萬(wàn)元和100萬(wàn)元，對(duì)應(yīng)的概率分別為0.2、0.5和0.3。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)管理模型，并計(jì)算該項(xiàng)目的期望收益。

7.案例七：市場(chǎng)預(yù)測(cè)模型

題目：某家電廠商為了預(yù)測(cè)未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)家電市場(chǎng)銷量，采用回歸分析法進(jìn)行市場(chǎng)預(yù)測(cè)。已知過(guò)去6個(gè)月的家電市場(chǎng)銷量數(shù)據(jù)1200、1300、1400、1500、1600、1700。請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)下一個(gè)月的家電市場(chǎng)銷量。

答案及解題思路：

1.案例一：庫(kù)存控制模型

答案：EOQ訂貨量=√(2DS/H)=√(2×10000×50/2)=1000件

解題思路：根據(jù)EOQ模型公式計(jì)算訂貨量。

2.案例二：生產(chǎn)線調(diào)度模型

答案：最優(yōu)調(diào)度方案為：15234

解題思路：根據(jù)約翰遜規(guī)則，計(jì)算各工序的最優(yōu)調(diào)度順序。

3.案例三：運(yùn)輸路徑優(yōu)化模型

答案：最優(yōu)配送方案為：A→B→C

解題思路：根據(jù)運(yùn)輸距離和貨物總量，計(jì)算最優(yōu)配送路徑。

4.案例四：需求預(yù)測(cè)模型

答案：預(yù)測(cè)下一個(gè)月的手機(jī)銷量為1800件

解題思路：根據(jù)時(shí)間序列分析法，計(jì)算趨勢(shì)和季節(jié)性成分，預(yù)測(cè)下一個(gè)月銷量。

5.案例五：供應(yīng)鏈管理模型

答案：供應(yīng)商、制造商和分銷商的優(yōu)化方案分別為：供應(yīng)商提供1000單位原材料，制造商加工800單位產(chǎn)品，分銷商銷售600單位產(chǎn)品。

解題思路：根據(jù)供應(yīng)鏈各環(huán)節(jié)的供應(yīng)和需求能力，計(jì)算優(yōu)化方案。

6.案例六：風(fēng)險(xiǎn)管理模型

答案：期望收益=(100×0.20×0.5100×0.3)=10萬(wàn)元

解題思路：根據(jù)概率和收益計(jì)算期望收益。

7.案例七：市場(chǎng)預(yù)測(cè)模型

答案：預(yù)測(cè)下一個(gè)月的家電市場(chǎng)銷量為1800件

解題思路：根據(jù)回歸分析法，計(jì)算趨勢(shì)和季節(jié)性成分，預(yù)測(cè)下一個(gè)月銷量。二、數(shù)學(xué)模型求解案例題1.案例一：線性規(guī)劃模型求解

題目：某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需原材料X、Y、Z分別為1噸、0.5噸、0.2噸，生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需原材料X、Y、Z分別為1.5噸、0.2噸、0.5噸。企業(yè)共有原材料X、Y、Z各500噸，產(chǎn)品A、B每噸售價(jià)分別為1000元、2000元，請(qǐng)求解生產(chǎn)A、B產(chǎn)品各多少噸，以實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化。

2.案例二：整數(shù)規(guī)劃模型求解

題目：某工廠有4臺(tái)機(jī)器，每天可工作10小時(shí)。A產(chǎn)品生產(chǎn)一臺(tái)機(jī)器需2小時(shí)，B產(chǎn)品生產(chǎn)一臺(tái)機(jī)器需3小時(shí)，C產(chǎn)品生產(chǎn)一臺(tái)機(jī)器需4小時(shí)。A、B、C產(chǎn)品每臺(tái)售價(jià)分別為100元、200元、300元。請(qǐng)求解生產(chǎn)A、B、C產(chǎn)品各多少臺(tái)，以實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化。

3.案例三：非線性規(guī)劃模型求解

題目：某投資者在股票市場(chǎng)進(jìn)行投資，已知股票A、B、C的預(yù)期收益率分別為8%、10%、12%，方差分別為0.02、0.05、0.09。投資者希望構(gòu)建一個(gè)投資組合，使組合的預(yù)期收益率最大，同時(shí)方差最小。請(qǐng)求解投資組合中股票A、B、C的投資比例。

4.案例四：動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型求解

題目：某快遞公司需要優(yōu)化配送路線，已知配送中心與5個(gè)配送點(diǎn)之間的距離如下表所示：

配送點(diǎn)距離

A10

B15

C20

D25

E30

請(qǐng)求解最優(yōu)配送路線，使總距離最小。

5.案例五：隨機(jī)規(guī)劃模型求解

題目：某企業(yè)進(jìn)行新產(chǎn)品的研發(fā)，已知研發(fā)成功率為50%，研發(fā)周期為1年，研發(fā)成本為10萬(wàn)元。若新產(chǎn)品成功，企業(yè)可盈利100萬(wàn)元；若失敗，則無(wú)盈利。請(qǐng)求解企業(yè)是否應(yīng)進(jìn)行新產(chǎn)品研發(fā)，并計(jì)算期望利潤(rùn)。

6.案例六：混合整數(shù)規(guī)劃模型求解

題目：某物流公司負(fù)責(zé)將貨物從甲地運(yùn)送到乙地，共有3輛貨車，每輛貨車容量為10噸。貨物總量為35噸，甲地到乙地的運(yùn)輸成本為每噸2元。請(qǐng)求解如何分配貨物到各輛貨車，以實(shí)現(xiàn)成本最小化。

7.案例七：多目標(biāo)規(guī)劃模型求解

題目：某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需原材料X、Y、Z分別為1噸、0.5噸、0.2噸，生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需原材料X、Y、Z分別為1.5噸、0.2噸、0.5噸。企業(yè)共有原材料X、Y、Z各500噸，產(chǎn)品A、B每噸售價(jià)分別為1000元、2000元。請(qǐng)求解生產(chǎn)A、B產(chǎn)品各多少噸，以實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化，同時(shí)盡量減少原材料消耗。

答案及解題思路：

（1）線性規(guī)劃模型求解

答案：A產(chǎn)品生產(chǎn)20噸，B產(chǎn)品生產(chǎn)10噸

解題思路：建立線性規(guī)劃模型，求解目標(biāo)函數(shù)最大化問(wèn)題。

（2）整數(shù)規(guī)劃模型求解

答案：A產(chǎn)品生產(chǎn)5臺(tái)，B產(chǎn)品生產(chǎn)7臺(tái)，C產(chǎn)品生產(chǎn)5臺(tái)

解題思路：建立整數(shù)規(guī)劃模型，求解目標(biāo)函數(shù)最大化問(wèn)題。

（3）非線性規(guī)劃模型求解

答案：股票A、B、C的投資比例分別為0.5、0.3、0.2

解題思路：建立非線性規(guī)劃模型，求解目標(biāo)函數(shù)最大化問(wèn)題。

（4）動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型求解

答案：最優(yōu)配送路線為A→C→E→D→B

解題思路：利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，求解最短路徑問(wèn)題。

（5）隨機(jī)規(guī)劃模型求解

答案：企業(yè)應(yīng)進(jìn)行新產(chǎn)品研發(fā)，期望利潤(rùn)為50萬(wàn)元

解題思路：利用概率論知識(shí)，求解期望利潤(rùn)最大化問(wèn)題。

（6）混合整數(shù)規(guī)劃模型求解

答案：將20噸貨物分配到前兩輛貨車，剩余15噸貨物分配到后一輛貨車

解題思路：建立混合整數(shù)規(guī)劃模型，求解成本最小化問(wèn)題。

（7）多目標(biāo)規(guī)劃模型求解

答案：A產(chǎn)品生產(chǎn)15噸，B產(chǎn)品生產(chǎn)25噸

解題思路：建立多目標(biāo)規(guī)劃模型，求解利潤(rùn)最大化與原材料消耗最小化問(wèn)題。三、數(shù)學(xué)模型在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用題1.問(wèn)題一：企業(yè)利潤(rùn)最大化問(wèn)題

案例背景：

某電子產(chǎn)品制造商生產(chǎn)兩款手機(jī)，手機(jī)A和手機(jī)B。制造商的固定成本為每月100萬(wàn)元，手機(jī)A的變動(dòng)成本為每臺(tái)300元，手機(jī)B的變動(dòng)成本為每臺(tái)400元。市場(chǎng)調(diào)研表明，手機(jī)A的需求函數(shù)為\(Q_A=15003P_A\)，手機(jī)B的需求函數(shù)為\(Q_B=12002P_B\)，其中\(zhòng)(P_A\)和\(P_B\)分別為手機(jī)A和手機(jī)B的售價(jià)。

問(wèn)題：

（1）建立利潤(rùn)函數(shù)\(P(x,y)\)表示制造商的利潤(rùn)，其中\(zhòng)(x\)和\(y\)分別為手機(jī)A和手機(jī)B的產(chǎn)量。

（2）求在何種產(chǎn)量下，制造商可以實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化。

2.問(wèn)題二：生產(chǎn)成本最小化問(wèn)題

案例背景：

某公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，產(chǎn)品A和產(chǎn)品B。生產(chǎn)1單位產(chǎn)品A需要2單位原材料和1單位勞動(dòng)力，生產(chǎn)1單位產(chǎn)品B需要3單位原材料和2單位勞動(dòng)力。原材料的成本為每單位10元，勞動(dòng)力的成本為每單位20元。公司每月可用的原材料為100單位，勞動(dòng)力為80單位。

問(wèn)題：

（1）建立生產(chǎn)成本函數(shù)\(C(z,w)\)表示公司的總成本，其中\(zhòng)(z\)和\(w\)分別為產(chǎn)品A和產(chǎn)品B的產(chǎn)量。

（2）在給定的資源限制下，如何安排生產(chǎn)計(jì)劃以最小化總成本。

3.問(wèn)題三：運(yùn)輸成本最小化問(wèn)題

案例背景：

某物流公司有5個(gè)倉(cāng)庫(kù)和4個(gè)配送中心。倉(cāng)庫(kù)到配送中心的運(yùn)輸成本如下表所示（單位：元/噸）：

倉(cāng)庫(kù)配送中心1配送中心2配送中心3配送中心4

151078

261189

34967

4712910

58131011

每個(gè)倉(cāng)庫(kù)每月有200噸貨物需要運(yùn)輸。

問(wèn)題：

（1）建立運(yùn)輸成本函數(shù)\(T(u,v)\)表示公司的總運(yùn)輸成本，其中\(zhòng)(u\)和\(v\)分別為從倉(cāng)庫(kù)u到配送中心v的貨物量。

（2）如何安排貨物運(yùn)輸計(jì)劃以最小化總運(yùn)輸成本。

4.問(wèn)題四：資源優(yōu)化配置問(wèn)題

案例背景：

某農(nóng)場(chǎng)有400畝土地，可用于種植玉米或小麥。玉米的每畝產(chǎn)量為3000斤，每畝收益為2000元；小麥的每畝產(chǎn)量為2500斤，每畝收益為1800元。農(nóng)場(chǎng)的勞動(dòng)力有限，每月可投入的勞動(dòng)力為1000工時(shí)，種植玉米每畝需要5工時(shí)，種植小麥每畝需要6工時(shí)。

問(wèn)題：

（1）建立收益函數(shù)\(R(x,y)\)表示農(nóng)場(chǎng)的總收益，其中\(zhòng)(x\)和\(y\)分別為玉米和小麥的種植面積。

（2）如何分配種植面積以最大化農(nóng)場(chǎng)的總收益。

5.問(wèn)題五：風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估問(wèn)題

案例背景：

某投資公司計(jì)劃投資兩種資產(chǎn)，股票和債券。股票的預(yù)期收益率為20%，方差為0.04；債券的預(yù)期收益率為10%，方差為0.01。兩種資產(chǎn)的協(xié)方差為0.008。

問(wèn)題：

（1）建立風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整后的收益函數(shù)\(R(z)\)表示投資組合的預(yù)期收益率，其中\(zhòng)(z\)為投資于股票的資金比例。

（2）如何分配投資以最小化投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。

6.問(wèn)題六：市場(chǎng)占有率問(wèn)題

案例背景：

某飲料公司生產(chǎn)兩種飲料，飲料A和飲料B。飲料A的市場(chǎng)需求函數(shù)為\(Q_A=15003P_A\)，飲料B的市場(chǎng)需求函數(shù)為\(Q_B=12002P_B\)。飲料A的邊際成本為每單位10元，飲料B的邊際成本為每單位12元。

問(wèn)題：

（1）建立市場(chǎng)占有率函數(shù)\(S(x,y)\)表示飲料公司對(duì)市場(chǎng)的總占有率，其中\(zhòng)(x\)和\(y\)分別為飲料A和飲料B的產(chǎn)量。

（2）如何確定產(chǎn)量以最大化公司的市場(chǎng)占有率。

7.問(wèn)題七：生產(chǎn)計(jì)劃制定問(wèn)題

案例背景：

某制造公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，產(chǎn)品X和產(chǎn)品Y。生產(chǎn)1單位產(chǎn)品X需要3小時(shí)機(jī)器時(shí)間和2小時(shí)人工時(shí)間，生產(chǎn)1單位產(chǎn)品Y需要2小時(shí)機(jī)器時(shí)間和1小時(shí)人工時(shí)間。公司每月可用機(jī)器時(shí)間為300小時(shí)，人工時(shí)間為240小時(shí)。產(chǎn)品X的售價(jià)為100元，產(chǎn)品Y的售價(jià)為200元。

問(wèn)題：

（1）建立生產(chǎn)計(jì)劃函數(shù)\(P(t,u)\)表示公司的總利潤(rùn)，其中\(zhòng)(t\)和\(u\)分別為產(chǎn)品X和產(chǎn)品Y的產(chǎn)量。

（2）如何安排生產(chǎn)計(jì)劃以最大化公司的總利潤(rùn)。

答案及解題思路：

1.企業(yè)利潤(rùn)最大化問(wèn)題

解題思路：利用需求函數(shù)和成本函數(shù)，建立利潤(rùn)函數(shù)，然后求解利潤(rùn)函數(shù)的最大值。

答案：通過(guò)求導(dǎo)找到利潤(rùn)函數(shù)的極值點(diǎn)，確定最大利潤(rùn)的產(chǎn)量。

2.生產(chǎn)成本最小化問(wèn)題

解題思路：建立成本函數(shù)，并考慮資源限制，使用線性規(guī)劃方法求解成本最小化問(wèn)題。

答案：使用線性規(guī)劃軟件或手工計(jì)算得到最優(yōu)的生產(chǎn)計(jì)劃。

3.運(yùn)輸成本最小化問(wèn)題

解題思路：建立運(yùn)輸成本函數(shù)，考慮所有可能的運(yùn)輸組合，使用運(yùn)輸算法（如最小成本法）求解最小運(yùn)輸成本。

答案：應(yīng)用運(yùn)輸算法得到最優(yōu)的貨物分配方案。

4.資源優(yōu)化配置問(wèn)題

解題思路：建立收益函數(shù)，并考慮資源限制，使用線性規(guī)劃方法求解收益最大化問(wèn)題。

答案：通過(guò)線性規(guī)劃得到最優(yōu)的種植面積分配。

5.風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估問(wèn)題

解題思路：使用投資組合的協(xié)方差和方差，建立風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整后的收益函數(shù)，求解最小化風(fēng)險(xiǎn)的投資比例。

答案：通過(guò)優(yōu)化風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整后的收益函數(shù)，確定最優(yōu)的投資比例。

6.市場(chǎng)占有率問(wèn)題

解題思路：建立市場(chǎng)占有率函數(shù)，并考慮成本因素，使用線性規(guī)劃方法求解市場(chǎng)占有率最大化問(wèn)題。

答案：通過(guò)線性規(guī)劃得到最優(yōu)的產(chǎn)量分配。

7.生產(chǎn)計(jì)劃制定問(wèn)題

解題思路：建立生產(chǎn)計(jì)劃函數(shù)，并考慮資源限制，使用線性規(guī)劃方法求解利潤(rùn)最大化問(wèn)題。

答案：通過(guò)線性規(guī)劃得到最優(yōu)的生產(chǎn)計(jì)劃。四、數(shù)學(xué)模型建立與求解綜合題1.綜合題一：生產(chǎn)與庫(kù)存問(wèn)題

題目：某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每單位產(chǎn)品生產(chǎn)成本為30元，每單位產(chǎn)品的銷售價(jià)格為60元。已知每月的最大產(chǎn)量為1000件，市場(chǎng)需求量每月至少為800件。假設(shè)公司保持庫(kù)存水平不變，且市場(chǎng)需求滿足時(shí)產(chǎn)品銷售率保持穩(wěn)定，請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型計(jì)算公司每月最優(yōu)庫(kù)存量。

答案：假設(shè)每月銷售量為x件，則庫(kù)存量為1000x件。公司每月的總成本為30x30(1000x)=30000元。銷售總收入為60x元。設(shè)最優(yōu)庫(kù)存量為y件，則有：

y=1000x

30x30(1000x)=60x

3000030x=60x

90x=30000

x=333.33（取整數(shù)，為333件）

y=1000333=667件

因此，公司每月最優(yōu)庫(kù)存量為667件。

解題思路：首先建立庫(kù)存模型，然后通過(guò)求解線性方程組得到最優(yōu)庫(kù)存量。

2.綜合題二：運(yùn)輸與配送問(wèn)題

題目：某物流公司有3個(gè)倉(cāng)庫(kù)，分別為A、B、C，每個(gè)倉(cāng)庫(kù)的容量分別為1000立方米、800立方米和600立方米。該公司有5個(gè)配送中心，分別為X、Y、Z、W、V，每個(gè)配送中心的月需求量分別為400立方米、300立方米、200立方米、100立方米和50立方米。假設(shè)運(yùn)輸成本為每立方米5元，請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型計(jì)算公司每月的總運(yùn)輸成本。

答案：假設(shè)從倉(cāng)庫(kù)A、B、C運(yùn)輸?shù)脚渌椭行腦、Y、Z、W、V的運(yùn)輸量分別為x1、x2、x3、x4、x5立方米。根據(jù)題意，可得以下數(shù)學(xué)模型：

x1x2x3=400

x2x4x5=300

x3x4=200

x4=100

x5=50

設(shè)公司每月總運(yùn)輸成本為y元，則有：

y=5(x1x2x3x4x5)

y=5(40030020010050)

y=5(1000)

y=5000元

因此，公司每月總運(yùn)輸成本為5000元。

解題思路：建立運(yùn)輸模型，求解線性方程組得到運(yùn)輸量，進(jìn)而計(jì)算總運(yùn)輸成本。

3.綜合題三：生產(chǎn)與成本問(wèn)題

題目：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每單位產(chǎn)品的固定成本為10元，單位變動(dòng)成本為5元。已知該工廠每月最多可以生產(chǎn)2000件產(chǎn)品。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型計(jì)算工廠每月的最小總成本。

答案：假設(shè)工廠每月生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則總成本為105x元。由題意知，x≤2000。設(shè)最小總成本為y元，則有：

y=105x

y≤1052000

y≤1010000

y≤10010元

因此，工廠每月最小總成本為10010元。

解題思路：建立成本模型，求解不等式得到最小總成本。

4.綜合題四：需求與市場(chǎng)預(yù)測(cè)問(wèn)題

題目：某公司預(yù)測(cè)其產(chǎn)品在未來(lái)6個(gè)月的需求量分別為1000件、1200件、1500件、1800件、2000件和2200件。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)第7個(gè)月的需求量。

答案：假設(shè)需求量y與時(shí)間t滿足線性關(guān)系y=atb，其中a和b為待定系數(shù)。根據(jù)已知數(shù)據(jù)，可得以下方程組：

1000=a1b

1200=a2b

1500=a3b

1800=a4b

2000=a5b

2200=a6b

求解方程組，可得a=100，b=900。因此，第7個(gè)月的需求量y=1007900=1700件。

解題思路：建立線性預(yù)測(cè)模型，求解方程組得到預(yù)測(cè)結(jié)果。

5.綜合題五：風(fēng)險(xiǎn)管理問(wèn)題

題目：某公司進(jìn)行一項(xiàng)投資，投資金額為100萬(wàn)元，預(yù)期年收益為10%。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型計(jì)算公司面臨的風(fēng)險(xiǎn)。

答案：假設(shè)投資收益率服從正態(tài)分布，均值為10%，標(biāo)準(zhǔn)差為5%。設(shè)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)為α，則有：

P(X≤10%)=1α

查表可得，α≈0.1587

因此，公司面臨的風(fēng)險(xiǎn)約為15.87%。

解題思路：建立正態(tài)分布模型，求解概率得到風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)。

6.綜合題六：供應(yīng)鏈優(yōu)化問(wèn)題

題目：某供應(yīng)鏈有3個(gè)供應(yīng)商，分別為A、B、C，供應(yīng)的產(chǎn)品分別為100件、200件和300件。公司每月最多可以購(gòu)買1000件產(chǎn)品。已知供應(yīng)商A、B、C的供應(yīng)成本分別為每件10元、8元和6元，請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型計(jì)算公司每月的最小總成本。

答案：假設(shè)從供應(yīng)商A、B、C購(gòu)買的產(chǎn)品數(shù)量分別為x1、x2、x3件。根據(jù)題意，可得以下數(shù)學(xué)模型：

x1x2x3=1000

10x18x26x3=最小值

求解上述方程組，可得x1=400，x2=200，x3=400。因此，公司每月最小總成本為4000元。

解題思路：建立成本優(yōu)化模型，求解方程組得到最優(yōu)采購(gòu)方案。

7.綜合題七：多目標(biāo)決策問(wèn)題的

題目：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，需要從3種原料中選擇一種。已知原料A、B、C的成本分別為每噸1000元、800元和600元，產(chǎn)量分別為每噸1000件、1500件和2000件。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型計(jì)算選擇哪種原料可以使工廠獲得最大利潤(rùn)。

答案：假設(shè)工廠選擇原料A、B、C的數(shù)量分別為x1、x2、x3噸。利潤(rùn)函數(shù)為：

P=(1000x11500x22000x3)(1000x1800x2600x3)

P=200x1700x21400x3

求解線性規(guī)劃問(wèn)題，可得最優(yōu)解為x1=0，x2=0，x3=1。因此，工廠應(yīng)選擇原料C。

解題思路：建立多目標(biāo)決策模型，求解線性規(guī)劃問(wèn)題得到最優(yōu)解。五、數(shù)學(xué)模型建模方法題1.方法一：需求預(yù)測(cè)建模方法

題目：某電商公司希望預(yù)測(cè)其下季度某種熱門商品的銷售量。已知過(guò)去12個(gè)月的銷售數(shù)據(jù)如下（單位：件）：1000,1100,1200,1300,1250,1400,1500,1350,1600,1550,1700,1650。請(qǐng)利用需求預(yù)測(cè)建模方法，預(yù)測(cè)該商品下季度的銷售量。

答案：

預(yù)測(cè)下季度銷售量為1650件。

解題思路：

采用時(shí)間序列分析方法，利用移動(dòng)平均法對(duì)銷售數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

2.方法二：庫(kù)存控制建模方法

題目：某公司每月需采購(gòu)某種原材料，其采購(gòu)周期為一個(gè)月。已知公司每月對(duì)該原材料的最大需求量為500件，安全庫(kù)存量為200件。請(qǐng)根據(jù)歷史采購(gòu)數(shù)據(jù)，運(yùn)用庫(kù)存控制建模方法，確定合理的訂貨點(diǎn)和訂貨量。

答案：

訂貨點(diǎn)為500件，訂貨量為600件。

解題思路：

采用經(jīng)濟(jì)訂貨批量（EOQ）模型，根據(jù)歷史采購(gòu)數(shù)據(jù)計(jì)算最優(yōu)訂貨點(diǎn)和訂貨量。

3.方法三：生產(chǎn)計(jì)劃建模方法

題目：某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每月固定成本為10000元，單位變動(dòng)成本為50元。根據(jù)市場(chǎng)需求，該產(chǎn)品每月的最大產(chǎn)量為1000件。請(qǐng)運(yùn)用生產(chǎn)計(jì)劃建模方法，確定該企業(yè)的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃。

答案：

最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃為每月生產(chǎn)800件。

解題思路：

采用線性規(guī)劃方法，根據(jù)市場(chǎng)需求和成本函數(shù)，求解最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃。

4.方法四：運(yùn)輸路徑優(yōu)化建模方法

題目：某物流公司需要將10噸貨物從A地運(yùn)送到B地，共有5個(gè)中間站點(diǎn)。已知各站點(diǎn)間的運(yùn)輸距離和運(yùn)輸成本如下表所示（單位：公里、元/噸）：

起點(diǎn)/終點(diǎn)ABCDE

A200150180120

B200100130150

C1501007090

D1801307080

E1201509080

請(qǐng)運(yùn)用運(yùn)輸路徑優(yōu)化建模方法，確定從A地到B地的最優(yōu)運(yùn)輸路徑。

答案：

最優(yōu)運(yùn)輸路徑為ADEB。

解題思路：

采用最小樹(shù)算法，根據(jù)運(yùn)輸距離和成本計(jì)算最優(yōu)運(yùn)輸路徑。

5.方法五：供應(yīng)鏈管理建模方法

題目：某供應(yīng)鏈由供應(yīng)商、制造商、分銷商和零售商組成。已知供應(yīng)商每月最多供應(yīng)1000件產(chǎn)品，制造商每月最多生產(chǎn)1500件產(chǎn)品，分銷商每月最多銷售2000件產(chǎn)品，零售商每月最多銷售2500件產(chǎn)品。請(qǐng)運(yùn)用供應(yīng)鏈管理建模方法，確定各環(huán)節(jié)的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃和銷售計(jì)劃。

答案：

供應(yīng)商每月供應(yīng)1000件產(chǎn)品，制造商每月生產(chǎn)1000件產(chǎn)品，分銷商每月銷售2000件產(chǎn)品，零售商每月銷售2000件產(chǎn)品。

解題思路：

采用線性規(guī)劃方法，根據(jù)各環(huán)節(jié)的產(chǎn)能和市場(chǎng)需求，求解最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃和銷售計(jì)劃。

6.方法六：風(fēng)險(xiǎn)管理建模方法

題目：某企業(yè)面臨以下三種風(fēng)險(xiǎn)事件：A（生產(chǎn)）、B（市場(chǎng)波動(dòng)）、C（原材料價(jià)格波動(dòng)）。已知三種風(fēng)險(xiǎn)事件的概率和損失如下表所示：

風(fēng)險(xiǎn)事件ABC

概率0.10.20.3

損失（萬(wàn)元）532

請(qǐng)運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)管理建模方法，確定企業(yè)面臨風(fēng)險(xiǎn)事件時(shí)的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)策略。

答案：

企業(yè)應(yīng)采取A事件的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避策略，B事件的風(fēng)險(xiǎn)分散策略，C事件的風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移策略。

解題思路：

根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)事件的概率和損失，采用貝葉斯決策方法，確定最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)策略。

7.方法七：市場(chǎng)預(yù)測(cè)建模方法

題目：某企業(yè)希望預(yù)測(cè)下季度某種新產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率。已知過(guò)去4個(gè)季度的市場(chǎng)占有率數(shù)據(jù)15%，18%，20%，22%。請(qǐng)運(yùn)用市場(chǎng)預(yù)測(cè)建模方法，預(yù)測(cè)下季度該產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率。

答案：

預(yù)測(cè)下季度市場(chǎng)占有率為24%。

解題思路：

采用指數(shù)平滑法，根據(jù)過(guò)去四個(gè)季度的市場(chǎng)占有率數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)下季度市場(chǎng)占有率。六、數(shù)學(xué)模型求解方法題1.方法一：線性規(guī)劃求解方法

a)題目：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，生產(chǎn)產(chǎn)品A需要2小時(shí)機(jī)器時(shí)間和1小時(shí)人工時(shí)間，生產(chǎn)產(chǎn)品B需要1小時(shí)機(jī)器時(shí)間和2小時(shí)人工時(shí)間。工廠每天有8小時(shí)機(jī)器時(shí)間和10小時(shí)人工時(shí)間。產(chǎn)品A每件利潤(rùn)為50元，產(chǎn)品B每件利潤(rùn)為30元。如何安排生產(chǎn)計(jì)劃以最大化利潤(rùn)？

b)解答：

建立變量：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，生產(chǎn)B產(chǎn)品y件。

目標(biāo)函數(shù)：最大化利潤(rùn)Z=50x30y。

約束條件：

機(jī)器時(shí)間：2xy≤8。

人工時(shí)間：x2y≤10。

非負(fù)約束：x≥0,y≥0。

解答：使用線性規(guī)劃求解器求解，得到最優(yōu)解為x=2,y=3，最大利潤(rùn)為240元。

2.方法二：整數(shù)規(guī)劃求解方法

a)題目：某物流公司有5輛貨車，每輛貨車最多載重10噸。現(xiàn)有3個(gè)貨物，重量分別為5噸、7噸和8噸。如何分配貨物以最大化載重？

b)解答：

建立變量：設(shè)貨物i（i=1,2,3）分配到貨車j（j=1,2,3,4,5）的決策變量為x_ij。

目標(biāo)函數(shù)：最大化總載重Z=5x_117x_218x_31。

約束條件：

每輛貨車載重不超過(guò)10噸：x_11x_21x_31x_12x_22x_32x_13x_23x_33≤10。

每個(gè)貨物只能分配一輛貨車：x_ij∈{0,1}。

解答：使用整數(shù)規(guī)劃求解器求解，得到最優(yōu)解為貨物5噸分配到貨車1，7噸分配到貨車2，8噸分配到貨車3。

3.方法三：非線性規(guī)劃求解方法

a)題目：某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為C(x)=x^24x5，收入函數(shù)為R(x)=10xx^2。如何確定生產(chǎn)量x以最大化利潤(rùn)？

b)解答：

建立變量：設(shè)生產(chǎn)量為x。

目標(biāo)函數(shù)：最大化利潤(rùn)Z=R(x)C(x)=10xx^2(x^24x5)。

約束條件：x≥0。

解答：使用非線性規(guī)劃求解器求解，得到最優(yōu)解為x=3，最大利潤(rùn)為16。

4.方法四：動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解方法

a)題目：一個(gè)背包問(wèn)題，背包容量為10千克，有三種物品，重量分別為2千克、3千克和5千克，價(jià)值分別為4元、6元和10元。如何選擇物品以最大化背包價(jià)值？

b)解答：

建立變量：設(shè)物品i（i=1,2,3）是否放入背包的決策變量為x_i。

目標(biāo)函數(shù)：最大化背包價(jià)值Z=4x_16x_210x_3。

約束條件：

背包容量：2x_13x_25x_3≤10。

非負(fù)約束：x_i∈{0,1}。

解答：使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解器求解，得到最優(yōu)解為選擇物品1和物品2，背包價(jià)值為10元。

5.方法五：隨機(jī)規(guī)劃求解方法

a)題目：某投資者有100萬(wàn)元用于投資，投資于股票、債券和現(xiàn)金的比例分別為x、y、z。股票的預(yù)期收益率為0.2，債券的預(yù)期收益率為0.1，現(xiàn)金的預(yù)期收益率為0.05。如何分配投資以最大化預(yù)期收益率？

b)解答：

建立變量：設(shè)投資于股票、債券和現(xiàn)金的比例分別為x、y、z。

目標(biāo)函數(shù)：最大化預(yù)期收益率Z=0.2x0.1y0.05z。

約束條件：

總投資額：xyz=100。

非負(fù)約束：x≥0,y≥0,z≥0。

解答：使用隨機(jī)規(guī)劃求解器求解，得到最優(yōu)解為x=50,y=30,z=20，預(yù)期收益率為0.175。

6.方法六：混合整數(shù)規(guī)劃求解方法

a)題目：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)產(chǎn)品A需要2小時(shí)機(jī)器時(shí)間和1小時(shí)人工時(shí)間，生產(chǎn)產(chǎn)品B需要1小時(shí)機(jī)器時(shí)間和2小時(shí)人工時(shí)間。工廠每天有8小時(shí)機(jī)器時(shí)間和10小時(shí)人工時(shí)間。產(chǎn)品A每件利潤(rùn)為50元，產(chǎn)品B每件利潤(rùn)為30元。工廠有5名工人，每人每天工作8小時(shí)。如何安排生產(chǎn)計(jì)劃以最大化利潤(rùn)？

b)解答：

建立變量：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，生產(chǎn)B產(chǎn)品y件，使用工人i（i=1,2,3,4,5）的決策變量為w_i。

目標(biāo)函數(shù)：最大化利潤(rùn)Z=50x30y。

約束條件：

機(jī)器時(shí)間：2xy≤8。

人工時(shí)間：x2y≤10。

工人時(shí)間：w_1w_2w_3w_4w_5=40。

非負(fù)約束：x≥0,y≥0,w_i∈{0,1}。

解答：使用混合整數(shù)規(guī)劃求解器求解，得到最優(yōu)解為x=2,y=3，最大利潤(rùn)為240元。

7.方法七：多目標(biāo)規(guī)劃求解方法

a)題目：某城市規(guī)劃部門需要決定新建住宅區(qū)的綠化帶寬度，以同時(shí)滿足居民對(duì)綠化的需求和城市美觀。假設(shè)綠化帶寬度為x米，居民滿意度函數(shù)為S(x)=5xx^2，城市美觀度函數(shù)為A(x)=x^24x5。如何確定綠化帶寬度以最大化居民滿意度和城市美觀度？

b)解答：

建立變量：設(shè)綠化帶寬度為x。

目標(biāo)函數(shù)：最大化居民滿意度S(x)和城市美觀度A(x)。

約束條件：x≥0。

解答：使用多目標(biāo)規(guī)劃求解器求解，得到綠化帶寬度x的多個(gè)可能解，根據(jù)決策者的偏好選擇合適的寬度。

答案及解題思路：

線性規(guī)劃：使用線性規(guī)劃求解器，得到最優(yōu)解為x=2,y=3，最大利潤(rùn)為240元。

整數(shù)規(guī)劃：使用整數(shù)規(guī)劃求解器，得到最優(yōu)解為貨物5噸分配到貨車1，7噸分配到貨車2，8噸分配到貨車3。

非線性規(guī)劃：使用非線性規(guī)劃求解器，得到最優(yōu)解為x=3，最大利潤(rùn)為16。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃：使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解器，得到最優(yōu)解為選擇物品1和物品2，背包價(jià)值為10元。

隨機(jī)規(guī)劃：使用隨機(jī)規(guī)劃求解器，得到最優(yōu)解為x=50,y=30,z=20，預(yù)期收益率為0.175。

混合整數(shù)規(guī)劃：使用混合整數(shù)規(guī)劃求解器，得到最優(yōu)解為x=2,y=3，最大利潤(rùn)為240元。

多目標(biāo)規(guī)劃：使用多目標(biāo)規(guī)劃求解器，得到綠化帶寬度x的多個(gè)可能解，根據(jù)決策者的偏好選擇合適的寬度。

解題思路簡(jiǎn)要闡述：

對(duì)于線性規(guī)劃，通過(guò)建立線性目標(biāo)函數(shù)和線性約束條件，使用線性規(guī)劃求解器找到最優(yōu)解。

對(duì)于整數(shù)規(guī)劃，通過(guò)建立整數(shù)目標(biāo)函數(shù)和整數(shù)約束條件，使用整數(shù)規(guī)劃求解器找到最優(yōu)解。

對(duì)于非線性規(guī)劃，通過(guò)建立非線性目標(biāo)函數(shù)和非線性約束條件，使用非線性規(guī)劃求解器找到最優(yōu)解。

對(duì)于動(dòng)態(tài)規(guī)劃，通過(guò)建立遞推關(guān)系和邊界條件，使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解器找到最優(yōu)解。

對(duì)于隨機(jī)規(guī)劃，通過(guò)建立隨機(jī)目標(biāo)函數(shù)和隨機(jī)約束條件，使用隨機(jī)規(guī)劃求解器找到最優(yōu)解。

對(duì)于混合整數(shù)規(guī)劃，結(jié)合整數(shù)規(guī)劃和線性規(guī)劃的求解方法，使用混合整數(shù)規(guī)劃求解器找到最優(yōu)解。

對(duì)于多目標(biāo)規(guī)劃，通過(guò)建立多個(gè)目標(biāo)函數(shù)和約束條件，使用多目標(biāo)規(guī)劃求解器找到多個(gè)可能解，并根據(jù)決策者偏好選擇。七、數(shù)學(xué)模型應(yīng)用案例題1.案例一：某企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃制定

問(wèn)題：某企業(yè)需要制定一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃，以最大化利潤(rùn)并滿足市場(chǎng)需求。已知該企業(yè)每月有固定的生產(chǎn)成本、固定銷售成本