高等數學(上)總復習第一部分

復習重點及題型分析第二部分

高等數學(上)方法綜述第1頁第一部分

復習重點及題型分析復習重點三個基本計算—極限,導數,積分兩個基本應用—導數應用,積分應用一個基本理論—相關中值定理及應用第2頁一.三個基本計算

(約70%)1.極限計算(約24%)主要題型(1)利用基本方法求極限函數連續性;四則運算法則;極限存在準則;兩個主要極限;等價無窮小替換;洛必塔法則.(2)利用特殊方法求極限導數定義;定積分定義;微分中值定理;變限積分求導;討論左右極限.(3)無窮小量比較第3頁例題分析例1.計算解:解:利用等價關系例2.設f(x)處處連續,且f(2)=3,計算第4頁解:化為指數形式,利用例3.計算解:例4.計算第5頁例5.計算解:令

例6.計算解:令第6頁例7.計算解:利用等價無窮小例8.計算解:第7頁例9.求解:令則原式=洛例10.計算解:直接用洛必塔法則不方便利用等價無窮小第8頁例11.

計算解:利用微分中值定理例12.計算解:洛這是積分變量第9頁例13.求原式=洛利用等價無窮小解:第10頁例14.已知解:對所給等式左邊用洛必塔法則,得再利用可知求a,b.第11頁2.導數和微分計算(約18%)主要題型(1)計算復合函數導數和微分;(2)計算隱函數導數和微分;(3)參數方程求一階、二階導數;(4)用導數定義求特殊點導數值;(5)計算n階導數.(包含對數微分法)例題分析第12頁例1.已知解法1.等式兩邊對x求導,得故解法2.等式兩邊取對數,得兩邊對x求導,得故第13頁例2.已知解：兩邊取對數，得兩邊對x求導第14頁例3.證實下述函數在x=0連續且可導證:因為又在x=0連續且可導.思索:若函數改為是否有一樣結論?第15頁例4.已知解:,求第16頁例5.設

解:第17頁例6.

設解:第18頁例7.設求解:第19頁例8.求解:方法1.利用歸納法可證方法2.利用萊布尼茲求導公式

n階導數.第20頁例9.設求解:第21頁3.不定積分與定積分計算(約28%)主要題型(1)利用基本積分方法計算不定積分;(2)利用基本積分方法及公式計算定積分;(3)利用簡化技巧計算積分;(4)廣義積分計算及收斂性判別.例題分析第22頁例1.求解:令令例2.求解:第23頁例3.求解:原式=第24頁例4.求解:例5.討論積分解:斂散性.發散可見原積分發散.第25頁例6.求解:奇函數偶函數例7.已知解:對所給等式兩邊求導,得求利用“偶倍奇零”,得第26頁例8.設,求(P270題13)解:令則第27頁例9.已知解:由已知條件得求第28頁例10.求解:利用P248例6(2),即第29頁例11.利用遞推公式計算以下廣義積分解:(P260題3)第30頁二.兩個基本應用(約24%)1.導數應用(約16%)主要題型(1)導數幾何應用(2)利用導數研究函數形態(3)求解最值問題(4)利用導數證實恒等式(5)利用單調性證實不等式第31頁例1.設函數在定義域內可導,圖形如右圖所表示,則導函數圖形為

.(考研)提醒:在某區間I內可導,則在I內是極值點例題分析第32頁例2.

證實在上單調增加.證:令在[x,

x+1]上利用拉氏中值定理,故當x>0時,從而在上單調增.得第33頁例3.證實當x>0時,證法1:設則故證法2:當x>0時,在[x,

x+1]上利用拉氏中值定理,得第34頁例4.證實:證:即第35頁例5.證實當證:歸結為證即在(0,1)上不好判別正負號提醒:證實f(0)是f(x)在(–,1)上最大值.說明:若改為證實當x<1時,怎樣證實?第36頁例5.設證:設且①②比較①,②可知,故不等式成立.第37頁有兩個根;例6.討論方程有幾個實根.解:設令得(最大值)注意所以當時,當時,只有一個根；當時,無實根.(P153題6)第38頁例7.求雙曲線曲率半徑

R,并分析何處R

最小?解:則利用第39頁例8.求內接于半徑為R球內正圓錐體最大致積.解:設錐體底半徑為r,高為h,如圖因△ADB∽

△BDE,所以圓錐體體積為極大值點在(0,2R)內只有唯一駐點,且為極大值點,故為最大值點,最大值為第40頁2.定積分應用

(約8%)(1)利用定積分計算面積直角坐標方程參數方程極坐標方程(2)利用定積分計算弧長及旋轉體體積(3)定積分物理應用(4)相關定積分證實題主要題型例題分析第41頁例1.求曲線解:設切點為則切線方程為令得與其經過原點切線及y軸所圍圖形面積.故所求面積為第42頁例2.求曲線解:列表:繞x軸旋轉所得旋轉體體積.第43頁例3.求拋物線解:與直線所圍圖形繞y軸旋轉一周所得旋轉體體積.（此題也可用柱殼法）（普通法）第44頁例4.求由圓解:圓方程為圍成平面圖形繞x軸旋轉一周形成旋轉體體積.利用“偶倍奇零”（這是柱殼法）第45頁例5.證實提醒:令,得x=1,0,判別x=1為f(x)在上唯一極大點,故則時第46頁例6.求拋物線在(0,1)內一條切線,使它與兩坐標軸和拋物線所圍圖形面積最小.解:設拋物線上切點為則該點處切線方程為它與x,y軸交點分別為所求面積第47頁且為最小點.故所求切線為得[0,1]上唯一駐點第48頁三.一個基本理論—相關中值問題(約5%)主要題型(1)討論函數零點問題或方程根問題存在性唯一性—慣用介值定理;羅爾定理—利用單調性;反證法(2)利用微分和積分中值定理證實等式或不等式例1.敘述拉格朗日中值定理并證實之.提醒:利用逆向思維設出滿足羅爾定理輔助函數.例題分析第49頁例2.設常數最少有一正根,且不超出證:設,則均為正值,證實方程若則為一正根,且符合題意.若則由根存在定理知,,又最少存在一個使,即所給方程最少有一個不超出正根.第50頁證實方程例3.已知證:先證存在性.使再證唯一性.在[0,1]上有唯一根.則所以,即假設方程還有一根則無妨設x

0<x1,故存在一點則在[x0,x1]上F(x)滿足羅爾定理條件,即與已知條件矛盾,故假設不真,所以根唯一.第51頁例4.設證:設證實存在唯一一點所以存在唯一一點即第52頁例5.上可積且不變號,證實存在使(P270題14)證實思緒:想到用介值定理第53頁上可積且不變號,證明存在使例5.證實:設M,m分別為上最大值與最小值,不妨設若則故對任意結論都正確;若由連續函數介值定理可知,存在使,故定理成立.則則第54頁例6.設在內二階可求證:最少存導,且在一點提醒:由積分中值定理得上用羅爾定理得上用羅爾定理,得第55頁例7.

證實方程證:設

原方程存在唯一實根由使在[0,1]上存在唯一實根xn,且則得由①

①第56頁四.幾點說明1.函數也是考試重點(1)函數定義域及復合函數表示式(2)討論函數在一點連續或間斷例1.證實解:在x=0連續.第57頁例2.設解:故x=0為第一類跳躍間斷點.并指出其間斷點類型.思索:怎樣求及其間斷點?第58頁例3.設解:因為x>0時,F(x)可導,故連續,問a取何值時F(x)連續?顯然連續,第59頁2.注意綜合試題(1)極限與其它知識點結合(2)求導與積分方法結合(3)導數應用與積分應用