《勾股定理》考點分類練習一、知識要點：1、勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。也就是說：假如直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2。公式的變形：a2=c2-b2，b2=c2-a2。2、勾股定理的逆定理假如三角形ABC的三邊長分別是a，b，c，且滿足a2+b2=c2，那么三角形ABC是直角三角形。這個定理叫做勾股定理的逆定理.該定理在應用時，同學們要注意處理好如下幾種要點：已知的條件：某三角形的三條邊的長度.②滿足的條件：最大邊的平方=最小邊的平方+中間邊的平方.③得到的結論：這個三角形是直角三角形，并且最大邊的對角是直角.④假如不滿足條件，就闡明這個三角形不是直角三角形。3、勾股數滿足a2+b2=c2的三個正整數，稱為勾股數。注意：①勾股數必須是正整數，不能是分數或小數。②一組勾股數擴大相似的正整數倍後，仍是勾股數。常見勾股數有：（3，4，5

）(5，12，13

)(

6，8，10

)

(

7，24，25

)

(

8，15，17

)(9，12，15

)

4、最短距離問題：重要運用的根據是兩點之間線段最短。二、考點剖析考點一：運用勾股定理求面積1、求陰影部分面積：（1）陰影部分是正方形；（2）陰影部分是長方形；（3）陰影部分是半圓．2.如圖，以Rt△ABC的三邊為直徑分別向外作三個半圓，試探索三個半圓的面積之間的關系．3、如圖所示，分別以直角三角形的三邊向外作三個正三角形，其面積分別是S1、S2、S3，則它們之間的關系是（）A.S1-S2=S3B.S1+S2=S3C.S2+S3<S1D.S2-S3=S14、四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。5、在直線上依次擺放著七個正方形（如圖4所示）。已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個正方形的面積依次是、=_____________?？键c二：在直角三角形中，已知兩邊求第三邊 1．在直角三角形中,若兩直角邊的長分別為1cm，2cm，則斜邊長為．2．（易錯題、注意分類的思想）已知直角三角形的兩邊長為3、2，則另一條邊長的平方是3、已知直角三角形兩直角邊長分別為5和12，求斜邊上的高．4、把直角三角形的兩條直角邊同步擴大到本來的2倍，則斜邊擴大到本來的（）A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍5、在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，則c=___________；②若a=15，c=25，則b=___________；③若c=61，b=60，則a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10則Rt△ABC的面積是=________。6、假如直角三角形的兩直角邊長分別為，2n（n>1），那么它的斜邊長是（）A、2n B、n+1 C、n2－1 D、7、在Rt△ABC中，a,b,c為三邊長，則下列關系中對的的是（）A.B.C.D.以上均有也許8、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，則Rt△ABC的面積是（）A、24 B、36 C、48 D、609、已知x、y為正數，且│x2-4│+（y2-3）2=0，假如以x、y的長為直角邊作一種直角三角形，那么以這個直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為（） A、5 B、25 C、7 D、15考點三：應用勾股定理在等腰三角形中求底邊上的高例、如圖1所示，等腰中，，是底邊上的高，若，求①AD的長；②ΔABC的面積．考點四：勾股數的應用、運用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀、最大、最小角的問題1、下列各組數據中的三個數，可作為三邊長構成直角三角形的是（）A.4，5，6B.2，3，4C.11，12，13D.8，15，172、若線段a，b，c構成直角三角形，則它們的比為（）A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶73、下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三邊長分別為8，15，17．其中是直角三角形的個數有（）．A．1個B．2個C．3個D．4個4、若三角形的三邊之比為，則這個三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等邊三角形5、已知a，b，c為△ABC三邊，且滿足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，則它的形狀為（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形6、將直角三角形的三條邊長同步擴大同一倍數,得到的三角形是()A．鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.等腰三角形7、若△ABC的三邊長a,b,c滿足試判斷△ABC的形狀。8、△ABC的兩邊分別為5,12，另一邊為奇數，且a+b+c是3的倍數，則c應為，此三角形為。例3：求（1）若三角形三條邊的長分別是7,24,25，則這個三角形的最大內角是度。（2）已知三角形三邊的比為1：：2，則其最小角為。

考點五:應用勾股定理處理樓梯上鋪地毯問題某樓梯的側面視圖如圖3所示，其中米，，，因某種活動規定鋪設紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長度應為

．考點六、運用列方程求線段的長（方程思想）ABC１、小強想懂得學校旗桿的高，他發現旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當他把繩子的下端拉開ABC2、一架長2.5的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底0.7（如圖），假如梯子的頂端沿墻下滑0.4，那么梯子底端將向左滑動米3、如圖，一種長為10米的梯子，斜靠在墻面上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米，假如梯子的頂端下滑1米，那么，梯子底端的滑動距離1米，（填“不小于”，“等于”，或“不不小于”）4、在一棵樹10m高的B處，有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹20m處的池塘A處；此外一只爬到樹頂D處後直接躍到A外，距離以直線計算，假如兩只猴子所通過的距離相等，試問這棵樹有多高？6012014060120140B60AC第5題圖76、如圖：有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹相距87、如圖18-15所示，某人到一種荒島上去探寶，在A處登陸後，往東走8km，又往北走2km，碰到障礙後又往西走3km，再折向北方走到5km處往東一拐，僅1km就找到了寶藏，問：登陸點（A處）到寶藏埋藏點（B處）的直線距離是多少？圖18-15圖18-15考點七：折疊問題1、如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6，BC=8，將△ABC折疊，使點B與點A重疊，折痕為DE，則CD等于（）A.B.C.D.2、如圖所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線交BC于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的長．3、折疊矩形ABCD的一邊AD,點D落在BC邊上的點F處,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF和EC。AABCEFD4、如圖，在長方形ABCD中，DC=5，在DC邊上存在一點E，沿直線AE把△ABC折疊，使點D恰好在BC邊上，設此點為F，若△ABF的面積為30，求折疊的△AED的面積5、如圖，矩形紙片ABCD的長AD=9㎝，寬AB=3㎝，將其折疊，使點D與點B重疊，那么折疊後DE的長是多少？6、如圖，在長方形ABCD中，將ABC沿AC對折至AEC位置，CE與AD交于點F。（1）試闡明：AF=FC；（2）假如AB=3，BC=4，求AF的長7、如圖2所示，將長方形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上F點處，已知CE=3cm，AB=8cm，則圖中陰影部分面積為_______．8、如圖2-3，把矩形ABCD沿直線BD向上折疊，使點C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，重疊部分△EBD的面積為________．9、如圖5，將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重疊，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊後與BC邊交于點G。假如M為CD邊的中點，求證：DE：DM：EM=3：4：5。10、如圖2-5，長方形ABCD中，AB=3，BC=4，若將該矩形折疊，使C點與A點重疊，則折疊後痕跡EF的長為（）A．3.74B．3.75C．3.76D．3.772-511、如圖1-3-11，有一塊塑料矩形模板ABCD，長為10cm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點P落在AD邊上（不與A、D重疊），在AD上合適移動三角板頂點P：①能否使你的三角板兩直角邊分別通過點B與點C？若能，請你求出這時AP的長；若不能，請闡明理由.②再次移動三角板位置，使三角板頂點P在AD上移動，直角邊PH一直通過點B，另一直角邊PF與DC的延長線交于點Q，與BC交于點E，能否使CE=2cm？若能，請你求出這時AP的長；若不能，請你闡明理由.12、如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求線段EF的長。

13、如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且∠QPN＝30°，點A處有一所中學，AP＝160m。假設拖拉機行駛時，周圍100m以內會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校與否會受到噪聲影響？請闡明理由，假如受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那么學校受影響的時間為多少秒？

考點八：應用勾股定理處理勾股樹問題如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為5，則正方形A，B，C，D的面積的和為2、已知△ABC是邊長為1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰Rt△ADE，…，依此類推，第n個等腰直角三角形的斜邊長是．考點九、圖形問題1、如圖1，求該四邊形的面積2、如圖2，已知，在△ABC中，∠A=45°，AC=eq\r(\s\do1(),2)，AB=eq\r(\s\do1(),3)+1，則邊BC的長為．3、某企業的大門如圖所示,其中四邊形ＡＢＣＤ是長方形,上部是以ＡＤ為直徑的半圓,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,既有一輛裝滿貨品的卡車,高為2.5ｍ,寬為1.6ｍ,問這輛卡車能否通過企業的大門?并闡明你的理由.4、將一根長24㎝的筷子置于地面直徑為5㎝，高為12㎝的圓柱形水杯中，設筷子露在杯子外面的長為h㎝，則h的取值范圍?？键c拾：其他圖形與直角三角形1.如圖是一塊地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求這塊地的面積?？键c拾一：與展開圖有關的計算1、如圖，在棱長為1的正方體ABCD—A’B’C’D’的表面上，求從頂點A到頂點C’的最短距離．2、如圖一種圓柱，底圓周長6cm，高4cm，一只螞蟻沿外壁爬行，要從A點爬到B點，則至少要爬行cm3、國家電力總企業為了改善農村用電電費過高的現實狀況，目前正在全國各地農村進行電網改造，某地有四個村莊A、B、C、D，且恰好位于一種正方形的四個頂點，現計劃在四個村莊聯合架設一條線路，他們設計了四種架設方案，如圖實線部分．請你協助計算一下，哪種架設方案最省電線．

考點拾二、航海問題1、一輪船以16海裏/時的速度從A港向東北方向航行，另一艘船同步以12海裏/時的速度從A港向西北方向航行，通過1.5小時後，它們相距________海裏．2、如圖，某貨船以24海裏／時的速度將一批重要物資從A處運往正東方向的M處，在點A處測得某島C在北偏東60°的方向上。該貨船航行30分鐘抵達B處，此時又測得該島在北偏東30°的方向上，已知在C島周圍9海裏的區域內有暗礁，若繼續向正東方向航行，該貨船有無暗礁危險？試闡明理由。3、如圖，某沿海開放都市A接到臺風警報，在該市正南方向260km的B處有一臺風中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移動，已知都市A到BC的距離AD=100km，那么臺風中心通過多長時間從B點移到D點？假如在距臺風中心30km的圓形區域內都將有受到臺風的破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風警報後的幾小時內撤離才可脫離危險？考點拾三、網格問題1、如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，則網格上的三角形ABC中，邊長為無理數的邊數是（）A．0B．1C．2D．32、如圖，正方形網格中的△ABC，若小