專題解析：（四）力學中的追及相遇模型1．如圖所示的位移—時間(x-t)圖像和速度—時間(v-t)圖像中給出四條圖線，甲、乙、丙、丁分別代表四輛汽車由同一地點向同一方向運動的情況，則下列說法正確的是()A．甲車做直線運動，乙車做曲線運動B．0～t1，甲車通過的路程大于乙車通過的路程C．0～t2，丙、丁兩車在t2時刻相距最遠D．0～t2，丙、丁兩車的平均速度相等解析：選Cx-t圖像表示的是做直線運動的汽車的位移隨時間的變化情況，而不是汽車運動的軌跡，由于甲、乙兩車在0～t1做單向的直線運動，故在這段時間內兩車通過的位移和路程均相等，A、B選項均錯；在v-t圖像中，t2時刻丙、丁速度相等，t2時刻之前v丁一直大于v丙，且丙、丁由同一地點沿同一方向運動，故t2時刻兩者相距最遠，C選項正確；由v-t圖線與坐標軸圍成的面積表示位移可知，0～t2丙的位移小于丁的位移，故丙的平均速度小于丁的平均速度，D選項錯誤。2．火車以速率v1向前行駛，司機突然發現在前方同一軌道上距車頭s處有另一列火車，它正沿相同的方向以較小的速度v2做勻速運動，于是司機立即使火車做勻減速運動，該加速度大小為a，則要使兩車不相撞，加速度a應滿足的關系為()A．a>eq\f(v12－v22,2s) B．a>eq\f(v12,2s)C．a>eq\f(v22,2s) D．a>eq\f(v1－v22,2s)解析：選D設經過時間t兩車相遇，則有v2t＋s＝v1t－eq\f(1,2)at2，整理得at2＋2(v2－v1)t＋2s＝0，要使兩車不相撞，則上述方程無解，即Δ＝4(v2－v1)2－8as<0，解得a>eq\f(v1－v22,2s)，即選項D正確。3．無線藍牙耳機擺脫了線材束縛，可以在一定距離內與手機等設備實現無線連接。為了研究在運動過程中無線連接的最遠距離，甲和乙兩位同學做了一個有趣的實驗。乙佩戴無線藍牙耳機，甲攜帶手機檢測，乙在甲正前方14m處，二人同時沿同一直線向正前方運動，各自運動的v-t圖像如圖所示，結果手機檢測到藍牙耳機能被連接的時間為4s。則最遠連接距離為()A．10.5mB．11.5mC．12.5m D．13.5m解析：選B由圖像可知，t＝3s時，甲、乙速度相同，距離最近，由于耳機與手機正常連接時間為4s，所以耳機與手機正常連接的時間是從1s至5s。當t＝1s時，由圖像可知，甲的速度為5m/s，在0～1s，位移之差為Δx＝eq\f(2＋3,2)×1＝2.5m，因t＝0時乙在甲正前方14m處，則t＝1s時甲、乙之間的距離為s＝14m－2.5m＝11.5m，因此最遠連接距離為11.5m，故B正確，A、C、D錯誤。4．(多選)如圖所示，在體育課上進行籃球訓練時，甲、乙兩同學將兩個籃球分別水平拋出后兩籃球在空中的P點相遇，已知甲同學拋出點的高度h1比乙同學拋出點的高度h2大，不計空氣阻力，籃球可看成質點，則下列說法正確的是()A．甲同學比乙同學先將籃球拋出B．兩籃球相遇前，乙同學拋出的籃球在空中運動的時間短C．若甲、乙同學拋球速度變為原來的2倍，則相遇點一定在P點正上方D．若甲同學拋球時與乙同學高度相同，且同時拋出，則落地前不一定能相遇解析：選ABD根據h＝eq\f(1,2)gt2可知，平拋運動的高度決定時間，甲同學拋出點的高度比乙同學拋出點的高度大，兩籃球在空中的P點相遇，可知甲同學比乙同學先將籃球拋出，即甲同學拋出的籃球運動時間長，乙同學拋出的籃球運動時間短，故A、B正確；設兩拋出點的水平距離為x，且保持不變，則eq\f(x甲,x乙)＝eq\f(v1t1,v2t2)，若拋球的速度變為原來的2倍，則eq\f(x甲′,x乙′)＝eq\f(2v1t1′,2v2t2′)＝eq\f(v1t1′,v2t2′)，且x甲＋x乙＝x甲′＋x乙′＝x，說明兩球運動時間變短，且時間差減小，即eq\f(t1,t2)>eq\f(t1′,t2′)，則eq\f(x甲,x乙)>eq\f(x甲′,x乙′)，說明相遇點在P點左上方，故C錯誤；兩球拋出的高度和初速度未知，所以兩球可能不會相遇，故D正確。5．如圖所示，三顆衛星a、b、c繞地球做勻速圓周運動，其中b、c在地球的同步(靜止)軌道上，a距離地球表面的高度為R，此時a、b恰好相距最近。已知地球質量為M、半徑為R，地球自轉的角速度為ω，引力常量為G，則()A．衛星a和b下一次相距最近還需經過的時間為eq\f(2π,\r(\f(GM,8R3))－ω)B．衛星c的機械能等于b的機械能C．若要衛星c與b實現對接，可讓c加速D．發射某衛星至b所在軌道所需的能量小于至a所在軌道解析：選Ab為地球同步(靜止軌道)衛星，其角速度等于地球自轉角速度，對a有Geq\f(Mma,2R2)＝maωa2·2R，設衛星a和b下一次相距最近還需經過的時間為Δt，則有ωaΔt－ωΔt＝2π，解得Δt＝eq\f(2π,\r(\f(GM,8R3))－ω)，A正確；b、c在地球的同步(靜止)軌道上，由于衛星b、c質量關系不確定，則衛星c的機械能與b的機械能關系也不確定，B錯誤；根據Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知軌道半徑越大，圓周運動的線速度越小，當衛星c在地球同步軌道上加速后，其將變軌到高軌道，在高軌道穩定運行的線速度將小于衛星b的線速度，兩者間距隨后將逐漸增大，不能實現對接，C錯誤；同一衛星在高軌道的機械能大于其在低軌道上的機械能，可知發射某衛星至b所在軌道所需的能量大于至a所在軌道，D錯誤。6．如圖所示，某同學用玩具槍練習射擊，用電磁鐵吸住一小球作為“靶子”，在玩具槍沿水平方向對著“靶子”射出一球形“子彈”的同時，電磁鐵釋放“靶子”小球。已知兩小球完全相同，空氣阻力與速度成正比，則下列說法中正確的是()A．只要h足夠大，“子彈”一定能擊中“靶子”B．由于空氣阻力，“子彈”不可能擊中“靶子”C．“子彈”和“靶子”運動過程中在同一水平線上D．“子彈”落地速度可能小于“靶子”落地速度解析：選C若“子彈”的初速度較小，水平速度減為零時的水平位移小于d，則不能擊中“靶子”，故A錯誤；豎直方向上的運動狀態和受力情況是完全一樣的，因此豎直方向位移相同，“子彈”和“靶子”運動過程中在同一水平線上，只要在條件允許情況下，“子彈”有可能擊中“靶子”，故B錯誤，C正確；“子彈”落地前水平方向分速度減為0時落地速度最小，而“子彈”和“靶子”在豎直方向上的運動狀態相同，即“子彈”落地速度肯定不小于“靶子”落地速度，故D錯誤。7．某人乘坐上海到北京的動車a，某時刻動車a后面追上一列動車b，兩動車互相追趕，如圖(a)所示。兩動車運動的v-t圖像如圖(b)所示，t＝0時刻兩動車車頭剛好并排行駛，下列說法正確的是()A．前30s兩動車平均速度相等B．圖(b)中動車a的最大速度為80.8m/sC．0～36s，兩車頭相距最遠為65.6mD．兩車頭在36s末再次并排行駛解析：選Bv-t圖像與時間軸圍成的面積表示位移，由題圖(b)可知，在前30s內動車b的位移大于動車a的位移，故動車b的平均速度大于動車a的平均速度，故A錯誤；動車a做勻加速直線運動的加速度大小a＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(76－60,30－10)m/s2＝0.8m/s2，由題圖(b)可知，在36s時刻動車a的速度最大，則有vm＝v0＋at＝60m/s＋0.8×(36－10)m/s＝80.8m/s，故B正確；0～36s，當兩動車的速度相等時，即在t＝30s時刻，兩車頭相距最遠，由題圖(b)可知兩車頭最遠的距離Δxm＝eq\f(1,2)×16×10m＝80m，故C錯誤；由題圖(b)可知，0～30s動車b比動車a多走的位移Δx1＝Δxm＝80m，30s～36s動車a比動車b多走的位移Δx2＝eq\f(1,2)×(80.8－76)×6m＝14.4m，說明在0～36s動車b比動車a多走的位移Δx＝Δx1－Δx2＝65.6m，即兩車頭在36s末沒有并排行駛，故D錯誤。8．(多選)如圖所示，在水平地面上M點的正上方h高度處，將小球S1以速度大小為v水平向右拋出，同時在地面上N點處將小球S2以速度大小為v豎直向上拋出。在S2球上升到最高點時恰與S1球相遇，不計空氣阻力。則在這段過程中，以下說法正確的是()A．兩球的速度變化相同B．相遇時小球S1的速度方向與水平方向夾角為30°C．兩球的相遇點在N點上方eq\f(h,2)處D．M、N間的距離為h解析：選ACD由于兩個球都只受到重力的作用，加速度都是重力加速度，加速度恒定，兩球的運動時間相同，則速度的變化相同，故A正確；兩球運動時間為t＝eq\f(v,g)，相遇時小球S1豎直分速度為vy＝gt＝v，因此速度方向與水平方向夾角為45°，故B錯誤；兩球相遇時，小球S1豎直位移h1＝eq\f(1,2)gt2，小球S2豎直位移h2＝vt－eq\f(1,2)gt2，h1＋h2＝h，聯立解得h1＝h2＝eq\f(h,2)，兩球的相遇點在N點上方eq\f(h,2)處，故C正確；M、N間的距離為x＝vt＝gt2＝h，故D正確。9．(多選)如圖，火星與地球近似在同一平面內繞太陽沿同一方向做勻速圓周運動，火星的軌道半徑大約是地球的1.5倍。地球上的觀測者在大多數的時間內觀測到火星相對于恒星背景由西向東運動，稱為順行；有時觀測到火星由東向西運動，稱為逆行。當火星、地球、太陽三者在同一直線上，且太陽和火星位于地球兩側時，稱為火星沖日。忽略地球自轉，只考慮太陽對行星的引力，下列說法正確的是()A．火星的公轉周期大約是地球的eq\r(\f(8,27))倍B．在沖日處，地球上的觀測者觀測到火星的運動為順行C．在沖日處，地球上的觀測者觀測到火星的運動為逆行D．在沖日處，火星相對于地球的速度最小解析：選CD由題意根據開普勒第三定律可知eq\f(r地3,T地2)＝eq\f(r火3,T火2)，火星軌道半徑大約是地球軌道半徑的1.5倍，則可得T火＝eq\r(\f(27,8))T地，故A錯誤；根據Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，由于火星軌道半徑大于地球軌道半徑，故火星運行線速度小于地球運行線速度，所以在沖日處火星相對于地球由東向西運動，為逆行，故B錯誤，C正確；由于火星和地球運動的線速度大小不變，在沖日處火星和地球速度方向相同，故相對速度最小，故D正確。10．如圖(a)，我國某些農村地區人們用手拋撒谷粒進行水稻播種。某次拋出的谷粒中有兩顆的運動軌跡如圖(b)所示，其軌跡在同一豎直平面內，拋出點均為O，且軌跡交于P點，拋出時谷粒1和谷粒2的初速度分別為v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空氣阻力，關于兩谷粒在空中的運動，下列說法正確的是()A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度B．谷粒2在最高點的速度小于v1C．兩谷粒從O到P的運動時間相等D．兩谷粒從O到P的平均速度相等解析：選B拋出的兩谷粒在空中均僅受重力作用，加速度均為重力加速度，A錯誤；谷粒2做斜向上拋運動，谷粒1做平拋運動，均從O點運動到P點，故位移相同，在豎直方向上谷粒2做豎直上拋運動，谷粒1做自由落體運動，豎直方向上位移相同，故谷粒2運動時間較長，C錯誤；谷粒2做斜拋運動，水平方向上為勻速直線運動，故運動到最高點的速度即為水平方向上的分速度，相同水平位移谷粒2用時較長，故谷粒2在水平方向上的分速度較小，即最高點的速度小于v1，B正確；兩谷粒從O點運動到P點的位移相同，谷粒1的運動時間小于谷粒2的運動時間，則谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D錯誤。11.如圖所示，質量分別為m1、m2的小球A和B，用兩根長度均為L的細繩懸掛在同一點O上。現讓A、B在水平面內繞同一方向做勻速圓周運動，小球做圓周運動的圓心分別為O1、O2。O1、O2到O點的距離分別為h1＝0.25L、h2＝0.64L，重力加速度為g。求：(1)小球A和B轉動的角速度大小；(2)在運動過程中小球A和B間的距離會不斷改變，則A和B的間距從最小值變化到最大值所需的最短時間。解析：(1)設細繩與豎直方向夾角為θ，如圖所示，則有mgtanθ＝mω2Lsinθ解得ω＝eq\r(\f(g,Lcosθ))＝eq\r(\f(g,h))代入h1＝0.25L，h2＝0.64L可得ω1＝2eq\r(\f(g,L))，ω2＝eq\f(5,4)eq\r(\f(g,L))。(2)最短時間內間距從最小值到最大值滿足(ω1－ω2)t＝π解得t＝eq\f(4π,3)eq\r(\f(L,g))。答案：(1)2eq\r(\f(g,L))eq\f(5,4)eq\r(\f(g,L))(2)eq\f(4π,3)eq\r(\f(L,g))12.如圖所示，光滑斜面固定，傾角θ＝37°，斜面上P點與斜面底端B點間的距離為d，D點位于B點的正上方。現在將小物塊從斜面的頂端A點由靜止釋放的同時，將小球從D點以某一初速度水平向左拋出，小球與物塊在P點相遇，相遇時小球恰好垂直打到斜面上。重力加速度大小為g，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，物塊與小球均視為質點，不計空氣阻力。求：(1)小球從D點運動到P點的時間t及其拋出時距B點的高度h；(2)斜面的長度L。解析：(1)小球從D點運動到P點的過程做平拋運動，如圖所示有dcosθ＝v0t