專題解析：（十三）“能量與動量”計算大題專練1.如圖所示為常見的一種打彈珠的游戲裝置，光滑豎直細管AB位于平臺下方，長度為4h，細管底部有一豎直輕彈簧，其長度遠小于豎直細管的長度，平臺上方BC段為一光滑的四分之一圓弧管形軌道，其半徑為h，管自身粗細對半徑的影響可忽略不計。先拉動拉桿壓縮彈簧，再釋放拉桿將一質量為m的小球彈出，小球彈出后從管口C水平向右飛出，最終落至平臺上，落點距管口C的水平距離為10h，不計一切阻力，重力加速度為g。(1)求小球從管口C飛出時的速度大小；(2)求小球在管口C處受到的壓力和彈簧彈力對小球做的功；(3)若平臺上方的四分之一圓弧軌道的半徑可調，且保證每次拉動拉桿后壓縮彈簧的形變量為定值，則當圓弧軌道半徑為何值時，小球從管口飛出后距管口C的水平距離最大。最大值是多少？解析：(1)小球飛出后做平拋運動，由平拋運動規律可知，豎直方向有h＝eq\f(1,2)gt2，水平方向有10h＝vCt聯立解得vC＝5eq\r(2gh)。(2)小球在管口C處，根據牛頓第二定律有F＋mg＝meq\f(vC2,h)解得小球在管口C處受到的壓力大小為F＝49mg，方向豎直向下小球從被彈出至運動到管口C處的過程中，由動能定理有W－mg(4h＋h)＝eq\f(1,2)mvC2解得W＝30mgh。(3)設圓弧軌道的半徑為r，由動能定理有W－mg(4h＋r)＝eq\f(1,2)mvC′2小球飛出后做平拋運動，豎直方向有r＝eq\f(1,2)gt12水平方向有x＝vC′t1，聯立解得x＝2eq\r(26h－rr)由數學知識可知，當26h－r＝r，即圓弧軌道半徑為r＝13h時，小球從管口飛出后距管口C的水平距離最大，最大值是xmax＝26h。答案：(1)5eq\r(2gh)(2)49mg，方向豎直向下30mgh(3)13h26h2．有一款推拉門，其三扇門板俯視如圖所示，每扇門的寬度均為L＝1.00m，質量均為m＝20kg，邊緣凸起部位的寬度均為d＝0.05m。門完全關閉時，1號門板的左側以及3號門板的右側分別與兩側的門框接觸時，相鄰門板的凸起部位也恰好接觸。測試時，將三扇門板均推至最左端，然后用恒力F水平向右推3號門板，每次都經過相同的位移s＝0.20m后撤去F，觀察三扇門的運動情況。發現當恒力為8.5N時，3號門板恰好能運動到其左側凸起與2號門板右側的凸起接觸處。設每扇門與軌道間的動摩擦因數均相同，門板凸起部位間的碰撞及門板與門框的碰撞均為完全非彈性碰撞(不粘連)。不考慮空氣阻力，g取10m/s2。(1)求每扇門與軌道間的動摩擦因數(可用分數表示)。(2)若要實現三扇門恰好完全關閉，則恒力應是多大？解析：(1)設每扇門與軌道間的動摩擦因數為μ，根據動能定理得F1s－μmg(L－3d)＝0，解得μ＝0.01。(2)設3號門板和2號門板碰撞前速度的大小為v1，根據動能定理得F2s－μmg(L－3d)＝eq\f(1,2)mv12設3號門板和2號門板碰撞后速度的大小為v2，根據動量守恒定律有mv1＝2mv23號門板與2號門板碰撞后一起向右運動的過程中，根據動能定理得－μ(2m)g(L－3d)＝0－eq\f(1,2)(2m)v22，解得F2＝42.5N。答案：(1)0.01(2)42.5N3．如圖所示，質量為m的小球A用一不可伸長的輕繩懸掛在O點，在O點正下方的光滑桌面上有一個與A完全相同的靜止小球B，B距O點的距離等于繩長L。現將A拉至某一高度，由靜止釋放，A以速度v在水平方向和B發生正碰并粘在一起。重力加速度為g。求：(1)A釋放時距桌面的高度H；(2)碰撞前瞬間繩子的拉力大小F；(3)碰撞過程中系統損失的機械能ΔE。解析：(1)從A釋放到與B碰撞前，根據動能定理得mgH＝eq\f(1,2)mv2，解得H＝eq\f(v2,2g)。(2)碰撞前瞬間，對A由牛頓第二定律得F－mg＝meq\f(v2,L)，解得F＝mg＋meq\f(v2,L)。(3)A、B碰撞過程中，根據動量守恒定律得mv＝2mv1，解得v1＝eq\f(1,2)v則碰撞過程中系統損失的機械能為ΔE＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)·2meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)v))2＝eq\f(1,4)mv2。答案：(1)eq\f(v2,2g)(2)mg＋meq\f(v2,L)(3)eq\f(1,4)mv24．如圖為某游戲裝置原理示意圖。水平桌面上固定一半圓形豎直擋板，其半徑為2R、內表面光滑，擋板的兩端A、B在桌面邊緣，B與半徑為R的固定光滑圓弧軌道eq\x\to(CDE)在同一豎直平面內，過C點的軌道半徑與豎直方向的夾角為60°。小物塊以某一水平初速度由A點切入擋板內側，從B點飛出桌面后，在C點沿圓弧切線方向進入軌道eq\x\to(CDE)內側，并恰好能到達軌道的最高點D。小物塊與桌面之間的動摩擦因數為eq\f(1,2π)，重力加速度大小為g，忽略空氣阻力，小物塊可視為質點。求：(1)小物塊到達D點的速度大小；(2)B和D兩點的高度差；(3)小物塊在A點的初速度大小。解析：(1)由題意知，小物塊恰好能到達軌道的最高點D，則在D點有meq\f(vD2,R)＝mg，解得vD＝eq\r(gR)。(2)由題意知，小物塊從C點沿圓弧切線方向進入軌道eq\x\to(CDE)內側，則在C點有cos60°＝eq\f(vB,vC)，小物塊從C到D的過程中，根據動能定理有－mg(R＋Rcos60°)＝eq\f(1,2)mvD2－eq\f(1,2)mvC2，則小物塊從B到D的過程中，根據動能定理有mgHBD＝eq\f(1,2)mvD2－eq\f(1,2)mvB2，聯立解得vB＝eq\r(gR)，HBD＝0。(3)小物塊從A到B的過程中，根據動能定理有－μmgs＝eq\f(1,2)mvB2－eq\f(1,2)mvA2，s＝π·2R解得vA＝eq\r(3gR)。答案：(1)eq\r(gR)(2)0(3)eq\r(3gR)5．(2023·全國乙卷，節選)如圖，一豎直固定的長直圓管內有一質量為M的靜止薄圓盤，圓盤與管的上端口距離為l，圓管長度為20l。一質量為m＝eq\f(1,3)M的小球從管的上端口由靜止下落，并撞在圓盤中心，圓盤向下滑動，所受滑動摩擦力與其所受重力大小相等。小球在管內運動時與管壁不接觸，圓盤始終水平，小球與圓盤發生的碰撞均為彈性碰撞且碰撞時間極短。不計空氣阻力，重力加速度大小為g。求：(1)第一次碰撞后瞬間小球和圓盤的速度大小；(2)在第一次碰撞到第二次碰撞之間，小球與圓盤間的最遠距離。解析：(1)過程1：小球釋放后自由下落，下降l，根據機械能守恒定律可得mgl＝eq\f(1,2)mv02解得v0＝eq\r(2gl)過程2：小球以eq\r(2gl)的速度與靜止圓盤發生彈性碰撞，根據機械能守恒定律和動量守恒定律分別有eq\f(1,2)mv02＝eq\f(1,2)mv12＋eq\f(1,2)Mv1′2mv0＝mv1＋Mv1′解得v1＝eq\f(m－M,m＋M)v0＝－eq\f(1,2)v0＝－eq\f(\r(2gl),2)v1′＝eq\f(1,2)v0＝eq\f(\r(2gl),2)即小球碰后速度大小為eq\f(\r(2gl),2)，方向豎直向上，圓盤速度大小為eq\f(\r(2gl),2)，方向豎直向下。(2)第一次碰撞后，小球做豎直上拋運動，圓盤勻速下滑，當二者速度相同時，間距最大，即v1