1.3.1等比數列的概念及其通項公式第一章

數列北師大版（2019）選擇性必修第二冊學習目標掌握等比數列的概念、判定方法和通項公式理解等比數列通項公式的推導過程0102掌握等比數列通項公式的簡單應用03回顧舊識1.等差數列定義：an－an－1

＝d

(n∈N*，n≥2)2.等差數列通項公式：

an＝a1＋(n－1)d

(n∈N*)3.等差中項：4.等差數列的性質：m＋n＝p＋q

am＋an＝ap＋aq.m，n，p，q∈N*

A

是

a與

b的等差中項實例分析下列問題中的數列有什么共同特征？（1）拉面館的師傅將一根很粗的面條拉抻、捏合、再拉抻、再捏合，如此反復幾次，就拉成了許多根細面條.這樣拉抻、捏合8次后可拉出多少根細面條？第1次是1根，后面每次捏合都將1根變為2根，第2次捏合成2×1＝2（根）；第3次捏合成2×2＝22＝4（根）；…第8次捏合成2×26＝27＝128（根）.前8次捏合成的面條根數構成一個數列1，2，4，8，16，32，64，128.①對于數列①，從第

2

項起，每一項與它的前一項的比值都是

2.實例分析（2）星火化工廠今年產值為

a萬元，計劃在以后

5

年中每年比上一年產值增長

10%，試列出從今年起

6

年的產值（單位：萬元）.第1年產值：a；第2年產值：a＋a×10%＝a(1＋10%)；第3年產值：a(1＋10%)＋a(1＋10%)×10%＝a(1＋10%)2；…第6年產值：a（1＋10%）4＋a（1＋10%）4×10%＝a（1＋10%）5.故這6年的產值構成一個數列a，a(1＋10%)，a(1＋10%)2，a(1＋10%)3，a(1＋10%)4，a(1＋10%)5.②對于數列②，從第2項起，每一項與它的前一項的比值都是1＋10%＝1.1.實例分析兩個數列有什么共同特征？①1，2，4，8，16，32，64，128.②a，a(1+10%)，a(1+10%)2，a(1+10%)3，a(1+10%)4，a(1+10%)5.經比較，可以看出數列①，②有如下的共同特征：從第

2

項起，每一項與它的前一項的比值都是一個與項數

n無關的常數.抽象概括等比數列的概念

文字語言：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示（顯然q≠0）．符號語言：

＝q（n∈N*）．

抽象概括知識剖析(1)由于等比數列每一項都可能作分母，因此每一項均不為0，故

q也能使0.(2)“從第2項起”是因為首項沒有“前一項”.“每一項與它的前一項的比值都是同一個常數”，即比值相等，同時還要注意公比是每一項與其前一項之比，防止前后次序顛倒.(3)如果一個數列不是從第2項起而是從第3項或第

n(n＞3,n∈N*)項起每一項與它前一項的比值都是同一個常數，那么此數列不是等比數列.抽象概括知識剖析(4)如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的比值是一個與

n無關的常數，但都是不同的常數，那么此數列不是等比數列.(5)常數列都是等差數列，但不一定都是等比數列.當常數列式各項都為0的數列時，它就不是等比數列；當常數列各項不為0時，它是等比數列.例1

以下數列中，哪些是等比數列？（1）

；（2）1，1，1，…，1；（3）1，2，4，8，12，16，20；（4）a，a2，a3，…，an.例題分析

（2）是等比數列，公比q＝1；（3）因為，所以該數列不是等比數列；（4）當a≠0時，它是公比

q＝a的等比數列，當

a＝0時，它不是等比數列.解：（1）是等比數列，公比

；

思考交流

方法一：歸納法

歸納可得an＝a1qn－1（n≥2），又a1＝a1q0＝a1q1－1，這就是說，當n＝1時，上式也成立．

a4＝a3q＝（a1q2）q＝a1q3，……思考交流

方法二：迭乘法

將上述（n－1）個式子相乘得∴an＝a1qn－1（n≥2），又a1＝a1q0＝a1q1－1，這就是說，當

n＝1時，上式也成立．

抽象概括

等比數列的通項公式

(1)在已知首項和公比的前提下，利用通項公式可求出等比數列中的任意一項(3)在記憶公式時，要注意

q的指數比項數

n小1這一特點.思考交流

等比數列通項公式的變形運用

抽象概括知識剖析

例2

一個等比數列的首項是

2，第

2

項與第

3

項的和是

12.

求該數列的第

8

項的值.例題分析解：設等比數列的首項為

a1，公比為

q，則①②將①式代入②式，得q2＋q－6＝0，解得q＝－3或2.當

q＝－3時，a8＝a1q7＝2×（－3）7＝－4374.當

q＝2時，a8＝a1q7＝2×27＝256.故該數列的第8項是

－4374或256.思考交流類似于等差數列與一次函數的關系，等比數列的通項公式與學過的哪類函數有關？

f（1）＝ka，f（2）＝ka2，…，f（n）＝kan，…思考交流類比指數函數的性質，你能說說公比

q＞0的等比數列的單調性嗎？

0＜q＜1q＞1q＝1指數函數

y＝qx的單調性單調遞減單調遞增等比數列

an＝qn的單調性單調遞減單調遞增不變等比數列

an＝a1qn－1的單調性單調遞減不變單調遞增a1＞0單調遞增a1＜0單調遞減不變

例題分析

又

，則

，即.

又數列各項均為負數，則

，

所以

例題分析

解：(2)設

，由等比數列的通項公式得

即

例4

據報載，在20世紀80年代末，中美洲地區毀林嚴重，森林面積還剩1.9×107hm2.請你回答以下幾個問題：(1)如果以每時平均毀林約48hm2計算，剩下的森林經過多少年將被毀盡？(1年按365天計)例題分析解：(1)如果每時平均毀林約48hm2，則每年平均毀林48×24×365＝420480(hm2)，列出比式

，故剩下的森林大約經過45年將被毀盡.

例題分析

例4

據報載，在20世紀80年代末，中美洲地區毀林嚴重，森林面積還剩1.9×107hm2.請你回答以下幾個問題：(3)若按3.6%的速度減少，計算經過150年后、經過200年后、經過250年后經過300年后森林面積的情況，經過多少年森林將被毀盡？例題分析

經過150年后，約剩77680hm2；經過200年后，約剩12421hm2；經過250年后，約剩986hm2；經過300年后，約剩318hm2；經過51