綜合模擬測評卷(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.數列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一個通項公式是an=().A.(-1)n+1C.cosn+12π D.cos2.函數f(x)=x3+1x在區間[1,4]上的平均變化率n與f(x)在x=1處的瞬時變化率m的大小關系為A.m>n B.m<nC.m=n D.無法比較3.當用數學歸納法證明“凸n邊形的內角和等于(n-2)π”時,n取第一個值n0等于().A.1 B.2 C.3 D.44.已知曲線y=f(x)在點(5,f(5))處的切線方程是y=-x+5,則f(5)與f'(5)分別為().A.5,-1 B.-1,5 C.-1,0 D.0,-15.已知數列{an}是等差數列,公差d>0,a1+a5=6,a2a4=8,則a6=().A.2 B.4 C.6 D.86.在由正數組成的等比數列{an}中,若a4a5a6=2,則a1a2…a8a9的值為().A.2 B.4 C.8 D.167.函數f(x)的圖象如圖所示,則下列關系正確的是().(第7題)A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B.0<f'(2)<f(3)-f(2)<f'(3)C.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)-f'(3)8.已知函數f(x)在R上可導,F(x)=f(x2-1)+f(1-x2),則F'(1)=().A.-4 B.-2 C.0 D.4二、選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)9.函數f(x)=exx在區間(0,+∞)上(A.有最大值,無最小值B.有最小值,無最大值C.存在唯一的零點D.存在唯一的極值點10.已知Sn是等差數列{an}的前n項和,且S6>S7>S5,則下列說法正確的是().A.S11>0B.S12<0C.數列{Sn}中最大項為S11D.|a6|>|a7|11.已知數列{an}的首項為4,且滿足2(n+1)an-nan+1=0(n∈N+),則下列結論正確的是().A.anB.{an}為遞增數列C.{an}的前n項和Sn=(n-1)·2n+1+4D.an2n+1的前n項和12.已知函數f(x)=xlnx,若0<x1<x2,則下列說法正確的是().A.x2f(x1)<x1f(x2)B.x1+f(x1)<x2+f(x2)C.f(xD.當lnx>-1時,x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1)三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案寫在題中的橫線上)13.函數y=f(x)=|x|在x=-1處的導數f'(-1)=,在區間[-1,1]上的平均變化率為.

14.已知數列{an}是等差數列,若a4+a7+a10=15,2a6=a3+7,且ak=13,則k=.

15.已知數列{an}的前n項和為Sn,若首項為-1,且滿足an+1=Sn-1,則Sn=.

16.若函數f(x)=ax3+x恰有3個單調區間,則實數a的取值范圍為.

四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知{an}是各項均為正數的等比數列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求{an}的通項公式;(2)設bn=log2an,求數列{bn}的前n項和.18.(12分)已知函數f(x)=x+1x(x>0),記函數f(x)從x=12到x=2的平均變化率為(1)求r的值.(2)是否存在x0∈12,2,使得f'(x0)=r?若存在,求出x0的值;若不存在,請說明理由.19.(12分)某數列的第一項為1,并且對所有的自然數n≥2,數列的前n項之積為n2.(1)寫出這個數列的前五項;(2)求出這個數列的通項公式.20.(12分)某品牌電視生產廠家有A,B兩種型號的電視機參加了家電下鄉活動,若廠家對A,B兩種型號的電視機的投放金額分別為p萬元、q萬元,農民購買電視機獲得的補貼分別為110p萬元、25lnq萬元,已知A,B兩種型號的電視機的投放總額為10萬元,且A,B兩種型號的電視機的投放金額均不低于1萬元,請你制訂一個投放方案,使得在這次活動中農民得到的補貼最多,最多補貼多少萬元?(結果精確到0.1萬元,參考數據:ln4≈121.(12分)已知函數f(x)=2x3-ax2+8.(1)若f(x)<0對任意x∈[1,2]恒成立,求實數a的取值范圍.(2)是否存在整數a,使得函數g(x)=f(x)+4ax2-12a2x+3a3-8在區間(0,2)上存在極小值?若存在,求出所有整數a的值;若不存在,請說明理由.22.(12分)已知數列{an}的前n項和Sn=n2+2n.設集合M={a1-2,a2-2,a3-2,…,an-1-2},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n},n∈N+.(1)求數列{an}的通項公式;(2)當q=2,n=3時,求集合A中所有元素的和;(3)設Tn=a1+a2q+…+anqn-1,當q=3時,求Tn.參考答案一、選擇題1.答案D2.答案B解析平均變化率n=f(4)-又f(x)=13x12+x-1,∴f'(x)=1∴m=f'(1)=16-1=-56.∴3.答案C4.答案D解析由題意可知f(5)=-5+5=0,f'(5)=-1.5.答案C解析因為數列{an}是等差數列,a1+a5=6,所以a2+a4=6.又a2a4=8,公差d>0,所以a2=2,a4=4,d=1.所以a6=a4+2d=6.故選C.6.答案C解析根據等比數列的性質可得,a1a2…a8a9=a59=(a53)3=(a4a5a6)3=23=7.答案C解析由題圖可知曲線在點B處的切線的斜率大于其在點A處的切線的斜率,且大于0,則有0<f'(3)<f'(2).函數f(x)從2到3的平均變化率為f(3)-f(2)3由題圖可知0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).故選C.8.答案C解析因為F'(x)=2xf'(x2-1)-2xf'(1-x2),所以F'(1)=2f'(0)-2f'(0)=0.故選C.二、選擇題9.答案BD解析因為f(x)=exx,x∈(0,+∞),所以f'(x)=(x-1)exx2.令f'(x)>0,則x>1,令f'(x)<0,則0<x<1,所以f(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,所以函數在x=1處取得極小值即最小值,所以f(x)min=f(1)=e,即函數有最小值,無最大值,存在唯一的極值點.又x∈(0,+∞),所以ex∈(1,+∞),所以f(x)>0恒成立,10.答案AD解析∵S6>S7>S5,∴a6>0,a7<0,a6+a7>0.∴S11=11a6>0,S12=12(a6+a7)>0,由a6>0,a7<0知,數列{Sn}中最大項為S6,因為a6>-a7>0,所以|a6|>|a7|.11.答案BD解析由2(n+1)an-nan+1=0得an+1n+1=所以ann是以a11=a1=4為首項,2為公比的等比數列,故A錯誤;因為ann=4×2n-1=2n+1,所以an=n·2n+1,因為Sn=1×22+2×23+…+n·2n+1,2Sn=1×23+2×24+…+n·2n+2,兩式作差得-Sn=1×22+23+…+2n+1-n·2n+2=22(1-2n)1-2-n·2n+2,故Sn=(n-1)×2n+2+4,故C錯誤;因為an2n+1=n12.答案AD解析設g(x)=f(x)x=lnx,函數單調遞增,則g(x2)>g(x1),即f(x2)x2>f(x1)x1,∴設h(x)=f(x)+x,h'(x)=lnx+2不恒大于零,故h(x)不一定是增函數,故B錯誤;f(x)=xlnx,f'(x)=lnx+1不恒大于零,故f(x)不一定是增函數,故C錯誤;lnx>-1,故f'(x)=lnx+1>0,函數單調遞增.故(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]=x1f(x1)+x2f(x2)-x2f(x1)-x1f(x2)>0,即x1f(x1)+x2f(x2)>x2f(x1)+x1f(x2).f(x2)x2=lnx2>f(x1)x1=lnx1,x1即x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1),D正確.故選AD.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案寫在題中的橫線上)13.答案-10解析∵當x<0時,f(x)=|x|=-x,∴f'(x)=-1.∴f'(-1)=-1.在區間[-1,1]上的平均變化率為|1|-|-114.答案15解析由題意知a4+a7+a10=3a7=15,∴a7=5.由a3+a9=2a6=a3+7,得a9=7,所以數列{an}的公差d=a9-a又ak-a9=(k-9)d,∴13-7=k-9,解得k=15.15.答案1-2n解析因為an+1=Sn-1,所以Sn+1-Sn=Sn-1,即Sn+1=2Sn-1,所以Sn+1-1=2(Sn-1).又S1=a1=-1,所以數列{Sn-1}是以-2為首項,2為公比的等比數列,所以Sn-1=(-2)·2n-1=-2n,所以Sn=1-2n.16.答案(-∞,0)解析由函數f(x)=ax3+x,得f'(x)=3ax2+1.若a≥0,則f'(x)>0恒成立,此時f(x)在(-∞,+∞)上為增函數,不滿足題意;若a<0,由f'(x)>0,得--13a由f'(x)<0,得x<--13a或故當a<0時,f(x)的單調遞增區間為--13a,-13a,單調遞減區間為-∞,--13a,-1故a的取值范圍為(-∞,0).四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.解(1)設{an}的公比為q,由題設得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0.解得q=-2(舍去)或q=4.因此{an}的通項公式為an=2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此數列{bn}的前n項和為1+3+…+2n-1=n2.18.解(1)由f(x)=x+1x(x>0),得r=f(2)假設存在x0∈12,2,使得f'(x0)=r.∵f'(x)=1-1x∴f'(x0)=1-1x由f'(x0)=r=0,得1-1x02=0,解得x0=又x0∈12,2,于是x0=1.故存在x0=1∈12,2,使得f'(x0)=r.19.解(1)已知a1=1,由題意得a1·a2=22,∴a2=22.∵a1·a2·a3=32,∴a3=32同理可得a4=4232,a5因此這個數列的前五項為1,4,94(2)當n≥3時,a1·a2·…·an=n2,a1·a2·…·an-1=(n-1)2,兩式相除,得an=n2又a2=22滿足上式,∴這個數列的通項公式為an=120.解設B型號的電視機的投放金額為x(1≤x≤9)萬元,則A型號的電視機的投放金額為(10-x)萬元,又設農民得到的補貼為y萬元.由題意得y=110(10-x)+25lnx=25lnx-110x+1(1≤x≤9),令y'=0,得x=4.令y'>0,得1≤x<4;令y'<0,得4<x≤9.∴函數y=25lnx-110x+1在區間[1,4)上單調遞增,在區間(4,9]∴當x=4時,y取得最大值,且ymax=25ln4-110×4+1≈1.2,這時,10-x=即廠家對A,B兩種型號的電視機的投放金額分別為6萬元和4萬元時,農民得到的補貼最多,最多補貼約為1.2萬元.21.解(1)當x∈[1,2]時,由f(x)<0,得a>2x3+8x2設h(x)=2x+8x2,x∈[1,2],則h'(x)=2-∵h'(x)≤0,∴h(x)在區間[1,2]上是減函數,∴h(x)max=h(1)=10.∵f(x)<0對任意x∈[1,2]恒成立,即a>2x+8x2對任意x∈[1,2]∴a>10,即實數a的取值范圍為(10,+∞).(2)假設存在整數a,使得函數g(x)在區間(0,2)上存在極小值.∵g(x)=2x3+3ax2-12a2x+3a3,∴g'(x)=6x2+6ax-12a2=6(x-a)(x+2a),①若a=0,則g'(x)≥0,g(x)單調遞增,無極值.②若a>0,則當x<-2a或x>a時,g'(x)>0,g(x)單調遞增;當-2a<x<a時,g'(x)<0,g(x)單調遞減.∴當x=a時,g(x)取得極小值.∵g(x)在區間(0,2)內有極小值,∴0<a<2.∴存在整數a=1滿足題意.③若a<0,則當x<a或x>-2a時,g'(x)>0,g(x)單調遞增;當a<x<-2a時,g'(x)<0,g(x)單調遞減.∴當x=-2a時,g(x)取得極小值.∵g(x)在區間(0,2)上有極小值,∴0<-2a<2,得-1<a<0,不滿足a∈Z.綜上,存在整數a=1,使得函數g(x)在區間(0,2)上存在極小值.22.解(1)∵Sn=n2+2n,n∈N+,∴當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n+1.當n=1時,a1=S1=3滿足上式,故數列{an}的通項公式為an=2n+1.(2)當n=3時