2025年北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)中考三輪復(fù)習(xí)：相似壓軸綜合解答題訓(xùn)練1．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC【嘗試初探】（1）如圖1，若平行四邊形ABCD是正方形，E為BC的中點(diǎn)，求的值；【深入探究】（2）如圖2，∠B＝45°，∠AEF＝90°，求的值；【拓展延伸】如圖3，BF與DE交于點(diǎn)O，，求的值．2．【問(wèn)題背景】已知D、E分別是△ABC的AB邊和AC邊上的點(diǎn)，且DE∥BC，則△ABC∽△ADE，連接BD和CE．如圖2，找出圖中的另外一組相似三角形；并加以證明．【遷移應(yīng)用】如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝，D、E、M分別是AB、AC、BC中點(diǎn)①如圖4，把Rt△ADE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中直接寫(xiě)出線(xiàn)段CE和BD始終存在的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系：、；②把Rt△ADE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到如圖5所在的位置，連接CD和CE，取CD中點(diǎn)N，若CE＝，求MN的長(zhǎng)．【創(chuàng)新應(yīng)用】如圖6：AB＝AC＝AE＝2，BC＝4，△ADE是直角三角形，將△ADE繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BE，＝，連接CF，請(qǐng)直接寫(xiě)出CF的取值范圍．3．“相似”是初中幾何學(xué)習(xí)過(guò)程中研究的一種重要圖形關(guān)系．如圖是我們研究三角形相似時(shí)常見(jiàn)的一類(lèi)圖形．如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，又因?yàn)椤螦是△ABC和△ACD的公共角，可得△ABC∽△ACD．【初步應(yīng)用】：如圖2，在△ABC中，∠ACB＝90°，垂足為D．若AC＝1，BC＝2則AD的長(zhǎng)為．【變式練習(xí)】：如圖3，在△ABC中，AB＝6，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在CD上，DE＝2EC，求AD的長(zhǎng)．【操作思考】：如圖4，已知直線(xiàn)l，點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上．請(qǐng)利用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)，使得∠BCD＝∠CAB（要求：不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．【綜合拓展】：如圖5，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠CAD＝60°，且AC?AD＝AB2，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BP于點(diǎn)E．當(dāng)AB＝2時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最大值．4．（1）如圖1，Rt△ABC與Rt△ADE，點(diǎn)D在AB上，∠ADE＝∠ABC＝90°，，則＝，＝；（2）如圖2，在（1）的條件下，Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度α（0°＜α＜∠BAC），CE．的值是否發(fā)生改變？若不變請(qǐng)給出證明（3）拓展：如圖3，矩形ABCD，E為線(xiàn)段AD上一點(diǎn)，在其右側(cè)作矩形CEFG，且，AB＝4，BF，求2BE+BF的最小值．5．如圖（1），已知點(diǎn)G在正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上，GE⊥BC，GF⊥CD，垂足為點(diǎn)F．（1）證明與推斷：①求證：四邊形CEGF是正方形：②推斷：的值為；（2）探究與證明：將正方形CEGF繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α角（0＜α＜45°），如圖（2）所示，并說(shuō)明理由；（3）拓展與運(yùn)用：正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上時(shí)（3）所示，延長(zhǎng)CG交AD于點(diǎn)H．①求證：△AHG∽△CHA．②若AG＝8，GH＝2，則BC＝．6．【初識(shí)圖形】（1）如圖1，E、F分別為正方形CD邊和BC邊上的點(diǎn)，連接AE、DF＝．（2）如圖2，矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，且BD⊥EF，AB＝3，求的值．【類(lèi)比探究】（3）如圖3，Rt△ABC中，D、F分別為AC、BC邊上的點(diǎn)，AC＝8，D為AC中點(diǎn)，作AF⊥BD交BD于點(diǎn)E，交BC于F．直接寫(xiě)出AF的長(zhǎng)為．【拓展遷移】（4）在矩形ABCD中，AD＝21，AB＝18，以EF為折痕，將四邊形ABFE翻折，直線(xiàn)EH和直線(xiàn)FG分別交直線(xiàn)DC于點(diǎn)N和點(diǎn)Q，且DE＝8①請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段CQ的長(zhǎng)．②若點(diǎn)E、F分別為線(xiàn)段AD和線(xiàn)段BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足AE：BF＝1：3．且直線(xiàn)EF始終經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)P，求EF的最大值．7．綜合與實(shí)踐【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在正方形ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作BE的垂線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線(xiàn)，連接EF．①求證：BE＝BF．②當(dāng)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，AE＝1時(shí)，則BF＝．【類(lèi)比探究】（2）如圖2，在矩形ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作BE的垂線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線(xiàn)，且∠ACB＝60°，連接EF，求【拓展延伸】（3）如圖3，在（2）的條件下，其余條件不變，取線(xiàn)段EF的中點(diǎn)M，CM．若，則當(dāng)△CBM是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段CF的長(zhǎng)．8．[閱讀理解]如圖1，在學(xué)習(xí)三角形的中位線(xiàn)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)三角形的三條中位線(xiàn)在三角形內(nèi)部構(gòu)成一個(gè)新的三角形．[探究思考]如圖2，已知D、E、F分別是△ABC三邊的三等分點(diǎn)，且，依次連接DE、EF、FD，請(qǐng)求出該數(shù)值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．[發(fā)現(xiàn)結(jié)論]如圖3，已知D、E、F分別是△ABC三邊的n等分點(diǎn)，且，依次連接DE、EF、FD則△DEF與△ABC的面積比是．9．綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)圖形中兩條互相垂直的線(xiàn)段間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行了探究．（1）操作判斷①如圖（1），在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，CD，AD，且EF⊥GH，若EF＝5．②如圖（2），在矩形ABCD中，BC＝2AB，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，CD，BC上，且EF⊥GH，則GH的長(zhǎng)為．（2）遷移探究如圖（3），在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D，E分別在邊AC，且AE⊥BD，試證明．（3）拓展應(yīng)用如圖（4），在矩形ABCD中，AB＝6，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，點(diǎn)F為AE上一點(diǎn)，交矩形ABCD的邊于點(diǎn)G，當(dāng)F為AE的三等分點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AG的長(zhǎng)．10．問(wèn)題背景：如圖（1），在矩形ABCD中，過(guò)C作CE⊥BD于F，圖中與△ABD相似的三角形有多個(gè)，試寫(xiě)出其中一個(gè)三角形并證明．嘗試運(yùn)用：如圖（2），在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G拓展創(chuàng)新：如圖（3），在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，DA＝DC＝3，點(diǎn)E，AD上，連接DE，求的值．11．綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們運(yùn)用兩個(gè)直角三角形構(gòu)造圖形，探究問(wèn)題．【問(wèn)題初探】（1）勤思小組的同學(xué)構(gòu)造出的圖形，如圖1，其中△ABC與△DEF均為等腰直角三角形，AB＝AC，AE＝AF，CF．請(qǐng)判斷BE與CF的數(shù)量和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；【問(wèn)題再探】（2）慎思小組的同學(xué)構(gòu)造出的圖形，如圖2，其中△ABC與△DEF仍然為等腰直角三角形，AB＝，求AD的長(zhǎng)；【拓展應(yīng)用】（3）篤思小組的同學(xué)構(gòu)造出的圖形，如圖3，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，連接AD，BD，D，E在一條直線(xiàn)上，若AD＝12，請(qǐng)直接寫(xiě)出CE的長(zhǎng)度．12．在等邊△ABC中，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC．（1）如圖1，點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)，點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AE交于點(diǎn)E，求證：BC＝4AE．（2）如圖2，點(diǎn)E在點(diǎn)A的右側(cè)，連接BE，連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AB交AB于點(diǎn)H，求證：．（3）若點(diǎn)E在點(diǎn)A的右側(cè)，連接BE，點(diǎn)G是BE的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接GP，連接AQ，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．13．在矩形ABCD中，BC＝2CD，點(diǎn)E，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝2CF，DF．（1）如圖1，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，則CE與DF的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖2，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，EC的延長(zhǎng)線(xiàn)與DF交于點(diǎn)H．求證：∠CHD＝90°；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)G為EH上的點(diǎn)，請(qǐng)用等式表示線(xiàn)段BG與HC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．14．在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某興趣小組準(zhǔn)備了兩張矩形紙片ABCD和CEFG來(lái)探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，先將頂點(diǎn)C固定，BC＝8，CE＝4，AC，CF分別是矩形ABCD和CEFG的對(duì)角線(xiàn)，DG．【嘗試初探】（1）如圖1，在矩形紙片CEFG的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，試探究；【深入探究】（2）如圖2，當(dāng)AC的中點(diǎn)O恰好在FE的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，OF交CD于點(diǎn)M，求MN的長(zhǎng)；【拓展延伸】（3）當(dāng)AF⊥CE時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出△CDG的面積．15．某數(shù)學(xué)小組用三角形紙片對(duì)折疊進(jìn)行了探究．如圖，在三角形紙ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，CD是△ABC的中線(xiàn)（不與點(diǎn)B，C重合），將△BDP沿PD折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處【初步感知】（1）求證：EF?PF＝CF?DF；【深入探究】（2）在折疊過(guò)程中，試探究△PCF是否能成為直角三角形．若能，求出PC的長(zhǎng)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【拓展延伸】（3）在折疊過(guò)程中，當(dāng)△PDE的邊恰好過(guò)AC的中點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出PC的長(zhǎng)．16．在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（b，0）為x軸上兩點(diǎn)，且a2﹣6b+9+|a+b|＝0，點(diǎn)°，D為線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)DC⊥AC時(shí)，a＝，b＝；點(diǎn)D坐標(biāo)為；（2）如圖2，當(dāng)∠ADC＝45°時(shí)，x軸上有一點(diǎn)E，若∠DCE＝60°，求點(diǎn)E坐標(biāo)．（3）如圖3，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AN，連接BN，連接CM、CD，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，，求出該值；若變化17．【問(wèn)題初探】數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問(wèn)題：如圖①，AD是△ABC的中線(xiàn)，M是AD的中點(diǎn)，求證：CN＝2AN．經(jīng)過(guò)思考，甲、乙兩名同學(xué)分別給出如下解題思路：甲同學(xué)的思路：如圖②，過(guò)點(diǎn)D作DK∥AC，交BM于點(diǎn)K；乙同學(xué)的思路：如圖③，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線(xiàn)交BM的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)K，利用相似將AN與CN的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為AK與BC之間的關(guān)系．（1）請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的思路，寫(xiě)出證明過(guò)程；（2）【類(lèi)比分析】老師發(fā)現(xiàn)兩名同學(xué)都利用了轉(zhuǎn)化思想．為了幫助同學(xué)更好地利用轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題提出：如圖④，在△ABC中，AD是BC邊上的中線(xiàn)，N，BN交AD于M，BK交AD于P請(qǐng)你寫(xiě)出解答過(guò)程；（3）【學(xué)以致用】在△DEC中，ED＝EC．在直線(xiàn)CD上取點(diǎn)B，使BC＝2CD，在線(xiàn)段BE上取點(diǎn)A，連接AC，當(dāng)AB＝AC時(shí)，求AF：FC的值．請(qǐng)你寫(xiě)出解答過(guò)程．18．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，等腰直角Rt△ABC，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)（不與B重合），將射線(xiàn)OD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交AC于點(diǎn)E．學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，BD＝CE始終成立．請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論；【類(lèi)比遷移】（2）如圖2，Rt△ABC，∠ACB＝90°，點(diǎn)O為斜邊AB中點(diǎn)，點(diǎn)D是AC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)E恰好落BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，求的值；【拓展提升】（3）如圖3，等腰△ABC中，，∠BAC＝120°，且CD＜3，以CD為邊在BC的上方作等邊△CDE，連接AE，BE，連接AM，當(dāng)時(shí)，求△AEC的面積．19．如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是射線(xiàn)AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，將△ADE沿DE翻折到△ABC所在平面得△FDE，點(diǎn)F恰好落在直線(xiàn)DC上．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，若BC＝4，求AE長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)∠FEA＝90°時(shí)，求tan∠CDB的值；（3）如圖3，設(shè)直線(xiàn)DE與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)M，當(dāng)最小時(shí)，求20．如圖，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線(xiàn)段DE與線(xiàn)段AB相交于點(diǎn)P，與射線(xiàn)CA相交于點(diǎn)Q．（1）求證：△BPE∽△CEQ；（2）求證：QE平分∠CQP；（3）當(dāng)BP＝2，CQ＝9，求PQ的長(zhǎng)．參考答案1．解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∵E為BC中點(diǎn)，∴，∴tan∠FEC＝tan∠BAE＝，∴，∴，∴；（2）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，AF，∵∠AEF＝90°，∴∠AGE+∠GAE＝∠AEG+∠CEF＝90°，∴∠GAE＝∠CEF，∵AE＝EF，∴△AGE≌△EHF（AAS），∴GE＝FH，AG＝EH，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥CB，∴∠B＝∠DCH＝45°，∴△ABG，△CFH是等腰直角三角形，∴EH＝AG＝BG，GE＝FH＝CH，∴GC＝GE+EC＝GE+EH﹣CH＝EH＝AG，∴△AGC為等腰直角三角形，∴∠ACG＝45°，∴∠ACD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∵AD∥CB，∴∠D＝∠FCH＝45°，∴△ACD為等腰直角三角形，∴∠ACE＝∠D＝45°，∵∠DAF+∠CAF＝∠EAC+∠CAF＝45°，∴∠DAF＝∠CAF，∵△ACD，△AEF都是等腰直角三角形，∴，∴△AEC∽△AFD，∴；（3）延長(zhǎng)AD，BF交于點(diǎn)G點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥DE交DE延長(zhǎng)線(xiàn)于N，不妨設(shè)BE＝3，EC＝6，由，得DC＝AB＝8，由tan∠BOE＝tan∠A＝，∴，DM＝3，∴EM＝1，，∵∠BNE＝∠DME＝90°，∠BEN＝∠DEM，∴△BNE∽△DME，∴?，，∴，∴，，∵AG∥BC，∴△BEO∽△GDO，相似比為6：11，∴，∵AG∥BC，∴△BCF∽△GDF，∴．2．【問(wèn)題背景】證明：△ABD∽△ACE，理由如下：∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∵，∴△ABD∽△ACE，故答案為：△ABD∽△ACE；【遷移應(yīng)用】①證明：BD＝CE，理由如下：延長(zhǎng)BD，分別交AC、F，∵D、E分別為AB和AC的中點(diǎn)，∴AD＝ABAC，∴，∴，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，，∴，∵∠ABD＝∠ACE，∠AHB＝∠FHC，∴∠HFC＝∠BAH＝90°，∴BD⊥CE，故答案為：BD＝CE；②由①得，△ABD∽△ACE，∴＝，∴BD＝CE＝7，∵點(diǎn)M、N分別為BC，∴MN＝BD＝；【創(chuàng)新應(yīng)用】過(guò)點(diǎn)A作AK⊥BC，過(guò)點(diǎn)C作CJ⊥AB，∵AB＝AC＝，AK⊥BC，∴BK＝CK＝2，∴AK＝＝4，∵，∴CJ＝，∴AJ＝＝，∴BJ＝AJ＝＝，∴BJ：AB＝2：5，∴BF：BE＝6：5，∴，∴FJ∥AE，∴△BJF∽△BAE，∴，∴JF＝AE＝，∴CJ﹣JF≤CF≤FJ+CJ，∴．3．解：【初步應(yīng)用】∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB，又∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，即，∴CD＝5AD，設(shè)AD＝a，則CD＝2a，在Rt△ADC中，AD2+CD5＝AC2，∴a2+（6a）2＝1，解得，（負(fù)值舍去），∴AD的長(zhǎng)為，故答案為：．【變式練習(xí)】如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC交AD于點(diǎn)F，∵DE＝2EC，∴DC＝DE+EC＝3EC，∵EF∥AC，∴△DEF∽△DCA，∠DEF＝∠ACD，∴，∴，，設(shè)AD＝6x，則DF＝2x，∴BF＝AB﹣AF＝6﹣x，∵∠ACD＝∠ABE，∴∠DEF＝∠ABE，又∵∠DFE＝∠EFB，∴△DEF∽△EBF，∴，即，解得，，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意；∴AD的長(zhǎng)為．【操作思考】如圖，點(diǎn)C即為所求．【綜合拓展】如圖，作DG∥AC和AG∥BC交于點(diǎn)G，連接BG，∵DF⊥AC，∴∠DFA＝90°，∴DF＝AD?sin∠DAC＝ADsin60°，∴，∵DG∥AC，AG∥BC，∴，∠GAB＝∠ABC＝90°，∴AG＝＝，作△ADG的外接圓，記圓心為O、OD，則∠AOG＝×（360°﹣∠ADG）＝120°，∴∠OAG＝×（180°﹣∠ADG）＝30°，∴∠OAB＝∠GAB﹣∠OAG＝60°，設(shè)圓O與AB交于A′，則OA＝OA'，∴△OAA′是等邊三角形，∴∠AOA'＝∠AA'O＝60°，∴∠AOA'+∠AOG＝180°，△OAA′是等邊三角形，∴A′，O，G三點(diǎn)共線(xiàn)，∴，∴圓O的半徑為7，∵△OAA'是等邊三角形，∴AA'＝OA＝OA'＝1，∴A'B＝AB﹣AA'＝1，∴A'B＝OA'，∴，∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝60°，∠AOB＝180°﹣∠ABO﹣∠OAB＝90°，∴，作ON⊥BC于點(diǎn)N，OM⊥DE于點(diǎn)M，則，，∵∠ONE＝∠DEB＝∠OME＝90°，∴四邊形ONEM是矩形，∴OM＝EN，，設(shè)DE＝x，，則，∴，DM＝DE﹣ME＝x﹣，在Rt△ODM中，OM4+DM2＝OD2，∴（）2+（x﹣）7＝1，令x+y＝t，則y＝t﹣x，則[]2+（x﹣）2＝8，整理得：4x2﹣8tx+3t2﹣2t+2＝0，∴Δ＝（﹣3t）2﹣4×2×（3t2﹣5t+2）≥0，整理得3t2﹣12t+8≤5，令3t2﹣12t+4＝0，則t1＝2﹣，，∴4t2﹣12t+8≤2的解集為，∴t的最大值為，即的最大值為，故答案為：．4．解：（1）∵∠ADE＝∠ABC＝90°，，∴DE∥BC，DE＝6AD，∴AE＝＝＝AD，∴＝＝，∵DE∥BC，∴＝＝＝，故答案為：，；（2）的值不發(fā)生改變∵∠ADE＝∠ABC＝90°，，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD∽△CAE，∴＝＝；（3）如圖2，以BC為斜邊構(gòu)造Rt△BCK，∠BCK＝60°，過(guò)K作KH⊥BC于點(diǎn)H，KG⊥AB于點(diǎn)G、EK，則CK＝BC，∵＝，∴∠CFE＝30°，∴∠FCE＝60°＝∠BCK，∵∠BKC＝∠FEC＝90°，∴△BCK∽△FCE，∴＝，∵∠ECK＝∠BCE+∠BCK，∠BCF＝∠BCE+∠FCE，∴∠ECK＝∠BCF，∴△ECK∽△FCB，∴＝＝，∴EK＝BF，作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接B'K，則BE+EK的最小值為B'K，AB′＝AB＝4，過(guò)點(diǎn)K作HK⊥BC于點(diǎn)H，KG⊥AB于點(diǎn)G，∴BG＝HK，BH＝GK，∵＝，∴BC＝＝＝4，∴CK＝BC＝2，∴CH＝CK＝×＝3，∴BH＝GK＝BC﹣CH＝4﹣＝3，∴B′G＝AB′+AB+BG＝4+4+4＝11，∴B'K＝＝＝5，此時(shí)，2BE+BF＝2（BE+，即2BE+BF的最小值為2．5．（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四邊形CEGF是矩形，∵∠BCA＝45°，∴△CEG是等腰直角三角形，∴EG＝EC，∴四邊形CEGF是正方形；②解：由①知四邊形CEGF是正方形，∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，∴＝，GE∥AB，∴＝＝，故答案為：；（2）解：線(xiàn)段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為：AG＝BE連接CG，如圖（2）所示：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：∠BCE＝∠ACG＝α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝，，∴＝＝，∴△ACG∽△BCE，∴＝＝，∴線(xiàn)段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為：AG＝BE；（3）①證明：由（2）知，△BCE∽△ACG，∵B、E、F三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，∴∠AGC＝∠BEC＝180°﹣45°＝135°，∵∠CGF＝45°，∴∠AGC+∠CGF＝180°，∴A、G、F三點(diǎn)共線(xiàn)，∴∠AGH＝∠CGF＝∠CAH＝45°，∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA；②解：由①得：△AHG∽△CHA，∴＝＝，∵四邊形ABCD是正方形，∴設(shè)BC＝CD＝AD＝a，則AC＝a，∵＝，∴＝，解得：AH＝a，∴DH＝AD﹣AH＝a﹣a＝a，CH＝＝＝a，∵＝，∴＝，解得：a＝4，即BC＝4，故答案為：5．6．解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠EDA＝∠FCD＝90°，∵AE⊥DF，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∠ADF+∠CDF＝90°，∴∠CDF＝∠DAE，在Rt△ADE和Rt△DCF中，，∴△DAE≌△CDF（ASA），∴AE＝DF，∴，故答案為：1；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝3，∴，∠BAE＝∠ABH＝∠BHE＝∠EHF＝90°，∴四邊形ABHE是矩形，∠ADB＝∠DBC，∴AB＝HE＝3，∵BD⊥EF于點(diǎn)G，∴∠GEH+∠GED＝∠GED+∠GDE＝90°，∴∠ADB＝∠HEF，∴ABD∽HFE，∴，即，∴，∴；（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AC于點(diǎn)M，∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AC＝8，∴，∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴，在Rt△ABD中，AB＝6，∴，設(shè)CF＝5x，∵∠CMF＝∠CAB＝90°，∠C＝∠C，∴△CMF∽△CAB，∴，即，∴CM＝4x，MF＝8x，∴AM＝AC﹣CM＝8﹣4x，∵AF⊥BD，∴∠ABD+∠BAE＝∠BAE+∠FAM＝90°，∴∠ABD＝∠FAD，又∵∠BAD＝∠AMF＝90°，∴△ABD∽△MAF，∴，即，解得，∴，故答案為：；（4）①∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AD∥BC，∵四邊形ABFE翻折，得到四邊形EFGH，∴AB＝GH＝18，∠H＝∠A＝∠G＝∠B＝90°，AE＝EH＝AD﹣DE＝21﹣6＝13，第一種情況，如圖，∵∠EDN＝90°，DE＝8，∴，∵EH∥FG，NR⊥FG，∴∠ENR＝∠RNH＝90°＝∠H＝∠G，∴四邊形GHNR是矩形，∴NR＝GH＝AB＝18，∴∠END+∠QNR＝∠QNR+∠NQR＝90°，∴∠END＝∠NQR，且∠EDN＝∠NRQ＝90°，∴△EDN∽△NRQ，∴，即，∴，∵NC＝DN+DC＝6+18＝24，CQ＝NC﹣NQ，∴；第二種情況，如圖，同理，AE＝EH＝AD﹣DE＝21﹣3＝13，，∴NH＝EH﹣EN＝13﹣10＝3，∵∠D＝∠H，∠END＝∠SNH，∴△EDN∽△SHN，∴，即，∴SH＝4，SN＝4，∴SC＝CD﹣DN﹣SN＝18﹣6﹣5＝5，GS＝GH﹣SH＝18﹣4＝14，∵∠H＝∠SGQ＝90°，∠HSN＝∠GSQ，∴△HSN∽△GSQ，∴，即，∴，∵SQ＝SC+CQ，∴；綜上所述，CQ的長(zhǎng)為或；故答案為：或；②如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE：BF＝1：8，直線(xiàn)EF始終經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)P，∴延長(zhǎng)BA，F(xiàn)E交于點(diǎn)P，∴△PAE∽△PBF，∴，且PB＝PA+AB＝PA+18，∴，解得PA＝9，如圖，以點(diǎn)B坐標(biāo)原點(diǎn)，BA方向?yàn)榭v軸作平面直角坐標(biāo)系，∵AE：BF＝2：3，設(shè)E（a，18），0），∵BC＝21，8＜3a≤21，∴，令y＝4a2+324（7＜a≤7），∵4＞3，∴函數(shù)圖象開(kāi)口向上，y隨a的增大而增大，∴當(dāng)a＝7時(shí)，y有最大值2+324＝520，∴EF的最大值為，故答案為：．7．（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∠ABC＝90°，∵BE⊥BF，CF⊥AC，∴∠EBF＝∠ECF＝90°＝∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF，∠BCF＝45°＝∠BAC，∴△ABE≌△CBF（ASA），∴BE＝BF；②解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，，∴，∵△ABE≌△CBF，∴∠ABE＝∠CBF，AE＝CF＝1，∴∠EBF＝∠EBC+∠CBF＝∠EBC+∠ABE＝90°，∴EF2＝CF8+CE2＝12+（4﹣1）5＝BE2+BF2＝5BF2，解得，故答案為：；（2）解：∵BE⊥BF，CF⊥AC，∴∠EBF＝∠ECF＝90°，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是90°，可得點(diǎn)C，點(diǎn)B，∴點(diǎn)C，點(diǎn)E，點(diǎn)F四點(diǎn)共圓，∴∠ACB＝∠EFB＝60°，∴∠BAE＝∠BEF＝30°，∴，，∴，∵∠EBF＝∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF，∴△ABE∽△CBF，∴；（3）解：①當(dāng)E在線(xiàn)段AC上時(shí)，由（2）知，∵，∴CB＝4，∵M(jìn)為Rt△BEF斜邊EF的中點(diǎn)，∴，由（2）知∠ACF＝90°，∴，∴BM＝CM，∴當(dāng)△CBM是直角三角形時(shí)，只能是∠BMC＝90°，，∴，設(shè)CF＝x，則，∵∠CAB＝30°，BC＝4，∴AC＝2BC＝8，∴，∵∠ECF＝90°，∴CE2+CF2＝EF6，∴，∴或，當(dāng)時(shí)，，不符合題設(shè)，∴此時(shí)；②如圖，當(dāng)E在AC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，同（2）可證△ABE∽△CBF，∴，∵，∴CB＝4，同（3）①可證BM＝CM，∴當(dāng)△CBM是直角三角形時(shí)，只能是∠BMC＝90°，，∴，設(shè)CF＝x，則，∴，∵∠ECF＝90°，∴CE2+CF2＝EF6，∴，∴或，當(dāng)時(shí)，，不符合題設(shè)；∴此時(shí)；③如圖，當(dāng)點(diǎn)E在CA延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，同（2）可證△ABE∽△CBF，∴，∵，∴CB＝4，同（3）①可證BM＝CM，∴當(dāng)△CBM是直角三角形時(shí)，只能是∠BMC＝90°，，∴，設(shè)CF＝x，則，∴，∵∠ECF＝90°，∴CE2+CF2＝EF5，∴，∴或，均不符合題設(shè)；綜上，CF的長(zhǎng)為或．8．解：[閱讀理解]∵DE是△ABC的中位線(xiàn)，∴，∵∠DAF＝∠BAC，∴△DAF∽△BAC，∵，即，同理可證，．∴，∴，故答案為：；[探究思考]如圖，取AF中點(diǎn)G，BD中點(diǎn)I，F(xiàn)H，∵，∴，，，∴，∵∠DAG＝∠BAC，∴△DAG∽△BAC，∴，即，∵，∴，同理可證，，∴，綜上可知，△DEF與△ABC的面積比是定值．[發(fā)現(xiàn)結(jié)論]如圖，取G、H，且，∵，∴，，，∵，∠DAG＝∠BAC，∴△DAG∽△BAC，∴，即，∵，∴，同理可證，，∴，∴，故答案為：．9．（1）解：①如圖，過(guò)點(diǎn)E作EP⊥CD于點(diǎn)P，則EP⊥QH，∴四邊形EBCP，HCDQ是矩形，∴EP＝BC＝CD＝HQ，設(shè)EF交QH于點(diǎn)O，則∠EOH+∠QHG＝90°＝∠EOH+∠FEP，∴∠GHQ＝∠FEP，又∵∠EPF＝∠HQG＝90°，∴△EPF≌△HQG（ASA），∴GH＝EF＝5；故答案為：5；②如圖，過(guò)點(diǎn)E作EP⊥CD于點(diǎn)P，則EP⊥QH，∴四邊形EBCP，HCDQ是矩形，∴EP＝BC＝8CD＝2HQ，設(shè)EF交QH于點(diǎn)O，則∠EOH+∠QHG＝90°＝∠EOH+∠FEP，∴∠GHQ＝∠FEP，又∵∠EPF＝∠HQG＝90°，∴△EPF∽△HQG，∴，∴；故答案為：7；（2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AC交AE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，∵∠F+∠FAC＝90°＝∠ADB+∠FAC，∴∠F＝∠ADB．又∵∠BAD＝∠ACF＝90°，BA＝AC，∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD＝CF，∴AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴，又∵CF＝AD，∴．（3）或3．∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB，∴AE＝AB＝8，當(dāng)時(shí)，如圖，∴BF＝，∵∠ABF＝∠DAG，∠BAF＝∠ADG＝90°，∴△BAF∽△ADG，∴，∴；當(dāng)時(shí)，如圖，∴BF＝，∵∠BAF＝∠GBA＝90°，∠ABF＝∠BGA，∴△BAF∽△GBA，∴，∴．10．問(wèn)題背景：解：△EFD∽△CFB，證明如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴△EFD∽△CFB；嘗試運(yùn)用：證明：如圖（2），過(guò)點(diǎn)A作AH∥CD，則∠AHB＝∠C，∵∠BAD＝∠B＝90°，∴∠BAD+∠B＝180°，∴AD∥BC，∴四邊形ADCH是平行四邊形，∠GDF＝∠C，∴AH＝CD，∵EF⊥CD，∴∠GFD＝90°，∵∠BAD＝90°＝∠GFD，∠AGE＝∠DGF，∴∠AEG＝∠GDF，∴∠AEG＝∠C＝∠AHB，又∵∠GAE＝∠B，∴△AEG∽△BHA．∴AG：AB＝EG：AH．∴AG：AB＝EG：CD，∴EG?AB＝CD?AG；拓展創(chuàng)新：解：如圖（3），過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)G、BD交于點(diǎn)H，∵BA＝BC，DA＝DC，∴BD垂直平分AC，∴∠AHD＝90°，AH＝CH，∵CF⊥DE，CG⊥AD，∴∠FCG+∠CFG＝∠CFG+∠ADE＝90°，∴∠FCG＝∠ADE，∵∠BAD＝∠CGF＝90°，∴△DEA∽△CFG，∴，在Rt△ADB中，tan∠ADB＝＝，∴tan∠ADH＝＝，設(shè)AH＝a，則DH＝3a，∵AH3+DH2＝AD2，∴a3+（3a）2＝82，解得：a＝（負(fù)值已舍去），∴AH＝，DH＝，∴AC＝2AH＝，∵S△ADC＝AC?DH＝，∴AC?DH＝AD?CG，即×＝3CG，∴CG＝，∴＝＝．11．解：（1）BE＝CF，BE⊥CF．證明：延長(zhǎng)BE交CF于點(diǎn)G，∵∠BAC＝∠EAF＝90°，∴∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF，∵∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠EBC+∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠EBC+∠ACB＝90°，∴∠BGC＝90°，∴BE⊥CF；（2）∵△ABC和△DEF均為等腰直角三角形，，AB＝4，∴AB＝AC＝2，CE＝，∠BCA＝∠ECD＝45°，．∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE∽△ACD，∴，在Rt△ACE中，，∴BE＝2﹣2，∴，∴．（3）．連接BE．交AC于點(diǎn)O，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝30°，∴，，∠BCE＝∠ACD，∴，∴△ACD∽△BCE，∴，∠CBE＝∠CAD，∵AD＝12，∴BE＝4，∵∠BOC＝∠AOE，∠BCO＝90°，∴∠AEO＝90°，∴∠DEB＝90°，∴DE＝＝2，∵∠CDE＝30°，∴CE＝DE＝．12．（1）證明：∵AE∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠BAE＝∠ABC＝60°．∵在Rt△ADE中，AE＝AD?cos60°＝＝．∴BC＝7AE．（2）證明：如圖，作GK∥BC交AB于點(diǎn)K．∵點(diǎn)G是BE中點(diǎn)，∴KG是△ABE的中位線(xiàn)，KG＝，在Rt△HGK中，HG＝KG?sin∠HKG＝?＝．（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)G作BC的垂線(xiàn)，點(diǎn)M為BC上一點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)P分別運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到M′；過(guò)點(diǎn)A，R、S為垂足，T為垂足．當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為直線(xiàn)M′N(xiāo)′．根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最短，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)R重合時(shí)，∵△GMM′和△GNN′為等邊三角形，GN⊥MM′．∴∠NGM＝＝30°．由等腰三角形“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)，點(diǎn)N與點(diǎn)N′關(guān)于GM′對(duì)稱(chēng)．∴當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)R時(shí)，點(diǎn)P正好在BC上，∠NM′N(xiāo)＝120°．∵∠NM′N(xiāo)+∠ABC＝180°，∴M′N(xiāo)′∥AB．∵AR⊥M′N(xiāo)′，BS⊥M′N(xiāo)′，∴AR＝BS．設(shè)AB＝2a，則BG＝4a．則BT＝AB?sins60°＝a，TA＝AB?cos60°＝a，∴AE＝TE﹣TA＝﹣TA＝（．∵∠GBN＝∠BET，sin∠GBN＝，BE＝2BG．∴GN＝＝a，在Rt△BGN中，BN＝＝a．∴BM′＝BN+NM′＝BN+GN?tan30°＝a．在Rt△BSM′中，由M′N(xiāo)′∥AB可得∠BM′S＝∠ABM′＝60°a．∴＝．13．（1）解：設(shè)DF交CE于K，如圖：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠DCF＝90°，∵BC＝2CD，BE＝2CF，∴＝3＝，∴△BCE∽△CDF，∴＝＝2，∴CE＝2DF，∵∠BCE+∠DCE＝90°，∴∠CDF+∠DCE＝90°，∴∠CKD＝90°，∴CE⊥DF；故答案為：CE⊥DF，CE＝8DF；（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠CBE＝∠DCF＝90°，∵BC＝2CD，BE＝2CF，∴＝6＝，∴△BCE∽△CDF，∴∠BCE＝∠CDF，∵∠BCE+∠DCH＝180°﹣∠BCD＝90°，∴∠CDF+∠DCH＝90°，∴∠CHD＝90°；（3）解：BG＝CH連接DG，DB∵GH＝2DH，BC＝2CD，∴＝2＝，∴＝，∵∠BCD＝90°＝∠CHD，∴△GDH∽△BDC，∴＝，∠GDH＝∠BDC，∴＝，∠CDH＝∠BDG，∴△CDH∽△BDG，∴＝，∵BC＝2CD，∴BD＝＝＝CD，∴＝，∴BG＝CH．14．解：（1）∵四邊形ABCD和四邊形CEFG為矩形，AB＝6，CE＝4，∴AC＝＝10，CF＝＝7．∵＝，∠ADC＝∠FGC＝90°，∴△ADC∽△FGC，∴∠ACD＝∠FCG，∴∠ACF＝∠GCD．∵＝6，，∴，∴△ACF∽△DCG，∴；（2）連接DF，如圖，∵O為AC的中點(diǎn)，∴OC＝OA＝6，∵AC的中點(diǎn)O恰好在FE的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∴OE⊥OF，∴OE＝＝5，∵＝，∠ADC＝∠CEO＝90°，∴△ADC∽△CEO，∴∠ACD＝∠EOC，∴MO＝MC，設(shè)EM＝x，則MC＝MO＝3+x，∵CE7+EM2＝CM2，∴52+x2＝（x+4）2，∴x＝．∴CM＝3+x＝，∴DM＝CD﹣CM＝，MF＝EF﹣EM＝，∴DM＝MF，∴∠MDF＝∠MFD，∵∠OMC＝∠DMF，∴∠MDF＝∠MFD＝∠ACD＝∠EOC，∴DF∥AC．∴△DMF∽△CMO，∴＝，∴DF＝．∵DF∥AC，∴△DFN∽△CAN，∴，∴，∴MN＝．（3）△CDG的面積為或．理由：①連接AC，CF，如圖，∵AF⊥CE，∴AE＝＝＝3，∴AF＝AE+EF＝2+3，由（1）知：，∴DG＝．設(shè)GH＝a，則DH＝DG﹣GH＝，∵CG2﹣GH2＝CH2＝CD2﹣DH7，∴，∴a＝．∴CH＝＝，∴△CDG的面積＝＝＝；②連接AC，CF，如圖，∵AF⊥CE，∴AE＝＝＝4，∴AF＝AE﹣EF＝2﹣3，∴＝＝4．由（1）知：△ACF∽△DCG，∴，∴△CDG的面積＝（4．綜上，△CDG的面積為或．15．（1）證明：∵∠ACB＝90°，AC＝6，∴AB＝＝10，∵CD是△ABC的中線(xiàn)，∴CD＝BD＝AD＝AB＝2．∴∠DCB＝∠B，由折疊的性質(zhì)得：∠E＝∠B，∴∠E＝∠DCB．∵∠EFD＝∠CFP，∴△EFD∽△CFP，∴，∴EF?PF＝CF?DF；（2）解：△PCF能成為直角三角形．PC的長(zhǎng)為．理由：①當(dāng)∠CFP＝90°時(shí)，如圖，由題意得：PB＝PE，DE＝DB＝3，由（1）得：∠DCB＝∠B，CD＝5，在Rt△ABC中，tanB＝，∴tan∠DCB＝．設(shè)PF＝3x，則CF＝6x，∴PC＝＝4x，∴PB＝PE＝BC﹣PC＝8﹣5x，EF＝PE﹣PF＝2﹣8x，∵EF2+DF4＝DE2，∴（8﹣7x）2+（5﹣5x）2＝53，∴x＝或x＝，舍去），∴PC＝5x＝；②當(dāng)∠CPF＝90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，由題意得：∠EPB＝∠BPD，∵∠CPF＝90°，∴∠EPB＝∠BPD＝45°，∵DH⊥BC，∴△DHP為等腰直角三角形，∴DH＝PH．∵DH⊥BC，AC⊥BC，∴DH∥AC，∵D為AB的中點(diǎn)，∴DH為△BAC的中位線(xiàn)，∴DH＝AC＝3BC＝4，∴PH＝DH＝3，∴PC＝CH﹣PH＝5﹣3＝1．綜上，△PCF能成為直角三角形或1．（3）解：當(dāng)△PDE的邊恰好過(guò)AC的中點(diǎn)時(shí)，PC的長(zhǎng)為8或①當(dāng)PE邊經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)G時(shí)，連接DG，∵G為AC的中點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，∴DG為中位線(xiàn)，∴DG∥BC，DG＝，CG＝，∴∠GDP＝∠BPD，由題意得：∠BPD＝∠EPD，∴∠EPD＝∠GDP，∴GP＝GD＝6，∴PC＝＝＝；②當(dāng)DE邊經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)G時(shí)，如圖，∵G為AC的中點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，∴DG為中位線(xiàn)，∴DG∥BC，∴∠EDP＝∠BPD，由題意得：PB＝PE，∠BPD＝∠EPD，∴∠EPD＝∠EDP，∴EP＝ED＝5，∴PB＝PE＝8，∴PC＝BC﹣PB＝8﹣5＝4．綜上，當(dāng)△PDE的邊恰好過(guò)AC的中點(diǎn)時(shí)．16．解：（1）∵b2﹣6b+6+|a+b|＝0，∴（b﹣3）8+|a+b|＝0，∴b﹣3＝6，a+b＝0，∴b＝3，a＝﹣5．∴A（﹣3，0），3），∴OA＝OB＝3．∴∠BAC＝∠ABC＝30°，∵C（0，），∴OC＝，∴AC＝2OC＝4．∵DC⊥AC，∴AD＝＝8，∴OD＝AD﹣OA＝1，∴D（1，2）．故答案為：﹣3；3；（8；（2）∵∠ADC＝45°，OC⊥OD，∴OD＝OC＝，∠OCD＝45°．∵∠DCE＝60°，∴∠EOC＝15°，∵∠OCA＝90°﹣∠BAC＝60°，∴∠AOE＝45°．過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，如圖，則△EFC為等腰直角三角形，∴EF＝FC，設(shè)EF＝FC＝x，∵∠BAC＝30°，∴AE＝2EF＝3x，∴AF＝EF＝x，∴AC＝AF+FC＝（1）x＝2，∴x＝3﹣，∴AE＝3x＝6﹣2，∴OE＝OA﹣AE＝2﹣8，∴E（3﹣2，0）；（3）的值不變.理由：過(guò)點(diǎn)N作NE⊥OA于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥OB于點(diǎn)F，如圖，設(shè)OD＝a，則AN＝AD＝a+3，∴CD＝＝．∵NE⊥OA，∠NAO＝60°，∴AE＝AN＝，NE＝，∴BE＝AB﹣AE＝6﹣（a+5）＝，∵M(jìn)F⊥OB，NE⊥OA，∴NE∥MF，∵點(diǎn)M為BN中點(diǎn)，∴MF為△BEN的中位線(xiàn)，∴MF＝NE＝，BF＝，∴OF＝OB﹣BE＝，∵M(jìn)F⊥OB，MH⊥OC，∴四邊形MHOF為矩形，∴MH＝OF＝，OH＝MF＝，∴CH＝OH﹣OC＝（a﹣1），∴CM＝＝＝，∴＝．17．（1）證明：利用甲同學(xué)的證明思路．過(guò)D作DK∥AC交BN于K，如圖，∵DK∥AC，∴，∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，∴AM＝DM，∴DK＝AN，∵D是BC的中點(diǎn)，DK∥AC，∴DK為△BNC的中位線(xiàn)，∴DK＝CN，∴AN＝CN．∴CN＝2AN；（2）解：連接DK，如圖，∵N，K是AC的三等分點(diǎn)，∴AN＝NK＝KC．∵BD＝DC，∴DK為△CBN的中位線(xiàn)，∴DK∥BN，DK＝，設(shè)DK＝2a，則BN＝6a．∵DK∥BN，AN＝NK，∴MN＝DK＝a，∴BM＝BN﹣MN＝3a．∵DK∥BN，∴；（3）①連接AD，過(guò)點(diǎn)E作EK⊥CD于點(diǎn)K，交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，如圖，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC．∵EK⊥CD，∴AD∥EK．∴．∵ED＝EC，EK⊥CD，∴DK＝KC＝CD．∵BC＝2CD，∴BD＝DC．∴BD＝2DK＝2KC，∴．∴．∵EK⊥CD，CH⊥CD，∴EK∥CH，∵DK＝KC，∴EK為△DCH的中位線(xiàn)，∴DE＝EH，∵AD⊥BC，CH⊥CD，∴AD∥GH，∴△ADE∽△GHE，∴，∴AD＝GH．∵AD為△BCG的中位線(xiàn)，∴AD＝CG，∴CG＝2AD＝2GH，∴CH＝3AD．∵AD∥CH，∴△AFD∽△CFH，∴；②過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥CD，如圖，∵AB＝AC，AG⊥BC，∴BG＝GC，∵BC＝2CD，∴BG＝GC＝CD．∵ED＝EC，EH⊥CD，∴CH＝HD＝CD，設(shè)CH＝HD＝k，則BG＝GC＝CD＝7k，∴．∵AG⊥BC，EH⊥CD，∴AG∥EH，∴．∵AG⊥BC，DN⊥CD，∴AG∥DN，∴△AGC∽△NDC，∴＝，∴AG＝DN，AC＝CN．∴．∵EH⊥CD，DN⊥CD，∴MH∥DN，∵CH＝HD，∴MH為△CDN的中位線(xiàn)，∴D