21/26信陽市浉河區2024年八年級《數學》上學期期末試題與參考答案一、選擇題每小題3分，共30分，下列各小題均有四個答案，其中只有一個是正確的.1．（3分）下列出版社的商標圖案中，是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．【分析】利用軸對稱圖形的定義進行分析即可．【解答】解：選項B，C，D中的圖形都不能確定一條直線，使圖形沿這條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，不是軸對稱圖形，選項A中的圖形沿某條直線對折后兩部分能完全重合，是軸對稱圖形，故選：A．【點評】此題主要考查了軸對稱圖形，關鍵是掌握如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．2．（3分）下列計算正確的是（）A．a2?a3＝a6 B．（3a）2＝6a2 C．a6÷a3＝a2 D．3a2﹣a2＝2a2【分析】根據同底數冪乘法、冪的乘方與積的乘方、同底數冪除法以及合并同類項的法則計算即可．【解答】解：A、a2?a3＝a2+3＝a5，原式計算錯誤，故選項不符合題意；B、（3a）2＝9a2，原式計算錯誤，故選項不符合題意；C、a6÷a3＝a6﹣3＝a3，原式計算錯誤，故選項不符合題意；D、3a2﹣a2＝2a2，計算正確，故選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查了同底數冪乘法、冪的乘方與積的乘方、同底數冪除法以及合并同類項，解題的關鍵是熟練掌握相關的定義和法則．3．（3分）在下列長度的四條線段中，能與長6cm，8cm的兩條線段圍成一個三角形的是（）A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm【分析】首先設第三條線段長為xcm，再利用三角形的三邊關系可得x的范圍，然后可得答案．【解答】解：設第三條線段長為xcm，由題意得：8﹣6＜x＜8+6，解得：2＜x＜14，只有13cm適合，故選：C．【點評】此題主要考查了三角形的三邊關系，關鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊．4．（3分）下列因式分解正確的是（）A．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2 B．a2+ab+a＝a（a+b） C．4a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b） D．a3b﹣ab3＝ab（a﹣b）2【分析】利用提公因式法、公式法逐個分解得結論．【解答】解：A選項，2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2，故該選項符合題意；B選項，a2+ab+a＝a（a+b+1），故該選項不符合題意；C選項，4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），故該選項不符合題意；D選項，a3b﹣ab3＝ab（a2﹣b2）＝ab（a+b）（a﹣b），故該選項不符合題意．故選：A．【點評】本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解決本題的關鍵．5．（3分）某小區的圓形花園中間有兩條互相垂直的小路，園丁在花園中栽種了8棵桂花，如圖所示．若A，B兩處桂花的位置關于小路對稱，在分別以兩條小路為x，y軸的平面直角坐標系內，若點A的坐標為（﹣6，2），則點B的坐標為（）A．（6，2） B．（﹣6，﹣2） C．（2，6） D．（2，﹣6）【分析】關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數，據此可得答案．【解答】解：若A，B兩處桂花的位置關于小路對稱，在分別以兩條小路為x，y軸的平面直角坐標系內，若點A的坐標為（﹣6，2），則點B的坐標為（6，2）．故選：A．【點評】本題考查了關于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規律：（1）關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數；（2）關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數．6．（3分）校園湖邊一角的形狀如圖所示，其中AB，BC，CD表示圍墻，若在線段右側的區域中找到一點P修建一個觀賞亭，使點P到三面墻的距離都相等．則點P在（）A．線段AC、BD的交點 B．∠ABC、∠BCD角平分線的交點 C．線段AB、BC垂直平分線的交點 D．線段BC、CD垂直平分線的交點【分析】角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，由此即可判斷．【解答】解：因為角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，所以使點P到三面墻的距離都相等，點P是∠ABC、∠BCD角平分線的交點．故選：B．【點評】本題考查角平分線的性質，關鍵是掌握角平分線的性質定理．7．（3分）如圖，兩個正方形的邊長分別為a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么陰影部分的面積是（）A．5 B．10 C．20 D．30【分析】分析圖形可得陰影部分面積為兩個正方形面積和減去空白面積，據此計算可得關系式；代入a+b＝10，ab＝20，計算可得答案．【解答】解：根據題意可得，陰影部分面積為兩個正方形面積和減去空白面積，即（a2+b2）﹣﹣＝（a2+b2﹣ab）＝（a2+b2+2ab﹣3ab）＝[（a+b）2﹣3ab]；代入a+b＝10，ab＝20可得：S陰影面積＝（10×10﹣20×3）÷2＝20．故選：C．【點評】此題考查整式的混合運算，解答本題的關鍵是利用面積的和差關系求出陰影部分的面積，但在計算時要把未知的代數式轉化成已知，代入求值．8．（3分）已知關于x的分式方程+1＝的解是非負數．則m的取值范圍是（）A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠﹣2 D．m＜2且m≠﹣2【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，由分式方程的解是非負數，確定出m的范圍即可．【解答】解：分式方程去分母得：m+x﹣2＝﹣x，解得：x＝，由分式方程的解是非負數，得到≥0，且﹣2≠0，解得：m≤2且m≠﹣2，故選：C．【點評】此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．9．（3分）“三等分角”大約是在公元前五世紀由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點相連并可繞O轉動、C點固定，OC＝CD＝DE，點D、E可在槽中滑動．若∠BDE＝75°，則∠CDE的度數是（）A．60° B．65° C．75° D．80°【分析】根據OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根據三角形的外角性質可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，進一步根據三角形的外角性質可知∠BDE＝3∠ODC＝75°，即可求出∠ODC的度數，進而求出∠CDE的度數．【解答】解：因為OC＝CD＝DE，所以∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，所以∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，因為∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，所以∠ODC＝25°，因為∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，所以∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．故選：D．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質以及三角形的外角性質，理清各個角之間的關系是解答本題的關鍵．10．（3分）如圖，CD是△ABC的角平分線，△ABC的面積為12，BC長為6，點E，F分別是CD，AC上的動點，則AE+EF的最小值是（）A．6 B．4 C．3 D．2【分析】作A關于CD的對稱點H，由CD是△ABC的角平分線，得到點H一定在BC上，過H作HF⊥AC于F，交CD于E，則此時，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，過A作AG⊥BC于G，根據垂直平分線的性質和三角形的面積即可得到結論．【解答】解：作A關于CD的對稱點H，因為CD是△ABC的角平分線，所以點H一定在BC上，過H作HF⊥AC于F，交CD于E，則此時，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，過A作AG⊥BC于G，因為△ABC的面積為12，BC長為6，所以AG＝4，因為CD垂直平分AH，所以AC＝CH，所以S△ACH＝AC?HF＝CH?AG，所以HF＝AG＝4，所以AE+EF的最小值是4，故選：B．二、填空題每小題3分，共15分。11．（3分）若代數式有意義，則實數x的取值范圍是x≠2．【分析】根據分式的分母不為零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案為：x≠2．【點評】本題考查的是分式有意義的條件，熟記分式的分母不為零是解題的關鍵．12．（3分）因式分解：a3﹣a＝a（a+1）（a﹣1）．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），故答案為：a（a+1）（a﹣1）【點評】此題考查了提公因式與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．13．（3分）如圖，B、E、C、F四點在同一直線上，且BE＝CF，AC＝DF，添加一個條件AB＝DE（答案不唯一），使△ABC≌△DEF（寫出一個即可）．【分析】根據全等三角形的判定添加合適的條件即可．【解答】解：添加AB＝DE（答案不唯一），證明如下：因為BE＝CF，所以BE+EC＝CF+EC，即BC＝FE，因為AC＝DF，AB＝DE，所以△ABC≌△DEF（SSS），故答案為：AB＝DE（答案不唯一）．【點評】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．14．（3分）如圖，已知△ABC的面積為12cm，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為6cm2．【分析】延長AP交BC于E，根據已知條件證得△ABP≌△EBP，根據全等三角形的性質得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC＝S△ABC，代入求出即可．【解答】解：延長AP交BC于E，因為BP平分∠ABC，所以∠ABP＝∠EBP，因為AP⊥BP，所以∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，，所以△ABP≌△EBP（ASA），所以AP＝PE，所以S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，所以S△PBC＝S△ABC＝×12cm2＝6cm2，故答案為：6cm2．【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的面積的應用，解題的關鍵是添加輔助線構造全等三角形．注意：等底等高的三角形的面積相等．15．（3分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，M、N分別為AB、CD的中點，點P為線段MN上一動點，以線段BP為邊，在BP左側作等邊三角形BPQ，連接QM，則QM的最小值為．【分析】點P在線段MN上運動時，以BP為邊的等邊三角形BPQ的頂點Q的軌跡是線段Q1Q2所在的直線，當MQ⊥Q1Q2時值最小由題意可得MA＝MQ1＝1，∠Q1MA＝120°，然后由直角三角形求MQ即可．【解答】解：由題意可知，當點P與點M重合時，以BP為邊在左側所做的等邊三角形BMQ1，當BP等于BA時所做的等邊三角形BPA，此時Q和A重合，當P運動到點N時，以BP為邊所做的等邊三角形BNQ2，所以點P在線段MN上運動時，以BP為邊的等邊三角形BPQ的頂點Q的軌跡是線段Q1Q2所在的直線，當MQ⊥Q1Q2時值最小，如圖所示：因為ABCD是矩形，AB＝2，AD＝2，M是AB邊的中點，所以AM＝BM＝1，因為BMQ1是等邊三角形，所以MQ1＝AM＝BM＝1，∠BMQ1＝60°，所以∠Q1MA＝120°，所以∠MQ1Q＝30°，又因為MQ⊥Q1Q2，MQ＝．故答案為：三、解答題本大題8個小題，共75分。16．（10分）（1）計算：（x﹣1）（x+1）﹣（x+1）2．（2）解方程：．【分析】（1）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化簡，去括號合并即可得到結果；（2）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式＝x2﹣1﹣（x2+2x+1）＝x2﹣1﹣x2﹣2x﹣1＝﹣2x﹣2；（2）去分母得：2x＝3x﹣3x+3，解得：x＝，檢驗：把x＝代入得：3（x﹣1）≠0，所以x＝是分式方程的解．【點評】此題考查了解分式方程，完全平方公式，以及平方差公式，熟練掌握公式及分式方程的解法是解本題的關鍵．17．（9分）先化簡，再求值：，其中m＝﹣1．【分析】先通分括號內的式子，再因式分解，化簡到最簡，然后將m的值代入化簡后的式子計算即可．【解答】解：＝＝?＝，當m＝﹣1時，原式＝＝．【點評】本題考查了分式的化簡求值，熟記分式的混合運算法則是解題的關鍵．18．（9分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝82°，∠C＝58°，BD⊥AC于D，AE平分∠CAB，BD與AE交于點F，求∠AFB．【分析】首先利用三角形的內角和求出∠CAB＝40°，然后利用角平分線的性質求出∠DAF＝20°，最后利用三角形的外角與內角的關系及垂直的定義即可求解．【解答】解：因為∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C，而∠ABC＝82°，∠C＝58°，所以∠CAB＝40°，因為AE平分∠CAB，所以∠DAF＝20°，因為BD⊥AC于D，所以∠ADB＝90°，所以∠AFB＝∠ADB+∠DAF＝90°+20°＝110°．故答案為：110°．【點評】本題考查了三角形的內角和等于180°求解，是基礎題，準確識別圖形是解題的關鍵．19．（9分）如圖，在四邊形ABCD中，AD⊥AB且AD＝AB＝CD，連接AC．（1）尺規作圖：作∠ADC的平分線DE交AC于點E（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的基礎上，若AC⊥BC，請探究DE與BC有何數量關系，并說明理由．【分析】（1）根據角平分線的尺規作圖步驟畫圖即可；（2）先根據等腰三角形的性質得到AC＝2AE，DE⊥AC，再利用垂直定義和等角的余角相等證得∠DAE＝∠B，然后證明△DEA≌△ACB得到DE＝AC，AE＝BC，進而可得結論．【解答】解：（1）如圖所示，射線AE即為所求作：（2）DE＝2BC．理由如下：因為DA＝DC，DE平分∠ADC，所以AC＝2AE，DE⊥AC，因為AD⊥AB，AC⊥CB，所以∠AED＝∠DAB＝∠ACB＝90°，所以∠DAE+∠BAC＝90°，∠BAC+∠B＝90°．所以∠DAE＝∠B，在△DEA和△ACB中，，所以△DEA≌△ACB（AAS），所以DE＝AC，AE＝BC因為AC＝2AE，所以DE＝2BC．【點評】本題考查基本尺規作圖﹣作角平分線、等腰三角形“三線合一”的性質、全等三角形的性質等知識，熟練掌握基本尺規作圖步驟，掌握等腰三角形的性質，會利用全等三角形的性質判斷線段數量關系是解答的關鍵．20．（9分）2013年4月20日，雅安發生7.0級地震，某地需550頂帳篷解決受災群眾臨時住宿問題，現由甲、乙兩個工廠來加工生產．已知甲工廠每天的加工生產能力是乙工廠每天加工生產能力的1.5倍，并且加工生產240頂帳篷甲工廠比乙工廠少用4天．①求甲、乙兩個工廠每天分別可加工生產多少頂帳篷？②若甲工廠每天的加工生產成本為3萬元，乙工廠每天的加工生產成本為2.4萬元，要使這批救災帳篷的加工生產總成本不高于60萬元，至少應安排甲工廠加工生產多少天？【分析】①先設乙工廠每天可加工生產x頂帳篷，則甲工廠每天可加工生產1.5x頂帳篷，根據加工生產240頂帳篷甲工廠比乙工廠少用4天列出方程，求出x的值，再進行檢驗即可求出答案；②設甲工廠加工生產y天，根據加工生產總成本不高于60萬元，列出不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：①設乙工廠每天可加工生產x頂帳篷，則甲工廠每天可加工生產1.5x頂帳篷，根據題意得：﹣＝4，解得：x＝20，經檢驗x＝20是原方程的解，則甲工廠每天可加工生產1.5×20＝30（頂），答：甲、乙兩個工廠每天分別可加工生產30頂和20頂帳篷；②設甲工廠加工生產y天，根據題意得：3y+2.4×≤60，解得：y≥10，則至少應安排甲工廠加工生產10天．答：至少應安排甲工廠加工生產10天．【點評】此題考查了分式方程的應用和一元一次不等式的應用，讀懂題意，找出題目中的數量關系，列出方程和不等式，注意分式方程要檢驗．21．（9分）教材中這樣寫道：“我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果關于某一字母的二次多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當的項，使式子中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數有關的問題或求代數式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3．原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如：求代數式x2+4x+6的最小值．原式＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．因為（x+2）2≥0，所以當x＝﹣2時，x2+4x+6有最小值是2．根據閱讀材料用配方法解決下列問題：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝（m+1）（m﹣5）；（2）求代數式x2﹣6x+12的最小值；（3）若y＝﹣x2﹣2x當x＝﹣1時，y有最大值（填“大”或“小”），這個值是1．【分析】（1）湊完全平方公式，再用平方差公式進行因式分解；（2）湊成完全平方加一個數值的形式；（3）和（2）類似，湊成完全平方加一個數值的形式；【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣4﹣5＝（m﹣2）2﹣9＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）＝（m+1）（m﹣5）．故答案為：（m+1）（m﹣5）；（2）x2﹣6x+12＝x2﹣6x+9+3＝（x﹣3）2+3；因為（x﹣3）2≥0，所以當x＝3時，x2﹣6x+12的最小值是3；（3）y＝﹣x2﹣2x＝﹣x2﹣2x﹣1+1＝﹣（x2+2x+1）+1＝﹣（x+1）2+1，因為（x+1）2≥0，所以﹣（x+1）2≤0，所以當x＝﹣1的時候，y有最大值1．故答案為：﹣1；大；1．【點評】此題考查了因式分解的應用，配方法的應用以及非負數的性質，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．22．（10分）（1）猜想：如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．試猜想DE、BD、CE有怎樣的數量關系，請直接寫出；（2）探究：如果三個角不是直角，那結論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α為任意銳角或鈍角）如果成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；（3）解決問題：如圖3，F是角平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，D、E分別是直線m上A點左右兩側的動點，D、E、A互不重合，在運動過程中線段DE的長度始終為n，連接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，試判斷△DEF的形狀，并說明理由．【分析】（1）根據同角的余角相等得到∠ABD＝∠CAE，進而證明△ADB≌△CEA，根據全等三角形的性質得到BD＝AE，AD＝CE，結合圖形計算，得到答案；（2）根據補角的概念、三角形內角和定理得到∠ABD＝∠CAE，證明△ADB≌△CEA，根據全等三角形的性質得到BD＝AE，AD＝CE，結合圖形計算，得到答案；（3）證明△FBD≌△FAE，得到FD＝FE，∠BFD＝∠AFE，進而得出∠DFE＝60°，根據等邊三角形的判定定理證明結論．【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下：因為∠BAC＝90°，所以∠BAD+∠CAE＝90°，因為BD⊥m，CE⊥m，所以∠ADB＝∠CEA＝90°，所以∠BAD+∠ABD＝90°，所以∠ABD＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，所以△ADB≌△CEA（AAS），所以BD＝AE，AD＝CE，所以DE＝AD+AE＝BD+CE；（2）結論DE＝BD+CE成立，理由如下：因為∠BAD+∠CAE＝180°﹣∠BAC，∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠ADB，∠ADB＝∠BAC，所以∠ABD＝∠CAE，在△BAD和△ACE中，，所以△BAD≌△ACE（AAS），所以BD＝AE，AD＝CE，所以DE＝DA+AE＝BD+CE；（3）△DFE為等邊三角形，理由如下：由（2）得，△BAD≌△ACE，所以BD＝AE，∠ABD＝∠CAE，所以∠ABD+∠FBA＝∠CAE+FAC，即∠FBD＝∠FAE，在△FBD和△FAE中，，所以△FBD≌△FAE（SAS），所以FD＝FE，∠BFD＝∠AFE，所以∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，所以△DFE為等邊三角形．23．（10分）【發現】：如圖（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，過點A作AH⊥BC于點H，求證：．【證明】：因為AH⊥BC，∠BAC＝90°，所以∠AHC＝90°＝∠BAC．所以∠BAH+∠CAH＝90°，∠BAH+∠B＝90°所以∠CAH＝∠B（同角的余角相等），在△ABH和△CAH中，所以△ABH≌△CAH．（AAS）．所以BH＝AH，AH＝CH．（全等三角形的對應邊相等）．所以．【拓展】：如圖（2），在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，點D、B、C在同一條直線上，AH為△ABC中BC邊上的高，連接CE．則∠DCE的度數為90°，同時猜想線段AH、CD、CE之間的數量關系，并說明理由．【應用】：在如圖（3）的兩張圖中，在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝90°，在同一平面內有一點P，滿足PC＝1，PB＝6，且∠BPC＝90°，請直接寫出點A到BP的距離．【分析】發現：根據同角的余角相等可得∠CAH＝∠B，根據AAS證明三角形全等，再根據全等三角形的對應邊相等即可得結論；拓展：證明△ADB≌△AEC，即可得∠DCE的度數為90°，線段AH、CD、CE之間的數量關系；應用：如圖3，過點A作AH⊥BP于點H，連接AP，過A作AD垂直于AP，交PB于點D，可得△APC≌△ADB，得BD＝CP＝1，根據DP＝BP﹣BD＝6﹣1＝5，AH⊥DP