PAGEPAGE19第2課時平面對量的綜合應用題型一平面對量與數列例1(2024·浙江名校協作體考試)設數列{xn}的各項都為正數且x1＝1.△ABC內的點Pn(n∈N*)均滿意△PnAB與△PnAC的面積比為2∶1，若eq\o(PnA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)xn＋1·eq\o(PnB,\s\up6(→))＋(2xn＋1)eq\o(PnC,\s\up6(→))＝0，則x4的值為()A．15B．17C．29D．31答案A解析因為eq\o(PnA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)xn＋1eq\o(PnB,\s\up6(→))＋(2xn＋1)eq\o(PnC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(PnA,\s\up6(→))＋(2xn＋1)eq\o(PnC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)xn＋1eq\o(PnB,\s\up6(→))，如圖，設(2xn＋1)eq\o(PnC,\s\up6(→))＝eq\o(PnD,\s\up6(→))，以PnA和PnD為鄰邊作平行四邊形PnDEA，所以eq\o(PnA,\s\up6(→))＋eq\o(PnD,\s\up6(→))＝eq\o(PnE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)xn＋1eq\o(PnB,\s\up6(→))，所以eq\f(|\o(PnE,\s\up6(→))|,|\o(PnB,\s\up6(→))|)＝eq\f(xn＋1,2)，所以＝eq\f(xn＋1,2)，又eq\f(|\o(PnC,\s\up6(→))|,|\o(PnD,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2xn＋1)＝eq\f(|\o(PnC,\s\up6(→))|,|\o(AE,\s\up6(→))|)，所以＝eq\f(1,2xn＋1)，所以＝eq\f(xn＋1,4xn＋2)＝eq\f(1,2)，所以xn＋1＝2xn＋1，又x1＝1，所以x2＝3，x3＝7，x4＝15，故選A.思維升華向量與其他學問的結合，多體現向量的工具作用，利用向量共線或向量數量積的學問進行轉化，“脫去”向量外衣，利用其他學問解決即可．跟蹤訓練1(1)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若eq\o(OB,\s\up6(→))＝a1eq\o(OA,\s\up6(→))＋a2024eq\o(OC,\s\up6(→))，且A，B，C三點共線(該直線不過點O)，則S2024等于()A．1009 B．1008C．2024 D．2024答案A解析因為eq\o(OB,\s\up6(→))＝a1eq\o(OA,\s\up6(→))＋a2024eq\o(OC,\s\up6(→))，且A，B，C三點共線，a1＋a2024＝1，又數列{an}是等差數列，S2024＝eq\f(a1＋a2024×2024,2)＝1009.(2)(2024·浙江新高考預料)角A，B，C為△ABC的三個內角，向量m滿意|m|＝eq\f(\r(6),2)，且m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)sin

\f(B＋C,2)，cos

\f(B－C,2)))，當角A最大時，動點P使得|eq\o(PB,\s\up6(→))|，|eq\o(BC,\s\up6(→))|，|eq\o(PC,\s\up6(→))|成等差數列，則eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)的最大值是________．答案eq\f(2\r(3),3)解析設BC＝2a，BC的中點為D.由題意得|m|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)sin\f(B＋C,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(B－C,2)))2＝1－cos(B＋C)＋eq\f(1,2)[1＋cos(B－C)]＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)cosBcosC＋eq\f(3,2)sinBsinC＝eq\f(3,2)，則eq\f(1,2)cosBcosC＝eq\f(3,2)sinBsinC，化簡得tanBtanC＝eq\f(1,3)，則tanA＝－tan(B＋C)＝－eq\f(tanB＋tanC,1－tanBtanC)＝－eq\f(3,2)(tanB＋tanC)≤－eq\f(3,2)×2eq\r(tanBtanC)＝－eq\r(3)，當且僅當tanB＝tanC＝eq\f(\r(3),3)時，等號成立，所以當角A最大時，A＝eq\f(2π,3)，B＝C＝eq\f(π,6)，則易得AD＝eq\f(\r(3)a,3).因為|eq\o(PB,\s\up6(→))|，|eq\o(BC,\s\up6(→))|，|eq\o(PC,\s\up6(→))|成等差數列，所以2|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＋|eq\o(PC,\s\up6(→))|，則點P在以B，C為焦點，以2|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4a為長軸的橢圓上，由圖(圖略)易得當點P為橢圓的與點A在直線BC的異側的頂點時，|eq\o(PA,\s\up6(→))|取得最大值，此時|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝eq\r(2a2－a2)＝eq\r(3)a，則|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PD,\s\up6(→))|＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\f(4\r(3)a,3)，所以eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(4\r(3)a,3),2a)＝eq\f(2\r(3),3).題型二和向量有關的最值問題命題點1與平面對量基本定理有關的最值問題例2(1)(2024·浙江鎮海中學測試)已知△ABC內接于圓O，且A＝60°，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))(x，y∈R)，則x＋2y的最大值是()A.eq\f(2,3)B．1C.eq\f(1,2)D．2－eq\f(2\r(2),3)答案D解析設△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.由eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，得eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))2＋yeq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c2＝c2·x＋\f(1,2)bc·y，,\f(1,2)b2＝\f(1,2)bc·x＋b2·y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)－\f(b,3c)，,y＝\f(2,3)－\f(c,3b)，))所以x＋2y＝2－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)＋\f(2c,b)))≤2－eq\f(1,3)×2eq\r(2)＝2－eq\f(2\r(2),3)(當且僅當b＝eq\r(2)c時取等號)，故選D.(2)(2024·溫州模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M，N分別為線段BC，CD上的點，且滿意eq\f(1,CM2)＋eq\f(1,CN2)＝1，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝xeq\o(AM,\s\up6(→))＋yeq\o(AN,\s\up6(→))，則x＋y的最小值為________．答案eq\f(5,4)解析連接MN交AC于點G.由勾股定理，知MN2＝CM2＋CN2，所以1＝eq\f(1,CM2)＋eq\f(1,CN2)＝eq\f(MN2,CM2·CN2)，即MN＝CM·CM，所以C到直線MN的距離為定值1，此時MN是以C為圓心，1為半徑的圓的一條切線(如圖所示)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝xeq\o(AM,\s\up6(→))＋yeq\o(AN,\s\up6(→))＝(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,x＋y)\o(AM,\s\up6(→))＋\f(y,x＋y)\o(AN,\s\up6(→)))).由向量共線定理知，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x＋y)eq\o(AG,\s\up6(→))，所以x＋y＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(AG,\s\up6(→))|)＝eq\f(5,|\o(AG,\s\up6(→))|)，又因為|eq\o(AG,\s\up6(→))|max＝5－1＝4，所以x＋y的最小值為eq\f(5,4).命題點2與數量積有關的最值問題例3(1)(2024·浙江)如圖，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC與BD交于點O，記I1＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))，I2＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))，I3＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OD,\s\up6(→))，則()A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3答案C解析∵I1－I2＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))，又eq\o(OB,\s\up6(→))與eq\o(CA,\s\up6(→))所成角為鈍角，∴I1－I2＜0，即I1＜I2.∵I1－I3＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OD,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|cos∠AOB－|eq\o(OC,\s\up6(→))||eq\o(OD,\s\up6(→))|cos∠COD＝cos∠AOB(|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|－|eq\o(OC,\s\up6(→))||eq\o(OD,\s\up6(→))|)，又∠AOB為鈍角，OA＜OC，OB＜OD，∴I1－I3＞0，即I1＞I3.∴I3＜I1＜I2，故選C.(2)(2024·紹興市柯橋區質檢)已知向量a，b，c滿意|b|＝|c|＝2|a|＝1，則(c－a)·(c－b)的最大值是________，最小值是________．答案3－eq\f(1,8)解析由題意得|a|＝eq\f(1,2)，|b|＝|c|＝1，則(c－a)·(c－b)＝|c|2－c·b－c·a＋a·b＝|c|2＋eq\f(1,2)(－a－b＋c)2－eq\f(1,2)(|a|2＋|b|2＋|c|2)＝－eq\f(1,8)＋eq\f(1,2)(－a－b＋c)2，則當向量－a，－b，c同向共線時，(c－a)·(c－b)取得最大值－eq\f(1,8)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1＋1))2＝3，當－a－b＋c＝0時，(c－a)·(c－b)取得最小值－eq\f(1,8).命題點3與模有關的最值問題例4(1)(2024·浙江金華一中考試)已知eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))是空間兩兩垂直的單位向量，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，且x＋2y＋4z＝1，則|eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|的最小值為________．答案eq\f(2\r(21),21)解析方法一由題意可設eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(0,0,1)．由x＋2y＋4z＝1，得x＝1－2y－4z.由eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))＝(x，y，z)，則|eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(x－12＋y－12＋z2)＝eq\r(2y＋4z2＋y－12＋z2)＝eq\r(5y2＋17z2＋16yz－2y＋1)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(17)z＋\f(8,\r(17))y))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(21),\r(17))y－\f(\r(17),\r(21))))2＋\f(4,21))≥eq\r(\f(4,21))＝eq\f(2\r(21),21)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當且僅當y＝\f(17,21)，z＝－\f(8,21)時等號成立))，所以|eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|的最小值為eq\f(2\r(21),21).方法二由方法一得|eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(x－12＋y－12＋z2)，又x＋2y＋4z＝1表示一個平面，所以|eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(x－12＋y－12＋z2)的最小值d為定點(1,1,0)到平面x＋2y＋4z＝1的距離，即d＝eq\f(|1×1＋2×1＋4×0－1|,\r(12＋22＋42))＝eq\f(2\r(21),21).(2)(2024·浙江學軍中學模擬)已知平面對量a，b，c滿意|a|＝3，|b|＝|c|＝5,0<λ<1，若b·c＝0，則|a－b＋λ(b－c)|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)c＋1－λb－c))的最小值為________．答案eq\r(34)－3解析建立如圖所示的平面直角坐標系，設eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，則A在以O為圓心，3為半徑的圓上運動．設eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(CB,\s\up6(→))＝b－c，取D∈BC，設eq\o(DB,\s\up6(→))＝λ(b－c)，則eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1－λ)·(b－c)，取E∈OC使得eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)c，則|a－b＋λ(b－c)|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DA,\s\up6(→))|，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)c＋1－λb－c))＝|eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(ED,\s\up6(→))|，∴|a－b＋λ(b－c)|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)c＋1－λb－c))＝|eq\o(ED,\s\up6(→))|＋|eq\o(DA,\s\up6(→))|，作點E關于BC的對稱點E′，則|eq\o(ED,\s\up6(→))|＝|eq\o(E′D,\s\up6(→))|，由E(0,2)易得E′(3,5)，∴|a－b＋λ(b－c)|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)c＋1－λb－c))＝|eq\o(E′D,\s\up6(→))|＋|eq\o(DA,\s\up6(→))|≥|eq\o(E′A,\s\up6(→))|≥|eq\o(E′O,\s\up6(→))|－3＝eq\r(34)－3，且知當A，D在線段OE′上時取等號，∴|a－b＋λ(b－c)|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)c＋1－λb－c))的最小值為eq\r(34)－3.思維升華和向量有關的最值問題，要回來向量的本質進行轉化，利用數形結合、基本不等式或者函數的最值求解．跟蹤訓練2(1)(2013·浙江)設△ABC，P0是邊AB上肯定點，滿意P0B＝eq\f(1,4)AB，且對于邊AB上任一點P，恒有eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))≥eq\o(P0B,\s\up6())·eq\o(P0C,\s\up6()))，則()A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90°C．AB＝AC D．AC＝BC答案D解析設BC中點為M，連接P0M，則eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PB,\s\up6(→))＋\o(PC,\s\up6(→)),2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PB,\s\up6(→))－\o(PC,\s\up6(→)),2)))2＝eq\o(PM,\s\up6())2－eq\f(1,4)eq\o(CB,\s\up6())2同理eq\o(P0B,\s\up6())·eq\o(P0C,\s\up6())＝eq\o(P0M,\s\up6())2－eq\f(1,4)eq\o(CB,\s\up6())2∵eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))≥eq\o(P0B,\s\up6())·eq\o(P0C,\s\up6())恒成立，∴|eq\o(PM,\s\up6())

|≥|eq\o(P0M,\s\up6())

|恒成立．即P0M⊥AB，取AB的中點N，連接CN，又P0B＝eq\f(1,4)AB，則CN⊥AB，∴AC＝BC.故選D.(2)(2024·臺州期末)已知m，n是兩個非零向量，且|m|＝1，|m＋2n|＝3，則|m＋n|＋|n|的最大值為()A.eq\r(5)B.eq\r(10)C．4D．5答案B解析因為(m＋2n)2＝4n2＋4m·n＋1＝9，所以n2＋m·n＝2，所以(m＋n)2＝m2＋2m·n＋n2＝5－n2，所以|m＋n|＋|n|＝eq\r(5－|n|2)＋|n|.令|n|＝x(0<x≤eq\r(5))，f(x)＝eq\r(5－x2)＋x，則f′(x)＝eq\f(－2x,2\r(5－x2))＋1.由f′(x)＝0，得x＝eq\f(\r(10),2)(舍負)，所以當0<x<eq\f(\r(10),2)時，f′(x)>0，當eq\f(\r(10),2)<x≤eq\r(5)時，f′(x)<0，所以函數f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(10),2)))上單調遞增，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)，\r(5)))上單調遞減，所以f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)))＝eq\r(10)，故選B.(3)將一圓的八個等分點分成相間的兩組，連接每組的四個點得到兩個正方形，去掉兩個正方形內部的八條線段后可以形成一個正八角星，如圖所示，設正八角星的中心為O，并且eq\o(OA,\s\up6(→))＝e1，eq\o(OB,\s\up6(→))＝e2.若將點O到正八角星16個頂點的向量都寫成為λe1＋μe2，λ，μ∈R的形式，則λ＋μ的最大值為________．答案1＋eq\r(2)解析由題意知，要取得最大值，必定是點O到正八角星的7個頂點的向量在如圖所示的eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))，eq\o(OR,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))中的一個向量．eq\o(OA,\s\up6(→))＝e1，此時λ＋μ＝1；eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋(eq\r(2)－1)eq\o(OB,\s\up6(→))＝e1＋(eq\r(2)－1)e2，此時λ＋μ＝eq\r(2)；eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\r(2)eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\r(2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→)))＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))＋\f(\r(2),2)\o(OB,\s\up6(→))))＝eq\r(2)e1＋e2，此時λ＋μ＝eq\r(2)＋1；eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝e1＋e2，此時λ＋μ＝2；eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\r(2)eq\o(OH,\s\up6(→))＝eq\r(2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BH,\s\up6(→)))＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→))＋\f(\r(2),2)\o(OA,\s\up6(→))))＝e1＋eq\r(2)e2，此時λ＋μ＝eq\r(2)＋1；eq\o(OR,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BR,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋(eq\r(2)－1)eq\o(OA,\s\up6(→))＝(eq\r(2)－1)e1＋e2，此時λ＋μ＝eq\r(2)；eq\o(OB,\s\up6(→))＝e2，此時λ＋μ＝1.綜上所述，λ＋μ的最大值為1＋eq\r(2).題型三和向量有關的創新題例5稱d(a，b)＝|a－b|為兩個向量a，b間的“距離”．若向量a，b滿意：①|b|＝1；②a≠b；③對隨意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，則()A．a⊥b B．b⊥(a－b)C．a⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b)答案B解析由于d(a，b)＝|a－b|，因此對隨意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，即|a－tb|≥|a－b|，即(a－tb)2≥(a－b)2，t2－2ta·b＋(2a·b－1)≥0對隨意的t∈R都成立，因此有(－2a·b)2－4(2a·b－1)≤0，即(a·b－1)2≤0，得a·b－1＝0，故a·b－b2＝b·(a－b)＝1－12＝0，故b⊥(a－b)．思維升華解答創新型問題，首先須要分析新定義(新運算)的特點，把新定義(新運算)所敘述的問題的本質弄清晰，然后應用到詳細的解題過程之中，這是破解新定義(新運算)信息題難點的關鍵所在．跟蹤訓練3定義一種向量運算“?”：a?b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·b，當a，b不共線時，,|a－b|，當a，b共線時))(a，b是隨意的兩個向量)．對于同一平面內向量a，b，c，e，給出下列結論：①a?b＝b?a；②λ(a?b)＝(λa)?b(λ∈R)；③(a＋b)?c＝a?c＋b?c；④若e是單位向量，則|a?e|≤|a|＋1.以上結論肯定正確的是________．(填上全部正確結論的序號)答案①④解析當a，b共線時，a?b＝|a－b|＝|b－a|＝b?a，當a，b不共線時，a?b＝a·b＝b·a＝b?a，故①是正確的；當λ＝0，b≠0時，λ(a?b)＝0，(λa)?b＝|0－b|≠0，故②是錯誤的；當a＋b與c共線時，存在a，b與c不共線，(a＋b)?c＝|a＋b－c|，a?c＋b?c＝a·c＋b·c，明顯|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故③是錯誤的；當e與a不共線時，|a?e|＝|a·e|<|a|·|e|<|a|＋1，當e與a共線時，設a＝ue，u∈R，|a?e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故④是正確的．綜上，結論肯定正確的是①④.1．在平面直角坐標系中，若|a|＝|b|＝|c|＝2，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，則|a＋b－c|的取值范圍是()A．[0,2eq\r(2)＋2] B．[0,2]C．[2eq\r(2)－2,2eq\r(2)＋2] D．[2eq\r(2)－2,2]答案D解析在平面直角坐標系中，由于|a|＝|b|＝|c|＝2，且a·b＝0，設a＝(2,0)，b＝(0,2)，c＝(2cosθ，2sinθ)，則(a－c)·(b－c)＝(2－2cosθ，－2sinθ)·(－2cosθ，2－2sinθ)＝4－4(sinθ＋cosθ)≤0，即sinθ＋cosθ≥1，結合三角函數的性質知1≤sinθ＋cosθ≤eq\r(2)，所以|a＋b－c|＝eq\r(2－2cosθ2＋2－2sinθ2)＝eq\r(12－8sinθ＋cosθ)∈[eq\r(12－8\r(2))，eq\r(12－8)]＝[2eq\r(2)－2,2]，故選D.2．(2024·紹興質檢)已知不共線的兩個非零向量a，b滿意|a＋b|＝|2a－b|，則()A．|a|<2|b| B．|a|>2|b|C．|b|<|a－b| D．|b|>|a－b|答案A解析設向量a，b的夾角為θ，則由|a＋b|＝|2a－b|，得(a＋b)2＝(2a－b)2，即|a|2＋2|a||b|cosθ＋|b|2＝4|a|2－4|a||b|cosθ＋|b|2，化簡得|a|＝2|b|cosθ.因為向量a，b不共線，所以cosθ∈(0,1)，所以|a|<2|b|，故選A.3．(2024·浙江名校新高考探討聯盟聯考)已知向量a，b滿意|a＋b|＝4，|a－b|＝3，則|a|＋|b|的取值范圍是()A．[3,5] B．[4,5]C．[3,4] D．[4,7]答案B解析由題意知|a|＋|b|≥max{|a＋b|，|a－b|}＝4(當a，b共線時等號成立)，又(|a|＋|b|)2＝|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|≤2(|a|2＋|b|2)＝|a＋b|2＋|a－b|2＝25(當|a|＝|b|時取等號)，所以|a|＋|b|≤5，故|a|＋|b|的取值范圍是[4,5]．4．(2014·浙江)記max{x，y}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥y，,y，x<y，))min{x，y}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y，x≥y，,x，x<y，))設a，b為平面對量，則()A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2答案D解析由于|a＋b|，|a－b|與|a|，|b|的大小關系與夾角大小有關，故A，B錯．當a，b夾角為銳角時，|a＋b|>|a－b|，此時，|a＋b|2>|a|2＋|b|2；當a，b夾角為鈍角時，|a＋b|<|a－b|，此時，|a－b|2>|a|2＋|b|2；當a⊥b時，|a＋b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2，故選D.5．(2024·臺州市三區三校適應性考試)已知a，b為單位向量，且a⊥b，|c－a|＋|c－2b|＝eq\r(5)，則|c－2a|＋|c－b|的最小值是()A．5B.eq\r(5)C.eq\f(3\r(5),5)D.eq\f(9,5)答案B解析在平面直角坐標系xOy中，不妨令a＝(1,0)，b＝(0,1)，設eq\o(OC,\s\up6(→))＝c＝(x，y)，則|c－a|＋|c－2b|＝eq\r(x－12＋y2)＋eq\r(x2＋y－22)＝eq\r(5)，易知C(x，y)的軌跡為線段2x＋y－2＝0(0≤x≤1)，|c－2a|＋|c－b|＝eq\r(x－22＋y2)＋eq\r(x2＋y－12)，所以問題轉化為求點(2,0)，(0,1)與線段上點的距離之和的最小值，易知最小值為點(2,0)與點(0,1)之間的距離，為eq\r(5).6.如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝eq\f(π,3)，C為弧AB上與A，B不重合的一個動點，且eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，若u＝x＋λy(λ>0)存在最大值，則λ的取值范圍為()A．(1,3) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))答案D解析設∠BOC＝α，則∠AOC＝eq\f(π,3)－α，因為eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→))·\o(OC,\s\up6(→))＝x\o(OB,\s\up6(→))·\o(OA,\s\up6(→))＋y\o(OB,\s\up6(→))2，,\o(OA,\s\up6(→))·\o(OC,\s\up6(→))＝x\o(OA,\s\up6(→))2＋y\o(OA,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→))，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＝\f(1,2)x＋y，,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝x＋\f(1,2)y，))解得x＝－eq\f(2,3)cosα＋eq\f(4,3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(2\r(3),3)sinα，y＝cosα－eq\f(\r(3),3)sinα，所以u＝eq\f(2\r(3),3)sinα＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα－\f(\r(3),3)sinα))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)－\f(\r(3),3)λ))sinα＋λcosα＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)－\f(\r(3),3)λ))2＋λ2)·sin(α＋β)，其中tanβ＝eq\f(λ,\f(2\r(3),3)－\f(\r(3),3)λ)，因為0<α<eq\f(π,3)，要使u存在最大值，只需滿意β>eq\f(π,6)，所以eq\f(λ,\f(2\r(3),3)－\f(\r(3),3)λ)>eq\f(\r(3),3)，整理得eq\f(2λ－1,2－λ)>0，解得eq\f(1,2)<λ<2，故選D.7．設向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定義一種運算：a?b＝(a1，a2)?(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0)).點P在y＝cosx的圖象上運動，點Q在y＝f(x)的圖象上運動，且滿意eq\o(OQ,\s\up6(→))＝m?eq\o(OP,\s\up6(→))＋n(其中O為坐標原點)，則y＝f(x)在區間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))上的最大值是()A．4B．2C．2eq\r(2)D．2eq\r(3)答案A解析設eq\o(OP,\s\up6(→))＝(x0，y0)，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(x，y)，由題意可得y0＝cosx0，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(x，y)＝m?eq\o(OP,\s\up6(→))＋n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))?(x0，y0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x0，4y0))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x0＋\f(π,6)，4y0))，即x＝eq\f(1,2)x0＋eq\f(π,6)，y＝4y0，即x0＝2x－eq\f(π,3)，y0＝eq\f(1,4)y，所以eq\f(1,4)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，即y＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).因為點Q在y＝f(x)的圖象上運動，所以f(x)＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，當eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,3)時，0≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,3)，所以當2x－eq\f(π,3)＝0時，f(x)取得最大值4.8．已知△ABC的外心為O，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，且eq\f(\o(AO,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),12)＋eq\f(\o(BO,\s\up6(→))·\o(CA,\s\up6(→)),4)＋eq\f(\o(CO,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),3)＝0，則a，b，c的關系為________，cosB的取值范圍為________．答案a2＋2c2＝3b2eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，1))解析設AC邊上的中點為D，則OD⊥AC，從而有eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋0＝eq\f(1,2)b2，同理有eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c2，∴eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)b2－eq\f(1,2)c2，同理有eq\o(BO,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c2－eq\f(1,2)a2，eq\o(CO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a2－eq\f(1,2)b2，∴由eq\f(\o(AO,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),12)＋eq\f(\o(BO,\s\up6(→))·\o(CA,\s\up6(→)),4)＋eq\f(\o(CO,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),3)＝0，得a2＋2c2＝3b2.∵cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－\f(a2＋2c2,3),2ac)＝eq\f(2a2＋c2,6ac)≥eq\f(2\r(2)ac,6ac)＝eq\f(\r(2),3)(當且僅當eq\r(2)a＝c時取等號)，又cosB<1，∴eq\f(\r(2),3)≤cosB<1.9．(2024·溫州模擬)設向量a，b滿意|a＋b|＝2|a－b|，|a|＝3，則|b|的最大值是________；最小值是________．答案91解析由|a＋b|＝2|a－b|兩邊平方，得a2＋2a·b＋b2＝4(a2－2a·b＋b2)，化簡得3a2＋3b2＝10a·b≤10|a||b|，|b|2－10|b|＋9≤0，解得1≤|b|≤9.10．(2024·紹興市上虞區質檢)已知△ABC的外接圓圓心為O，且∠A＝60°，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝αeq\o(AB,\s\up6(→))＋βeq\o(AC,\s\up6(→))(α，β∈R)，則α＋β的最大值為________．答案eq\f(2,3)解析記|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝c，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝b，由eq\o(AO,\s\up6(→))＝αeq\o(AB,\s\up6(→))＋βeq\o(AC,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AO,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))＝α\o(AB,\s\up6(→))2＋β\o(AC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))，,\o(AO,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))＝α\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))＋β\o(AC,\s\up6(→))2，))則由平面對量的數量積的幾何意義，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2αc＝βb，,1－2βb＝αc，))故(1－2α)(1－2β)＝αβ，由基本不等式，有2(α＋β)＝1＋3αβ≤1＋3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α＋β,2)))2，當且僅當α＝β時，等號成立，解得α＋β≤eq\f(2,3)(α＋β≥2舍)．11．(2024·浙江衢州二中模擬)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(sinβ，cosβ)，且α＋β＝eq\f(π,6).若c滿意|c－a－b|＝2，則eq\f(|a|,|c|)的取值范圍是________．答案[2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)]解析因為(a＋b)2＝2＋2(cosαsinβ＋sinαcosβ)＝2＋2sin(α＋β)＝3，即|a＋b|＝eq\r(3).又||c|－|a＋b||≤|c－(a＋b)|≤|c|＋|a＋b|，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(||c|－|a＋b||≤2，,|c|＋|a＋b|≥2，))解得2－eq\r(3)≤|c|≤2＋eq\r(3)，故eq\f(|a|,|c|)＝eq\f(1,|c|)∈[2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)]．12．在△ABC中，已知CA＝2，CB＝6，∠ACB＝60°，點O滿意eq\o(CO,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(CA,\s\up6(→)),2)＋\f(\o(CB,\s\up6(→)),6)))(λ>0)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，m，n∈R，且－eq\f(1,4)≤n≤－eq\f(1,20)，則|eq\o(OC,\s\up6(→))|的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\f(3\r(3),4)))解析以C為坐標原點，CB所在直線為x軸建立平面直角坐標系．不妨假設A在x軸上方，則B(6,0)，A(1，eq\r(3))．由eq\o(CO,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(CA,\s\up6(→)),2)＋\f(\o(CB,\s\up6(→)),6)))可得直線CO的方程為y＝eq\f(\r(3),3)x.設Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(\r(3),3)x))，其中x>0.由eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x，－\f(\r(3),3)x))＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x，\r(3)－\f(\r(3),3)x))＋neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－x，－\f(\r(3),3)x))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＝m1－x＋n6－x，,－\f(\r(3),3)x＝m\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)－\f(\r(3),3)x))＋n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)x))，))解得n＝eq\f(x,4x－9).由－eq\f(1,4)≤n≤－eq\f(1,20)，可得eq\f(3,8)≤x≤eq\f(9,8)，所以|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(2\r(3),3)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\f(3\r(3),4))).13．如圖所示，已知點D為△ABC的邊BC上一點，eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，En(n∈N*)為邊AC上的一系列點，滿意eq\o(EnA,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)an＋1·eq\o(EnB,\s\up6(→))－(3an＋2)eq\o(EnD,\s\up6(→))，其中實數列{an}中，an＞0，a1＝1，則數列{an}的通項公式為an＝________.答案2·3n－1－1解析因為eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(EnC,\s\up6(→))＝eq\o(EnB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(EnB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(EnB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)(eq\o(BEn,\s\up6(→))＋eq\o(EnD,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(EnB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(EnD,\s\up6(→)).設meq\o(EnC,\s\up6(→))＝eq\o(EnA,\s\up6(→))，則由eq\o(EnA,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)an＋1eq\o(EnB,\s\up6(→))－(3an＋2)eq\o(EnD,\s\up6(→))，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)an＋1＋\f(1,3)m))eq\o(EnB,\s\up6(→))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)m＋3an＋2))eq\o(EnD,\s\up6(→))＝0，即－eq\f(1,3)m＝eq\f(1,4)an＋1，eq\f(4,3)m＝－(3an＋2)，所以eq\f(1,4)an＋1＝eq\f(1,4)(3an＋2)，所以an＋1＋1＝3(an＋1)．因為a1＋1＝2，所以數列{an＋1}是以2為首項，3為公比的等比數列，所以an＋1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1.14．(2024·浙江重點中學考試)已知在△ABC中，AC⊥AB，AB＝3，AC＝4.若點P在△ABC的內切圓上運動，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值為________．答案－2解析因為AC⊥AB，所以以A為坐標原點，以AB，AC所在的直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系(圖略)，則A(0,0)，B(3,0)，C(0,4)．由題意可知△ABC內切圓的圓心為D(1,1)，半徑為1.因為點P在△ABC的內切圓上運動，所以可設P(1＋cosθ，1＋sinθ)(0≤θ≤2π)．所以eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－1－cosθ，－1－sinθ)，eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝(1－2cosθ，2－2sinθ)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝(－1－cosθ)(1－2cosθ)＋(－1－sinθ)(2－2sinθ)＝－1＋cosθ＋2cos2θ－2＋2sin2θ＝－1＋cosθ≥－1－1＝－2，當cosθ＝－1，即P(0,1)時，eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))取到最小值，且最小值為－2.15．(2024·浙江杭州二中考試)如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，E為AB的中點，P為以A為圓心，AB為半徑的圓弧(在正方形內，包括邊界點)上的隨意一點，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))的取值范圍是________．若向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(DE,\s\up6(→))＋μeq\o(AP,\s\up6(→))，則λ＋μ的最小值為________．答案[0,1]eq\f(1,2)解析以點A為坐標原點，分別以AB，AD所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，則易得A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，P(cosθ，sinθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤θ≤\f(π,2)))，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝(cosθ，sinθ)·(cosθ－1，sinθ)＝cos2θ－cosθ＋sin2θ＝1－cosθ，又因為0