PAGEPAGE1高考必考題突破講座(六)1．已知某班n名同學的數學測試成果(單位：分，滿分100分)的頻率分布直方圖如圖所示，其中a，b，c成等差數列，且成果在[90,100]內的有6人．(1)求n的值；(2)若成果在[40,50)內的人數是成果在[50,60)內的人數的eq\f(1,3)，規定60分以下為不及格，從不及格的人中隨意選取3人，求成果在50分以下的人數X的分布列和數學期望．解析(1)依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(100.035＋0.025＋c＋2b＋a＝1，,2b＝a＋c))?b＝0.01，因為成果在[90,100]內的有6人，所以n＝eq\f(6,0.01×10)＝60.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝0.02，,c＝3a))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0.005，,c＝0.015，))于是成果在[40,50)及[50,60)內的人數分別為3和9，即不及格的人數為12，從中任選3人，則成果在50分以下的人數X的全部可能取值為0,1,2,3.且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,9)C\o\al(0,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(21,55)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,9)C\o\al(1,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,55)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,9)C\o\al(2,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,220)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(0,9)C\o\al(3,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(1,220)，所以X的分布列如下X0123Peq\f(21,55)eq\f(27,55)eq\f(27,220)eq\f(1,220)故X的數學期望為E(X)＝0×eq\f(21,55)＋1×eq\f(27,55)＋2×eq\f(27,220)＋3×eq\f(1,220)＝eq\f(3,4).2．下圖是某市11月1日至14日的空氣質量指數趨勢圖，空氣質量指數(AQI)小于100表示空氣質量優良，空氣質量指數大于200表示空氣重度污染，某人隨機選擇11月1日至11月12日中的某一天到達該市，并停留3天．(1)求此人到達當日空氣重度污染的概率；(2)設ξ是此人停留期間空氣重度污染的天數，求ξ的分布列與數學期望．解析設Ai表示事務“此人于11月i日到達該市”(i＝1，2，…，12)．依題意知，P(Ai)＝eq\f(1,12)，且Ai∩Aj＝?(i≠j)．(1)設B為事務“此人到達當日空氣重度污染”，則B＝A1∪A2∪A3∪A7∪A12，所以P(B)＝P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A7)＋P(A12)＝eq\f(5,12).即此人到達當日空氣重度污染的概率為eq\f(5,12).(2)由題意可知，ξ的全部可能取值為0,1,2,3.P(ξ＝0)＝P(A4∪A8∪A9)＝P(A4)＋P(A8)＋P(A9)＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝2)＝P(A2∪A11)＝P(A2)＋P(A11)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝3)＝P(A1∪A12)＝P(A1)＋P(A12)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－eq\f(1,4)－eq\f(1,6)－eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)，所以ξ的分布列為ξ0123Peq\f(1,4)eq\f(5,12)eq\f(1,6)eq\f(1,6)故ξ的數學期望E(ξ)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(5,12)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,4).3．(2024·焦作模擬)某單位共10名員工，他們某年的收入如下表.員工編號12345678910年薪/萬元33.5455.56.577.5850(1)求該單位員工當年年薪的平均值和中位數；(2)從該單位中任取2人，此2人中年薪收入高于5萬的人數記為ξ，求ξ的分布列和期望；(3)已知員工年薪收入與工作年限成正線性相關關系，若某員工工作第一年至第四年的年薪分別為3萬元，4.2萬元，5.6萬元，7.2萬元，預料該員工第五年的年薪為多少？附：線性回來方程eq\o(y,\s\up18(^))＝eq\o(b,\s\up18(^))x＋eq\o(a,\s\up18(^))中系數計算公式eq\o(b,\s\up18(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up18(－))yi－\o(y,\s\up18(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up18(－))2)，eq\o(a,\s\up18(^))＝eq\o(y,\s\up18(－))－eq\o(b,\s\up18(^))eq\o(x,\s\up18(－))，其中eq\o(x,\s\up18(－))，eq\o(y,\s\up18(－))表示樣本均值．解析(1)平均值為10萬元，中位數為6萬元．(2)年薪高于5萬的有6人，低于或等于5萬的有4人，ξ取值為0,1,2.P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(2,15)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(8,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,3)，所以ξ的分布列為ξ012Peq\f(2,15)eq\f(8,15)eq\f(1,3)數學期望為E(ξ)＝0×eq\f(2,15)＋1×eq\f(8,15)＋2×eq\f(1,3)＝eq\f(6,5).(3)設xi，yi(i＝1,2,3,4)分別表示工作年限及相應年薪，則eq\o(x,\s\up18(－))＝2.5，eq\o(y,\s\up18(－))＝5，eq\i\su(i＝1,4,)xi－eq\o(x,\s\up18(－)))2＝2.25＋0.25＋0.25＋2.25＝5，eq\i\su(i＝1,4,)xi－eq\o(x,\s\up18(－)))(yi－eq\o(y,\s\up18(－)))＝－1.5×(－2)＋(－0.5)×(－0.8)＋0.5×0.6＋1.5×2.2＝7，eq\o(b,\s\up18(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,)xi－\o(x,\s\up18(－))yi－\o(y,\s\up18(－)),\i\su(i＝1,4,)xi－\o(x,\s\up18(－))2)＝eq\f(7,5)＝1.4，eq\o(a,\s\up18(^))＝eq\o(y,\s\up18(－))－eq\o(b,\s\up18(^))eq\o(x,\s\up18(－))＝5－1.4×2.5＝1.5，因此線性回來方程為y＝1.4x＋1.5，可預料該員工第5年的年薪收入為8.5萬元．4．(2024·全國卷Ⅰ)某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再依據檢驗結果確定是否對余下的全部產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為p(0<p<1)，且各件產品是否為不合格品相互獨立．(1)記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0.(2)現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值．已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．①若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求E(X)．②以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的全部產品作檢驗？解析(1)由題意知，20件產品中恰有2件不合格品的概率為f(p)＝Ceq\o\al(2,20)p2(1－p)18.因此，f′(p)＝Ceq\o\al(2,20)[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Ceq\o\al(2,20)p(1－p)17·(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.當p∈(0,0.1)時，f′(p)>0；當p∈(0.1,1)時，f′(p)＜0，所以f(p)的最大值點p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件產品中的不合格品的件數．依題意知，Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝40＋25×180×0.1＝490.②假如對余下的全部產品作檢驗，那么這一箱產品所須要的檢驗費用為400元．由于E(X)>400，因此應當對這箱余下的全部產品作檢驗．5．(2024·甘肅蘭州診斷)“中國式過公路”是網友對部分中國人集體闖紅燈現象的一種調侃．即“湊夠一撮人就可以走了，和紅綠燈無關”，某校探討性學習小組對全校學生按“跟從別人闖紅燈”“從不闖紅燈”“帶頭闖紅燈”等三種形式過公路進行調查，獲得下表數據：跟從別人闖紅燈從不闖紅燈帶頭闖紅燈男生98041060女生34015060用分層抽樣的方法，從全部被調查的人中抽取一個容量為n的樣本，其中在“跟從別人闖紅燈”的人中抽取了66人．(1)求n的值；(2)在所抽取的“帶頭闖紅燈”的人中，任選2人參與星期天社區組織的“文明交通”宣揚活動，求這2人中至少有1人是女生的概率．解析(1)由題意得，eq\f(66,980＋340)＝eq\f(n,980＋340＋410＋150＋60＋60)，解得n＝100.(2)因為全部參與調查的人數為980＋340＋410＋150＋60＋60＝2000，所以從“帶頭闖紅燈”的人中用分層抽樣的方法抽取的人數為(60＋60)×eq\f(100,2000)＝6，其中男生有60×eq\f(100,2000)＝3人，女生有60×eq\f(100,2000)＝3人，將這3名男生用A1，A2，A3表示，3名女生用B1，B2，B3表示，則從這6人中任選2人的全部基本領件為A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，B1B2，B1B3，B2B3，共15個．這2人均是男生的基本領件有A1A2，A1A3，A2A3，共3個，記“這2人中至少有1人是女生”為事務M，則M包含的基本領件共有12個，所以P(M)＝eq\f(12,15)＝eq\f(4,5).故從這6人中任選2人，至少有1個是女生的概率為eq\f(4,5).6．(2024·全國卷Ⅲ)某工廠為提高生產效率，開展技術創新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式．為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產方式，其次組工人用其次種生產方式．依據工人完成生產任務的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：(1)依據莖葉圖推斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由．(2)求40名工人完成生產任務所需時間的中位數m，并將完成生產任務所需時間超過m和不超過m的工人數填入下面的列聯表中：超過m不超過m第一種生產方式其次種生產方式(3)依據(2)中的列聯表，能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解析(1)其次種生產方式的效率更高．理由如下：(ⅰ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至少為82min；用其次種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至多78min.因此其次種生產方式的效率更高．(ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為85.5min；用其次種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為73.5min.因此其次種生產方式的效率更高．(ⅲ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間高于80min；用其次種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間低于80min.因此其次種生產方式的效率更高．(ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖8上的最多，關于