人教版九年級上冊垂直于弦的直徑

熊寶寶要過生日了！要把蛋糕平均分成四塊，你會分嗎？教學目標010203進一步認識圓，了解圓是軸對稱圖形.理解垂直于弦的直徑的性質和推論，并能應用它解決一些簡單的計算、證明和作圖問題.

靈活運用垂徑定理解決有關圓的問題.01重點：能初步應用垂徑定理進行計算和證明.02難點：理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推導.重難點引入新課3.我們所學過的圖形中，哪些圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形？2.什么是中心對稱圖形？我們學過哪些中心對稱圖形？在平面內，如果一個圖形沿一條直線對折,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個圖形叫軸對稱圖形。1.什么是軸對稱圖形？我們學過哪些軸對稱圖形？在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。線段、矩形、正方形、角、菱形、等腰三角形.線段、矩形、正方形、菱形、平行四邊形.線段、矩形、正方形、菱形.復習提問：趙州橋37m7.23m你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？觀察思考趙州橋是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結晶.01圓的對稱性

由此你能得到圓的什么特性？活動

不借助任何工具，你能找到圓形紙片的圓心嗎?

?圓的軸對稱性知識點折一折：你能通過折疊的方式找到圓形紙片的對稱軸嗎？在折的過程中你有何發(fā)現(xiàn)？觀察思考

把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結論？圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。（1）圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？

圓的對稱性

圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.●O說一說（2）如何來證明圓是軸對稱圖形呢？O圓是中心對稱圖形嗎?它的對稱中心在哪里?·圓是中心對稱圖形它的對稱中心是圓心.探究：圓的中心對稱性圓繞圓心旋轉任意角度，都能夠與原來的圖形重合.圓具有旋轉不變性圓的對稱性：1、圓是軸對稱圖形，有無數(shù)條對稱軸，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。2、圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心。BOACDE

是軸對稱圖形．大膽猜想已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB，垂足為E．【思考】左圖是軸對稱圖形嗎？滿足什么條件才能證明圓是軸對稱圖形呢？你能用數(shù)學方法證明剛才的結論嗎？

如圖，AB是⊙O的任一條直徑，C是⊙O上點A,B以外任意一點.∵在△OCD中，OC=OD.∴△OCD是等腰三角形∵OE⊥CD∴CE=ED即AB是CD的垂直平分線。這就是說對于圓上任意一點C，在圓上都有關于直線AB的對稱點D，因此⊙O關于直線AB對稱。·OCBEAD過點C作CD⊥AB，交⊙O于點D，垂足為E.連接OC,OD.02垂徑定理

如圖，AB是⊙O的一條弦,直徑CD⊥AB,垂足為E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和劣弧?為什么?線段:AE=BE?弧:AC=BC,AD=BD?⌒⌒⌒⌒理由：

把圓沿著直徑CD折疊時，CD兩側的兩個半圓重合，點A與點B重合，AE與BE重合，AC和BC,AD與BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDEC垂徑定理及其推論知識點CD是⊙O的一條弦，直徑AB⊥CD，垂足為E.求證：CE=DE⌒⌒AC=AD⌒⌒

BC=BD.ABCDOE分析：要證CE=DE，只要證CE,DE構成的三角形全等.要證，只需證明C點與D點關于直徑AB對稱.⌒⌒AC=AD⌒⌒

BC=BD同位討論同位討論CD是⊙O的一條弦，直徑AB⊥CD，垂足為E.求證：CE=DE⌒⌒AC=AD⌒⌒

BC=BD.ABCDOE證明：連接OC,OD,則OC=OD.在Rt△OCE和Rt△ODE中：

______________________________________∴Rt△OCE≌Rt△ODE（）∴CE=_____∴點_____和點_____關于AB對稱.∵⊙O關于AB對稱.∴當圓沿著直線AB對折時，點C與點D重合，重合，重合.

∴_________,________________,________________.OE=OEOC=ODHLDECD⌒⌒AC與AD⌒⌒

BC與BDCE=DEAC=AD⌒⌒

BC=BD⌒⌒探究OAA'M直徑CD平分弦AA'，且平分，.AM=A'MCD點A與點A'重合；AM與A'M重合；與

重合；與重合.在剛剛的證明過程中，你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段、弧嗎？垂徑定理·OABCDE垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.∵

CD是直徑，CD⊥AB.∴

AE=BE⌒⌒AC

=BC⌒⌒AD=BD推導格式：溫馨提示：垂徑定理是圓中一個重要的定理,三種語言要相互轉化,形成整體,才能運用自如.題設：①CD是⊙O直徑②CD

AB①直徑②垂直于弦ECOABD垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.結論：①平分弦②平分弦所對的兩條弧①AE

BE②探究：垂徑定理的三種語言定理

垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧.●OABCDM└CD⊥AB∵CD是直徑∴AM=BM⌒⌒

AC=BC⌒⌒

AD=BD.條件①一條直徑②垂直于弦③直徑平分弦④平分弦所對的劣弧結論⑤平分弦所對的優(yōu)弧判斷下列圖是否是表示垂徑定理的圖形。是不是，因為沒有垂直是練一練是是注意：垂徑定理中的垂徑可以是

、半徑或過圓心的直線或

，其本質是“過圓心”直徑線段搶答想一想怎樣修改圖（2）、（4）能夠滿足垂徑定理的條件？ECOABDECOABDCOAB（1）（2）（3）（4）DOABCCOABEOABD垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.過圓心垂徑定理的幾個基本圖形：ABOCDEABOEDABOCABODC

歸納總結03垂徑定理推論如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧）結論與題設交換一條，命題是真命題嗎？①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)弧；⑤平分弦所對的劣弧.上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結論嗎？想一想·OCEABD

舉例證明其中一種組合方法.已知:求證：②AB⊥CD垂足為E

③CE=DE④AC=AD⑤BC=BD⌒⌒⌒⌒·OCEABD小組討論①AB是直徑舉例證明其中一種組合方法.已知:求證：②AB⊥CD，垂足為E

③CE=DE④AC=AD⑤BC=BD⌒⌒⌒⌒·OCEABD小組討論①AB是直徑思考：CD可以是直徑嗎？CDCDD

舉例證明其中一種組合方法.已知:求證：②AB⊥CD，垂足為E

③CE=DE（CD不是直徑）④AC=AD⑤BC=BD⌒⌒⌒⌒·OCEABD小組討論①AB是直徑如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB嗎？為什么？（2）BD（2）由垂徑定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒（1）連接AO,BO,則AO=BO.又AE=BE，

OE=OE.∴△AOE≌△BOE（SSS）.∴∠AEO=∠BEO=90°.∴CD⊥AB.證明舉例⌒AC與BC相等嗎？AD與BD相等嗎？為什么？⌒⌒⌒DOABEC證明：垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。∵①AB是直徑②CE=DE且CD不是直徑符號語言：∴③AB⊥CD④AC=AD⑤BC=BD.⌒⌒⌒⌒歸納總結·OCEABD思考：“不是直徑”這個條件能去掉嗎？如不能，請舉出反例.

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.垂徑定理的推論·OABCD特別說明：圓的兩條直徑是互相平分的.歸納總結思考當直徑CD平分一條弦AB(不是直徑)時，能否得出CD

AB?OABCDE垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.為什么？圓的任意兩條直徑都互相平分，但它們不一定互相垂直.想一想判斷下列說法是否正確：1.垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.2.平分弦的直徑垂直于弦.COABDECOABD3.平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑.過圓心不是直徑延伸垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.①過圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對的優(yōu)弧⑤平分弦所對的劣弧.④平分弦所對的弧①②→③④⑤①③→②④⑤還有別的結論嗎？如：①④→②③⑤？延伸①過圓心

②垂直于弦

③平分弦④平分弦所對的優(yōu)弧

⑤平分弦所對的劣弧.條件結論①②③④⑤垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.①③②④⑤平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.①④②③⑤①⑤②③④平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分這條弦，并且平分弦所對的另一條弧.②③①⑤④弦的垂直平分線經過圓心，并且平分這條弦所對的兩條弧.………………知二推三04垂徑定理的應用例如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=

cm.·OABE解析：連接OA，∵OE⊥AB.∴AB=2AE=16cm.16∴cm.考點垂徑定理及其推論的計算

如圖，⊙

O的弦AB＝8cm，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長.·OABECD解：連接OA，∵

CE⊥AB于D.∴.設OC=xcm，則OD=x-2.根據勾股定理，得.解得x=5即半徑OC的長為5cm.x2=42+(x-2)2例已知：⊙O中弦AB∥CD求證：AC＝BD.⌒⌒.MCDABON證明：作直徑MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.則AM＝BM，CM＝DM.（垂直于弦的直徑平分弦所對的弧）

AM－CM＝BM－DM.∴AC＝BD.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒平行弦夾的弧相等利用垂徑定理及推論證明相等考點

解決有關弦的問題，經常是過圓心作弦的弦心距（垂線段），或作垂直于弦的直徑，連結半徑等輔助線，為應用垂徑定理創(chuàng)造條件.歸納總結OOOAAABBBCCDEMN如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求證:四邊形ADOE是正方形．D·OABCE又∵AC=AB.∴AE

=AD.∴四邊形ADOE為正方形.證明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC.∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四邊形ADOE為矩形，AE=AC,AD=AB.試一試：根據剛剛所學，你能利用垂徑定理求出引入中趙州橋主橋拱半徑的問題嗎?垂徑定理的實際應用解：如圖，用AB表示主橋拱，設AB所在圓的圓心為O，半徑為R.經過圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D，與弧AB交于點C，則D是AB的中點，C是弧AB的中點，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.解得R≈27.3（m）.即主橋拱半徑約為27.3m.=18.52+(R-7.23)2

∴AD=AB=18.5mOD=OC-CD=R-7.23.OA2=AD2+OD2

如圖a、b,一弓形弦長為cm，弓形所在的圓的半徑為7cm，則弓形的高為＿＿＿____＿.C

DCBOADOAB圖a圖b2cm或12cm練一練：

在圓中有關弦長a,半徑r,弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h的計算題時，常常通過連半徑或作弦心距構造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.涉及垂徑定理時輔助線的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半徑r之間有以下關系：弓形中重要數(shù)量關系d+h=r

OABC·歸納總結ABCDOhrd隨堂練習1.

在⊙O中，若CD

AB于M，AB為直徑，則下列結論不正確的是().

A.

B.

C.AM

OM

D.CM

DMMAOCDBC2.

已知⊙O的直徑AB10，弦CD

AB于M，OM3，則CD

.MAOCDB85343.

在⊙O中，弦CD

AB于M，AB為直徑，若CD10，

AM1，則⊙O的半徑為

.MBOCDAr15r1(r

1)252

r213解決有關弦的問題時，半徑是常用的一種輔助線的添法．往往結合勾股定理計算.4.⊙O的半徑為13cm，AB、CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離.MAOCDBN解：過點O向AB，CD作垂線，垂足分別為M，N，連接OB，OD.由垂徑定理可得：

BM

AB12cm，DN

CD5cm.

又∵OB

OD13cm

在Rt△OBM，Rt△ODN中.

由勾股定理得：OM5cm，ON12cm.

∴AB和CD之間的距離MN

OM

ON7cm

或MN

OM

ON17cmMNOACDB分類討論已知：如圖，在以O為圓心的兩個同心圓