第18頁（共18頁）2024-2025學年下學期初中數學人教版八年級期中必刷常考題之勾股定理的逆定理一．選擇題（共5小題）1．（2015?畢節市）下列各組數據中的三個數作為三角形的邊長，其中能構成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．1，2，3 C．6，7，8 D．2，3，42．（2017?浙江）如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為（）A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米3．（2022秋?黔江區期末）若△ABC的三邊a、b、c滿足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形4．（2024秋?姑蘇區校級期中）△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝3：4：65．（2024秋?鹽湖區期中）三角形的三邊長為a，b，c，且滿足（a+b）2＝c2+2ab，則這個三角形是（）A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形二．填空題（共5小題）6．（2019?北京）如圖所示的網格是正方形網格，則∠PAB+∠PBA＝°（點A，B，P是網格線交點）．7．（2017春?金平區期末）如圖，在高3米，坡面線段距離AB為5米的樓梯表面鋪地毯，則地毯長度至少需米．8．（2024秋?黔江區期末）如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為17米，幾分鐘后船到達點D的位置，此時繩子CD的長為10米，問船向岸邊移動了米．9．（2024春?襄城縣期末）如圖，長為8cm的橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和B，然后把中點C向上拉升3cm到D，則橡皮筋被拉長了cm．10．（2016?棗莊）如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經測量得到如下數據：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，則警示牌的高CD為米（結果精確到0.1米，參考數據：2=1.41，3=三．解答題（共5小題）11．（2024秋?蘭州期中）已知某開發區有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，現計劃在空地上種植草皮，經測量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，問要多少投入？12．（2023秋?秦淮區校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，點D是Rt△ABC外一點，連接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的長；（2）求證：△BCD是直角三角形．13．（2024秋?歷城區期末）在一條東西走向河的一側有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現在已經不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路CH，測得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．（1）問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？（即問：CH與AB是否垂直？）請通過計算加以說明；（2）求原來的路線AC的長．14．（2022春?婁星區期末）如圖，小穎和她的同學蕩秋千，秋千AB在靜止位置時，下端B′離地面0.6m，蕩秋千到AB的位置時，下端B距靜止位置的水平距離EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的長．15．（2022春?南寧期末）已知等腰三角形ABC的底邊BC＝20cm，D是腰AB上一點，且CD＝16cm，BD＝12cm．（1）求證：CD⊥AB；（2）求該三角形的腰的長度．

2024-2025學年下學期初中數學人教版八年級期中必刷常考題之勾股定理的逆定理參考答案與試題解析題號12345答案BCCDC一．選擇題（共5小題）1．（2015?畢節市）下列各組數據中的三個數作為三角形的邊長，其中能構成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．1，2，3 C．6，7，8 D．2，3，4【考點】勾股定理的逆定理．【答案】B【分析】知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．【解答】解：A、（3）2+（4）2≠（5）2，不能構成直角三角形，故錯誤；B、12+（2）2＝（3）2，能構成直角三角形，故正確；C、62+72≠82，不能構成直角三角形，故錯誤；D、22+32≠42，不能構成直角三角形，故錯誤．故選：B．【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．2．（2017?浙江）如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為（）A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米【考點】勾股定理的應用．【答案】C【分析】先根據勾股定理求出AB的長，同理可得出BD的長，進而可得出結論．【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+22＝6.25，∴BD2＝2.25，∵BD＞0，∴BD＝1.5米，∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米）．故選：C．【點評】本題考查的是勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．3．（2022秋?黔江區期末）若△ABC的三邊a、b、c滿足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【考點】勾股定理的逆定理；非負數的性質：絕對值；非負數的性質：偶次方．【答案】C【分析】首先根據題意由非負數的性質可得，進而得到a＝b，a2+b2＝c2，根據勾股定理逆定理可得△ABC的形狀為等腰直角三角形．【解答】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，解得：a＝b，a2+b2＝c2，∴△ABC的形狀為等腰直角三角形；故選：C．【點評】此題主要考查了勾股定理逆定理以及非負數的性質，關鍵是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．4．（2024秋?姑蘇區校級期中）△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝3：4：6【考點】勾股定理的逆定理；三角形內角和定理．【答案】D【分析】由三角形內角和定理及勾股定理的逆定理進行判斷即可．【解答】解：A、∠A+∠B＝∠C，又∠A+∠B+∠C＝180°，則∠C＝90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A+∠B+∠C＝180°，則∠C＝90°，是直角三角形；C、由a2＝c2﹣b2，得a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故選：D．【點評】本題考查了直角三角形的判定，注意在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系，進而作出判斷．5．（2024秋?鹽湖區期中）三角形的三邊長為a，b，c，且滿足（a+b）2＝c2+2ab，則這個三角形是（）A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形【考點】勾股定理的逆定理．【答案】C【分析】對等式進行整理，再判斷其形狀．【解答】解：化簡（a+b）2＝c2+2ab，得，a2+b2＝c2所以三角形是直角三角形，故選：C．【點評】本題考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．二．填空題（共5小題）6．（2019?北京）如圖所示的網格是正方形網格，則∠PAB+∠PBA＝45°（點A，B，P是網格線交點）．【考點】勾股定理的逆定理；三角形的外角性質；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形．【答案】見試題解答內容【分析】延長AP交格點于D，連接BD，根據勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根據三角形外角的性質即可得到結論．【解答】解：延長AP交格點于D，連接BD，則PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故答案為：45．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性質，等腰直角三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．7．（2017春?金平區期末）如圖，在高3米，坡面線段距離AB為5米的樓梯表面鋪地毯，則地毯長度至少需7米．【考點】勾股定理的應用．【專題】計算題．【答案】見試題解答內容【分析】將樓梯表面向下和右平移，則地毯的總長＝兩直角邊的和，已知斜邊和一條直角邊，根據勾股定理即可求另一條直角邊，計算兩直角邊之和即可解題．【解答】解：將樓梯表面向下和右平移，則地毯的總長＝兩直角邊的和，已知AB＝5米，AC＝3米，且在直角△ABC中，AB為斜邊，則BC=AB2則AC+BC＝3+4＝7米．故答案為：7．【點評】本題考查了勾股定理在實際生活中的應用，本題中把求地毯長轉化為求兩直角邊的長是解題的關鍵．8．（2024秋?黔江區期末）如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為17米，幾分鐘后船到達點D的位置，此時繩子CD的長為10米，問船向岸邊移動了9米．【考點】勾股定理的應用．【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀．【答案】見試題解答內容【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理計算出AB長，再根據題意可得CD長，然后再次利用勾股定理計算出AD長，再利用BD＝AB﹣AD可得BD長．【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB=BC∵CD＝10（米），∴AD=CD∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸邊移動了9米，故答案為：9．【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，關鍵是掌握從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．9．（2024春?襄城縣期末）如圖，長為8cm的橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和B，然后把中點C向上拉升3cm到D，則橡皮筋被拉長了2cm．【考點】勾股定理的應用；等腰三角形的性質．【答案】見試題解答內容【分析】根據勾股定理，可求出AD、BD的長，則AD+BD﹣AB即為橡皮筋拉長的距離．【解答】解：Rt△ACD中，AC=12AB＝4cm，CD＝3根據勾股定理，得：AD=AC2+∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；故橡皮筋被拉長了2cm．【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質以及勾股定理的應用．10．（2016?棗莊）如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經測量得到如下數據：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，則警示牌的高CD為2.9米（結果精確到0.1米，參考數據：2=1.41，3=【考點】勾股定理的應用．【答案】見試題解答內容【分析】首先根據等腰直角三角形的性質可得DM＝AM＝4m，再根據勾股定理可得MC2+MB2＝（2MC）2，代入數可得答案．【解答】解：由題意可得：∵AM＝4米，∠MAD＝45°，∴DM＝4m，∵AM＝4米，AB＝8米，∴MB＝12米，∵∠MBC＝30°，∴BC＝2MC，∴MC2+MB2＝（2MC）2，MC2+122＝（2MC）2，∴MC＝43（米），則DC＝43-4≈2.9故答案為：2.9．【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，關鍵是掌握直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?蘭州期中）已知某開發區有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，現計劃在空地上種植草皮，經測量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，問要多少投入？【考點】勾股定理的應用．【專題】應用題；壓軸題．【答案】見試題解答內容【分析】仔細分析題目，需要求得四邊形的面積才能求得結果．連接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的長，由BD、CD、BC的長度關系可得三角形DBC為一直角三角形，DC為斜邊；由此看，四邊形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC構成，則容易求解．【解答】解：連接BD，在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，∴∠DBC＝90°，S四邊形ABCD＝S△BAD+S△DBC=1=12所以需費用36×200＝7200（元）．【點評】通過勾股定理由邊與邊的關系也可證明直角三角形，這樣解題較為簡單．12．（2023秋?秦淮區校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，點D是Rt△ABC外一點，連接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的長；（2）求證：△BCD是直角三角形．【考點】勾股定理的逆定理；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀．【答案】見試題解答內容【分析】（1）在Rt△ABC中，根據勾股定理即可求得BC的長；（2）利用勾股定理逆定理即可證明△BCD是直角三角形．【解答】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，∴BC=AB（2）證明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，∴△BCD是直角三角形．【點評】本題考查了勾股定理及其逆定理．勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．掌握定理是解題的關鍵．13．（2024秋?歷城區期末）在一條東西走向河的一側有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現在已經不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路CH，測得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．（1）問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？（即問：CH與AB是否垂直？）請通過計算加以說明；（2）求原來的路線AC的長．【考點】勾股定理的應用．【專題】幾何圖形．【答案】見試題解答內容【分析】（1）根據勾股定理的逆定理解答即可；（2）根據勾股定理解答即可．【解答】解：（1）是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝（2.4）2+（1.8）2＝9BC2＝9∴CH2+BH2＝BC2∴CH⊥AB，所以CH是從村莊C到河邊的最近路（2）設AC＝x在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣1.8，CH＝2.4由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2∴x2＝（x﹣1.8）2+（2.4）2解這個方程，得x＝2.5，答：原來的路線AC的長為2.5千米．【點評】此題考查勾股定理的應用，關鍵是根據勾股定理的逆定理和定理解答．14．（2022春?婁星區期末）如圖，小穎和她的同學蕩秋千，秋千AB在靜止位置時，下端B′離地面0.6m，蕩秋千到AB的位置時，下端B距靜止位置的水平距離EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的長．【考點】勾股定理的應用．【專題】計算題．【答案】見試題解答內容【分析】設AB＝xm，在Rt△AEB中，利用勾股定理，構建方程即可解決問題【解答】解：設AB＝AB′＝xm，由題意可得出：B′E＝1.4﹣0.6＝0.8（m），則AE＝AB﹣0.8，在Rt△AEB中，∵AE2+BE2＝AB2，∴（x﹣0.8）2+2.42＝x2解得：x＝4，答：秋千AB的長為4m．【點評】本題考查勾股定理的應用，解題的關鍵是學會利用勾股定理構建方程解決問題，屬于中考常考題型．15．（2022春?南寧期末）已知等腰三角形ABC的底邊BC＝20cm，D是腰AB上一點，且CD＝16cm，BD＝12cm．（1）求證：CD⊥AB；（2）求該三角形的腰的長度．【考點】勾股定理的逆定理；等腰三角形的性質；勾股定理．【專題】方程思想；三角形．【答案】見試題解答內容【分析】（1）依據勾股定理的逆定理，即可得到∠BDC＝90°，即可得到CD⊥AB；（2）設腰長為x，則AD＝x﹣12，由（1）可知AD2+CD2＝AC2，解方程（x﹣12）2+162＝x2，即可得到腰長．【解答】解：（1）∵BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm，∴滿足BD2+CD2＝BC2，∴根據勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°，即CD⊥AB；（2）設腰長為x，則AD＝x﹣12，由（1）可知∠ADC＝90°，由勾股定理可知，AD2+CD2＝AC2，即：（x﹣12）2+162＝x2，解得x=50∴腰長為503cm【點評】本題主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．

考點卡片1．非負數的性質：絕對值在實數范圍內，任意一個數的絕對值都是非負數，當幾個數或式的絕對值相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0．2．非負數的性質：偶次方偶次方具有非負性．任意一個數的偶次方都是非負數，當幾個數或式的偶次方相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0．3．三角形內角和定理（1）三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內角，且每個內角均大于0°且小于180°．（2）三角形內角和定理：三角形內角和是180°．（3）三角形內角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內角移到一起，組合成一個平角．在轉化中借助平行線．（4）三角形內角和定理的應用主要用在求三角形中角的度數．①直接根據兩已知角求第三個角；②依據三角形中角的關系，用代數方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．4．三角形的外角性質（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內角．（3）若研究的角比較多，要設法利用三角形的外角性質②將它們轉化到一個三角形中去．（4）探究角度之間的不等關系，多用外角的性質③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．5．等腰三角形的性質（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③